Microsoft PowerPoint - 第2回半導体工学

2017年10月16日(月) 1限 8:45～10:15 IB015

天野 浩 第2回 半導体工学 項目 １章 量子論入門 ＊バンド構造と遷移確率

＊MOSFET ゲートSiO₂／チャネルSi界面の量子輸送過程

何故_{Siは光らず、GaN}

なぜ量子力学が必要か_? ＊量子井戸レーザ http://zone.ni.com/cms/images/devzone/ph/050b7a87518.gif ＊結晶成長 http://www.wag.caltech.edu/multiscale/collaborative_research.htm 結晶はどのように成長していくか_? 何故レーザーダイオードは複 雑な構造が必要なのか_? 原子から固体へ：固体中の電子のふるまいを理解するには

量子力学の4つの要請

dv

t

r

2

)

,

(







ポテンシャルエネルギーが周期的な空間に粒子が存在 する場合，波動関数もその周期性を持つ。 １．粒子の状態は波動関数 で表される。 波動関数は1価の滑らかな関数。 量子力学の要請 1価の滑らかな関数の意味・・・位置のエネルギーが変わる境界のとこ ろでも波動関数及びその１次微分が連続 （但し，位置のエネルギーが無限大のところでは波動関数は零，即ち 電子は存在しない。また，無限遠では波動関数は零。） 存在する割合は確率密度関数で表す。 dv t r t r t r P ₂ 2 ) , ( ) , ( ) , (



      =1のとき，波動関数は規格化されていると言う。 ) , ( tr 

2. 物理量と演算子







j

_

pˆ

エネルギー演算子

t

j

E





 

ˆ

角運動量演算子

L

ˆ



r



(



j





)

等のように，常に演算子を用いる。 運動量演算子 量子力学の4つの要請 Q：上の四角を埋めなさい。

３．波動関数と波動方程式 波動関数は必ずシュレーディンガー方程式を満足する。





E

H

ˆ



ˆ

V

m

H







2



2

2

ˆ



t

j

E





 

ˆ

運動エネルギー ＋ポテンシャルエネルギー )] ( exp[ ) , (r t  A j k r 



t



   平面波 量子力学の4つの要請

４．測定値と固有値 必ずしも，この関係が成り立たないとき













dv

A

dv

dv

A

A

A

















ˆ

(

ˆ

ˆ

|

ˆ

|

* * *

）＝

規格化されているとき

期待値と呼び，物理量の測定平均値を表す。





a

A

ˆ



（aは定数）となるとき， aは、演算子

_Aˆ

の固有値と呼ぶ。 量子力学の4つの要請

Q 左図のように，幅が_{d，エネルギーの深さが} V₀ の有限の深さの一次元井戸型ポテン シャルに閉じ込められた質量mの粒子の波 動関数を以下の手順で求めなさい。 計算の際，粒子のエネルギー_EはV0より小 さいとする。

2

d



2

d

x m V₀ (1) 領域を に分けて，それぞれの 領域での時間に依存しないシュレーディンガー方程式を導出し， 波動関数を求めなさい。 (2) 波動関数は1価の滑らかな関数である，即ち境界において波動関 2 ) ( , 2 2 ) ( , 2 ) (I x   d II  d  x  d III x  d

解答

2

d



2

d

x m V₀

(I) (II) (III)

x<-d/2およびx>d/2ではV=V₀ -d/2<x<d/2においてV=0 領域(I) および(III)では

0

)

(

2

, 2 0 2 , 2







_{I III} III I

m

V

E

dx

d







領域(II) では ₂

2

₂

0

2





_II II

mE

dx

d



_



領域(II) の波動関数の一般解は

)

(

)

(

)

(

x



C



Exp

jkx



D



Exp



jkx



解答

0

)

(

2

, 2 0 2 , 2







_{I III} III I

m

V

E

dx

d







領域_{(I)および(III)では，} 2 2 ( 0₂ )  E V m    _とおくと

領域_(I)



_I

(

x

)



A



Exp

(



x

)



B



Exp

(





x

)

領域(III)



III

(

x

)



F



Exp

(



x

)



G



Exp

(





x

)

このうち，波動関数は無限遠で存在しない，という量子力学の要請を 用いると，

)

(

)

(

x

A

Exp

x

I









)

(

)

(

x

G

Exp

x

III











解答 (2) 波動関数は1価の滑らかな関数であることから，波動関数の係 数の関係を示す連立方程式を導き出しなさい。 2 d x   において dx d dx d d d _{I II} II I        ),  2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( d C Exp j kd D Exp j kd Exp A       

 





) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( d C jk Exp j kd D jk Exp j kd Exp A            2 d x  において dx d dx d d d _{II III} III II      ),  2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( j kd D Exp j kd G Exp d Exp C        

 





) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( j kd D jk Exp j kd G Exp d Exp jk C             

解答 0 ) 2 ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( 0 ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( 0 0 ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( 0 ) 2 ( ) 2 ( ) 2 (                                                     G D C A d Exp kd j Exp jk kd j Exp jk d Exp kd j Exp kd j Exp kd j Exp jk kd j Exp jk d Exp kd j Exp kd j Exp d Exp       の係数行列式=0より，k,,dの関係が求まる。 2-_k2)sin(kd)+2kcos(kd 0 2 2 2 ) tan( k k kd     

-110- 9-510- 1 0 510- 1 0 110- 9 1.510- 9 210- 9 5109 1101 0 1.5101 0 2101 0 解答 n=1 井戸層厚 1[nm] 障壁層高さ 20[eV] 基底状態の波動関数

解答 -110- 9-510- 1 0 510- 1 0 110- 9 1.510- 9 210- 9 -2101 0 -1101 0 1101 0 2101 0 _{第一励起状態の波動関数}

解答 -110- 9-510- 1 0 510- 1 0 110- 9 1.510- 9 210- 9 -2101 0 -1101 0 1101 0 2101 0 第二励起状態の波動関数

x ｙ ｚ   陽 子 電 子 +q -q

)

(

)

(

)]

,

(

2

[

2 2

r

E

r

t

r

V

m









_

_

_

_

_



水素原子中の電子のシュレーディンガー方程式 +qの電荷の陽子がある場での電子に対 するポテンシャルエネルギー

r

q

r

V

0 2

4

)

(







ポテンシャルエネルギーが負 _{→ エネルギー的に安定} エネルギー固有値 ) , , , 3 , 2 , 1 n ( 1 mq E 4      真空の誘電率 電子の素電荷 電子の静止質量 : q : m 

１ ab b b a a r q r q r q r q r q r q m m H 0 2 12 0 2 2 0 2 1 0 2 2 0 2 1 0 2 2 2 2 2 1 2 4 4 4 4 4 4 2 2 ˆ                    a _ｂ ２ 水素分子（H₂）中の電子のエネルギー 分子になると相互作用項が増える。 ハミルトン演算子も複雑 Q：水素分子のハミルトン演算子を求めなさい。陽子の運動は無視して 良い。 a,b：陽子 1,2：電子 原子から分子へ 共有結合の考え方

r_ab(陽子間距離) E

-E

₊

ポテンシャルエネルギー E 二つの解が存在 E_-のときの電子の波動関数 r_ab r 陽子の間にも存在！ 反結合状態 結合状態 0.74Å 水素分子（H₂）中の電子のエネルギー

炭素と水素の結合 メタンの例 Q：メタンの分子式はCH₄ である。炭素原子の中で， 結合に寄与している電子の量子状態を答えなさい。 また，下記の図は炭素Cの基底状態の電子配置であ る。同様に CH₄の電子配置を描きなさい。 エネルギー E 1s 2s 2p http://www.geocities.ws/yoshihitoshigihara/elec4.htm

解答例 炭素の電子配置_(1s)2_(2s)2_(2p)2 _もし 2pだけが結合に寄与するのであれば CH₂ ところがメタンはCH₄ なぜか？ (2s)2_(2p)2_→(2s)1_(2p)3_→(2sp)3_混成軌 道 と変化し，４つは全く等価となって正 四面体構造を形成する。 解答

2s _2p x 2p_y 2p_z 2s _2p x 2p_y 2p_z 電子が昇位している途中の電子の波動関数の様子 矢印は，スピンを表す。 解答

正確に書くと，こんな形

(反対側も少しある。)

解答例

赤は水素原子の電子

シリコン結晶中の電子の状態 1s 2s 3s 2p 3p エネルギー E 1s 2s (3sp3₎ 2p エネルギー E 原子・分子から結晶へ http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thu mb/9/9f/Sp3-Orbital.svg/200px-Sp3-Orbital.svg.png

一つの原子に注目すると 正四面体構造であることが 良く分かる！ Q:結合長は? nm a 0.235 43  シリコンの結晶構造 (ダイヤモンド構造) シリコン結晶について 4×2=8 ひとつの_{Siで最外殻} に電子8個を持つの と同様 最近接のSi同士 で共有結合を形成

y z (0,0,0) a=0.543 nm (a,0,0) (a,a,0) (0,0,a) 各原子の座標

1

1

1

(a,a,a) シリコン結晶について 34 . 0 8 3 3 4 8 3 3          a a  Q:充填率は?

シリコン結晶中の電子のエネルギー ひとつのSi原子に4つの(3sp3_)電子 → Si-Si分子を構成したときの電子エネルギーの様子 (仮想図) ポテンシャルエネルギー E 4つの 結合状態 4つの反結合状態

r

_si-si パウリの排他律により，_(3sp3_{)の電子のエ} ネルギーが少し分裂する。 基底状態では，こちらに_{4つの電子がつまる。} こちらは空

原子から固体へ：最外殻電子のエネルギーの変化 原子：s軌道とp軌道 エネルギー sp3_混成軌道 分子：結合軌道 と反結合軌道

この立方体中の原子の個数は，

8

4

6

2

1

8

8

1











]

cm

[

10

0

.

5

)

10

43

.

5

(

8

_{22 3} 3 10  







a=5.43Å：格子定数と呼ぶ。 結合軌道密度はこの_4倍 Si結晶中での結合の密度

Q：ダイヤモンド，シリコン，ゲルマニウムは，いずれもダイヤモンド構造を形成する。それぞれ の物性値は以下の通りである。最も比重が小さいものを答えなさい。アボガドロ数(N_A)は 6.02×1023_[mol-1_{]とする。} 格子定数[Å] 原子量 比重 [g/cm3_] ダイヤモンド(C) 3.57 12.01 シリコン(Si) 5.43 28.09 ゲルマニウム(Ge) 5.66 72.61

解答例 格子定数 [Å] 原子量 比重 [g/cm3_] ダイヤモンド(C) 3.57 12.01 3.51 シリコン(Si) 5.43 28.09 2.33 ゲルマニウム(Ge) 5.66 72.61 5.32

原子量



A 3

N

8

a

比重₌ シリコンが最も軽い(比重が少ない。) 解答

a (0,0,0)

_,

₀

₎

2

,

2

(

a

a

(a,a,0) この面の原子配置       4 , 4 , 4 a a a 35 . 2 3 ) ( ) ( ) ( 2  2  2     a a a a r [Å] r_Si-Si  解答

a (0,0,0)

_,

₀

₎

2

,

2

(

a

a

(a,a,0) この面の原子配置       4 , 4 , 4 a a a 

A



_B





cos

B

A

B

A















より

3

1

cos











109

.

47



解答

まとめ １．量子力学の四つの要請をまとめよう。 ２．演算子とは_? ３．波動関数とは_? 4．存在確率とは? 5．境界条件の意味