5 分で解くシリーズ 01 平面図形 1998 年度本試験数学ⅠA 第 2 問[2] 〔２〕 四角形ABCDは円に内接し，∠ABCは鈍角で 2 AB ，BC 6， 3 1 ABC sin とする。また，線分ACとBDは直角に交わるとする。 このとき ABC cos ク ケ コ ，
AC
サ シ となる。円の半径は ス セ ソ であり CAB sin タ チ ，sinACB ツ テ となる。また，ACとBDの交点をHとおくと，DH トナ BHである。5 分で解くシリーズ 02 確率 1(+英文法) 大学受験を終えた仲良し 5 人組の白石君、黒本君、赤木君、青田君、緑川君が卒業旅 行で岡山の旅館に泊まりました。 （１） 旅館では 5 人のために雪と月の 2 部屋を用意してくれていました。しかし、5 人は「全員が 1 つの部屋になってもいいので、『くじ引き』で部屋を決めたい。」 と旅館の方にお願いしました。旅館の方は快くそれを受け入れ、簡単にできる 『くじ引き』の方法まで考えてくれました。 (a) 旅館の人になったつもりで『簡単なくじ引き』の方法を考えてください。（実 際に使うものは『くじ』以外のものでもかまいません。） (b) 5 人が泊まる泊まり方の組み合わせは、全部で何通りあるでしょうか。 （２） 部屋が決まったところで、旅館の方から「夕食のデザートとして、『白桃アイス クリーム』と『きび団子』の 2 種類をご用意しております。どちらか１つを選 んで召し上がっていただくのですが、準備の関係で今お選びいただけませんで しょうか。」と言われました。そこで「これも『くじ引き』で決めよう。」とな ったのですが、少し悪乗りをして『ハズレ』も入れようということになりまし た。5 人は、「全員がデザートなしになってもいいので、『くじ引き』でデザー トを決めたい。」と旅館の方にお願いしました。旅館の方はこれも快く受け入 れ、簡単にできる『くじ引き』の方法まで考えてくれました。 (a) 旅館の人になったつもりで『簡単なくじ引き』の方法を考えてください。（実 際に使うものは『くじ』以外のものでもかまいません。） (b) 5 人が食べることになるデザートの組み合わせは、全員が食べられない場合も 含めて全部で何通りあるでしょうか。
5 分で解くシリーズ 06 式と証明
(１) x+y=1 を満たす x,y について、ax2+ bxy + c𝑦2= 1が常に成り立つように a,b,c を定めよ。
(2) 3 実数𝑎, 𝑏, 𝑐が𝑎+𝑏+𝑐=1 を満たすとき、 𝑎2+ 𝑏2+ 𝑐2≥1 3 となることを示せ。 (3) 𝑥>0, 𝑦>0, 𝑧>0 とする。 1 𝑥+ 2 𝑦+ 3 𝑧= 1 4 のとき、𝑥+2𝑦+3𝑧の最小値を求めよ。
5 分で解くシリーズ 08 三角関数 2 2012 年度本試験数学 II・B 第 1 問〔2〕 〔２〕 0 として sincos 2 を満たすについて考えよう。ただし， 0 とする。 たとえば， 6 のとき，のとり得る値は シ と ス シ の二つである。 このように，の各値に対して，のとり得る値は二つある。そのうちの小さい方を1，大きい 方を2とし 1 2 sin 2 3 y が最大となるの値とそのときの y の値を求めよう。 1 ，2をを用いて表すと， 0 2 のときは 1 セ ソ ， 2 タ セ ソ となり， 2 のときは 1 チ ツ ， 2 テ チ ツ となる。 したがって， 1 2 2 3 のとり得る値の範囲は 1 2 2 3 ト ニヌ ナ ネ である。よって，y が最大となるの値は ノ ハヒ であり，そのときの y の値は フ であるこ とがわかる。 フ に当てはまるものを，次の
⓪
～③
のうちから一つ選べ。⓪
1 2①
1②
2 2③
3 25 分で解くシリーズ 09 三角関数 3 2012 年度追試験数学 II・B 第 1 問〔2〕 〔２〕 関数 2 2 2 2 2 3tan ( ) 4 3 3(sin 3cos ) 1 tan f x x x について，すべての実数 x に対して ( ) 0f x が成り立つようなの値の範囲を求めよう。ただし， 2 2 とする。 不等式 ( ) 0f x がすべての実数 x に対して成り立つための条件は，2 次方程式 ( )f x の判別式 D が0 0 D チ を満たすことである。 チ に当てはまるものを，次の
⓪
～②
のうちから一つ選べ。⓪
①
②
2 倍角の公式により 2 2sin 3cos ツ cos 2
2 3tan sin 2 1 tan テ ト であるから，判別式 D は
12( sin 2 cos 2 )( sin 2 cos 2 )
D ナ ナ ニ と表すことができる。 ここで sin 2cos 2 0 ナ ニ ヌ である。 ヌ に当てはまるものを，次の
⓪
～②
のうちから一つ選べ。⓪
①
②
またsin 2 cos 2 sin 2
ナ ネ ノ であるから，条件D チ 0により，不等式 ( ) 0f x がすべての実数 x に対して成り立つようなの とり得る値の範囲は フ ハヒ ハヒ であることがわかる。
5 分で解くシリーズ 10 微積 1
5 分で解くシリーズ 11 微積 2
5 分で解くシリーズ 12 微積 3
5 分で解くシリーズ 13 微積 4 2011 年度本試験数学 II・B 問 2 座標平面上で，放物線yx2を C とする。 曲線 C 上の点 P の x 座標を a とする。点 P における C の接線 l の方程式は y アイ xa ウ である。a のとき直線 l が x 軸と交わる点を0 Qとすると，Qの座標は エ ， カ オ である。 0 a のとき，曲線 C と直線 l および x 軸で囲まれた図形の面積を S とすると a S キ クケ である。 2 a のとき，曲線 C と直線 l および直線x 2で囲まれた図形の面積を T とすると 3 2 a T サ a シ a ス コ セ である。 0 a のときはS 0，a のときは2 T であるとして，00 に対してU S Ta 2 とおく。a がこの範囲を動くとき， U は a ソ で最大値 タ チ をとり， a ツ テ で最小値 ト ナニ をとる。
2009 年度 追試験 数学 II・B 第２問 関数 ( )f x を 2 ( ) x ( 2) f x
u u du で定める。 ( ) f x を計算すると 2 1 ( ) ( )( ) f x x イ x ウ ア となる。 ( ) 0 f x となる x の値の範囲は x エオ である。 ( )f x は x カ で極大値 キ ク をとり， x ケ で極小値 コ をとる。 ( ) yf x のグラフを C とする。C 上の点 P(t，f t( ))における C の接線 l と C の共有点 の x 座標は，t および サシ t ス である。したがって，C と l が 1 点だけを共有 するのは， t セ のときである。また，C と l のすべての共有点の y 座標が正とな るのは， ソタ t チ かつ t ツ テ のときである。 t セ とし， s t セ とおく。接線 l の傾きは，s2 ト である。C と l の二つの共有点のうち P と異なるものをQとする。点Qにおける C の接線を m とする と，m の傾きは， ナ s2 ニ である。直線 l と m のなす角を 0 2 とす ると 2 2 1 1 tan s s ノ ネ ハ ヌ である。したがって，相加平均と相乗平均の関係により 4 1 t セ ヒ のとき， tanは最大となる。このとき，も最大となる。5 分で解くシリーズ 15 数列 1 2011 年度本試験数学 II・B 第 3 問 数直線上で点 P に実数 a が対応しているとき，a を点 P の座標といい，座標が a である 点 P を P( )a で表す。 数直線上に点P (1) ，1 P (2) をとる。線分2 P P を 3 : 1 に内分する点を1 2 P とする。一般に，3 自然数 n に対して，線分P Pn n1を 3 : 1に内分する点をPn2とする。点 Pnの座標をx とすn る。 1 1 x ，x であり，2 2 x 3 ア イ である。数列{ }xn の一般項を求めるために，この 数列の階差数列を考えよう。自然数 n に対してynxn1 とする。 xn 1 y ウ ，yn1 yn (n1 2 3 ) エオ ， ， ， カ である。したがって，yn (n 1 2 3 ) キ エオ ， ， ， カ であり ( 1 2 3 ) n x n サ ク コ エオ ， ， ， ケ ケ カ となる。ただし， キ ， サ については，当てはまるものを，次の◯０～③のうち から一つずつ選べ。同じものを繰り返し選んでもよい。 ◯０ n 1 ① n ② n 1 ③ n 2 次に，自然数 n に対して 1 | | n n k k S k y
を求めよう。 r エオ カ とおくと 1 1 ( 1 2 3 ) k n n k S rS r nr n
シ ス ， ， ， であり，したがって 1 1 1 n n S ツ ナ セソ タ チ テ ト となる。ただし， シ ， ス ， ツ ， ナ については，当てはまるもの を，次の◯０～③のうちから一つずつ選べ。同じものを繰り返し選んでもよい。 ◯０ n 1 ① n ② n 1 ③ n 25 分で解くシリーズ 16 数列 2 2008 年度本試験数学 II・B 第 3 問 (1) 数列{ }an は初項が7，公差が4の等差数列とする。数列{ }an の一般項は n a アイ n ウエ であり，初項から第n項までの和は 2 1 n k k a n n
オカ キ である。 (2) 数列{ }bn は，第n項が 2 n b pn qn r というnの2次式で表され 2 1 2 ( 1 2 3 ) n n b b オカ n キ n n ， ， ， ··· ① を満たすとする。このとき， p ク ，q ケ ，r コ であり，b 1 サシ である。 さらに，次の条件によって定まる数列{ }cn を考えよう。 1 1 c 2 1 2 ( 1 2 3 ) n n c c オカ n キ n n ， ， ， ··· ② ①と②より，dn cn bnとおくと 1 0 ( 1 2 3 ) n n d ス d n ， ， ， が成り立つ。これより，数列{ }cn の一般項は 1 2 n n c セ ソ ク n ケ n コ である。 数列{ }cn の初項から第n項までの和 1 n k k c
は 3 2 n n n n ツ ト ニヌ タ チ ノ テ ナ ネ となる。5 分で解くシリーズ 17 数列 3 2007 年度追試験数学 II・B 第 3 問 { }an を初項 a，公差 d の等差数列とし，{ }bn を初項 a，公比 r の等比数列とする。ただ し，a ，0 r とする。 1 (1) a5 とすると b2 ( ) a r d ア イ である。さらに，a17 とすると b3 r ウ ，d a エ となる。このとき，am となる m は n を用いて bn 1 n m オ カ キ と表される。 (2) cn n1 オ カ キ とおく。このとき，数列{ }cn は漸化式 1 ( 1 2 3 ) n n c ク c ケ n ， ， ， を満たす。p を実数とし，p とする。数列{ }0 dn を 2 n n n d pc ク c ケ により定めるとき，{ }dn の階差数列が等比数列であるとする。このとき p コ サ である。また，数列{ }dn の初項から第 n 項までの和S は n ( n ) n S シ セ ソ タ n ス チ である。
5 分で解くシリーズ 18 数列 4 2010 年度本試験数学 II・B 第 3 問 自然数の列 1，2，3，4，…を，次のように群に分ける。 | 2 3 4 5|6 7 8 9 10 11 12| 1 1 2 3 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 第 群 第 群 第 群 ここで，一般に第 n 群は (3n 2)個の項からなるものとする。第 n 群の最後の項をa で表n す。 (1) a ，1 1 a ，2 5 a 3 12，a アイ である。 4 1 ( 2 3 4 ) n n a a ウ n エ n ， ， ， が成り立ち ( 1 2 3 ) n a オ n キ ク n n ， ， ， カ ケ である。 よって，600 は，第 コサ 群の小さい方から シス 番目の項である。 (2) n ， ， ， に対し，第1 2 3 (n 1)群の小さい方から 2n 番目の項をb で表すと n n b セ n タ チ n ソ ツ であり 1 1 1 n b n n テ ト ナ が成り立つ。これより 1 1 ( 1 2 3 ) n k k n n b n
ニ ， ， ， ヌ ネ となる。5 分で解くシリーズ 19 数列 5 2009 年度追試験数学 II・B 第 3 問 数列{ }an をan2 (n n ， ， ， で定める。 1 2 3 ) (1) a をn 10 で割った商をb とし，余りをn c として，数列{ }n bn と{ }cn を定める。このとき 10 n n n a b (c b とn c は整数で， 0n cn10) である。 1 n n k k S a
， 1 n n k k T b
， 1 n n k k U c
とおく。 n S を求めると n n S ア イ ウ である。 数列{ }cn の初めの 5 項はc 1 エ ，c 2 オ ，c 3 カ ，c 4 キ ，c 5 ク であ る。 自然数 p で，すべての n に対してcn p となるものがあり，その最小のものは p cn ケ である。 以下では p ケ とし，自然数 n を npl (l と m は整数で， 0 m pm ) と表す。このとき n U コサ l は m だけで定まり，これをd とおけばm d 0 シ ，d 1 ス ，dp1 セソ である。 n n n S タチ T U であるから n m n d T ツ テ ナ l ト ニヌ と表される。 (2) a を 11 で割った余りをn en(0en11)として，数列{ }en を定め 1 n n k k V e
とおく。自然数 q で，すべての n に対してen q となるものがあり，その最小のものは q ネノ でen ある。 q ネノ とし，自然数 n を n (l と m は整数で， 0 m qql m ) と表すとき n V ハヒ l は m だけで定まる。2006 年度 本試験 数学 II・B 第４問 平面上の三つのベクトルa，b，cは | | | | | | |a = b = c = a b + | 1= を満たし，cはaに垂直で，b c × >0であるとする。 (1) aとbの内積は a b × = アイ ウ である。また | 2a b + =| エ であり，2a b + とbのなす角は オカ °である。 (2) ベクトルcをaとbで表すと ( ) c= a+ b キ ケ ク である。 (3) x，yを実数とする。ベクトルp xa yc= + が 0< × < p a 1，0< × < p b 1 を満たすための必要十分条件は x < < コ サ ，x< シ y x< + ス である。xとyが上記の範囲を動くとき， p c× は最大値 セ をとり，この最大値をとるときのp をaとbで表すと p= a+ b ソ タ である。
2007 年度 追試験 数学 II・B 第４問 三角形 ABC の 3 辺の長さがそれぞれ AB 3 ， BC a ， CA 6 であるとする。点 P は PA 6PB 3PC 0 a を満たすとする。また， AB x ， AC y とおく。 (1) 直線 AP と直線 BC の交点を D とする。 AP ， AD を x と y を用いて表すと，それぞ れ AP x y ア エ イ ウ イ ウ AD オ x キ y カ カ となる。( イ と ウ は解答の順序を問わない。) (2) AD と x の内積を求めよう。(1)より AD x ク キ x y カ である。また，余弦定理を用いると 2 a x y ケコ サ であるから，求める内積は 2 AD x シス a セ である。 (3) AD 2 のとき， a ソ タ である。このとき，点 P から直線 AB に下ろ した垂線と直線 AB との交点を H とする。 PH を x と y で表そう。 PH x チ であるから，実数 t を用いて AH t x と表したとき t ツ テ ト である。したがって PH x y ナ ニ ネ ノ ヌ ハ である。
2008 年度 追試験 数学 II・B 第４問 (配点 20) 平面上に一辺の長さが 1 である正三角形OPQがある。直線OQに関して P と対称な点 を R とし，直線 OP に関してQと対称な点を S とする。 PS を : (1a a) (0 a 1)に内分 する点を A，OR を : (1b b) (0 b 1)に内分する点を B とする。ベクトル OP ，OQをそ れぞれ p ， q とおく。 (1) OA ， OB を p ， q で表すと OA p ア q OB イ p ウ q であるから， AR と BQは AR エ p( オ カ )q BQ キ p( ク ケ )q となる。ただし， オ と カ は解答の順序を問わない。これより 1 AR B Q ( サ a シ bab) コ である。 (2) 2 直線 AR とBQが垂直に交わるとする。このとき，b は a を用いて a b a ス セ と表される。 さらに 1 2 a とすると | AR | ソタ チ ， | B |Q ツテ ト であり，四角形ABRQの面積は ナニ ヌ ネノ である。また，2 直線 AR とBQの交点を C とすると 1 OC ( フ p ヘホ q) ハヒ である。
5 分で解くシリーズ 24 ベクトル 5 2004 年度本試験数学 II・B 第 3 問 点
