格 子 ボ ル ツ マ ン法 に基 づ く津 波 遡 上 シ ミ ュ レー シ ョ ン手 法 の 開 発
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(2) 222. 海. 岸. 工. 学. 論. 文. 集. 第55巻(2008). 子 分 布 関 数 で あ りeaを 持 つ 粒 子 の 総 数 を表 す. (3) 格 子 ボ ル ツ マ ン方 程 式 格 子 ボ ル ツ マ ン方 程 式 は,衝 突 演 算 項 に 格 子BGKモ デ ル(Qianら,1992)を. 用 いて,式(2)で. 表 さ れ る.. (2) feqaは局 所 平 衡 分 布 関 数,Fは 単 一 時 間 緩 和 係 数 で,粘. 外 力 項(後 述)で あ る.τ. は. 性 に 関 す るパ ラメ ー タvを 用 い. て,. (3) で 表 さ れ る.式(2)左. 辺 は粒 子 の並 進 過 程,右. 辺 第一 項. は粒 子 の衝 突 過 程,第 二 項 は外 力 項 を 表 し,以 上 の 支 配 方 程 式 か ら陽 的 に 未 知 数faを 求 め,巨 視 的 変 数 で あ る水 深 ・流 速 を求 め る. 図‑2. (4) 局 所 平 衡 分 布 関数 局 所 平 衡 分 布 関 数 と は格 子 点 上 に お い て 流 体 が 平 衡 状. 遡 上 先 端 とBounce.back条. zbは 底 面 高 さ,nbは. 件 の概 念 図. マ ニ ン グ の 粗 度 係 数 で あ る.こ. 態 に 達 した と きの 粒 子 分 布 で あ り,浅 水 理 論 にお け る局. は 式(6)右 辺 の 差 分 にCentred. 所 平 衡 分 布 関数 は 式(4)で 表 さ れ る.. に 表 現 す る.. Schemeを. こで. 用 い て次 式 の よ う. (8) (6) 流 入 境 界 条 件 こ こで は 左 端 か らの正 弦 入 射 波 を考 え,左 端 か らの 入 射 条 件 と してZhou(2004)に. よ る流 入 条 件 を 適 用 す る.. (9). (4) こ こで,hは. 全 水 深,ui,ujは. 速 度 で あ る.LBMに. 各 方 向 の 流 速,gは. 重力 加. (10). お ける平衡 状態 とは熱力学 的平 衡. 状 態 を 指 し,こ の 時 密 度 ρ の粒 子 の 速 度uは,x‑y平. 面で. (11). は以 下 のMaxwell分 布 に従 う と仮 定 す る. (7) 津 波 遡 上 先 端 条 件. (5). Zhou(2004)に. よ って 定 式 化 さ れ たLBMの. ス キ ー ム に,. non‑slip条 件 の1種 で あ るBounce‑back条 件 を 用 い て,移 Rは 気 体 定 数,Tは. そ の 温 度 を そ れ ぞ れ 表 す.ま. た,u=. √u2ii+u2jで あ る.. 新 た に付 加 す る.図‑2に. 斜 面 遡 上 先 端 部 の概 念 を 示 す.. 計 算 の手 順 は以 下 で あ る.. (5) 外 力 項 外 力 項 は地 形 の 凹 凸 に 起 因 す る 項Fzbお よ び 底 面 摩 擦 に 関 す る項Fbで,そ. 動 境 界 問 題 と して津 波 遡 上 を取 り扱 う た め の ス キ ー ム を. れ ぞ れ 次 式 で表 現 す る.. a) h(x,t)+z(x)‑z(x+1)>0の. 場 合(図‑2左). 津 波 遡 上 先 端 部Xに お け る水 位 が 隣 接 の 格 子x+1の 標 高 よ り も高 い 場 合 に は,特. (6). に境 界 条 件 を 設 け ず,x=x+1で. の 巨視 的変 数h(x+1,t)を. (12). (7) と し,u(x+1,t)をh(x+1,t)を 与 え る.. 用 い て 連 続 式 か ら便 宜 的 に.
(3) 223. 格 子 ボ ル ツ マ ン法 に基 づ く津 波 遡 上 シ ミ ュ レー シ ョ ン手 法 の 開 発. 表‑1. 図‑3. ベ ン チ マ ー ク問 題 で 考 慮 し た 計 算 ケ ー ス. ベ ン チ マ ー ク 問 題 に お け る 地 形 ・波 入 射 条 件 の 概 略. b) h(x,t)+z(x)‑z(x+1)<0の. 場 合(図‑2右). 津 波 遡 上 先 端 部xに お け る水 位 が 隣接 の 格 子x+1の 標 高 よ り も低 い場 合 に は,(2)式 と す る.ま た,津. か ら計 算 され たf(x+1,t)を0. 波 先 端 部 に仮 想 壁 条 件 と してBonnce‑. back条 件 を与 え る.Bounce‑back条. 件 と は,流 体 粒 子 が. 流 入 して きた 方 向 に180°跳 ね 返 る条 件 で,図‑2に. お いて. 粒 子 分 布 関 数 は次 の よ う に決 定 さ れ る.. (13) (14) (15) な お,本 計 算 で は条 件 式 の打 ち 切 り水 深 を1.0×10‑2お よ び1.0×10‑4と して計 算 を 行 っ て い る. (8) 巨 視 的 変 数 の 導 出 巨視 的 変 数 で あ る全 水 深 ・速 度 は粒 子 分 布 関 数 か ら 粗 視 化 の手 続 き を通 じて,次 の よ うに 決 定 され る.. (16) とが 分 か る.し か し,Case19の. (17). 件 で,LBMの. よ う な短 周 期 波 の 入 射 条. 解 像 度 を △x=100m程. 度 まで 粗 くす る と遡. 上 先 端 部 に お い て 差 異 が 認 め られ た.LBMの. 空 間解像. 3. 津 波 遡 上 の 数 値 解 析. 度 の 限 界 につ い て は,今 後 よ り詳 細 な検 討 を 行 って い く. 図‑3の よ うな,一 様 勾配 斜 面 と水 平 床 の 組 み 合 わ せ に. 予 定 で あ る. 一 方 ,Case7の. 引 き波 時 の 波 形 に注 目す る と,図‑5の. よ る水 路 で 波 の 遡 上 計 算 を 行 う.計 算 は1次 元 問 題 と し,. よ う にFDMの. 計 算 条件 は後 藤 ・首 藤(1980)の 条 件 にな らっ た.計 算 ケ ー. 後 藤 ・首 藤(1980)は,短. ス は 表‑1に 示 す.本. 岸 へ 来 襲 し津 波 の先 端 が 段 波 状 を呈 す る際,こ れ をStag‑. 研 究 で は,LBMの. 精 度 を検 証 す る. 先 端 部 が 振 動 して い る の が 確 認 出 来 る. 周 期 の 津 波 が 勾 配 の 緩 や か な海. た め の ベ ンチ マ ー ク値 と してLeap‑frog差 分 法(以 下FDM). gerd Leap‑frog法 で 計 算 す る場 合 に 段 波 の 不 連 続 面 か ら. を 用 い る.FDM(dx=25m)の. 数 値 ギ ブ ス振 動 が 発 生 す る可 能 性 を 指 摘 して い る.図‑5. LBMとFDMに. 結 果 を 仮 想 真 値 と して,. よ り計 算 さ れ た 最 大 遡 上 高 の 差 ηLBM‑. は そ れ が 起 こ って い る例 で あ る と考 え られ る.こ の振 動. ηFDMを用 い て 式(18)で 定義 す る.各 計 算 ケ ー ス で求 め ら. を 取 り除 くた め,FDMは. れ たError値 は表‑1に 示 す.. の工 夫 を 要 す る が,こ. (18) 図‑4に,最. 大 遡 上 時 お よ び 引 き波 時 のLBMとFDMの. 人 為 数 値 拡 散 項 を導 入 す る等 れ は解 を な ま らせ る もの で あ り,. 段 波 の 不 連 続 区 間 が 長 くな り精 度 が 落 ち る等 の 欠 点 が あ る.LBMで. は特 別 な 工 夫 を 用 い な く と も滑 らか な 解 が. 得 られ る た め,こ. の 問 題 に関 して はFDMに. 対 して 有 利. 計 算 波 形 の 比 較 例 を示 す.黒 丸 お よ び 白 丸 は そ れ ぞ れ 最. で あ る と考 え ら れ る.以 上 か ら,LBMとFDMの. 大 遡 上 時 お よ び 引 き波 時 のLBM解. 上 高 に 関 す る誤 差 は格 子 を細 か く取 れ ば3%以. よ うな 緩 勾 配 斜 面 で は,LBM解 て お り,押. を 表 す.Case7や8の はFDM解. とほぼ一致 し. し波 ・引 き波 と も に良 好 に 再 現 で き て い る こ. (表‑1),同. 最 大遡 下であり. 程 度 の 空 間 分 解 能 で あ れ ばLBMはFDMと. 程 度 の 精 度 で計 算 出 来 る こ とを 確 認 した.. 同.
(4) 224. 海. 岸. 工. 学. 論. 文. 集. 第55巻(2008). Case7. 図‑5. Case8. FDMで の数 値振 動発生 時 の計算 波形 比較. 誤 差 が1割 以 下 で 評 価 出来 て お り,空 間 解 像 度 の 違 い に よ り多 少 の ば らつ き は あ る も の の,精 度 が 大 幅 に変 化 し な い こ と か ら,LBMで. 十 分 精 度 良 く浅 水 長 波 流 れ を 計. 算 出 来 る と考 え られ る.解 析 ケ ー ス別 に 見 る と,例 え ば, 角 柱 周 りの 再 現 計 算(図 中 の 凡 例:▲)で. はError値 が10. %を 越 え て し ま う ケ ー ス が 見 られ る こ とか ら,本 研 究 で. Case19. 用 い た値 よ り も小 さ い空 間 解 像 度 で 計 算 した 方 が 望 ま し い 結 果 と な る こ とが 予 想 さ れ る.ま た,浅 水 変 形 の再 現 計 算(図 中 凡 例:●),お. よ び 遡 上 計 算(図 中 凡 例:■)に. よ り得 られ た プ ロ ッ トは1〓Error〓10%の. 範 囲 に集 中. して お り,本 研 究 で 用 い た空 間解 像 度 は これ らの 解 析 を す る に あ た り,妥 当 な 値 で あ った と考 え られ る.こ の よ 図‑4. 4. LBMの. LBMとFDMの. 遡上 波形 比較. うに,図‑6を で の,LBMで. 精 度 に関 す る検 討. 用 い れ ば,所 用 の精 度 に対 す る 各 種 条 件 下 用 い る 空 間 格 子 の 大 き さ の 目安 を 知 る こ. と が可 能 で あ る. ダ ム ブ レー ク,角 柱 周 り流 れ,津 波 の浅 水 変 形 の実 験 値 お よ び 開 水 路 流 れ ・1次元 潮 流 解 析 の理 論 解 を ベ ンチ マ ー ク と してLBMに. よ る解 析 を 行 い,前. 章 で 議 論 した. 津 波 の 陸 上 遡 上 問題 を 含 め て,入 射 波 波 長 の 空 間 分 解 能 と の 関 連 で 評 価 す る.各 種 ベ ンチ マ ー ク問 題 の 出 典 は表 ‑2に 示 す(表 の左 欄 の 記 号 は図‑6に 対 応) 比 較 結 果 を,横. 軸 に △x/L,縦. 5. 結 論 お よ び 今 後 の 課 題 本 研 究 で 得 られ た結 論 と今 後 の課 題 を 以 下 に述 べ る. LBMを. 移 動 境 界 問 題 と して の 津 波 陸 上 遡 上 計 算 に 適. 用 し,安 定 に 解 析 を行 う こ と に成 功 した.た. だ し,本 研. 究 で 考 慮 した 遡 上 先 端 条 件 は,一 様 勾 配 斜 面 の地 盤 高 と. 軸 に式(18)で 定 義 し た. 水 位 の 関 係 の み で 求 ま る簡 便 な 手 法 で あ る.平 坦 なDry. Error値(た だ し真 値 は ベ ンチ マ ー クに よ り異 な る)を 取 っ. Bed上 を遡 上 す る 津 波 の計 算 や,段 波 遡 上 先 端 部 の再 現. て ま とめ た もの が 図‑6で あ る.こ. 性 に つ い て は,よ. こで,代. 表 長 さLに は. 各 計 算 ケ ー ス に お け る入 射 波 波 長 を採 用 して い る.全 体 にError値 の 分 布 は右 肩 上 が り とな り,△x/L(波. 長 に対 し. り詳 細 な検 討 を 行 う必 要 が あ る.. 空 間 分 解 能 につ い て 同 一 条 件 下 で は,LBMとFDMの 最 大 遡 上 高 に 関 す る誤 差 は最 大 で3%程. 度 で あ り,最 大. て の 空 間 分 解 能)が 大 き い ほ ど誤 差 が 大 き くな る結 果 と. 遡 上 時 の 波 形 もほ ぼ 一 致 す る.す な わ ち,同 程 度 の空 間. な って い る.し か しな が ら,ほ とん ど の ケ ー ス に お い て. 分 解 能 で あれ ば津 波 の 陸 上 遡 上 問 題 にお い て 両 者 の 精 度 は ほ ぼ変 わ ら な い と み な して 良 い.実. 表‑2. 本 研 究 で 考 慮 し た ベ ン チ マ ー ク問 題. ダ ム ブ レー ク問題 △. 石 川 ら(2004). 角 柱 周 り流 れ ▲. 油 屋(2002),油. 浅水変形●. 松 山 ら(2006). 地 形 で のLBMの. 津 波 伝 播 ・遡 上 解 析 の 実 施 を考 え た 場 合,従 来 整 備 され て き た正 方 格 子 の海 底 地 形 デ ー タ を利 用 で き る うえ,実. 屋 ・今 村(2002). 用 上 問 題 な い精 度 で計 算 で き る可 能 性 が 高 い. 短 周 期 の 津 波 が 勾 配 の 緩 や か な 海 岸 へ 来 襲 す る 際,. Zhou(2004). FDMで. は時 に数 値 ギ ブ ス振 動 が 発 生 す る場 合 が あ る が,. 潮流□. Zhou(2004). LBMで. は特 別 な処 理 を 用 い な くと も安 定 に計 算 出 来 る. 津 波遡 上 ■. 後 藤 ・首 藤(1980). 開水路○. こ とを 確 認 した.こ れ は,遡 上 計 算 の数 値 安 定 性 に つ い て はLBMが. 優 れ て い る こ と示 唆 して い る .ま た,角. 柱.
(5) 225. 格 子 ボ ル ツ マ ン法 に 基 づ く津 波 遡 上 シ ミュ レ ー シ ョ ン手 法 の 開 発. 図‑6. LBMの 精度 検証 結果. 周 りの 流 れ の よ うな 複 雑 な 流 れ場 の 再 現 につ い て は,同 一 の 条 件 で あ る な ら ばFDMよ りLBMの 方 が 精 度 良 く計. 記 して 謝 意 を 表 す る.. 参. 算 出 来 る可 能 性 が あ る.そ の他 の 流 れ につ い て は,同 一 油 屋 貴 子 (2002):. 条 件 で 両 者 の差 は ほぼ 無 い と見 な して 良 い. 様 々 な浅 水 長 波 の ベ ンチ マ ー ク問 題 に お い て,モ の 空 間 分 解 能 に 関 連 してLBMの. デル. 精 度 を 検 討 した.ほ. と. ん ど の ケ ー ス に お い て 誤 差 は1割 以 下 と な り,空 間 解 像 度 の 違 い に よ り精 度 が 大 幅 に 変 化 し な い こ と か ら,LB Mで 十 分 精 度 良 く浅 水 長 波 を 計 算 出 来 る と考 え られ る. 本 研 究 で 実 施 した 検 討 結 果 に よ り,所 用 の精 度 に対 す る 各 種 条 件 下 で の 空 間 格 子 の大 き さ を の 目安 を 示 す こ とが で き た.し. か し,LBMの. 空 間 分 解 能 に 関 連 し た計 算 精. 度 と格 子 選 定 基 準 につ い て は よ り詳 細 な検 討 を 要 す る.. 献. 127p.. 合 成 等 価 祖 度 モ デ ル を 用 い た津. 波 氾 濫 シ ミ ュ レー シ ョ ンの 提 案, 巻, pp.276‑280. 海 岸 工 学 論 文 集,. 第49. 石 川 裕 士 ・立 石 絢 也 ・田 中 聖 三 ・樫 山 和 男 (2004): 格子 ボル ツ マ ン法 に よ る 浅 水 長 波 流 れ 解 析, 第18回 数 値 流 体 力 学 シ ン ポ ジ ウ ム 講 演 概 要,. D4‑4. 石 川 裕 士 ・立 石 絢 也 ・樫 山 和 男 (2006): 非 構 造 格 子 に基 づ く CIVA‑格 子 ボ ル ツ マ ン法 に よ る 浅 水 長 波 流 れ 解 析, 応 用 力 学 論 文 集,. 第9巻,. pp.231‑238.. 木 原 直 人 ・山 下 隆 男 (2003): 工 学 へ の 適 用, 件 の 比 較,. 実 地 形 デ ー タ を用 い た 現 地 計 算 に適 用. 文. 東 北 大 学 大 学 院 工 学 研 究 科 修 士 論 文, 油 屋 貴 子 ・今 村 文 彦 (2002):. 2相 流 格 子 ボ ル ツ マ ン法 の 海 岸. 海 岸 工 学 論 文 集,. 後 藤 智 明 ・首 藤 伸 夫 (1980):. この 点 につ い て は今 後 の課 題 と した い. ま た,LBMを. 考. 家 屋 に よ る 抵 抗 を 考 慮 し た 津 波 遡 上 計 算,. 第50巻,. pp.1426‑1430.. 各 種 津 波 遡 上 計 算 法 と波 先 端 条. 海 岸 工 学 論 文 集,. 第27巻,. pp.80‑84.. す る た め に は,陸 上 遡 上 の移 動 境 界 計 算 ス キ ー ム の高 度. 首 藤 伸 夫 ・後 藤 智 明 (1977): 津 波 の 遡 上 に 関 す る数 値 解 析, 海 岸 工 学 論 文 集, 第24巻, pp.65‑68.. 化,沖. 松 山 昌 史 ・池 野 正 明 ・榊 山 勉 ・武 田 智 吉 (2006): 大 陸 棚 上 に お け る 津 波 の ソ リ ト ン分 裂 と 砕 破 に関 す る 研 究, 電 力 中. 側 領 域 か ら沿 岸 領 域 ま で の 領 域 接 続(ネ ス テ ィ ン. グ)手 法 の 開 発 な ど が 課 題 と して 挙 げ られ る.従 来 の 数 値 解 析 手 法 で 検 討 さ れ て きた 手 法 や ア プ ロ ー チ を参 考 に しな が ら検 討 を 行 って い く予 定 で あ る.. 謝 辞:本 者:越. 研 究 の 一 部 は,科 学 研 究 費 補 助 金 若 手A(代 表. 村 俊 一,課. 題 番 号19681019)お. よび独立 行政 法人. 原 子 力 安 全 基 盤 機 構 の 補 助 を受 け て 実 施 さ れ た.こ. こに. 央 研 究 所 報 告NO5045,. 21p.. Chen, S., G. D.Doolen (1998): Lattice Boltzmann Method for fluid flows, Annu.Rev.Fluid Mech,1998Vol.30,pp.329-364. Qian, Y.H., D. d' Humieres,and P. Lallemand (1992): Lattice BGK Modelsfor Navier-StokesEquation,EurophysicsLetters, 17, 479, 1992. Zhou, J. G. (2004): Lattice BoltzmannMethodfor ShallowWater Flows, Springer, 112p..
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