2
次元力学系の不変曲線に対する
Borel-Laplace
変換
による漸近展開表現とカオス的集合
I
平出 耕一 (愛媛大学)∗1 松岡 千博 (大阪市立大学)∗2 複素2次元のエノン写像が与えられたとき,自然に次の様な非線形2階差分方程式が 定まる; x(t + 1)− λx(t) − bx(t − 1) = −a[x(t)]2 ここで，λ, b, aはある定数で, tは複素変数である． この差分方程式は，双曲型とい う条件の下で，Borel-Laplace変換の方法により摂動論を用いず解くことができる．本 講演と続く講演では，このことについて述べる． 結論から先に述べると，Borel-Laplace変換の方法によって得られる上の差分方程式 の解は漸近展開表示； x(t) = ∞ ∑ N =1 e−Nζ1t [ b(N )N,N−1 (N− 1)! tN + ∞ ∑ l=1 b(N )l+N−1(l + N− 1)! tl+N ] を持つ([1])． ここで，ζ1 は系の固有値αを用いて，ζ1=− log αと表される．偏角 は任意に選ぶことができる．ただし，|α| ̸= 1（双曲型）が仮定されていることに注意 する．係数b(N )N,N−1 は b(1)1,0=−α + bα −1 4a b(N )N,N−1=−2a DN N−1∑ L=1 b(NN−L,N−L−1−L) b(L)L,L−1 N−L−1∑ r=0 ( N − L − 1 r ) (−1)r L + r ( L N )L+r により一意的に定まる．ここで，DN= α−N − λ − αN である．係数b (N ) l+N−1 は b(N )l+N +1= l ∑ k=0 b(N )k+N,l+N−1 と表され，各b(N )k+N,l+N−1は上のものより複雑な関係式により一意的に定まる．従って， 得られる解は，log αの偏角の選び方だけの自由度を持つ． 上の漸近展開の係数は |b(N ) l+N−1| ≤ Kl+N|α|±N log Nlog 2 (l + N )! と評価される．K > 1は定数であり，符号はそれぞれ|α| < 1と|α| > 1 に対応する． これを用いると，漸近展開は，領域; Re(ζ1t)≥ 0, |t| ≥ R (>> 1) 上で一様収束することが分かる． 本研究は科研費 (課題番号:17K05371, 18K03418) の助成を受けたものである。 2010 Mathematics Subject Classification: 44A10, 37D45キーワード：Henon map, Borel-Laplace transform, asymptotic expansion
∗1e-mail: hiraide.koichi.mu@ehime-u.ac.jp ∗2e-mail: cmatsuoka@osaka-cu.ac.jp
この様なx(t)は差分方程式を満たすので，複素平面全体に解析接続できる．すなわ ち，得られた解x(t)は整関数である．注目すべきこととして，講演者はこの整関数x(t) のテーラー展開表示を得ていない． エノン写像 f :C2→ C2 の不動点P がサドル型のとき，安定多様体Ws(P )と不安 定多様体Wu(P )が Ws(P ) ={Q ∈ C2| fn(Q)→ P (n → ∞)} Wu(P ) ={Q ∈ C2| fn(Q)→ P (n → −∞)} によって定義され，これらはC2 の中のCの単射はめ込み多様体でf -不変である．固 有値αが|α| < 1 と|α| > 1に対応して，差分方程式の解xs(t), xu(t) はそれぞれ次の 関係を満たす； Ws(P )\{P } = {(xs(t), bxs(t−1)) | t ∈ C}, Wu(P )\{P } = {(xu(t), bxu(t−1)) | t ∈ C}. このことは，力学系f は不変曲線 Ws(P )\ {P }およびWu(P )\ {P }上で可積分系で あることを示している．一方，集合 Λf = Ws(P )∩ Wu(P ) は2次元のジュリア集合とよばれ，f は集合Λf 上でカオス的であることが知られてい る．ここで，Ws(P )とWu(P )は閉包を表す． 可算集合 Qf = Ws(P )∩ Wu(P )\ {P } の点はホモクリニック点とよばれる． 漸近展開表現を利用して，集合Qf を計算機で 求めることが可能となる．Λf =Qf が成り立つかどうかは未解決である．
参考文献
[1] C.Matsuoka and K.Hiraide, Special functions created by Borel-Laplace transform of H´enon map, Electron. Res. Announc. Math. Sci. 18 (2011), 1–11
[2] C.Matsuoka and K.Hiraide, Entropy estimation of the H´enon attractor, Chaos, Solitons & Fractals 45 (2012), 805–809.
[3] C.Matsuoka and K.Hiraide, Computation of entropy and Lyapunov exponent by a shift transform, Chaos 25, 103110(2015).
2
次元力学系の不変曲線に対する
Borel-Laplace
変換
による漸近展開表現とカオス的集合
II
松岡 千博 (大阪市立大学)∗1 平出 耕一 (愛媛大学)∗2 前講演Iで与えられた差分方程式の解x(t) (t∈ C)を x(t) =L[X](t) = ∫ γ e−ζtX(ζ)dζ なるLaplace変換の形で表す．このとき積分路γは厳密に定まる．ここで，X(ζ)はx(t) のBorel変換と呼ばれ， AX =−aX ∗ X + C, A(ζ) = e−ζ− λ − beζ なる関数方程式を満たしている．∗は F ∗ G = ∫ ζ 0 F (ζ− ζ′)G(ζ′)dζ′ で定義される畳み込み(convolution)，CはC = A(0)X(0)を満たす定数である．X(ζ) を X(ζ) = a0+ ˜X(ζ), (a0:定数) とおいてX(ζ)の満たすべき関数方程式に代入すると A ˜X + 2aa0∗ ˜X = W, W = W0− a ˜X∗ ˜X (W0=−aa20ζ− a0A + C) が得られる．上記関数方程式を解くためのζ平面における解析接続のpathが次頁に描 かれている．図中のζij (i, j ∈ Z)はX(ζ)の特異点（可算無限個存在する）の位置を表 している． 力学系の固有値をα (|α| ̸= 1)とし，ζ1 =− log αとおいたとき，X(ζ)˜ について以下 の定理が成り立つ[1]． Theorem 1. ζ = N ζ1+ ξ (N = 1, 2,· · · )としたとき，X(ζ)˜ はリーマン面X˜(N )(ζ) の極限として以下のように与えられる． ˜ X(ζ) = lim N→∞ ˜ X(N )(ζ), X˜(N )(ζ) = ∞ ∑ n=1 ˜ Xn(N )(ζ), ˜ Xn(N )= ∞ ∑ m=0 b(N )n,m+n−1ξm+n−1(log ξ)n+ reg(n−1)(ξ), (1≤ n ≤ N − 1) ∞ ∑ m=0 b(N )n,m+n−1ξm+n−1(log ξ)N+ reg(N−1)(ξ), (n≥ N) 本研究は科研費 (課題番号:17K05371, 18K03418) の助成を受けたものである． 2010 Mathematics Subject Classification: 44A10, 37D45キーワード：Henon map, Borel-Laplace transform, asymptotic expansion
∗1〒 558-8585 大阪市住吉区杉本 3-3-138 大阪市立大学 大学院工学研究科
e-mail: cmatsuoka@osaka-cu.ac.jp
Wn(N )−1= ∞ ∑ m=0 vn−1,m+n−1(N ) ξm+n−1(log ξ)n+ reg(n−1)(ξ), (2≤ n ≤ N) ∞ ∑ m=0 vn−1,m+n−1(N ) ξm+n−1(log ξ)N+ reg(N−1)(ξ). (n≥ N + 1) ここで， reg(n−1)(ξ) = n−1 ∑ m=0 Rm(ξ)(log ξ)m, Rm(ξ) :正則関数 である．係数b(N )n,m+n−1, v (N ) n−1,m+n−1は連立の漸化式を解いて一意的に定まる[1]． 定理1のX(ζ)˜ をX(ζ) = a0+ ˜X(ζ)に代入し，X(ζ)を一意化して冒頭のLaplace変 換を計算すると次の定理が得られる． Theorem 2. 差分方程式の解x(t)は以下の積分によって一意的に決定される． x(t) = ∫ γ e−ζtX(ζ)dζ = lim N→∞ 1 (2πi)N (N +1)2 ∫ γN e−ζtX(ζ)dζ = lim N→∞ 1 (2πi)N (N +1)2 ∫ ∞eiθ −∞eiθ e−ζtXR(ζ, N )dζ, XR(ζ, N ) = (2πi)N (N +1)2 ∞ ∑ m=0 b(N )N,m+N−1ξm+N−1. ζ11 ζ21 ζ01 ζ−11 ζ −21 ζ32 ζ22 0 ζ02 ζ03 ζ04 ζ13 ζ ζ23 ζ44 4πi 2πi −2πi −4πi ζ12 ここで，XR(ζ, N )はX(ζ)の一意化 関数で，θは原点とX(ζ)の特異点（図 参照）を結ぶ直線とζ平面の実軸との なす角である．上記の積分を具体的に 計算すると，Part Iで記述されている 漸近展開表示が得られる．講演では， 関数x(t)を用いて力学系の安定・不安 定多様体が描画できることや，この２ つの多様体の交点（ホモクリニック点 と呼ばれる）がすべて計算できること なども述べる．
参考文献
[1] Matsuoka C, Hiraide K 2011 Special functions created by Borel-Laplace transform of H´enon map, Electro. Res. Ann. Math. Sci. 18 1-11.
Construction of two parametric deformation of
KdV-hierarchy and solution by sigma function
綾野 孝則 (阪市大数学研)∗1
Victor Buchstaber (ステクロフ数学研究所)∗2
1.
はじめに
Xの多項式Qg(X) = X2g+1+ y
4X2g−1−y6X2g−2+· · ·+y4gX−y4g+2が重根を持たない
ような(y4, y6, . . . , y4g+2)∈ C2g全体をBgとする。超楕円曲線Vg ={(X, Y ) ∈ C2| Y2 =
Qg(X)}を考える。Sym2(Vg)をVgの2次の対称積とする。[2]ではSym2(Vg)上の可換
なベクトル場に基づいてC4上の多項式力学系が導出されている。本発表では、g = 3
の場合に、この力学系からKdV階層を2つのパラメータで変形した方程式が得られる
ことを示す。さらにこの微分方程式はV3のシグマ関数で解が与えられることを示す。
2. Two parametric deformation of KdV-hierarchy
(y4, y6, . . . , y4g+2)∈ C2g、F(Vg2)をV 2 g の関数体とする。Y 2 1 − Qg(X1)とY22− Qg(X2)で 生成されるC[X1, Y1, X2, Y2]のイデアルJgに対して、F(Vg2)は整域C[X1, Y1, X2, Y2]/Jg の商体と表せる。F(V2 g)の元で、f (X1, Y1, X2, Y2) = f (X2, Y2, X1, Y1)となる代表元 f ∈ C(X1, Y1, X2, Y2)が取れるもの全体をF(Sym2(Vg))とする。[2]では、次のような F(Sym2 (Vg))の元とF(Sym2(Vg))に作用する2つの可換な微分が導入されている。 u2= X1+ X2 2 , u4 = (X1− X2)2 4 , u2g−1= Y1− Y2 X1− X2 , u2g+1= Y1+ Y2 2 , L(g) 2g−3= 1 X1− X2 (D2− D1), L (g) 2g−1= 1 X1− X2 (X2D1− X1D2), Dk= 2Yk∂Xk+ Q ′ g(Xk)∂Yk, k = 1, 2. [2]は,任意のi = 2g−3, 2g−1とj = 2, 4, 2g−1, 2g+1に対して、Li(g)ujをu2, u4, u2g−1, u2g+1 のQ[y4, y6, . . . , y4g−2]を係数とする多項式として表している。これは(u2, u4, u2g−1, u2g+1) を座標とするC4上の多項式力学系と思える。g = 2のときはDubrovin系に対応する。 g = 3のときは次のようになる。 (I) L(3)3 u2=−u5, L (3) 3 u4=−2u7, L(3)
3 u5 =−35u42− 42u22u4− 3u42− 2y4(5u22+ u4) + 4y6u2− y8, L(3)
3 u7 =−7(3u52+ 10u32u4+ 3u2u24)− 10y4(u32+ u2u4) + 2y6(3u22+ u4)− 3y8u2+ y10, (II) L(3)5 u2= u2u5− u7, L (3) 5 u4 = 2(u2u7− u4u5), L(3) 5 u5 = u25+ 14u 5 2− 28u 3 2u4− 18u2u24− 8y4u2u4+ 2y6(u22+ u4)− 2y8u2+ y10, L(3)
5 u7 =−u5u7+ 21u62+ 35u42u4− 21u22u24− 3u34+ 2y4(5u42− u24)
2010 Mathematics Subject Classification: 14K25, 14H40, 14H42, 14H70 キーワード：超楕円曲線、アーベル関数、シグマ関数、多項式力学系、KdV 階層
∗1〒 558-8585 大阪市住吉区杉本 3 丁目 3 番 138 号
e-mail: tayano7150@gmail.com
−2y6(3u32− u2u4) + y8(3u22− u4)− y10u2. 以後、g = 3とする。次のような可換な微分を考える。 T1=− 1 X1X2 L(3) 5 , T3=L (3) 3 + X1+ X2 X1X2 L(3) 5 u = 4u2, v = 2(u4− u22)とする。w∈ F(Sym 2 (V3))に対して、w′ =T1w, ˙w =T3wと する。このとき、次の主結果を得る。
定理1 two parametric deformed KdV-hierarchyと呼べる次の新しい方程式を得る。 v4(u′′′− 4 ˙u − 6uu′)− 32y
12v ˙u + 32y14(vu′− 3u ˙u) = 0, v4( ˙u′′− 4u ˙u − 2u′v)− 32y12v ˙v + 32y14(vv′− 3u ˙v) = 0,
˙u = v′, 2 ˙v = vu′− uv′. y12= y14= 0で、v̸= 0ならばKdV階層になる。(y4, . . . , y14)∈ B3、σ(w1, w3, w5)を V3のシグマ関数、σi= ∂wiσとする。σ(w (0)) = 0, σ 1(w(0))̸= 0, σ5(w(0))̸= 0を満た すw(0)∈ C3をとる。w(0)の周りで、σ(w 1, w3, φ(w1, w3)) = 0となるφをとる。 U (x, t) =−2σ3(x, t, φ(x, t)) σ1(x, t, φ(x, t)) , V (x, t) =−2σ5(x, t, φ(x, t)) σ1(x, t, φ(x, t)) とする。関数K(x, t)に対して、K′= ∂xK, ˙K = ∂tKとする。アーベル・ヤコビ写像 を用いると次の結果を得る。
定理2 U, V はtwo parametric deformed KdV-hierarchyの解である。 V4(U′′′− 4 ˙U − 6UU′)− 32y
12V ˙U + 32y14(V U′− 3U ˙U) = 0, V4( ˙U′′− 4U ˙U − 2U′V )− 32y12V ˙V + 32y14(V V′− 3U ˙V ) = 0,
˙ U = V′, 2 ˙V = V U′− UV′. Remark 1 [3]では超楕円曲線のヤコビ多様体の部分多様体へのsine-Gordon方程式の 拡張が与えられている。本発表の結果はこの結果のKdV階層に対する類似と見なせる。 Remark 2 V3においてy12= y14= 0のとき、V3 → V2, (X, Y )7→ (X, Y/X)という有 理写像が定義できる。このとき、F(Sym2 (V3))とF(Sym2(V2))は同型になる。この同 型により、T1,T3はL (2) 1 ,L (2) 3 に対応する。また、V2が非特異のとき、アーベル・ヤコビ 写像により、L(2) 1 ,L (2) 3 はV2のヤコビ多様体上のベクトル場∂w1, ∂w3に対応する。
参考文献
[1] T. Ayano, V. M. Buchstaber, ”Construction of two parametric deformation of KdV-hierarchy and solution in terms of meromorphic functions on the sigma divisor of a hy-perelliptic curve of genus 3”, arXiv:1811.07138, 2018.
[2] V. M. Buchstaber, A.V. Mikhailov. ”Infinite dimensional Lie algebras determined by the space of symmetric squares of hyperelliptic curves”, Functional Analysis and Its
Applica-tions, Volume 51, Issue 1, pp.2–21, 2017.
[3] S. Matsutani, Relations of al functions over subvarieties in a hyperelliptic Jacobian,
トロピカル
KP
方程式とヤング盤の組み合わせ論
岩尾 慎介 (東海大理)∗ 概 要 本講演では，近年，三上・片山・筧[4, 5]によって発見されたjeu de taquinと トロピカルKP方程式の関係を応用し，ヤング盤の組み合わせ論の基本的な 定理—整化(rectification)の一意性—の別証明を与える．証明は，上の結 果と，野海・山田のトロピカルRSK対応[3]を組み合わせることで得られる．1.
ヤング盤の
jeu de taquin
と整化
(rectification)
ヤング盤(Young tableau)とは，ヤング図形の各箱に，右方に向かって広義単調増加， 下方に向かって狭義単調増加となるように自然数を入れたものである．歪ヤング盤に 同じ規則で数字をはめこんだものは，歪ヤング盤という(図1)． 1 2 2 5 3 3 4 4 1 3 1 4 2 図1: ヤング盤(左)と歪ヤング盤(右)の例 歪ヤング盤に対して，jeu de taquin (ジュ・ドゥ・タカン，フランス語で15パズル の意)が次のように定まる．(1),歪ヤング盤の内角(inner corner)を選ぶ．(2),選んだ場 所の右と下にある数字を比べ，より小さい方の箱をずらす．両者が等しい場合は，下 側の箱が優先する．(3), 新しく空いた場所の右と下にある数字を比べ，同様の操作を 行う．(4),空き場所の位置が歪ヤング盤の外側に到達するまで(2)と(3)の操作を繰り 返す．（図2を参照） 1 3 2 3 1 2 3 4 2 4 5 1 3 2 2 3 1 3 4 2 4 5 1 3 2 2 3 1 3 4 2 4 5 1 3 2 2 3 1 3 4 2 4 5 図2: Jeu de taquin の例 任意の歪ヤング盤は jeu de taquinを有限回繰り返すことで，ヤング盤に到達する．
これを歪ヤング盤の整化(rectification)という．Jeu de taquinを繰り返すやり方は一通
りとは限らないが，結論のヤング盤はかならず一意的に定まる(例えば[1]参照)．この
事実を整化の一意性と呼ぼう．
2010 Mathematics Subject Classification: 05E05, 37K40 キーワード：ヤング盤, トロピカル KP 方程式, 一意性の証明
∗〒 259-1292 神奈川県平塚市北金目 4 丁目 1-1
2.
トロピカル
KP
方程式による実現
三上[4]，片山・筧[5]により，jeu de taquin が超離散KP方程式(トロピカルKP方程 式)によって実現されることが発見された．彼らのオリジナルの形は双線形形式を用い たものであったが，トロピカル行列の交換関係を用いた形に書き直すことが可能であ る(詳しくは[2]参照)．この表現を用いることで，R-行列の作用のような図式が得られ る．例えば，jeu de taquin 2 3 1 3 4 2 2 4 −→ 2 3 1 2 3 4 2 4 は，適切な置き換えのもと (1, 1, 0) (1, 0, 0) (1, 0, 2) (1, 0, 2) (1, 1, 3)· · · [2]+
[2]+
[3]+
[3]+
[3]+
[3]· · · (2, 0, 0) (1, 0, 0) (1, 1, 1) (1, 1, 1) (1, 2, 2)· · · と表現することができる． この方法に従うと，整化(= jeu de taquinの繰り返し)は，上記の図式を下方向に有 限個連ねたものとして表現できる．こうしてできる2次元図式を，可積分系の別の手 法(トロピカルRSK対応[3])を用いて操作することで，ヤング盤の組み合わせ論の非 自明な定理の新しい証明を与えることができる．参考文献
[1] W. Fulton. Young Tableaux: With Applications to Representation Theory and Geometry. London Mathematical Society Student Texts. Cambridge University Press, 1996. [2] S. Iwao. Tropical integrable systems and Young tableaux: shape equivalence and
Little-woodRichardson correspondence. Journal of Integrable Systems, 3 (1), pp.xyy011, 2018. [3] M. Noumi and Y. Yamada. Tropical Robinson-Schensted-Knuth correspondence and birational Weyl group actions. In T. Shoji, M. Kashiwara, N. Kawanaka, G. Lusztig, and K. Shinoda (Eds.), Representation theory of algebraic groups and quantum groups, vol.40, pp. 371–442. Soc. Japan, Tokyo, 2004.
[4] 三上優. Skew Young盤のjeu de taquin slideと超離散KP方程式の関係. Master’s thesis, 神戸大学大学院,平成18年3月.
[5] 片山陽介,筧三郎. Jeu de taquinと超離散KP方程式.応用力学研究所集会報告, 26AO-S2, pp.133–138, 2015.
Pieri type formulas for the shifted Jack polynomials
渋川 元樹 (神戸大学・理)∗概 要
shifted Jack多項式に基本対称式(1列型のshifted Jack多項式)を掛けたもの をshifted Jack多項式の和で書くPieri type formulasについて述べる.
r, k∈ Z>0, d, α∈ Rとし,Pを長さr以下のpartitionsの集合 P := {m := (m1, . . . , mr)∈ Zr≥0| m1 ≥ m2 ≥ · · · ≥ mr} とする. 以下断らない限り, m, n, k, x∈ P, z ∈ Crとし, er,k(z) := ∑ 1≤i1<···<ij≤r zj1· · · zjr, ∆(z) := ∏ 1≤i<j≤r (zi− zj), Hr,k(J )(z) := k ∑ l=0 ( 2 d )k−l∑ I⊂[r] |I|=l 1 ∆(z) ( ∏ i∈I zi∂zi ) ∆(z) ∑ J⊂[r]\I |J|=k−l ( ∏ j∈J zj∂zj ) , Sr(d)(u; z) := r ∑ l=0 Hr,l(J )(z)ur−l, Ir(d)(u; x) := ( 2 d )r∏r k=1 ( xk+ d 2(u + r− k) ) とする. 任意のk∈ Pに対し, Pk ( z;d2)= Pk ( z1, . . . , zr;d2 ) をr変数のJack多項式とす
る. 更にshifted Jack多項式Pkip(z;d2)を, (1)ip vanishing property
Pkip ( m +d 2δ; d 2 ) = 0 unless k⊂ m ∈ P と, (2)ip 正規化条件 Pkip ( z;d 2 ) = Pk ( z;d 2 ) + (lower terms) (1) の2条件を満たすものとして定義する(一意に定まる). また便宜の為に Φ(d)k (z) := Pk ( z;d 2 ) Pk ( 1;d 2 ), Ψ(d) k (z) := Pk ( 1;d 2 ) Pkip(k + d 2δ; d 2 )Φ(d) k (z) = Pk ( z;d 2 ) Pkip(k + d 2δ; d 2 ) とおく. 補題 1. [ead E0(z)S(d) r (u; z)]Φ (d) x (1 + z) = Φ (d) x (1 + z)I (d) r (u; x). (2) ただし, E0(z) := ∑r j=1∂zj.
キーワード：Jack polynomials, shifted (interpolation) Jack polynomials, Pieri type formulas
∗〒 657-8501 兵庫県神戸市灘区六甲台町 1-1 神戸大学大学院理学科学研究科
補題 2. 任意の0≤ p ≤ rについて, [ (ad E0(z))p p! S (d) r (u; z) ] Ψ(d)k (z) = ∑ J⊂[r] |J|=p Ψ(d)kJ(z)h(d)+,J(kJ)IJ(d)c(u; k). (3) ただし, Jc:= [r]\ J, ϵ j := (δij)1≤i≤r∈ Zr, kJ = k− ∑ j∈Jϵj h(d)±,J(x) := ∏ j∈J,k∈Jc xj− xk−d2(j− k) ±d2 xj− xk−d2(j− k) , IJ(d)c(u; k) := ( 2 d )r ∏ k∈Jc ( xk+ d 2(u + r− k) ) とする. 補題1.と補題2.より次を得る. 定理 3. 任意のz∈ Cr, k∈ Pに対し, Pkip(z +d2δ;d2) Pk ( 1;d2) I (d) r (u; z) = r ∑ p=0 ∑ J⊂[r] |J|=p PkipJ ( z +d2δ;d2) PkJ ( 1;d2) h (d) +,J(k)I (d) Jc(u; kJ). (4) ただし, kJ = k +∑ j∈Jϵj.
定理3.でur−jに関して係数比較してshifted Jack多項式についての次のPieri type formulasを得る. 定理 4. 任意のz∈ Crと0≤ j ≤ rについて, Pkip(z;d2) Pk ( 1;d2) er,j(z) = j ∑ p=0 ∑ J⊂[r] |J|=p PkipJ ( z;d2) PkJ ( 1;d2)h (d) +,J(k)er−p,j−p (( kJ+d 2δ ) Jc ) . (5) 主結果(5)において, 最高次を比較すると, Jack多項式の斉次性と(1)より, 以下のよ く知られたJack多項式のPieri公式が得られる. 系 5. 任意の0≤ j ≤ rについて, Φ(d)k (z)er,j(z) = ∑ J⊂[r] |J|=j Φ(d)kJ(z)h (d) +,J(k). (6) また(3)においてur−pで係数比較をすることで次が得られることにも注意しておく. 系 6. 任意のz∈ Crと0≤ p ≤ rについて, ( d 2 )r−p[ (ad E0(z))p p! H (J ) r,p(z) ] Ψ(d)k (z) = ∑ J⊂[r] |J|=p Ψ(d)k J(z)h (d) +,J(kJ).
参考文献
[1] T. H. Koornwinder : Okounkov’s BC-type interpolation Macdonald polynomials and their
q = 1 limit, S´em. Lothar. Combin, 72 (2014/15), 27pp.
[2] I. G. Macdonald : Symmetric Functions and Hall Polynomials, Oxford University
Kostka polynomials with one column diagrams
of type B
n, C
nand D
n星野歩 (広工大工), 白石潤一 (東大数理)
1. Four-fold summation formula for Koornwinder polynomials
with one-column diagrams
nを正の整数，x = (x1,· · · , xn)を変数とする. a, b, c, d, q, tをAskey-Wilson/Koornwinder 多項式のパラメタとする. P(1r)(x|a, b, c, d|q, t)を一列型分割(1r) (0≤ r ≤ n)に対する Koornwinder多項式とする. Definition 1.1. 対称なLaurent多項式Er(x)を次で定める: n ∏ i=1 (1− yxi)(1− y/xi) =∑ r≥0 (−1)rEr(x)yr. Theorem 1.2. P(1r)(x|a, b, c, d|q, t) = ∑ k,l,i,j≥0 (−1)i+jEr−2k−2l−i−j(x)bc′e(k, l; t n−r+1+i+j)bco(i, j; tn−r+1), ここに bc′ e(k, l; s) = (tc2/a2; t2)k(sc2t; t2)k(s2c4/t2; t2)k (t2; t2)k(sc2/t; t2)k(s2a2c2/t; t2)k (1/c2; t)l(s/t; t) 2k+l (t; t)l(sc2; t) 2k+l 1− st2k+2l−1 1− st−1 a 2k c2l, b
co(i, j; s) = (−a/b, s, sac/t, sad/t, scd/t, −s
2a2cd/t3; t)i (t, s2abcd/t2; t)i(−s2a2cd/t3,−s2a2cd/t2; t2)ib i × (−c/d, tis,−tisa2/t, t2is2a2c2/t3; t)j (t,−t2is2a2cd/t2; t)j(t2is2a2c2/t3; t2)jd j .
2. Kostka polynomials of type B
n, C
nand D
n(Bn, Bn)型, (Cn, Cn)型, (Dn, Dn)型Macdonald多項式は, Koornwinder多項式のパラ メタを次のように特殊化して得られる: P(Bn,Bn) λ (x|a; q, t) = Pλ(x|q 1/2 ,−q1/2,−1, a|q, t), P(Cn,Cn) λ (x|b; q, t) = Pλ(x|b 1/2 ,−b1/2, q1/2b1/2,−q1/2b1/2|q, t), P(Dn,Dn) λ (x|q, t) = Pλ(x|1, −1, q 1/2,−q1/2|q, t). ここでP(Bn,Bn) (1r) (x|t; q, t), P (Cn,Cn) (1r) (x|t; q, t), P (Dn,Dn) (1r) (x|q, t)は次のように表される: P(Bn,Bn) (1r) (x|t; q, t) = r ∑ j=0 (1/t, tn−r+1,−tn−rq, t2n−2rq/t; t) j (t, t2n−2r+1q; t) j(t2n−2rq/t; t2)j (−t)j × ⌊r−j 2 ⌋ ∑ k=0 (t/q; t2)k(tn−r+2+j; t2)k(t2n−2r+2j; t2)k (t2; t2)k(tn−r+j; t2)k(t2n−2r+1+2jq; t2)k (tn−r+j; t)2k (tn−r+1+j; t)2k 1− tn−r+2k+j 1− tn−r+j q k Er−2k−j(x), Er(x) = ⌊r 2⌋ ∑ k=0 (tn−r+1; t)2k (tn−r; t)2k (q/t; t2)k (t2, t2n−2r+2; t2)k (t2n−2r; t2) 2k(t2n−2r−1q; t2)k (t2n−2r−1q; t2) 2k tk × r−2k∑ j=0 (−1)j(t n−r+2k+1,−tn−r+2kq,−tn−r+2kq1/2, tn−r+2kq1/2; t)j (t2n−2r+4kq; t)2j P (Bn) (1r−2k−j)(t; q, t),
P(Cn,Cn) (1r) (x|t; q, t) = ⌊r 2⌋ ∑ j=0 (1/qt; t2)j(t2n−2r, t2)j (t2; t2)j(qt2n−2r+3; t2)j 1− t2n−2r+4j 1− t2n−2r (qt) j Er−2j(x), Er(x) = ⌊r 2⌋ ∑ j=0 (qt; t2)j(t2n−2r+2j+2, t2)j (t2; t2)j(qt2n−2r+2j+1; t2)jP (Cn,Cn) (1r−2j) (x|t; q, t), P(Dn,Dn) (1r) (x|q, t) = ⌊r 2⌋ ∑ j=0 (t/q; t2)j(t2n−2r, t2)j (t2; t2)j(qt2n−2r+1; t2)j 1− tn−r+2j 1− tn−r q j Er−2j(x), Er(x) = ⌊r 2⌋ ∑ j=0 (q/t; t2)j(t2n−2r+2j+2, t2)j (t2; t2)j(qt2n−2r+2j−1; t2)j 1 + tn−r 1 + tn−r+2jt j P(Dn,Dn) (1r−2j) (x|q, t). また, Bn, Cn, Dn型Schur多項式s (Bn) (1r)(x), s (Cn) (1r)(x), s (Dn) (1r)(x) は次のように表される: s(Bn) (1r)(x) = P (Bn,Bn) (1r) (x|q; q, q) = Er(x) + Er−1(x), Er(x) = r ∑ j=0 (−1)js(Bn) (1r−j)(x), s(Cn) (1r)(x) = P (Cn,Cn) (1r) (x|q; q, q) = Er(x)− Er−2(x), Er(x) = ⌊r 2⌋ ∑ j=0 s(Cn) (1r−2j)(x), s(Dn) (1r)(x) = P (Dn,Dn) (1r) (x|q, q) = Er(x). Definition 2.1. K(Bn) (1r)(1r−2j)(t), K (Cn) (1r),(1r−2j)(t), K (Dn) (1r),(1r−2j)(t)を次で定める: s(Bn) (1r)(x) = ⌊r 2⌋ ∑ j=0 K(Bn) (1r)(1r−2j)(t)P (Bn,Bn) (1r−2j) (t; 0, t), s (Cn) (1r)(x) = ⌊r 2⌋ ∑ j=0 K(Cn) (1r),(1r−2j)(t)P (Cn,Cn) (1r−2j) (x|t; 0, t), s(Dn) (1r) (x) = ⌊r 2⌋ ∑ j=0 K(Dn) (1r),(1r−2j)(t)P (Dn,Dn) (1r−2j) (x|0; t). Theorem 2.2. K(Bn) (1r)(1r−2j)(t), K (Cn) (1r)(1r−2j)(t), K (Dn) (1r)(1r−2j)(t) は次のように表される: K(Bn) (1r)(1r−2j)(t) = j ∑ k=0 (t2n−2r; t2) 2k(tn−r+1; t)2j (t2, t2n−2r+2; t2)k(tn−r; t) 2k tk− j−1 ∑ k=0 (t2n−2r+2; t2) 2k(tn−r+2; t)2j−1 (t2, t2n−2r+4; t2)k(tn−r+1; t) 2k tk, K(Cn) (1r)(1r−2j)(t) = t 2j [n− r + 1]t2 [n− r + j + 1]t2 [ n− r + 2j j ] t2 = [ n− r + 2j j ] t2 − [ n− r + 2j j− 1 ] t2 , K(Dn) (1r)(1r−2j)(t) = t j 1 + tn−r 1 + tn−r+2j [ n− r + 2j j ] t2 = tn−r+j [ n− r + 2j − 1 j− 1 ] t2 + tj [ n− r + 2j − 1 j ] t2 , ここに[n]q= 1− q n 1− q , [n]q! = [1]q[2]q· · · [n]q, [ m j ] q = j ∏ k=1 [m− k + 1]q [k]q = [m]q! [j]q![m− j]q!.
