平板翼の後流に形成される定在波とコヒーレント構造

(1)

両翼端が壁面で支持された一様流中の平板翼の後流特性が風洞実験で計測されると，そのスパン方向へ形成される後流のコヒーレント構造の要素となるセルはある大きさに保たれる．本研究は，このような流れ場で形成される後流のコヒーレント構造の生成メカニズムとその定常的な特性について解析したものである．三次元の数値計算による流れ場が流線と無次元ヘリシティーによって可視化されると，縦渦が後流中に生成されることを捉えることができた．このとき，後流中の渦度Ωxは正負交互に回転しながらスパン方向へ 10 個のセルを形成した．翼表面上の境界層内部における摩擦応力の分布には，後流中の渦度Ωxと同様の分布がその後縁側で生じたが，その前縁側や翼表面上の大部分の領域には形成されなかった．後流中のスパン方向の渦運動が渦度輸送方程式の各生成項によって評価されると，レイノルズせん断応力による渦度の生成が乱れによるものの中では最も大きく，かつその分布はスパン方向へ構造的に変化した．このレイノルズせん断応力の運動が定在波を形成するとして整理されると，定在波の運動を満足する条件が遠距離場後流でのコヒーレント構造に存在することがわかった． v'w' r v'w' r

平板翼の後流に形成される定在波とコヒーレント構造

ながれ 22（2003）325−335. 〔原著論文〕

The Standing Wave Formed in the Wake of a Flat Plate

Blade and the Coherent Structure

Souichi SASAKI and Yoshio KODAMA,

Dept. of Mechanical Systems Engineering, Nagasaki University （Received 9 September, 2002 ; in revised from 9 June, 2003）

When the wake characteristics of a flat plate blade supported by the wall were measured in a wind tunnel experiment in a uniform flow, the cell such an element of the coherent structure of the wake to the span direction will be maintained at a certain size. In this study, authors analyzed the generating mechanism and the steady characteristics of the coherent structure in the wake. According to the flow field visualized by a 3-dimensional numerical solver with the streamline and the normalized helicity, it was clarified that the streamwise vortices were generated in the wake. Then the vorticities Ωx formed regularly ten cells rotating alternately to the span direction. On the limiting stremline inside of the

boundary layer on the blade surface, the same distribution as the vorticities Ωxin the wake occurred at

the trailing edge, however, the regularity distribution did not exist at the leading edge or the almost inside region of the boundary layer. Moreover, when the vortex motion to the span direction was estimated by each production terms of the vorticity transport equation, the production of the vorticity Ωx by the

Reynolds share stress was the largest among the production terms by turbulent flow, and it

distributed structurally to the span direction. When it was summarized as if the motion of the Reynolds

share stress formed a standing wave, authors pointed out that the condition which satisfied

motion by the standing wave existed in the coherent structure at the far wake.

（KEY WORDS）: Blade, Wake, Standing Wave, Coherent Structure, Vorticity, Reynolds Stress v'w' r v'w' r ＊_{長崎大・工}

_{佐々木壮一}

＊_{長崎大・工}

_{児玉好雄}

†

(2)

平板翼の後流に形成される定在波とコヒーレント構造 1 序論 柱状物体を通過する流れが層流から乱流へ遷移する領域の後流にはカルマン渦だけでなく，そのスパン方向にも構造的な後流が形成される．流れの干渉による後流構造はコヒーレント構造と称され，この構造の規則性や形成メカニズムに関する研究が活発に行われてきた1，2）_．横井ら3）_は，円柱の後流に形成されるスパン方向のコヒーレント構造を水槽実験で可視化し，レイノルズ数の増加とともにスパン方向へ隣り合って発生する渦の間隔が小さくなることを示した．同文献によれば，この構造は円柱前方のよどみ点より流下してきた流れが，円柱表面で三次元はく離をすることで生じると考察されている．この三次元はく離の現象は，木枝ら4，5）_{の円柱周りの三次元数値シミュレ} ーションによる流れでも確認されており，主たる周波数毎にモード解析をした結果が詳しく議論されている．しかし，文献（3）の実験的傾向にも示されるように，レイノルズ数が 103_{を超える後流} のスパン方向の渦間隔は必ずしも小さくならず，この現象については乱流構造が複雑さを増すことから言及されていない．著者らは，レイノルズ数が約 105_{における一様} な流れ場に設置された平板翼の後流特性を風洞実験で調査してきた6）_{．同実験では，スパン方向の} セルの大きさがスパン方向相関長さとして整理されると，その大きさはある主流速度の範囲では後流の半値幅の約 3 倍になることが明らかにされている7）_{．このような後流のコヒーレント構造の特} 性は柱状物体から発生する空力音のスパン方向の音源の大きさとして応用されている8）_{．この空力} 音の音源の大きさが形成されるメカニズムは，これまで境界層内部の不安定な流れの非線形性によって生じる三次元はく離の統計的性質と解釈されてきた．しかし，後流の規則性を統計的に計測することが出来る場合，その流れ場には線形的な渦運動が存在する可能性は高い．例えば，ターボ機械などの翼端は必ずハブやシュラウドなどによって支持されており，翼の根元側，あるいは先端側では漏れ渦，馬蹄形渦，随伴渦9）_{などの三次元的} な渦が発生する．このような場合における後流のコヒーレント構造の形成メカニズムについては，縦渦の回転によって引き起こされる翼スパン方向の渦運動との関係を考慮する必要がある．しかし，スパン方向の渦運動と後流のコヒーレント構造との関係についてはこれまで十分な議論がなされておらず，これは流れの非線形性によって生じるコヒーレント構造とは性質を異にするものである．翼端が壁面で支持された平板翼の後流のコヒーレント構造の形成メカニズムを詳細に解析することは，現実的な有限長の物体後流に形成されるコヒーレント構造に対して新たな知見を提供することができる．本研究は，有限長の平板翼後流のスパン方向に存在するコヒーレント構造の形成メカニズムの解明を目的としたものである．解析の対象となる平板翼は迎え角 0°で一様流中に設置されており，その両翼端が壁面で支持されている．この平板翼の後流に形成されるスパン方向のコヒーレント構造は三次元の数値計算を基にして可視化され，後流のコヒーレント構造とスパン方向の渦運動との関係は渦度輸送方程式の生成項によって評価されている．これらの解析結果に基づき，平板翼後流のコヒーレント構造はレイノルズせん断応力によって生じる後流中の定在波と関係することを以下に詳述する． 2 数値計算と風洞実験 2.1 流動モデル 図 1 は一様流中に設置された迎え角 0°の平板 翼の後流に形成されるコヒーレント構造の流動モデルを示したものである．座標系は翼弦長方向が x，翼厚方向がy，スパン方向がzである．一様流中に置かれた平板翼の後流にはスパン方向へ位相の異なるカルマン渦が放出される．スパン方向の渦の要素はセル10）_{とも呼ばれ，これらがスパ} v'w' r ＊_〒852-8521 _{長崎市文教町1-14} †_{E-mail : [email protected]}

(3)

佐々木壮一・児玉好雄ン方向に渡るコヒーレント構造を形成する．著者らは，平板翼後流のセルの大きさがスパン方向相関長さLSとして整理されると，それは後流の半値幅b1/2の約 3 倍の大きさとなることを風洞実験で明らかにしている7）_． 2.2 計算方法 本研究における三次元の流れ場は擬似圧縮法11）により計算されたものである．支配方程式は保存形のRANS方程式と連続の式により，式（1）として与えられる．このときここで，βは擬似圧縮係数（本計算ではβ =1.0）， µtは渦粘性係数である．RANS方程式の非粘性項の流束は構造格子の界面で 3 次精度のMUSCAL 法により計算され，粘性項は 2 次精度の中心差分で計算されている．レイノルズ数Reは1.0×105_として計算した．乱流モデルにはBaldwin-Lomax モデル12）_（以下_B-L_{モデルと略記）が適用されて} いる．後節で示される結果は 24,000 回の繰り返し計算で流れを定常状態へ収束させたものである． 2.3 格子の最適化 擬似圧縮法による計算精度は物体境界直上の最小格子幅の大きさによって左右される．そこで， 図 2 に示される平板周りの流れがパラメトリック に計算され，その計算結果を基にして最適な最小格子幅の大きさが検討されている．平板の格子は主流方向，及び主流と垂直方向へ不等間隔にそれぞれ 61 点と 32 点作成され，スパン方向には等間隔に 5 点作成されている．平板の前縁はx / C =0 であり，後縁はx / C =1.0 である．弦長C =1.0 の平板がy / C =0 に位置している． 図 3 には，平板の最小格子幅∆ ηminと平板上の平均摩擦係数−Cf の関係が異なるレイノルズReで 0 = + + + + + + z H y G x F z H y G x F t q v v v ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ （1） , , , , / 2 2 2 ú ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ê ë é + = ú ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ê ë é + = ú ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ê ë é + = ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é = w p w wv wu H v vw p v vu G u uw uv p u F p w v u q b ú ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ê ë é + + -= ú ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ê ë é + + -= ú ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ê ë é + + -= 0 2 0 2 0 2 z y z x z v z y y x y v z x y x x v w w v w u H , v w v v u G , u w u v u F n n n r m n t Re C U ₊ º 0 Blade U0 ; Uniform Flow Cell LS; Span-wise Correlation Length b1/2; Half width of

the half depth

z x y 図 1 後流に形成されるコヒーレント構造の流動 モデル 図 3 最少格子幅と平均摩擦係数の関係 図 2 平板の格子 10-3 10-2 10-1 10 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 10 10 10 10 10 10 10

D h

min

C

f Re =1.0×104 Re =1.0×105 Re =1.0×106 Re =1.0×107 -2.0 -1.0 0 1.0 2.0 3.0 4.0 0 1.0 2.0 im = 61 jm = 32 km = 5 Leading edge, x/C=0 Trailing edge, x/C=1.0

y/

C

x/C

Plate

(4)

平板翼の後流に形成される定在波とコヒーレント構造計算された場合について示されている．図中の破線は，各レイノルズ数での最小格子幅∆ ηminが y+₌_{1 となる関係を示したものである．平板上の} 平均摩擦係数−Cfは図中の破線よりも左側の格子幅で一定の値となることがわかる． 図 4 はレイノルズ数Reと平均摩擦係数−Cfの関係を示したものである．図中の●がB-Lモデルを用いずに計算した結果であり，○がB-Lモデルを用いた計算結果である．また，図中の一点鎖線は Blasiusの式による層流の平均摩擦係数の関係を示したもので，破線はSchoenherrの式による乱流の平均摩擦係数の関係を示したものである13）_． このとき，数値計算に用いられた最小格子幅は図 3 の破線よりも左側の大きさであり，これは最小格子幅の大きさがy+_{≦ 1.0 の条件を満足するもの} である．計算結果の平均摩擦係数は一点鎖線と破線にそれぞれ一致した値となる．即ち，本計算における平均的な乱流特性を決定するための一つ目安は，最小格子幅がy+₌_{1.0 近傍となるように定} めればよいことがわかる． 図 5 はスパン長さb / C =4.0 の平板翼の格子形状を示したものである．x-y平面における平板翼の断面形状は後縁が切り立った形状となっている．このため翼周りに連続した節点をもつ格子が作成されると後縁の角部での形状が歪み，これが計算精度の劣化を招くことになる．本計算では，翼側の格子と後流側の格子が後縁の切り立った形状を正確に形作るために各々作成され，その境界部分の流れの数値解を互いの境界条件として与え合いながら計算することが可能な接合格子法が用 いられている．接合格子の主要諸元は表 1 に示さ れる通りである．平板翼の翼厚はD/C =0.1 であり，この平板翼がスパン長さb / C =2.0 ，3.0，4.0 の 3 種類について作成されている．解析領域の範囲は翼弦長 C を基準にx / C =− 4 . 0 ∼ 5 . 0 ， y / C=−4.0 ∼ 4.0，z / C= 0 ∼ 4.0 とした．境界条件は，翼側の格子の外側境界に一様な主流速度 U0がDirichlet条件として与えられ，後流側の外側境界と流出境界にはNeumann条件が与えられている．また，風洞実験の流れと条件を等しくするために，翼表面だけでなく翼端側の壁面にも Non-slip条件が課せられている．

-4.0∼4.0

y/C

0.1 D/C

Thickness

2.0, 3.0, 4.0

b/C

Span

56×48×101

Blade side

Number of

point

_{Wake side}

_48×68×101

-4.0∼5.0

x/C

Scale of grid

0∼4.0

z/C

1.0 C

Chord

表 1 接合格子の諸元 図 5 平板翼の接合格子 Blade Wall Wall x y C D

z

x

y

b D/C=0.1 b/C=4.0 図 4 レイノルズ数と平均摩擦係数の関係 103 104 105 106 107 108 109 100 101 102

Re

1000

C

f

Cal. (without B-L model) Cal. (with B-L model) Blasius Eq. (laminar flow) Schoenherr Eq. (turburent flow)

(5)

佐々木壮一・児玉好雄 2.4 風洞実験 風洞実験で用いられた平板翼の形状は図 5 の二 次元の格子形状と同じである．平板翼の翼弦長C は 50mm，翼厚Dは 5mmである．スパン長さ bは実験装置のノズル形状に合わせて 100mmとした．風洞装置はオープンチャネル形で，主流の乱れはノズル出口で 0.2 % 以下である．ノズル出口での主流速度はおよそ 30.0m/sに統一されており，このとき翼弦長Cを基準としたレイノルズ数 Reは約 1.0 × 105_{である．平板翼はノズル出口か} ら 100mm後方に設置され，その両翼端が壁面で支持されている．後流特性の計測にはx型熱線プローブが用いられている．後流の速度と速度変動の分布はその熱線プローブをトラバース装置で移動しながら熱線流速計で測定されたものである．熱線流速計から出力される電圧信号はトラバース装置が 1 ステップ移動する毎にADコンバーターを介して計算機へ入力され，速度のアンサンブル平均と速度変動のrms値が計算機でリアルタイムに解析される． 3 後流構造の解析 3.1 渦度輸送方程式による解析 式（2）は流れ方向へ軸をもつ時間平均された渦度輸送方程式を示したものである14，15）_. ここで，式（2）の右辺第 1 項は平均伸長による渦度の生成，第 2，3 項は平均せん断による渦度の生成，第 4， 5，6 項はレイノルズ応力による渦度の生成，第 7 項は粘性による渦度の消散を表す．後節の解析では文献（15）を参考にして，右辺第 1，2，3 項を非粘性生成項と呼び，また第 4，5，6 項を乱流生成項と呼ぶことにする．望月ら16）_{のレイノルズ数} が 1.0×104_{におけるハーフデルタ翼の風洞実験で} は，粘性項は他の項と比較して 2 桁小さいと記されている．これを参考に，ここでは粘性項が渦度 Ωxの消散へ及ぼす影響は小さいものとして取り扱う． 3.2 後流に形成される定在波 壁面によって支持された柱状物体の翼端側には，主流方向へ軸をもつ渦度Ωxが二次流れなどによって形成される17，18）_{．本論文中における以下} の説明では，この渦が縦渦と呼ばれている．本研究の対象となる後流のコヒーレント構造はこれらの縦渦によって生じるスパン方向の渦運動との関係を議論するものであり，流れの非線形現象によって生じる瞬時のコヒーレント構造について言及 するものではない．図 6 はy-z断面における平板翼の後流の速度成分 (v, w) による流線の変形に関する概念図を示したものである．回転方向の異なる縦渦対が二次流れなどにより翼端側でy=0 を中心として軸対称に生成されると，そのスパン方向（z方向）の流線は 2 つの縦渦の干渉により発振すると考えられる．スパン方向の渦運動がカル

(

)

( )

x z y x x w v z y w w v v z y y w u z v u x z u y u x u z w y v x u W n W W W W 2 2 2 2 2 2 Ñ + ¢ ¢ -÷÷ø ö ççè æ ¶ ¶ -¶ ¶ + ¢ ¢ -¢ ¢ ¶ ¶ ¶ + ÷÷ø ö ççè æ ¶ ¢ ¢ ¶ + ¶ ¢ ¢ ¶ ¶ ¶ + ¶ ¶ + ¶ ¶ + ¶ ¶ = ÷÷ø ö ççè æ ¶ ¶ + ¶ ¶ + ¶ ¶ （2） ÷÷ø ö ççè æ ¶ ¶ + ¶ ¶ = Ñ ¶ ¶ -¶ ¶ = ¶ ¶ -¶ ¶ = ¶ ¶ -¶ ¶ = 2 2 2 2 2 , , z y y u x v x w z u z v y w z y x W W W

y/C

z/C

W

x

Blade

Wall

2 / 1

2

2 /

b

y

»

l

S z

/

2 »

L

l

図 6 y - z断面における平板翼後流の概念図

(6)

平板翼の後流に形成される定在波とコヒーレント構造マン渦と同じ周波数で振動するならば，スパン方向の振動も統計的には線形の現象として捉えることができる．このとき渦度輸送方程式の右辺第 6 項のレイノルズせん断応力による生成項が式（3）のラプラスの式として仮定されると，スパン方向の渦運動を線形化することができる．縦渦対の干渉によって生じる速度成分vとwの流線の変形が大きな位置では，混合長理論の関係から強いレイノルズせん断応力が発生する．従って，スパン方向の流線が縦渦の運動によって規則的な変形をするならば，式（3）の解も同様な振動をすると考えられる．式（4）は，式（3）の解を調和関数として近似したものである．ここで，Τはの最大値，λyとλzはそれぞれyとz方向の波長である．式（4）の波長がλy=λz の関係となるとき，式（3）のラプラスの式が満足される．平板翼の両翼端が壁面で支持されると，両翼端の縦渦対の回転はz=b/2 を中心として軸対称のせん断層を形成するため互いに反転する．このため，式（4）の振動はスパン方向へ互いに対向して進行すると考えられる．従って，スパン中央付近で形成されるレイノルズ応力の分布は，式（4）の解の重ね合わせから次にように表すことができる．式（5）は，例え後流のコヒーレント構造がカルマン渦によって非定常の挙動を示す場合においても，スパン方向には波長λzの定在波が生じることを示すものである． 4 結果および考察 4.1 実測値の後流特性との比較 図 7 はx-y断面における平板翼後流の主流方向速度成分u/U0の分布を実測値と計算値の両者で比較したものである．（a）が風洞実験によって計測された実測値の速度分布であり，（b）が数値計算の速度分布である．u/U0の分布は平板翼背面の死水領域で主流よりも減速し，主流と死水領域との間には速度せん断層が形成されている．計算値の後流の速度分布は，このような実測値の傾向を再現することができている． 図 8 は，翼後縁から 2.0D後方（x/C=1.2 ）で v'w' r v'w' r v'w' r ) 0 ' ' ( 0 ' ' 2 2 2 2 ¹ = ÷÷ø ö ççè æ ¶ ¶ -¶ ¶ _v_w _v_w z y Q （3） ÷÷ø ö ççè æ ₊ ÷ ÷ ø ö ç ç è æ + = y z t w v z y w l l Tsin 2p sin 2p ' ' wt （4） ) cos( 2 sin 2 sin 2 2 sin 2 sin 2 sin ' ' t z t y t z t z t y w v z y z z y w l p w l p T w lp w lp w lp T × ÷÷ø ö ççè æ ÷ ÷ ø ö ç ç è æ + = þ ý ü î í ì ÷÷ø ö ççè æ -+ ÷÷ø ö ççè æ + ÷ ÷ ø ö ç ç è æ + = （5） 図 8 レイノルズせん断力ru'v' の分布 図 7 平板翼後流の主流方向速度の分布 （b）計算値（a）実測値

r

uÕvÕ

y/C

0 0.1 0.2 0 0.01 0.02 D/C =0.1 Re =1.0×105 x/C =1.2 Exp. Cal. 0.0 0.1 0.2 0.8 1.0 1.2 1.4 0.6 0.8 1 0.6 x/C y/C D/C=0.1 Re=1.0 ´ 105 Trailing edge blade 0.0 0.1 0.2 0.8 1.0 1.2 1.4 0.20.4 0.6 0.8 x/C y/C D/C=0.1 Re=1.0 ´ 105 Trailing edge blade

(7)

佐々木壮一・児玉好雄のレイノルズせん断応力の翼厚方向（y 方向）の分布を示したものである．実測値と計算値のの最大値はそれぞれ 0.0145 と 0.0166 となった．計算値のレイノルズ応力は実測値よりも僅かに強くなるが，両者の間にオーダー的な誤差は発生しなかった．また，計算値のレイノルズ応力は実測値よりもややy方向へ広がった分布となるが，本研究で対象とする後流のコヒーレント構造の規則性やセルの大きさを考察するには支障のない程度である． 4.2 後流構造の可視化 図 9 は平板翼を通過する流線と無次元ヘリシテ ィー19）_{の分布を三次元的に可視化した図を示し} たものである．（a）は平板翼周りの流れの全体図を示したものであり，（b）は（a）のA部を拡大した図である．無次元ヘリシティーは式（6）として与えられる．ここで，は渦度ベクトル，は速度ベクトルを示しており， はベクトルの絶対値である．無次元ヘリシティーは渦度ベクトルと速度ベクトルの成す角の余弦を意味する．即ち，この値が 1.0 に近いほど互いのベクトルの方向が一致し，これは縦渦がその位置で形成されていることを意味する．図中の無次元ヘリシティーは 0.9 を閾値として，その値以上の空間的な分布が等数値面で表示されている．濃い色が正の値，淡い色が負の値である．（a）の流線の形状は翼の後流でスパンの中央付近からz方向の広い範囲に渡って変化しない．x-y平面におけるこの流線は渦巻くように変形しており，これが平板翼後流の二次元的な流線の特徴である．（b）の拡大図では，側壁近傍の流線が徐々に二次元的な流線を形作るよう三次元的ならせん状の変形をしていることがわかる（図中のB部）．一方，（a）の可視化画像には，平板翼の表面上には無次元ヘリシティーの分布は存在しない．これは，縦渦が時間平均的には翼表面上 V W u'v' r u'v' r に存在しないことを示すものである．また，（b）の後流側の無次元ヘリシティーは主流が三次元的な流線と干渉する位置で可視化されており，これは縦渦がこの位置で生成されていることを示すものである． 図 10 は平板翼表面上の限界流線と後流中の渦 度Ωxの等数値面（Ωx=0.01 ）を示したもので V V Hn r r r r W W × = （6） z x y U0 Wall B +Hn D/C=0.1 b/C=4.0 Re=1.0×105 図 9 流線と無次元ヘリシティーの可視化（Hn=0.9） 図 10 限界流線と渦度の等数値面の可視化（Ωx=0.01）（b）A部の拡大図 z x y -H_n +H_n U0 Wall Wall D/C=0.1 b/C=4.0 Re=1.0×105 A （a）全体図 z x y - x + x U0 Wall Wall D/C=0.1 b/C=4.0 Re=1.0×105 Ω Ω

(8)

平板翼の後流に形成される定在波とコヒーレント構造ある．ここでは，後流の規則性をより明確にするために速度の大きさが 0.4 以下の領域における渦度Ωxを可視化した．限界流線は物体表面上の摩擦応力線であり，物体に湧き出しや吸い込みがなければ限界流線のパターンがはく離線，あるいは再付着線に対応する20）_．限界流線のパターンには平板翼の前縁側と翼表面上の大部分の領域には規則的な変化がなく，後縁側で後流の渦度Ωxと同様の分布が生じている．また，平板翼の後流中には同程度の強さを有する 10 個の渦度Ωxが正負交互に形成されている．このとき，単純にスパン長さb/C=4.0 を 10 分割することでセルの大きさを見積もると，1 つのセルの大きさは約 0.4，即ち翼厚Dの 4 倍程度の大きさとなる．これは，飯田ら2）_{，あるいは深野ら}21）_の実測値のスパン方向相関長さLsの値に近い．例えば，このセルの大きさが後縁での層流境界層の厚さとで比較されると，このセルの大きさはδの約 25 倍となる．しかし，本計算で設定されたスパン方向の格子点数では後縁側の 1 つのセルの境界層内部における 25 個の縦渦構造を計算することができない．このことから，本実験結果における後縁側の限界流線の分布は後流中のコヒーレント構造によって形成されたものであると考えられる． 4.3 後流構造の解析 本節では，後縁から翼弦長方向に 2.0D後方（x/C=1.20 ）のy-z断面におけるスパン方向の後流構造が解析されている．ここで，渦度輸送方程式の非粘性生成項の分布が渦度と速度の変形との積で表示されると，右辺第1項から第 3 項の三者ともスパン方向へ構造的な変化が生じ，かつ， y/C<0.05 の領域におけるスパン中央付近での各生成項の平均的な大きさは 1/10 程度のオーダー（対数表示で−1）となった．そこで，非粘性 生成項は図 11 の（a）から（f）に示されるように渦度と速度の変形に分けて評価した．いずれも左側が渦度の分布，右側が主流方向速度の伸長とせん断による変形の分布である．また，翼端側の壁面せん断層近傍での流れはスパン中央付近の流れと比較して大きく変形するために，各生成項の値はその絶対値の対数を用いて整理されている．（b）の速度の伸長による変形∂u /∂xはスパン方向へ一様な分布となった．このため，これが渦度Ωxのコヒーレント構造を形成する直接の原因ではないことがわかる．また，同様に（d）の速度のせん断による変形∂u /∂yと（e）の渦度Ωzの分布もスパン方向へ一様になった．一方，（c）の渦度Ωyと（f）の速度のせん断による変形∂u /∂zの分布にはスパン方向へ構造的な変化が生じた．Ωyは渦度の定義から∂u /∂zを含むために，ここで両者が渦度 Ωxの生成に与える影響を議論することはできない．しかし，（a）の渦度Ωxの分布における節の位置は，（c）のΩyあるいは（f）の∂u /∂zの節の位置とスパン方向へ渡って一致した分布となり，互い d (= 5x/ Rex) (= u2+ +v2 w2) 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 -0.2 -0.1 0.0 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 0.0 0.1 0.2 -3 -3 -3 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -3 -1 -1 -1 -1 -1 z/ C y/C D/C=0.1 b/C=4.0 x/C=1.2 Re=1.0 ´ 105 wall wall 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 -0.2 -0.1 0.0 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 0.0 0.1 0.2 -2 -2 -2 -1 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 ₀ 0 -1 -1 -2 -1 -1 -1 -1 0 1 -1 z/ C y/C D/C=0.1 b/C=4.0 x/C=1.2 Re=1.0 ´ 105 wall wall 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 -0.2 -0.1 0.0 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 0.0 0.1 0.2 -1 0 1 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 0 -1 -1 -1 0 -10 -1 -2 -2 z/ C y/C D/C=0.1 b/C=4.0 x/C=1.2 Re=1.0 ´ 105 wall wall 図 11 渦度と主流方向速度の変形の分布 （a）Ωx （b）∂u /∂x （c）Ωy （d）∂u /∂y （e）Ωz （f）∂u /∂z

(9)

佐々木壮一・児玉好雄の分布が無関係ではないことがわかる． 図 12 の（a）から（e）は同じ断面での乱流生成項の各要素の分布を個別に示したものである．（a）と（b）のレイノルズせん断応力の伸長による生成項の分布には，スパン方向へ構造的な変化が生じるものの，スパン中央付近での生成項の大きさは非粘性生成項の平均値（対数表示で−1 ）よりも 2 桁ほど小さい．（c）のレイノルズ垂直応力による生成項の分布はスパン方向へ一様な分布となり，スパン中央付近では流線の可視化で確認された後流の二次元的なせん断層の影響が現れている．一方，（d）のレイノルズ垂直応力の生成項はスパン中央付近でよりも 3 桁ほど小さく，これらのレイノルズ垂直応力の和が全体としてスパン方向のコヒーレント構造の形成に及ぼす影響は小さいと考えられる．（e）のレイノルズせん断応力による生成項の分布はスパン方向へ構造的に変化し，その値は乱流生成項の中で最も大きくなった．また，この生成項はスパン中央付近においても 1/10 程度の大きさを維持しており，これは非粘性生成項の平均的な大きさと同程度となった． 図 13 はy - z断面におけるレイノルズせん応力の分布を異なるスパン長さの平板翼について比較したものである．（a）がスパン長さ b/C＝2.0，（b）がb/C＝3.0，（c）がb/C＝4.0 の計算結果である．これら三者のレイノルズせん断応力rv'w' のセルはスパン方向へ正負交互の符号 v'w' r v'w' r v'v' r w'w' r v'v' r y/C 0.0 1.0 2.0 -0.2 -0.1 0.0 -5 -3 -3 -3 -3 -3 -3 -3 -3 -3 -3 0.0 1.0 2.0 0.0 0.1 0.2 D/C=0.1 b/C=2.0 x/C=1.2 Re=1.0 ´ 105 blade z/ C Wall Wall z/ C y/C 0.0 1.0 2.0 3.0 -0.2 -0.1 0.0 -5 -3 -3 -3 -3 -3 -3 -3 -3 -5 0.0 1.0 2.0 3.0 0.0 0.1 0.2 blade Wall Wall D/C=0.1 b/C=3.0 x/C=1.2 Re=1.0 ´ 105 y/C 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 -0.2 -0.1 0.0 -5 -3 -3 -3 -3 -3 -3 -3 -5 -3 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 0.0 0.1 0.2 z/ C blade Wall Wall D/C=0.1 b/C=4.0 x/C=1.2 Re=1.0 ´ 105 図 13 レイノルズせん断力rv'w'の分布 z/ C y/C 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 -0.2 -0.1 0.0 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 0.0 0.1 0.2 -3 -2 -2 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1_-1 -1 -1 -1 0 0 0 0 1 -1 -1 0 -2 0 -1 -2 -3 -3 -2 -2 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 -1 -1 -1 -3-2 -1 -1 -1 -3 -1 -1 D/C=0.1 b/C=4.0 x/C=1.2 Re=1.0 ´ 105 wall wall 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 -0.2 -0.1 0.0 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 0.0 0.1 0.2 -2 -1 0 1 1 1 2 2 1 -1 1 1 -3 -3 -2 -2 -1 -1 -1 -1 -1 0 0 0 1 1 1 -3 1 0 2 -3 -1 z/ C y/C D/C=0.1 b/C=4.0 x/C=1.2 Re=1.0 ´ 105 wall wall 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 -0.2 -0.1 0.0 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 0.0 0.1 0.2 -3 -3 -3 -3 -1 -1 -1 -1 -1 -3 -1 1 1 -1 1 1 -1 1 1 z/ C y/C D/C=0.1 b/C=4.0 x/C=1.2 Re=1.0 ´ 105 wall wall （a）（b） x u v z x u w y ¶ ¶ ¶ ' ' ¶         _¶¶ ¶ ' '_¶         （c） y z v v （d） y z w w ¶ ¶ ¶

(

¶ ' '

)

¶ ¶ ¶

(

¶ ' '

)

（e） _¶¶_y − ¶_¶_z v w        

(

− ' '

)

2 2 2 2 図 12 乱流生成項の分布 （a）b/c = 2.0 （b）b/c = 3.0 （c）b/c = 4.0

(10)

平板翼の後流に形成される定在波とコヒーレント構造で配置される．いずれも翼端側で形成される壁面せん断層が 0.5 程度の領域を占めており，のセルはそのせん断層に挟まれた領域で規則的に形成されている．スパン方向のコヒーレント構造を形成するこのセルの数は，スパン長さが大きく なるにしたがって増加することがわかる．表 2 は 後流のの 1 つのセルの大きさを定在波の波長λz/2 として整理したものである．ここで，N は後流のコヒーレント構造を形成するセルの数で あり，これは図 13 の壁面せん断層の影響を受け ないのセルの個数を数えたものである．この整理では定在波の波長λz/2 は，スパン長さ b/Cが 3.0 と 4.0 の場合において，翼厚の約 3 倍の大きさとなった．これは，著者らが実際に風洞実験で計測した平板翼（b/C=4.0）のスパン方向相関長さと同程度の大きさである7）_． 図 1 4 は主流方向へ発達する後流の半値幅 2b1/2/ Dの変化を示したものである．図中の●印が風洞実験の実測値であり，○印が数値計算の結果である．図中の実線は，Schlichtingの実験で確認されている遠距離場後流における半値幅の特 v'w' r v'w' r v'w' r 性を示したものである13）_．半値幅の大きさは後流中のカルマン渦の時間平均的な渦間隔によって変化する．従って，これは翼厚方向（y方向）の定在波の波長λy/2 と関係する後流特 性であると考えることができる（図 6 参照）．計 算結果の後流の半値幅はおよそx / D≧ 14 の領域で遠距離場後流の特性となった．半値幅 2b1/2と定在波の波長λy/2 を厳密な意味で比較をすることはできないが，遠距離場での後流の半値幅 2b1/2は翼厚の 3 倍程度の大きさとなり，これらの特性は定在波の存在を満足する条件λy=λzに近づくことがわかった． 5 結論 両翼端が壁面で支持された一様流中の平板翼後流のスパン方向へ形成されるコヒーレント構造の特性について解析し，以下の結論を得た．（1）流線と無次元ヘリシティーによる流れの可視化では，平板翼を支持する壁面近くで発達する三次元的なせん断層と主流が干渉する位置で，縦渦の生成が確認された．また，翼厚比 0.1，スパン長さ 4.0 の平板翼の後流のコヒーレント構造は 10 個の渦度Ωxのセルから形成された．（2）平板翼表面上の限界流線のパターンには，その前縁側と翼表面上の大部分の領域には規則的な変化がなく，その後縁側で後流中の渦度 Ωxと同様の分布が生じた．（3）渦度輸送方程式の各生成項を用いて後流構造を解析した結果，乱流生成項の中ではレイノルズせん断応力による渦度の生成が最も大きく，かつそれはスパン方向へ構造的に分布した．（4）平板翼の後流中のセルの大きさが定在波の波長λz/2 として整理されると，それは翼厚の約 3 倍の大きさとなった．これは風洞実験によって確認されている実測値のスパン方向相関長さと同程度の大きさであった．（5）後流中の定在波の運動が満足される条件 λy=λzは遠距離場の後流中で形成されるコヒ v'w' r b1 2/ ∝a x ( ) 図 14 後流の半値幅の変化

10

20

30 40 50

1

2

3

4

5

Exp. Cal. D/C=0.1 Re=10×105

x/D

2b

1/2

/D

x

b

1/2

µ

a

3.0 0.3 10 4.0 5.0 0.5 2 3.3 0.33 6 3.0 0.1 2.0 (λz/2) /D

λ

z/2 N D/C b/C 表 2 平板翼の後流特性

(11)

佐々木壮一・児玉好雄

ーレント構造に存在することがわかった．

参考文献

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平板翼の後流に形成される定在波とコヒーレント構造