1
諭 文】 UDC ：550．
344 日本建築学 会 構造系諭 文 報 告 輿 第 375 号・
昭和 62 年5月模 擬
地
震 動波形
の フ
ー
リ
エ位 相特性
に
関
す
る
基礎 的
研
究
正 会員木
村
正
彦
＊1．
は じ め に 時間 関数と し ての模擬地震動波形 を， 周 波 数 領 域にお け る表現 式で あ る フー
リエ振 幅スペ ク トル とフー
リエ位 相ス ペク トルに基づ いて作成す る場 合に は， こ の両スペ ク トル とこれ に対応す る時間 関数 （原時 間関数）の対応 関 係が明確に なっ ていること が必要である。
フー
リエ振 幅ス ペク トルは，
原 時 間 関数 が持つ 周波 数 成 分と その強 さ を示 し，
原 時 間 関 数の平均振幅 強度 （二 乗平均値 等 ） との対 応 関係 も明 確であ る。一
般に複雑な変動性状を 呈 する時 間 関 数を周 波 数 領 域に おい て考 察す る利 点は， フー
リエ振 幅ス ペク トルが原時間 関数に対し て持つ意味 の明快さ に よ る と こ ろ が大きい。
・
一
方，
時 間関数 が有す る情 報の半 分を担うフー
リエ 位 相ス ペ ク トル につ い て は， 実 地 震 動 波 形 や模 擬 地 震 動波形の フー
リエ位 相差分 分 布に着 目し た研究 （大崎 他1），Ohsaki2
） ）とフー
リエ 位相の傾きに注 目し た研 究 （Katukura
et al．
3），
和 泉・
勝 倉4｝ ， Katukura et a1．
5りに よ り フー
リエ位 相スペ ク トルが原 時 間 関 数の非 定常特性と密接に関連し てい るこ と が明らか にされ， フー
リエ 位 相ス ペク トルにつ い て も 徐々 に検 討 が 加 えられ る よ うになっ て きて いる （模擬地 震 動作成 手 法 研 究 会fiレ ，Nigam7
｝，
久 保s｝，
曽 田9，，
石井・
神田1°） ， 木村 11 ） ）。
し か し ながら，
フー
リエ 位 相スペ ク トル に関 する研 究は，
その多く が数 値 波 形 作成例に基づ いたな か ば経 験 的 な側 面が多く み ら れ，
解析 的な視点か らの検 討例は少な い。 フー
リエ位 相ス ペク トルが 原時間 関数に対して持つ 意 味 を解 析 的に明ら か に す ること は， 周 波 数 領 域の情 報に基づ いた模 擬地震動波 形の作成や地 震 動波 形の非 定 常 特 性が構 造 物の応 答に及ぽ す影 響等を で き るだけ統一
的に扱おうと す る場 合に必要と され る基 礎 的な事 項で あ る。 本 報 告では，
直 線 位 相を有す る バン ドパ ス フ ィ ルター
が時 間 領域に おい て閉形式の解析的 表 現を有 することに 着 目し，
この解析的 表 現に基づい て フー
リエ 位 相が原 時 問 関数に対 して持つ意 味 を 明ら か に しよ う と す る もの で ある。 特に従 来 考察 が 不 十 分で ある，
フー
リエ 位 相が原 時 間 関 数の最大値， 最小 値お よ び それ らの生 起 時 刻へ 及 ぼす 影 響につ い て の基礎的考察を行う。
さ ら にこれ らの 考 察 結 果 を踏ま えて，
周波数 領域の情報に基づ い て模擬 地 震 動 波 形を作成す る場合の一
方 法 を示す。
2。
基 礎 式 実 数 値 関 数f
（t）の フー
リエ 変 換 F（ω）を （1 ）式で，F
（ω）の フー
リエ振 幅A
（ω，
フー
リエ 位 相 φ（ω）を （2） 式で定義 する。
」
・（・）
イ
：
f
（t）e−
ta’dt …・
・
……・
・
…………・
（・）F
（ω）＝A
（ω）e−
‘φω・
………・
……・
（2
） （Jr
肩 ）Fig．
1に示され る よ う な直線位相を有す る バン ドパ ス フ ィル ター
，
す な わち， 周 波 数 軸 上の ある制 限帯域にお い て一
定 値の フー
リエ振 幅スペ ク トル と直線 状の フー
リ エ 位 相スペ ク トルを 有する要素的な F （ω｝を考え る。
こ のF
（ω）のA
（ω）と φ（ω｝は， 次の （3 ）〜
（7 ）式で表 現 さ れ る。
（3 ）〜
（7 ）式のA
（ω）と φ（ω）で 規 定さ れ るF
（ω）をF。（ω）と し， これに対 応する時 間関 数 （原 時間 関数）を瀕 のとす る。
A
（ω）＝Ap
ω ，（ω一
岫 ） （ω≧O
）・
・
…・
…・
……
（3 ） φ（ω｝＝i
φ 。＋ 蝋ω一
ω。＋ω。）｝Pω。（tU− 、
a）。｝ （ω≧0
）・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
『
・
・
…
（4
）A
（ω）＝A
（一
ω） （ωく0
）・
…・
…………・
……
（5） φ（ω）＝一
φ（一
ω） （ω〈ω・
・
…・
………・
……
（6 ）・…
一
｛
lll
溜
……・
………一
… （ω。＞o） A（ω ），
φ（ω ） A（ω ） A（ω）一
一
一
一
一
A φ（¢ ） φ。一
＿
＿
＿
＿
一
＿
＿ 圃
t5r罵
t ω c ω o α一
ω 0 ω 0 ω 11昌 ■
α1 1
顎
（
葹
1
一一
φ。 tanCt 疇 小 山工 業 高 等 専 門 学 校 助 手・
工博 （昭 和 61 年 8 月 26 日原 稿 受 理 〉 Fig．
1 F』（ω）（3）
〜
（7）式で規 定さ れ る Fe （ω）は， その逆変換が 実数と な る必 要 十 分 条 件Fe
（一
ω）＝F
言（ω）（＊は共役を 表す）を満た して い るの で，Fe
（ω）の逆変 換ゐ は実 数値関 数で あ る。 こ のf
。（t
）は， （8
）式に よ り示さ れ る （証 明は Papoulisi2＞参 照 ）。
f
』（t）＝
2A π→ 〔t− tgr
）一
且sinItOc
（t−
tgr）｝・
cOS （ω oε一
《−
COctOT
）………・
・
……
（8
）ここに
，A
はフー
リエ 振 幅スペ ク トル値 ，t
。t は位相の 傾き，
φ。 は初 期 位 相， ω。は制 限帯域の中心周波数，
ω。 は制 限 帯 域の半バ ンド幅である。
f
“t
）を 規 定 する5つ の パ ラ メー
タ の意 味につ い て考 え て み る。A
は明 らかにf
“t
）の振幅 強度を規定するパ ラ メー
タである。 t。r は，f
。（t
）の変 動の時 間 軸 上におけ る中心的 位 置 を 示 す3）一
‘〕。
φ。はfe
（t
）の波形 形 状を規 定 2．
L 巳爭
｝
．
旧一
1．
一
2．
ELEMENT HAVE O卜4〔｝C
；
2PAIxO．
10D
．
5．
10．
15．
20．
25．
3D．
TIME 〔SEC ） （1） ωc／2π＝
0．
1 す る11） 。 as はf
“t
）に支配的な振 動 数で あ る。 ω c はfX
t
）の包絡 線の振 動数を規 定す るもので，
こ の包絡線 は，
時 間軸上の tpr付近で は ω，の振 動数を，
そ れ以外 の部 分では2ω c の振 動 数 を 有 する。 ま た，
こ の a）c は，
1
似ω）の振 幅ス ペ ク トルA
（ω｝の振 動 数 軸 方 向へ の広が りを規 定す る か ら，
フー
リエ 解析にお ける不確 定性原 理 （注1
参 照）によりf
“ t）の時 間 軸 方 向へ の広が りの程 度を支配 するts） 。 すな わち，
ω，が小 さい程f
。〔t
）の時 間 軸 方向へ の広がりは大き く な る。Fig
．
2 （1 ）一
（5）に，2
∠42ωc＝
1，
tgr＝
15， as＝2
π，Pt
−・
Oの もとに，
ω c〆（2π）を0．
1，
0．
2 ，0．
5，
1，
2と 変 化 させ た場 合のfe
（t）を示す。
こ れらの 図か ら ω。
がf
“t
｝ に及ぼす 影 響の様 子がわか る。 さて，
fe
（t）が時 間 軸 上の始 点 t。と 終 点te
を有す る 入力 1（t）に対する物 理 的シ ス テ ム の 出 力の う ちの 1（t
） に の み起 因 する成 分であ る な らば，．
離 ）は因 果 性 関 数 でなけれ ば ならず，
t〈 teな るt
に対 しfe
（t
｝＝
0でな け ればならない。 ところ が，
（8 ）式よ り明らか なよ うに， 原 因の発 生 時 刻te
に対しε＞0とす る時 刻te一
ε（〈t
。） に おける ノ誰 ｝の値は，
いか な るεに対 し ても0
に は な ら ないか ら，
fe
（t）は因 果 性 を満 足し なし しか し な が ら，fK
t
）は （8） 式 右 辺 を 構 成 す る項の1
つ で あ る （t−
tg，〉−
1 の存 在に よりf
。（t
）の 開 始 時 刻 t。を t。《 tσr と な るよ うに設 定すれ ば因 果 性 関 数の近 似 関 数と す るこ と がで きる。 2，
1 巳（
£．
桐一
L一
2．
ELE卜IENT NAVE 〔）MGC
＝
2PAIKO．
200
．
5．
10．
15．
20．
25甲
30．
TI 鬥E〔SEC ＞ （2） ω。
／2π＝
0．
2 2．
L 0（
£
．
噸一
L一
2．
ELE 卜tENT 囚AVE O卜1GE＝2PA 匠xD
．
500
．
5．
且0．
15，
20．
25．
3D，
TI卜1E〔＄Et ） （3） ωc／2π＝
O．
5 2．
1 0 4〔
£
。
舶一
2．
EしE卜1ENT NAVE OMGC
＝
2PA ［xl，
002
。
1 飢 ※（
ε
。
噛 0．
5．
10，
15．
20．
25．
3口．
TI卜1E（SEC ｝ （4） ωご
／2π＝
lFig
．
2
Effect of ω‘
onf
（t） （2AzaJc≡
1．
一
2．
0
．
ELEMENT レ1AVE 〔｝MGO
；
2PA 匸x2．
00tg
，
＝
15，
5．
10，
15．
20．
25．
30．
TIME （SEC ） （5） ωc12 π＝
2 伽＝
2π，
φb＝
0）一
11
一
ところで
，
（8 ）式のf
“ t）は t＝
tgr以 外の tに おい て時 間 微 分 可 能で あ り，
t＝’
tgr以 外の tにおけるfe
（t） の1
階微分 ∫91
（t
），2
階微分 ∫窶 1 （t
）を求め ること ができ る。 地 震動波形に使用さ れ る単位が，
通常，
変位の2
階 時 間微 分まで で あるこ とを考え る な ら ば，
∫窶ての，
／蟹1（の の表 示 を求めてお くこと は有 用であ る。 以 下に （8
＞式 のf
。（t）か ら誘 導されるfL
， ，（ t），
∫馨〕（t）を示す 。 ∫擧｝ ω＝
β（πt一
α尸1
（ω。α¢ ）一
ω。b
｛t
））（πt一
α〕一
πc（t）｝・
…・
…・
……・
………・
…
（9）∫窶ω
＝
β（πt一
α尸［（rr−
t−
a）21−
（ωさ＋詬 ）cCt）− 2
ω。ω。d
（t
）1
− 2
π1
（a，。a（t
｝・
」
・
一
ωsb（t
）｝（π卜 a）一
πc（t）目…・
……・
（10
）a（
t
）＝ COS （t・，t一
γ）cos （ω。t一
ζ）…………
（11 ）b
（t
）＝
sin（ωcε一
γ｝S
in
’
（ωo彦一
ζ）・
・
・
・
………
（12）c（
t
）tsin （tU ．t一
γ｝cos （ωot一
ζ）…………・
（13 ）d
（t
）； COS （ωct一
γ）sin （a）ot一
ζ）…………
（14）’
α； πtor…
●
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
．
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
■
■
・
・
…
（15 ） β＝2A ………・
…・
・
……・
…・
・
…・
・
………
（16） γ＝ tU 、t
、ヂ…………・
一 ………・
…一 ・
（17） ζ・ ＝P
。＋ω。tgr……・
・
…一………・
（18 ） ただし，t
＝tgr
に お け る∫蟹置）， 器鷺 ｝の値はt＝tgr
の前 後の値か ら内 挿する こ と にする。
こ れ は，
こ れ ら の 変動量 が’
t＝tgr
に お い て極 端な不 連 続 性 を有しない と 仮 定す ることで あるが， こ の仮 定 は， 地 震 動の よ う なマ クロな振 動 現象に関 連す る 量 を記 述す る時 間 関 数はその 過 程の特 定 点 （この場 合はt
＝tgr
）に おい て，
その前 後の過 程 とは様相を異にする特異な挙 動は示さ な い であ ろうとい う認 識に基づ い て いる。Figs．
3〜5
に上記に基 づい て計 算 され たfe
〔t），
fLD
（t），fL
’， （t
）の例を示す。
こ れ らの例で は，
パ ラ メー
タ は，A ＝1
，tg
，＝ ・20
， ω 。＝
π， ωc＝
π， φo≡0．
5
π と して お り，
鴛 鷺 ），
∫籔 のの t ＝tor
に お ける値は， tgr− At
と tgr＋At
に お け る値の線形 補 間 値と して求めて い る （At
は数値計 算上の ステップ 間 隔で 0．
Ol 秒）。 これらの図か ら，
誘導さ れ た∫譽1ω， 躍 （t
）の表示 式， および t＝
tg，に お け る 鴛 鷺｝，f
‘il
（t
）の値を内挿し て求 め る ことの正当性が確認さ れ る。
3．
フー
リエ位 相が原 時 間 関数の最大値・最小値およ び そ れ らの生起時 刻に及 ぼす影 響 模擬地 震 動 波 形の振 幅の最 大 値，
最 小 値および そ れ ら の生 起時刻は， 建築構 造物モ デル の応 答に直 接 的な影 響 を与え る など， 模 擬 地 震 動 波 形の工 学 的 利 用において重 要な量である。一
般に地 震 動 波 形の場 合に は，
振幅の絶 対 値の最 大 値が問題 と さ れ る 場 合 が 多い。
し か し な が ら 建築 構造物モデルの動 特 性の非 対 称 性 等に起 因し て，
地 震 動 波 形 を受ける構 造 物モデル の初 通 過 問 題にお け る通 過基準値が 正の 側と負の側で異な る よ う な場 合や， 地 震 動 波 形 振幅の 1次の空間平 均 値が非 定 常で ある場 合の問 2．
孟 軌 生〔
ε
．
噛NO＝1
，
PAI NC＝1，
PAI A＝1 FA【0＝0．
5PAI
一
2．
0．
10．
20．
30．
40．
TIME 〔SEC ） Fig．
3fe
（t）（A＝
＝
1， tgr＝
20， ωo＝
π， ωσ
＝
π t φ■＝
・
：
O．
5π〉 10．
「
5 0，
5一
3
（
汽 噛一
LO．
O．
40．
HO＝1
．
PAI NC＝1．
PAI A二1 FAIO ＝0，
5PAレ■
02 0 02一
…
§。
噛一
40，
0．
且0．
嘔
20．
30．
TI卜1E〔SEC ） Flg．
4n
（t） 40．
囚0＝1
．
PAI NC＝L．
PAI A＝1 FA【0＝0，
5PAI10
．
20．
30．
TI 卜1E（SEC ） Fig．
5 ∫響（t） 40．
丶
題 を扱 う 際に は， 振 幅の絶 対 値の最大値のみの情 報で は 不 十 分 な場 合が存 在し，一
般に地震動波形の振幅の最大 値，
最 小 値お よびそ れ ら の生起 時 刻に関す る情 報 も必 要 とな る。
こ こ では，
（8
｝式のfe
（t
）を通 し て， フー
リ エ 位 相が原 時 間 関数の最 大 値， 最 小 値お よ びそ れ ら の生 起 時 刻に及ぼ す影 響につ いて考 察する。
Fig．
1
のFe
（ω）の フー
リエ 位 相ス ペ ク トルは t。 ，と φ。 か ら構成 され る。
te．は対 応す る振動 数 成 分の時 間的 変 動の中 心 的 位 置 を 示し，Pt
はf
“ t）の波形形状を 規 定し て い る。
波 形 形状が φ。によ り規 定さ れ てい るとい うこ とegl，fe
（t）を規 定する他のパ ラ メー
タを固牢
す る な ら ば， ゐ（t
）の最 大 値，
最 小 値お よ び そ れ らの生 起 時 刻は φ。によ り規 定さ れ てい ることを意 味す る。
f9
t
）は （8 ） 式が示す と お り， A，
t。r，
φ願，
ω。，
ω。の 5つ の パ ラメー
タ に よ り規 定され る時 間 関 数で あり，
A
以外の パ ラ メー
タ を固定した場 合の
fe
（t
）の最大値，
最 小 値を そ れぞれfeJW
、，femtn
と す れば， ノ』，
，
f
』SUn は φ。の 関 数とな る （（19 ）〜
（21
）式 ）。f
。
nv （φ。｝＝ max （fX
t）；Z，、．6d
）…・
・
…………・
（19 ）ん。 。
＝
mh1 （ん（t
｝；Z
，、x。d）…………・
・
…・
・
（20
＞z
・
＝
（A
，t
，． ，ω 。，
ω。）一 ・
……一 …一 …『
…一
（21 ＞ こ こ に max （fe
（t
）；Zftxed
）， min （fe
（t｝；Zfixea）は， それぞれ
Z
を 固 定し た場合の！即 ）の最 大 値，
最 小 値 を表す。
さ らに，f
。」。ax〔偽），f
。pmtn （φ。）を正規化 し た もの を ；。，
max （φ。），
η。
pmn（耐 と す れ ば，
そ れ ら は下 式の よ うに表 せ る。
ηe “nax （φo）＝ ノ｝1 閲 【（φo）／M ・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（22｝M
＝ max （fepm
［（蜘））一 ・
…・
・
…・
………・
・
（23）ηepmn （φo）
＝
ノ≧」nln（φ願＞／m・
・
・
・
・
・
…
一・
・
…
∵
・
…
一
一
…
（24｝ m
＝
m （fepmn
（φo））……・
…・
…・
…………一 ・
（25 ） 最 大 値，
最 小 値の生 起 時 刻につ い ては，fe
（t
）がゐ，
（ ，f
。 。Ln（φ。）の値を と る時 刻を そ れ ぞ れ tmax（φ。），
tmt。
（φ。）と し，
そ れ ら を tgrで基 準 化し た もの をr、、ax（φ。）， Tmin（φ。） と表 記 するこ とにする （（26）〜
（29 ）式）。
t田ax（φo）＝
（t；丿塾（t）＝
丿「epm （φo））・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
，
・
・
（26 ） ttmn（φ。）＝ （彦 ；プL
（診）≡．
faJnln
（φ。））………
（27 ） rmax （φ。）＝t
、、ax（φ。）／tgr…・
……・
…・
……一 …
（28
） τ血1n（φo）＝
tmtn（φo）／tpr・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
r・
・
・
・
・
・
・
・
…
（29 ） こ こで η。鳳 （姻， η，m、n（Pt
）， Tm、。、（φ。）， rmin（φ。｝の 計 算 例を示 す。 固 定さ れ るパ ラメー
タZ
は， （30 ）式の よ う 2．
L 巳（
。3
阿
冨．
り
曾一
1．
0、
NeRMALIZED MAX VALUE
1
．
φ。／π Fig．
6 ηe，
max （φo〕 2．
に与えることにす る。
Z
＝ （A ，tg
。，
ω。，
ω。）＝
（1，
20
，π，π）…一 ……
（30 ）Figs．
6 〜9
に ηema ］，（φ。），
ηe
，
tUtr（φ。），
Tma
コ
［
（gSo），rmin（φ。）を
示 す。 同 様に ∫獸以η
＝
1，2 ）の場合につ い て も，
表記 をη毀3nax
（φo），
η翳血n（病）， τ雷』、（φ。）， τ黯n（φo）（n＝1
，2
）と して，
Figs
．
10〜
17に示 す。
これ ら は，f
“ t），fLl
（t），
∫獣のの解 析 的 表 現 （8｝〜
〔18 ）式に基づい て数値的に 解か れ たもので ある。 これ らの図か ら，
フー
リエ 位 相スペ ク トル φ（ω）を規 定す るパ ラ メー
タの 1つ である φ。に よ り， 原時間 関 数 の最 大 値，
最 小 値 お よびそれらの生 起 時 刻が規定さ れ て い るこ と が わ か る。
そ して， そ れらの φ。に対す る変化 の仕 方は規 則 的で あり， 最 大値， 最小値につ い て は滑 ら かな 曲 線 状の変 化 を， そ れ らの生 起時刻につ い ては不 連 続 な1点 を除 き直 線 状の変 化 を示して いる。な お， η
P
．
’ m。x（φ。）， τ眺 （φ。）（n；1，2
）等 が η。ou （φ。）， 為 （φ。）等に対し て もつ 規則 性は，
次の性 質によ る。f
譽］ （t
）・一
一
・（‘げF
。（ω）・
…・
……・
・
…………・
・
…
（31＞ （e は， 両辺 が フー
リエ 変換の関 係に あるこ と を示 す ）。
す な わち，fe
（t
）を時間微分 する た び に，
フー
リエ 位 相 が1
／2・
π ずつ進むこと に よ る。フ
ー
リエ位相が原 時 間 関 数の最 大値， 最 小 値お よびそ れ らの生 起 時 刻に及ぼ す影 響は，
（8
）式で示 されるよ う な比較的単 調な関数ノ』（t）であっ て もt こ れを入力と し た場合の弾塑 性 応 答 や初 通 過 問 題 を考えると ，一
般に （対象と す る振動 数成分が低 振 動 数 成 分で ある場 合には t．
置〔
。31
嘱 昌 い 90 ゜’
，
（TI卜1E OF Z（T）卜1AX）／TGR 亘『
φ。／π FI998 τ血 （φo） 2．
2．
0 ℃3
ロ
旧
闘
．
9 “一
1．
0．
NORMALIZED 卜t【N VAしUE 1呷
φ。／π Fig．
7 ηecun（φo） 2．
蓋、
2【
。 ε 且 ε．
い 90 0．
e O．
（TlNE OF Z（T〕凹IN ）／TGR 1．
φe／π Fig．
9 rm」n（φo｝ 2．
一
13
一
特に ）無 視する こ とは で き な い
。
fX
t）を多 数重ね合わ せ て作ら’
れ た よ り複 雑な波 形の場 合に も，
フー
リエ位 相 は波 形の最大 値，最 小 値に無 視でき ない影 響を及ぼ す が，
こ の点につ い ては次節におい て数 値 波 形 作 成 例を通し て 2，
ハ
。 も｝
臥■
■
●
6（
昌NORト1ALIZED MAX VALUE
一
L．
0．
1．
φ。／vr 臼9．
10 η讐』隔x〔φo） 2，
2．
0〔
。3
呈 鳳 o（
二NeR卜1ALIZEE 凹IN VALUE
一
L O．
1．
φ。／π Fig．
11 η讐』闘n〔φo） 2．
2ハ
。3
胃
O
属（
じ 90 o’
sO．
（TI卜1E 〔】F Z1（T）MAX ）／TGR 1．
φ。／π Fig．
12 τ賑（φo） 2．
1．
1〔
。 ε 1 皐．
（
二 0 0．
8 0．
（TI鬥E OF Z1 〔T〕M【N｝／丁GR 1．
φ。／π Fig．
13 τU
）m（φo） 2．
2．
勺
・
0｛
。3
冨．
．
『 傍NORMALIZED 卜1AX VALUE
一
量．
0．
L．
φ。／π Fig．
14 η黙四 瞑（φo） 2．
2．
0（
。 も｝
。
一
．
．
刑
聞
＝一
1．
0．
NORMALIZED 卜tlN VALUE 1．
φ。／π Fig．
15 η窶』o（φの 2，
1、
2 1 且〔
。3
翼
囎
■
〔
590 ゜’
s6．
（TI卜1E OF Z2（T〕MAX ）ノTGR 1【
φ。／π Fig．
16 τ〔賑 （φ∂ 2．
〔
。 ε昌
【
■
（
N
）
1．
1．
二．
o．
゜’
s6．
〔TIME OF Z2 〔T〕M匸N）／TGR 1．
φ。／π Fig．
17 rW±）
Ln〔g励 2．
示 す
。
4．r
．｛ t）の重ね合わせ によ る模 擬 地 震 動 波 形の作成上 記に述べ た ごと く， Fig
．
1
に示さ れ るFi
。（ω〕の原 時 間 関 数f
。（t
）は， （1
）意 味の明 快な 5つ の パ ラ メー
タ に よ り規定さ れ る閉 形 式の 関 数で あ る。
（2
）因果性 関 数の近似関 数と す ること が’
で きる， とい う性質を持つ。fe
（t
）が有す るこの2
つ の性 質か ら，
fK
t
）を 模 擬 地 震 動 波 形の作 成に利 用す るこ と が可 能である。
地 震 動は， 岩石の不規 則な破 壊 過 程に より発せ ら れ た 要 素 的な波 動群が多様な経路を経て観 測 点に到 達したも の であると理 解す ること がで きる。 し た が っ て， あ る観 測 点に おける， こ の要素 的な波 動の特 定 軸へ の射影 をfe
（t
）に対 応づ け ることが で き れば，
f
“t
）を重 ね 合 わせ ることに より模 擬 地 震 動波形f
（t）を作 成 する ことが で きる （（32 ）式）。∫（
t
）＝ Σ轟（の………・
・
…・
………・
……
（32
） ‘＝
1 な お，
（32）式 右 辺に お ける指標i
は，i
番 目のfe
（t）で あ るこ と を示 す。さ て
，
（32
）式右辺の重ね合 わせ方につ い て であ る が，
こ の重 ね合わ せ方は地 震 動 波形の 形成に か か わ る要 因 （岩石の破 壊 形 式，
地 震 規 模 ， 波 動伝 播体の構成と物 理 的性質，
地表面 近 傍の不 整 形 性 等〉との関係か ら設定さ れ るべ き もの であ る。 こ の地 震 動波形の形 成に か か わ る 要因は，岩 石の破 壊 現 象に関 連 する本質的な不規則 性と，
波動伝播 体の構成や物 理 的 性 質の同定に関運す る高い不 確定性を有す るか ら， （32 ）式右辺の 轟 幻の重ね合 わ せ は確率的に行 われるべ きである。
こ の確率 的 重ね合わ せ は，
周波数 領 域に おい てFig．
1に示さ れ る ような要 素 的なFe
（ω）を単 位とし て行うこと が可 能である。 こ の 要素的なFe
（ω）を単 位とする重ね合わ せ に よ り，
任 意の 振幅ス ペ ク トル形を近 似 することが 可 能で あるばかり で な く， 同一
の 中心振 動 数に対し複 数の異な るF
冨ω）を 設 定す ること が可 能であ る か ら， その振 動数の成分 波を，一
般に異な るtgr
に し た がい，
時 間 軸 上の複数の位置に 出 現さ せ ること ができ る。 そ して， 重ね合わ せ の数 値 計 算は時 間領域で （8
），
（32
＞式に基づいて行う こ と がで きる。
以 下に （
8
），
（32）式に基づいた模 擬地震 動 波 形の作 成例を示す。fe
（t
）を規定 す る （8
） 式 右辺 の5
つ のパ ラ メー
タ は，
本 来地震動波 形 形 成の要 因 との関係か ら設 定さ れ るべ き もの で あ る が，
こ こ で は こ れ らの パ ラメー
タの確 率 分 布は下 式の よ うに仮定し た。 a」o＝90Rti…………・
・
……・
一 ………
（33）9
。＝ 20π・
…・
………・
…・
…・
…………・
………
（34）A
＝ ＝ハ厂（m，
σ2）・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
一・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（
35
） m ； （V2
−
］lrs
）−
1exp ｛− 0．
5
（ω。− E
） ： ／s：1
……
（36
） σ＝
m ／5 ・
・
・
・
・
…
：
・
・
・
・
・
・
・
…
一・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
一
（37 ）tgr＝
N
（40，1） （ 0≦ω oく 4π）1V
（30
，1
） （4
π≦嫡 く 8π）N
（25，1
） （8
π≦ωo＜12
π）・
……・
（38
）N
（20，
1） （12π≦ω oく16n
）N
（15，
1｝ （16n ≦ωo≦20
π） φo＝2
πRu …
。
・
・
・
・
・
・
・
・
…
■
一
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（39 ） ωσ＝0．
4
π……・
・
…・
…・
・
………
（40 ）こ こ に，
Rv
は区 間 （0，1
）の一
様 分 布で あり，N
（m ， ♂）は， 平均値 m ， 分散 ♂の 正規分 布である。
変 数の 上につ いてい る一
は振動 数軸方向の分 布で ある ことを示 す。
また， （32 ｝式右辺にお け る波の重ね合わ せ数K
は， 200 とし た。
これ ら の仮 定は，
フー
リエ 振 幅ス ペク トル につ い て は， 各振動数 成 分にお ける フー
リエ 振幅スペ ク トル値 が， 振動 数軸方 向に おい て パ ラメー
タE
，s を も つ 両側打 ち切り の正規分布型ス ペク トル の値 を空 間平均 値と し て も ち，
その空 間 方 向の標準 偏差が σと な るよ う な正規分布であ ること を意 味し てい る。
ま た， フー
リ エ 位相スペ ク トル につ い ては，
各 振 動 数 成 分ごとの初期 位相φ。は 互い に独 立な一
様 分 布 を空 間 方向に仮定し，
tgr
は波形の 非 定 常 振 動 数 特 性 が15 ，20
，25
，30
，40
秒 を基 点と し て時間の進 行と ともに低 振 動 数へ 移行す る よ う に設定し た。 な お，
波 形の有 意な継続 時 間はF
』（ω〉の 重ね 合わ せ方に．
よ り自 然に決 まり， 特にtg
，と ω cが関 係す る。 2．
1．
肱
（
の
）
噛
一
s．
一
2，
EA （F ｝；NF 〔2．
，
1．
HZ，
F） SDA （F）＝EA 〔F）／5 0．
10．
20，
30．
40．
50．
60．
11ME （SEC ） （1） ｛E，
s）＝ （4π，
2π） EA〔F ）；NF 〔3。
，
1．
HZ．
F） SDA 〔F〕＝
EA〔F〕／5 2．
［．
0
（
ご脳
一
【．
一
2．
0．
董0甼
2口．
30曾
40．
50．
60マ
T1鬥E〔SEC ） （2） （E，
8）＝
｛6π，
2π）Fig
．
18
Sample func童ions of ノ（のcorresponding to Eqs．
（33）一
（40）上記の も と に作成さ れ た模 擬 地 震 動 波 形
f
（t
）の サン プル関数をFig．
18（1），
（2
）に示す。Fig．18
（1
）， （2） は，
そ れ ぞれ （37 》’
式に お ける （E，
s）を （4π，2
π），
（6
π，
2π）と し た場 合の例である。これ ら は， 各 振 動 数 成 分ご と の φ。が 空間方 向に互い に独 立な
一
様 分布と な る よ うに仮定さ’
れ た場 合のサンプ ル であ る が， φ。が 特 定され た値を確 定的に とる場 合に， 模 擬地 震 動 波 形ノ（の め 最 大値，
最 小値が空 間平均 とし て ど の程度の影響を受け る か を調べ た結果 をTable
1に 示 す。Ta61e
1
は ，』
φ。が一
様 分 布の場 合とA
が0
，0．
5π の確定値を と る場 合の 3ケー
ス を，
サンプル数120
の モ ンテ カル ロシ ミュ レー
ショ ン に基づい て調べ た もの で あ り，’
（E ，
s）＝
（π，2 め
と し他の パ ラメー
タは （33
＞一
（40 ） 式と同一
であ る （K
＝200
）。Table
1
の結 果よ り，
轟 （t
） を 多 数 重ね合 わせ て模擬地 震 動 波 形 を作る場 合にも， 波 形の最 大 値， 最小値に対する φ1
め 効 果を無視で き ない こと が わ か る。5。
結 論本報 告 ぞは
1
まず直線位相を有 す丙
バ ン ドパ ス フ ィル ター
の時 間 領域におげ
る解 析 的 表 現 （（8
）式 ）に基づ いて， フー
リエ 位 相 が 原時間関数に対し て持づ恵
味を 明 ちか に し，
特に従来考察が不十 分であっ た，
フー
リエ位 相が原 時 間 関 数の最 大値，
最小値お よ び そ れ らの生起 時 刻へ 及ぼ す影 響に関 する基 礎的考察を行っ た。
そ の結 果；
フー
リエ 位 相 を 構成す るパ ラメー
タの1
つ である φ。 （（8
）式 参 照 ）に よ り，
原 時 間 関 数の最大値．
最 小 値 お よびそ れ らの生 起 時刻が規 定されてお り， それ ら の φ。に対す る変 化の仕方は規 則 的で，
最大 値， 最小 値 に つ い ては 滑 らか な曲線状の変 化 を，
そ れ ら の生 起 時 刻に つ いて は不連 続 な1 点を除き直線状の変 化を 呈 する こと を明ら か に し た。 そ して， フー
リエ 位相がこれ らの諸量 に及ぼ す影 響は，
模擬地 震 動 波 形 作成上無視す ること が でき ない もの であるこ と を示した。
さ らに これ らの考察 結果 を踏 まえて，
直線位 相を 有 するバ ン ドパ ス フ ィ ル ター
の確率 的 重ね合わ せ に よ り，
時 間領域で模擬 地 震 動 波 形を作成する方 法を示し た。
Table
l
Expectatien of maximum and minim ロm values off
（t）by Monte Carlo simulation
硝
・
輔ax．
VaL of f〔t）閣in，
Va1．
。f fω Unifor■ 0．
708一
〇，
597 0 0．
881 i一
〇．
524 o．
5π 0．
709、
一
〇．
736 注 1）フー
リエ解析に お け る不 確 定性 原 理と は，
1imVff 〔t）＝
O t噂
e な るf
（t）に対し， 次 式 が 成 立 すること をいう。
σωσε≧1／2 こ こ に，
ノ（t）の フごリエ 振 幅スベ ク トルを ACw）と し，
・乙
一
（1！・）f
：
（・一
・照 ・）d・・
…一
（1／・）∫
1
・・’ （・）d・・
〒
飽
・）・・σ：
＝
（i／D） ，［
：
（ t−
i
｝’ ∫’〔t）dt
τ
〒
（1／D）．
f
：
tf’ ｛t）d
ガ．
D−
．
L
：
f
’（t）dt
＿
．
であ るb 参 考 文 献 1）1木
崎 順 彦，．
岩 崎 良二，
大 川出
，
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pp．
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2＞ Ohsaki
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Content inEarthquake Ground Motions
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1979 3） K…k
・ ・a，
H．
，
T．
W
… nab ・ ti・d
・M．
1・・mi ：AS ・・dy
on the Phase
Properties
of Seismic Wa》es，
第5回 日本・
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pp．
209−
Z16； 1978 4） 和 泉 正 哲，
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・t・ku・a、
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，
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W ・t・n・be
a・dM ・
1・umi ：ASt・dy。・th。 F。 。，i。， A・ ・
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・ ・f
N… t・ti… ry・S・i・r・ii
・ W ・v・，
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pp，
73−
82，
1986年3月 9）曽田 五月 也：非牢
常ランダム振 動 解 析に対す る倖梢
傾 斜 の確 率 特 性の応 用に関す る基礎的研究，
日本 建 築 学会構 造 系 論 文 報 告 集，
第 365号，
pp．
48−
57，
昭和61年7月 10） 石 井透
，
神田順 ：位相特 性を
考
慮し た建 築 設 計 用 模 擬 地 震 動 作 成手 法，
日本建築学 会 大 会 学術講 演 梗 概 集 （北海 道 ｝
，
B，
構造1
， pp．
441−
442，
昭和61年8月 11）木村 正 彦 ：模 擬 地 震 動 作 成に お け’
る波 形 制 御につ いて，
日．
本建築 学 会構造 系 論 文 報告 集，
第367号， pp．
30−
36．
昭和 61年9月 12） P。p。uLi，，
A．
：Th
・F。・ ・i・r l・t・9・al ・・nd ・lt・ApPlicati・n；Mcgraw
・
Hill Book Company，
Ihc．
，
pp．
120−
124，
PP
．
97−
98，
196213）Hsu
，
H．
P．
： フー
リエ 解 析 （佐 藤 訳 ）．
．
工学 基 礎 演 習シリ
ー
ズ1， 森 北 出 版，
pp．
291SYNOPSIS
-1
,.,
UDe:550.344
A
FUNDAMENTAL,
STUDY
ON
FOURIER
EARTHQUAKE
nt
-.'
PHASE
CHARACTERISTICS
OF
SIMULATED
GROUND
MOTION
by Dr.MASAHIKO KIMURA, ResearchAssociateof
Oyatna
NatienalCollege
of Technology,Member of A.I.J.
It
is
important
toclarify the relation between Fourier(amplitude,
phase) spectra and the cerresponding timefunction,
in
ordertogenerate simulated earthquake ground motionbased
on those spectra expressed infrequency
domain,
In
thispaper, themeaning of theFourier
phase of a corresponding timefunction
isinvestigated
based
on ari analytical ekpression
in
timedoMain
of aband-pass
filterwith linearphase, The analytical expressionA(t),
shovied･aS
eq.(
s
),
is
a closed'form timefunction
with 5'p'arametersA,
t,., ah, bl.,ip,..
Because
the meanings of the'parameters,arerespectively clear, theexpressibn' isusefu1 to comprehensive understanding of a releofFottrier
phase
in
thecorresponding timefunction.
Especially
'effect
of gS,dti the maxi'mum, minimum, and theiroccurrence time ofrat)
is
inyestigated.
ne,ma,:(pt),oerntn(wh),rmex(ipo),Tintn{pt),respectively,
･normalized
maximum,'thinimum,
･and
their
occurrence timeof.tUt),
areplotted
versus'pt
in
Figs.6-9.
Figs.
10-17 are results incases of lstand 2nd timedifferentials
of.fUt>.
From
thesefigures,
thefollowirig
remarks canbe
made, thatrnaximum, minimum, and theiroccurrence time ofA<t)
are'deterministically prescribed,and thatmaximttm, mihiinum ofJL(t)
change sinusoidally onpt
andtheiroccurrence time
does'linearly.
The
shrne remarks canbe
made on thetimedifferentials.
These
mean thatA
'
is
a significant parameterin
simulating ,a timefunction
based
onFourier
spectra,'
.tU<t)
described
by
eq.(
8
)
can'be
an,ap'proximatedausal
fun'ction.
So
it
is
possible
togenerateasimulated ear--thquakegroirnd
motion wave･f(t}by
superPosingfL(t).
A'method
ofgenerating
f(t)
by
probablistic
superposi-tionof
barid-pass
filters
withlinear
phase,is
presented.The
samplefunctions
of･f(t) generatedby
the,methodareshowed.
