1 環論からの準備

(1)

代数学特論 3

木曜 2 ^限 (10:40 ∼ 12:10) K310 担当教員 : 加塩朋和研究室 : 4 号館 3 階 E-mail : kashio [email protected]

この講義では, 1 次元の可換な形式群 (formal group)の基本的な理論と, そのいくつかの応用を理解することを目標とする. 具体的には以下を紹介する予定である.

• 形式群の定義.

• p 進整数環,p 進体, 局所体, Lubin-Tate の形式群.

• 楕円曲線の演算・L 関数・不変微分形式, これらに付随する形式群.

• もし時間が許せば

– 形式群の本田理論の概要.

– Lubin-Tateの形式群の, 局所類体論への応用.

参考文献

[dS1] E. de Shalit, The explicit reciprocity law in local class field theory, Duke Math. J., vol. 3 (1987), no. 1, 163–176.

及びその解説:

金子昌信, E. de Shalit「The Explicit Reciprocity Law in Local Class Field Theory」 (preprint)の紹介, 数理解析研究所講究録(1986), 589, 105–111.

[dS2] E. de Shalit, Formal Groups, Local Units, and Measures (Chap. I). InIwasawa theory of elliptic curves with complex multiplication,p-adicL functions, Perspect. Math.3, Academic Press, 1987.

[Iw] K. Iwasawa, Local class field theory, Oxford Univ. Press, 1986.

[Sil] J.H. Silverman, The Formal Group of an Elliptic Curve (Chap. IV). In The arith- metic of elliptic curves, GTM 106 (2nd ed.), Springer, 2009.

[西] 西来路文朗, 形式群の本田理論, 中央大学集中講義・講義録, 2008.

[吉] 吉田輝義, Lubin-Tate 理論入門, プレプリント.

(2)

1 ^{環論からの準備}

1.1 ^有限体

定義 1. 集合 F が体であるとは, 以下を満たすことである.

(0) 二種類の演算,加法+ :F×F →F, (a, b)7→a+bと乗法·: F×F →F, (a, b)7→a·b が定義されていて, 以下を満たす.

(1) 結合法則: ∀a, b, c∈F, (a+b) +c=a+ (b+c). (a·b)·c=a·(b·c).

(2) 可換性: ∀a, b∈F,a+b =b+a,a·b =b·a.

(3) 零元と乗法単位元の存在: ∃0,1∈F s.t. ∀a∈F,a+ 0 =a, a·1 =a, 0̸= 1.

(4) 加法逆元の存在: ∀a ∈F, ∃(−a)∈F s.t. a+ (−a) = 0.

(5) 乗法逆元の存在: ∀a ∈F − {0}, ∃a⁻¹ ∈F s.t. a·a⁻¹ = 1.

(6) 分配法則: ∀a, b, c∈F, a·(a+b) = (a·b) + (a·c).

さらに n :=|F| <∞ のとき, F は有限体または n 元体と呼ばれる. なお, 乗法逆元の存在以外を満たすものを可換環と呼ぶ.

命題 2. p を素数とする. このとき整数環 Z を, 極大イデアル(p) =pZ で割った剰余環 Fp :=Z/pZ={0,1, . . . , p−1}

は有限体 (p 元体)となる.

命題 3. 任意の有限体F の標数は素数となる. この素数を p とおくとき, F は Fp の有限次拡大 (と同型) になる. とくに |F| は, pの拡大次数冪 p^[^F^:^F^p^] となる.

1.2 形式的冪級数環 , 形式的ローラン級数体

命題 4. R を可換環とする.

(1) x を変数とする, R 係数の形式的冪級数全体のなす集合 R[[x]] :=

{ _∞

∑

i=0

c_ixⁱ |c_i ∈R }

(4)

を考える. R[[x]]は,以下の演算に関して可換環となり, R 係数の 1 変数形式的冪級数環と呼ばれる.

∑∞ i=0

cixⁱ+

∑∞ i=0

dixⁱ =

∑∞ i=0

(ci+di)xⁱ, ( _∞

∑

i=0

c_ixⁱ

) ( _∞

∑

i=0

d_ixⁱ )

=

∑∞ i=0

( _i

∑

k=0

c_kd_i₋_k )

xⁱ. 同様に,多変数の形式的冪級数環 R[[x₁, x₂, . . . , x_n]] も定義される.

(2) R 係数の形式的ローラン級数全体のなす集合 R((x)) :=

{ _∞

∑

i=l

c_ixⁱ |l∈Z, c_i ∈R }

を考える. R((x))は,以下の演算に関して可換環となり, R 係数の 1 変数形式的ローラン級数環と呼ばれる

∑∞ i=l1

c_ixⁱ+

∑∞ i=l2

d_ixⁱ =

∑∞ i=min(l1,l2)

(c_i+d_i)xⁱ, ( _∞

∑

i=l1

c_ixⁱ

) ( _∞

∑

i=2

d_ixⁱ )

=

∑∞ i=l1+l2

(∑

k∈Z

c_kd_i₋_k )

xⁱ.

ここで i < l₁, j < l₂ に対しては c_i = 0, d_j = 0 として考える. とくに ∑

k∈Z は実質的に有限和である. 同様に,多変数の形式的冪級数環 R((x₁, x₂, . . . , x_n))も定義される.

(3) F を体とする. このときF((x)), F((x₁, x₂, . . . , x_n))は体となり,

形式的ローラン級数体と呼ばれる. これらは F[[x]], F[[x1, x2, . . . , xn]] の商体である. また

F((x)) =F[[x]][x⁻¹], F((x₁, x₂, . . . , x_n)) =F[[x₁, x₂, . . . , x_n]][x⁻¹₁ , x⁻¹₂ , . . . , x⁻¹_n ] である. (R[α, β, . . .] は R に α, β, . . . を添加した環を表す.)

補題 5. R を可換環とする. 形式的冪級数の乗法群 (乗法可逆元全体のなす群) は R[[x]]^× =

{ _∞

∑

i=0

c_ixⁱ |c_i ∈R, c₀ ∈R^× }

で与えられる. また ∑_∞

i=0c_ixⁱ ∈R[[x]]^× の乗法逆元の定数項はc⁻¹₀ となる. 証明. 前半を言うにはf(x) =∑_∞

i=0c_ixⁱ ∈R[[x]] に対して

(5)

∃g(x)∈R[[x]] s.t, f(x)g(x) = 1 ⇔ ∃^(⋆) d∈R s.t. c0d = 1 を確かめればよい. g(x) =∑_∞

i=0d_ixⁱ とおけば f(x)g(x) = 1⇔

∑i k=0

c_kd_i₋_k =

{c₀d₀ = 1 (i= 0) c0di+c1di−1+· · ·+cid0 = 0 (i >0) よって d=d₀ とおけば (⋆) の (⇒) が成立. (⇐) を言うには

d₀ =d, d₁ =−c⁻₀¹c₁d₀ =dc₁d₀, . . . , d_i =d(−c₁d_i₋₁− · · · −c_id₀) と置いていけばよい. 後半は d₀ =d =c⁻¹₀ より従う.

補題 6. R を可換環とし, f(x) = ∑_∞

i=0c_ixⁱ ∈R[[x]] とする. (1) c0 = 0 であれば, g(x) = ∑_∞

i=0dixⁱ ∈R[[x]] に対して (g◦f)(x) := (g(f(x)) =d₀+d₁(

c₁x+c₂x²+· · ·) +d₂(

c₁x+c₂x²+· · ·)2

+· · ·

=d0+d1c1x+ (d1c2+d2c²₁)x²+· · · ∈R[[x]]

が定まる.

(2) c₀ = 0 とする. このとき

g(x)∈R[[x]] s.t. (f ◦g)(x) = (g◦f)(x) = x.

を満たす g(x)∈R[[x]]を f(x)の逆関数と呼ぶ. 以下は同値: c₁ ∈R^× ⇔ f(x)の逆関数が存在する.

またこのときf(x)の逆関数はただ一つに定まる. これを f⁻¹(x) で表す.

証明. (1)各k= 0,1,2, . . . に対し,d₀+d₁(c₁x+c₂x²+· · ·)+d₂(c₁x+c₂x²+· · ·)²+· · · に表れる k 次の項が, 高々有限個であることを言えばよい. 実際 di(c1x+c2x²+· · ·)ⁱ は i 次以上の項しか持たないので, k 次の項は

d₀+d₁(

c₁x+c₂x²+· · ·)

+· · ·+d_k(

c₁x+c₂x²+· · ·)k

の部分にのみ現れる. また, 各 d_i(c₁x+c₂x²+· · ·)ⁱ (i = 0,1, . . . , k) に表れる k 次の項が, 高々有限個であるのは明らかであろう.

(2) g(x) = ∑_∞

i=0d_ixⁱ とおくと

(g◦f)(x) =d0+d1c1x+ (d1c2+d2c²₁)x²+· · ·=x

⇔d₀ = 0, d₁c₁ = 1, d₁c₂+d₂c²₁ = 0, . . . · · · (♯)

である. とくに d1c1 = 1 より『c1 ∈ R^× ⇐ f(x) の逆関数が存在』が言えた. あとは

『c₁ ∈R^× ⇒f(x)の逆関数がただ一つ存在』を言えばよい. このために

(6)

• (♯)を満たす (d₀, d₁, . . .)がただ一組に定まる.

• そのg(x) = ∑_∞

i=0d_ixⁱ が (f◦g)(x) =x も満たす.

を示す. 実際, (♯) を満たす d_i が

d₀ = 0, d₁ =c⁻₁¹, d₂ =−d₁c₂c⁻₁²,

...

というふうに順次決定される. (f◦g)(x) =x を満たすことは,例えば以下の手順で示せる:

• 上の議論を f(x) の代わりに g(x) = 0 +c⁻₁¹x+· · · に対して適用して ∃h(x) s.t.

(h◦g)(x) = x が分かる.

• 形式的冪級数の合成が結合法則を満たすこと, すなわち ((f₁ ◦f₂)◦f₃)(x) = (f₁◦ (f₂◦f₃))(x)を示す.

これらより

f(x) = ((h◦g)◦f)(x) = (h◦(g◦f))(x) = h(x),

すなわち f(x) = h(x)は (f ◦g)(x) = x を満たすことが分かった. 詳細は省略する. 定義 7. 可換環の射影系とは, 可換環 R_m (m ∈ N) と, 環準同型写像 π_n,m: R_n → R_m (1≤m≤n) の組で

πm,m = idRm (m∈N), πn,l =πm,l◦πn,m (1≤l≤m ≤n) を満たすもののことである.

命題 8. 可換環の射影系 {R_m}m∈N,{π_n,m}1≤m≤n が与えられているとする. このとき lim←−

m

R_m :=

{

(a_m)_m_∈N∈ ∏

m∈N

R_m |π_n,m(a_n) =a_m (1≤m≤n) }

は, 直積環∏

m∈NR_m の部分環となり, とくに可換環となる. lim_←−

m

R_m を R_m の逆極限, または射影極限と呼ぶ.

問題 1. R を可換環とし, 多項式環 R[x] を考える.

(1) 単項イデアル(x^m) による剰余環R[x]/(x^m) と, 自然な射影

π_n,m: R[x]/(xⁿ)→R[x]/(x^m), π_n,m(f(x) + (xⁿ)) :=f(x) + (x^m) (1≤m≤n) は, 可換環の射影系となっていることを示せ.

(7)

(2) 逆極限 lim

←−m

R[x]/(x^m)と,形式的冪級数環 R[[x]] は同型であることを示せ.

(3) R=Zとする. 1−x∈Z[[x]]は可逆元であることを示し,その逆元(1−x)⁻¹を求めよ.

また, 同型 Z[[x]] ∼= lim_←−

m

Z[x]/(x^m) により, (1−x)⁻¹ に対応する元 ∈ lim

←−m

Z[x]/(x^m) を求めよ.

略解. (2) 具体的な写像 R[[x]]→lim

←−m

R[x]/(x^m),

∑∞ i=0

c_ixⁱ 7→

(_m₋₁

∑

i=0

c_ixⁱ+ (x^m) )

m∈N

が同型写像となる.

(3) (1−x)⁻¹ = 1 +x+x²+· · ·=∑_∞

i=0xⁱ.

1.3 p 進数体と p 進整数環 , 局所体とその整数環

実数 α ∈ R は, 少数展開 α = c.c₁c₂c₃c₄. . . (c ∈ Z, c_i ∈ {0,1, . . . ,9}) の形で表され, なじみ深いものとなっている. 実際は, 実数体 R の構成において, 収束 (0.c₁c₂c₃c₄. . . =

∑_∞

i=1c_i(₁₀¹)ⁱ),完備性, 同一視 (1 = 0.99999. . .)なども用いた,高度な正当化が行われている. これには, とくに

1

10 が小さい数であり, 特にlim_n_→∞(₁₀¹ )ⁿ = 0 であることが利いている. もし, 逆に

10が小さい数であり, 特にlimn→∞(10)ⁿ= 0

(i.e., “10 で何回も割り切れる整数は, とても小さい数である”)

であるような理論を作れれば, 無限桁の 10進展開 . . . c₄c₃c₂c₁c₀ =∑_∞

i=0c_i(10)ⁱ が正当化でき,実数とは異なった数の体系が構築できる. 以下では10 を任意の素数p に変えて

無限桁の p 進展開∑_∞

i=0c_ipⁱ (c_i ∈ {0,1,2, . . . , p−1})

に意味を持たせ,実数体 R とは異なる数の世界,p進整数環Zp を得る. 以下, 素数 pを固定して考える. p 進整数環 Zp を, 3種類の方法で定義する.

定義 9. 整数環 Z 上のp 進付値v_p, p 進絶対値| · |p, p 進距離d_p を以下で定める. (1) 整数n の (加法的) p 進付値vp(n)∈ {0,1,2, . . . ,} ∪ {∞} を

n が “p で丁度 e 回割れる” (i.e.,n ∈p^eZ−p^e+1Z)とき, vp(n) :=e で定める. ただしv_p(0) =∞ とする.

(8)

(2) n∈Z の p 進絶対値 |n|p := _p_v(n)¹ .

(3) m, n∈Zに対し dp(m, n) :=|m−n|p = _pv(m¹−n).

d_p は Z 上の距離関数 (p 進距離) となる. d_p による距離位相を p 進位相とよび, p 進位相による Z の完備化をZp,cmpl とおく.

定義 10. 2種類の形式的な(無限) p 進展開全体のなす集合を考える: Zp,expn :=

{ _∞

∑

i=0

c_ipⁱ |c_i ∈ {0,1,2, . . . , p−1} }

⊂Z^p,expn :=

{ _∞

∑

i=0

c_ipⁱ |c_i ∈Z }

, .

また,写像 π: Z^p,expn →Zp,expn, π(∑_∞

i=0c_ipⁱ) =∑_∞

i=0d_ipⁱ を各 n = 0,1,2, . . . に対し,∑_n

i=0d_ipⁱ (d_i ∈ {0,1,2, . . . , p−1}) は

∑n

i=0c_ipⁱ を pⁿ⁺¹ で割った余り ∈[0, pⁿ⁺¹−1]を p 進展開し直したもの

で定める. Zp,expn は, 以下の演算により可換環となる.

∑∞ i=0

cipⁱ+

∑∞ i=0

dipⁱ =π ( _∞

∑

i=0

(ci+di)pⁱ )

, ( _∞

∑

i=0

c_ipⁱ

) ( _∞

∑

i=0

d_ipⁱ )

=π ( _∞

∑

i=0

( _i

∑

k=0

c_kd_i₋_k )

pⁱ )

. 定義 11. 単項イデアル p^mZによる剰余環 Z/p^mZ と, 自然な射影

π_m,n: Z/pⁿZ→Z/p^mZ, π_n,m(x+pⁿZ) :=x+p^mZ は, 可換環の射影系となる. この射影系の逆極限を

Zp,invl := lim_←−

m

Z/p^mZ とおく.

命題 12. (1) 定義 9, 10, 11 におけるZp,cmpl,Zp,expn,Zp,invl は,互いに同型である. 各定義におけるの一般元を

• p 進位相による完備化 Zp,cmpl の一般元は [{an}n∈N]. ただし {an} は整数からなるp 進距離に関するCauchy 列で, [ ] は完備化における同値関係

{a_n}n∈N∼ {b_n}n∈N定義

⇔ d_p(a_n, b_n)→0 (n→ ∞) に関する同値類を表す.

• p進展開全体 Zp,expn の一般元は ∑_∞

i=0c_ipⁱ (c_i ∈ {0,1,2, . . . , p−1}) の形.

(9)

• 逆極限 Zp,invl の一般元は {x_m + p^mZ}m∈N の形. ただし x_m ≡ x_n modp^m (1≤m≤n)を満たす.

で表す. このとき, 同型写像による元の対応は

Zp,cmpl ∋[{a_n}n∈N]7→











∑_∞

i=0c_ipⁱ ∈Zp,expn s.t. 各nに対し∑_n

i=0c_ipⁱは, 十分大きなNのa_Nをp進展開したもの

{xm+p^mZ}m∈N∈Zp,invl s.t.xmは,

十分大きなNでa_N ≡x_m modp^m+1を満たす整数 Zp,expn ∋∑^∞

i=0

c_ipⁱ 7→

{[{∑n

i=0c_ipⁱ}n∈N]∈Zp,cmpl

{∑_m₋₁

i=0 c_ipⁱ+p^mZ}m∈N∈Zp,invl

Zp,invl ∋ {x_m+p^mZ}m∈N7→









[{x_n}n∈N]∈Zp,cmpl

∑_n

i=0c_ipⁱ ∈Zp,expn s.t. 各nに対し∑_n

i=0c_ipⁱは, x_n+1をp進展開したもの

となる. これらの対応で Zp,cmpl,Zp,expn,Zp,invl を同一視し Zp と表す.

(2) 自然な単射 Z,→Zp が存在する. 元の対応は, (1) と同じ一般元の表記を用いると

a7→









[{a}n∈N]∈Zp,cmpl (定数aからなる Cauchy 列)

∑_∞

i=0c_ipⁱ ∈Zp,expn は a を p進展開したもの (とくにa ≥0 なら有限和) {a+p^mZ}m∈N∈Zp,invl

とくに Zは Zp の部分環とみなせる.

(3) Z上の p進付値,p 進絶対値,p 進距離, p進位相はZp 上に拡張できる. Zp 上の (加法的) p 進付値

v_p: Zp → {0,1,2, . . . ,} ∪ {∞}

をそれぞれの定義で書くと

• v_p([{a_n}n∈N]) := lim_n_→∞v_p(a_n).

• v_p(∑_∞

i=0c_ipⁱ) := min(i|c_i ̸= 0).

• v_p({x_m+p^mZp}m∈N) := min(m|x_m ̸≡0 modp^m).

さらに d_p(a, b) := ¹

p^vp(a−b) とおくと Zp 上の距離関数 (p 進距離) となり, Zp 上の距離位相 (p 進位相)を与える.

(4) Zp は整域であり, ただ一つの極大イデアル pZp をもつ局所環である. また pZp ={a∈Zp |v_p(a)>0},

Z^×p =Zp−pZp ={a∈Zp |v_p(a) = 0}. となる.

(10)

問題 2. (1) 8∈Z3 は, 可逆元であることを示せ.

(2) 8⁻¹ ∈Z3 を 3進展開の形で表せ.

略解. (1) 例えば v₃(8) = 0 を言えばよい.

(2) 8 = 3²−1 なので 8⁻¹ =−(1−3²)⁻¹ =−(1 + 3²+ 3⁴+ 3⁶+· · ·) = 2 + 2∗3 + 1∗3²+ 2∗3³+ 1∗3⁴+ 2∗3⁵+ 1∗3⁶+· · ·.

命題 13. Qp :=Zp[p⁻¹] は, 整域Zp の商体となる. p 進数体と呼ばれる. 注意 14. Z, Q, Zp, Qp の集合としての関係をまとめておく.

(1) 包含関係は

Zp ,→ Qp

,→ ,→

Z ,→ Q である. また Qp を母集合と考えたとき

Zp∩Q=Z(p):=

{a

b |a, b∈Z, p∤b }

. ここで m∤n^定義⇔ n /∈mZ⇔ “n は m の倍数でない”.

(2) 相異なる素数p, q に対して

Zp ↔Zq, Qp ↔Qq

は “無関係な”集合である (包含関係を持たない). とくに Zp∩Zq

などは意味を持たない. ただし

(Zp∩Q)∩(Zq∩Q) = Z(p)∩Z(q):=

{a

b |a, b∈Z, p, q ∤b } は正しい式である. さらに

∩

p=2,3,5,7...

(Zp∩Q) =Z.

(3) 相異なる素数 pにおける Qp 達の “関係”として, (Hilbert 記号に関する)興味深い結果を一つ紹介しておく: a, b∈Q^× に対して以下は同値である:

(a) ax²+by² =z² が非自明な解(x, y, z)∈Q³− {(0,0,0)} をもつ.

(b) Q_∞ :=R とおく. 全ての素数 p および p= ∞ に関して ax²+by² =z² が非自明な解(x, y, z)∈Q³p− {(0,0,0)}をもつ.

(11)

定義 15. 体 K が以下のどちらかを満たすとき,K は(非アルキメデス的)局所体である, という.

(1) K は p 進数体Qp の有限次拡大である.

(2) K は, p 元体Fp 係数の 1変数ローラン級数体 Fp((t)) の有限次拡大である. 前者を標数 0 の局所体, 後者を標数 p の局所体,と呼び分ける.

命題 16. K を局所体(Qp または Fp((t))の有限次拡大) とする.

(1) 以下を満たす写像

v: K →R∪ {∞}

がただ一つ定まる. このv を K の正規加法付値とよぶ. (a) v(K^×) = Z. v(x) = ∞ ⇔x= 0.

(b) x, y ∈K に対してv(xy) =v(x) +v(y),v(x+y)≥min(v(x), v(y)).

とくに v:K^×→Z は全射群準同型写像である.

(2) K の部分集合

OK :={z ∈K |v(z)≥0}

は K の部分環であり, さらに完備離散付値環と呼ばれる性質を満たす. とくに (a) ただ一つの極大イデアル

p_K :={z ∈K |v(z)>0} をもち, 剰余体

FK :=OK/p_K

は有限体となる(|FK| は p 冪). またp_K は非可逆元の集合である. すなわち OK^× =OK −p_K.

(b) OK は単項イデアル整域である. とくにpK も単項イデアルであり, さらに π_K ∈K s.t. v(π_K) = 1

を満たす任意の元を用いてp_K = (π_K) となる.

OK,pK,π_K,FK を,それぞれK の整数環 (付値環),付値イデアル (極大イデアル), 素元 (一意化元), 剰余体と呼ぶ.

(12)

(3) K の正規加法付値 v を用いて

|z|K :=

( 1

|FK|

)v(z)

, d_K(x, y) :=|x−y|K

と定めると,d_K は K 上の距離関数となる. K,OK には,この距離位相 (p_K 進位相) をいれて考える. | · |K は K の正規乗法付値と呼ばれる.

(4) K, OK は, それぞれ位相体, 位相環と呼ばれる性質を満たす. さらに K,OK は完備であり, OK はコンパクトである. z ∈ K の基本近傍系として {z+pⁿ_K}n∈N が取れる. ここで z+pⁿ_K =

{

x∈K |d_K(x, z)<

( 1

|FK|

)n}

に注意. 問題 3. K =Qp とする. このとき

Qp の正規加法付値,整数環, 付値イデアル, 素元,剰余体, 正規乗法付値, p_Q_p 進位相を, Zp の定義中の記号で表せ.

(13)

2 ^{形式群の定義と例}

簡単のため,以下では R を整域とする.

2.1 形式群の定義

定義 17. f, g ∈R[[x1, . . . , xn]] (または ∈R[x1, . . . , xn]) を考える. (1) f(x₁, . . . , x_n) = ∑

0≤k1,...,kn

c_k₁_,...,k_nx^k₁¹· · ·x^k_nⁿ (c_k₁_,...,k_n ∈R) と表すとき,

f の m 次斉次部分 := ∑

k1+···+kn=m

c_k₁_,...,k_nx^k₁¹· · ·x^k_nⁿ.

(2) m= 0,1,2, . . . に対し

f ≡g mod degm ^定義⇔ f−g の 0 次斉次部分 ∼ m−1 次斉次部分が全て 0.

(3) R のイデアル I に対して

f ≡g mod I ^定義⇔ f−g の全ての係数 ∈I.

問題 4. m 次斉次部分のみからなる多項式をm 次斉次多項式と呼ぶ. このとき f(x₁, . . . , x_n)∈R[[x₁, . . . , x_n]] が m 次斉次多項式

⇒ ∀λ∈R, f(λx₁, . . . , λx_n) =λ^mf(x₁, . . . , x_n) が成り立つことを示せ. また,この逆が成り立つか考えよ.

定義 18. F(x, y) ∈ R[[x, y]] が以下の 3 条件を満たすとき, F(x, y) は R 上の (1 次元可換) 形式群 (または形式群則) である, という.

(1) F(x, y)≡x+y mod deg 2.

(2) F(F(x, y), z) =F(x, F(y, z)).

(3) F(x, y) =F(y, x).

(4) ∃inv_F(t)∈R[[t]] s.t. inv_F(t)≡0 mod deg 1,F(x,inv_F(x)) = 0.

(5) F(x,0) = x,F(0, y) =y.

注意 19. 今考えている条件下では (3), (4), (5) は, (1), (2) から自動的に従うことが示せる ([西,命題2.1.2, 2.1.3], [Sil, Remark 2.1, Application 5.3]). よって,今の場合は (1), (2) のみを定義としても良い.

(14)

問題 5. F(x, y)∈R[[x, y]] が形式群であるとき

inv_F(t)≡ −t mod deg 2 であることを示せ.

略解. inv_F(t) =c₀+c₁t+c₂t²+· · · とおいて,c₀ = 0,c₁ =−1を言えばよい. inv_F(t)≡0 mod deg 1, F(x, y)≡x+y mod deg 2, F(x,invF(x)) = 0 を使う.

2.2 G ˆ

^a

Gˆa(x, y) :=x+y は Z上の形式群であり,加法群と呼ばれる. 証明. (1), (2), (3), (5)は明らか. (4) は invGˆa(t) := −t とおけばよい.

2.3 G ˆ

^m

Gˆm(x, y) :=x+y−xyはZ上の形式群であり,乗法群と呼ばれる. ( ˆGm(x, y) := x+y+xy と定義することもある.)

証明. (1), (3), (5)は明らか. (2), (4) を確かめてみる：

Gˆm( ˆGm(x, y), z) = (x+y−xy) +z−(x+y−xy)z =x+y+z−xy−yz−zx+xyz, Gˆm(x,Gˆm(y, z)) =x+ (y+z−yz)−x(y+z−yz) = x+y+z−xy−yz−zx+xyz より(2) が従う. inv_G_ˆ

m(t) := t

t−1 =−t−t²−t³− · · · とおけば Gˆm(x,invGˆm(x)) =x+ x

x−1−x x

x−1 = (x² −x) +x−x²

x−1 = 0

より(4) が成り立つ.

注意 20. 形式群 (の一部) は, 実際の群演算の “テーラー展開” を表している. ただし

群の単位元を 0∈R へ移して表記している. 加法群Gˆa =x+yは,単位元が0なので “ 加法 +” をそのまま表している. 乗法群Gˆm(x, y) =x+y−xy の場合は“乗法 ·” の単位元が1 なので,写像 φ(t) := 1−t で移して展開している. 実際

φ( ˆGm(x, y)) = 1−x−y+xy= (1−x)(1−y) = φ(x)·φ(y) である. 雰囲気としては, 乗法· が定義されている群を G_m とおいて

G_m×G_m −−−−−−→^(x,y)^7→^x^·^y G_m

φ×φ

x

 x^φ R×R −−−−−−−−−→

(x,y)7→x+y−xy R が可換となっている.

(15)

2.4 F

tan

Ftan(x, y) := x+y

1−xy = (x+y)(1 +xy+x²y² +· · ·) は Z 上の形式群である. tan 関数に付随する形式群, などと呼ばれる.

証明. (1), (3), (5)は明らか. (2), (4) を確かめてみる：

F_tan(F_tan(x, y), z) =F_tan( x+y 1−xy, z) =

x+y 1−xy +z

1−₁^x+y₋_xyz = x+y+z−xyz 1−xy−yz−zx, Ftan(x, Ftan(y, z)) =Ftan(x, y+z

1−yz) = x+ ₁^y+z₋_yz

1−x₁^y+z₋_yz = x+y+z−xyz 1−xy−yz−zx より(2) が従う. invFtan(t) := −t とおけば

F_tan(x,inv_F_tan(x)) = x−x 1 +x² = 0.

より(4) が成り立つ.

問題 6. (1) tan の加法公式により (形式的に) tan(x+y) =F_tan(tanx,tany) を満たしていることを確かめよ.

(2) 同様に考えて, sin 関数に付随する形式群や, cos関数に付随する形式群を考えてみよ.

2.5 形式群の準同型写像

定義 21. F, G∈R[[x, y]] を R 上の形式群とする. このとき ϕ(t)∈R[[t]] が F から G への R 上の準同型写像であるとは

(1) ϕ(t)≡0 mod deg 1.

(2) ϕ(F(x, y)) =G(ϕ(x), ϕ(y)).

を満たすことである. また

Hom_R(F, G) := {F からGへのR上の準同型全体}, End_R(F) := Hom_R(F, F) とおく. さらに

ϕ∈HomR(F, G) が同型写像 ^定義⇔ ∃ψ ∈HomR(G, F) s.t. (ϕ◦ψ)(t) = (ψ◦ϕ)(t) =t と定める. 同型写像 ϕ∈Hom_R(F, G) が存在するとき, F, GはR 上で同型であるという.

注意 22. 雰囲気的には, 以下のように考えることができる：形式群則 F(x, y) を考える (今まで略して形式群と呼んでいたが, ここではあえて正式名称の形式群則と呼ぶ.). もし

(16)

形式群則 F(x, y)の “実体” となる群F が存在しているとする. すなわち, 群 F の演算が

F × F → F, (a, b)7→F(a, b)

で与えられていると考える. 同様に, 別の形式群則Gの実体となる群 G を考えると,準同型写像 ϕ: F →Gは

F × F −−−→ F^F

ϕ×ϕ



y y^ϕ G × G −−−→

G G

を可換にする写像 (i.e., G◦(ϕ×ϕ) = ϕ◦F)である.

補題 23. F, G∈ R[[x, y]] を R 上の形式群とし, ϕ(t)∈ R[[t]] が F からG への準同型写像であるとする. このとき以下は同値.

(a) ϕ(t) は同型写像.

(b) ϕ(t) は逆関数をもつ. すなわち∃c∈R^× s.t.ϕ(t)≡cxmod deg 2.

なお, (b) の c= 1 の場合を強同型写像と呼ぶ. (一般の同型写像は弱同型写像と呼ぶ).

証明. ϕ(t) は準同型写像なので

(1) ϕ(t)≡0 mod deg 1, (2) ϕ(F(x, y)) =G(ϕ(x), ϕ(y)) を満たしている. 同型写像の定義は

(a’) ∃ ψ(x) s.t. (ϕ◦ψ)(t) = (ψ◦ϕ)(t) =t,ψ ∈Hom_R(G, F)

であった. とくにψ(t)はϕ(t)の逆関数なので,補題6-(2)より (a)⇒(b). 以下(a) ⇐(b) を言う. 再び補題 6-(2) より ϕ(t) の逆関数 ψ(t) が取れる. 示すべきは ψ ∈Hom_R(G, F), すなわち

ψ(G(x, y)) = F(ψ(x), ψ(y)).

実際 (2) ^両辺を^ψ(t)^{に代入,(ψ}⇒ ^◦^ϕ)(t)=t F(x, y) = ψ(G(ϕ(x), ϕ(y))) ^{x, y}^に^{ψ(x), ψ(y)}⇒^{を代入,(ϕ}^◦^ψ)(t)=t F(ψ(x), ψ(y)) = ψ(G(x, y)) より従う.

補題 24. (1) ϕ(t)∈ R[[t]] が逆関数を持つ (i.e., ϕ(t) ≡ctmod deg 2 (c∈ R^×)) とする.

このとき

F(x, y) := ϕ⁻¹(ϕ(x) +ϕ(y))

は R 上の形式群になる. さらに ϕ(t) ≡xmod deg 2 (i.e., c= 1) のとき, ϕ(t) を形式群F(x, y) =ϕ⁻¹(ϕ(x) +ϕ(y))の変換子と呼ぶ.

(2) 形式群 F(x, y)∈R[[x, y]] に対して以下は同値.

(17)

(a) F は加法群 Gˆa と R 上同型.

(b) 逆関数をもつϕ(t)∈R[[t]]が存在して F(x, y) = ϕ⁻¹(ϕ(x) +ϕ(y))と書ける. 証明. (1) 形式群の定義の各式を一つずつ確かめればよい. 省略.

(2) (a) ⇒(b) 同型写像ϕ: F →Gˆa が (b) の条件を満たす.

(a) ⇐ (b) 補題 23より, (b) の関数ϕ(t)が,同型写像 ϕ: F →Gˆa を与える.

注意 25. 実は, R が標数 0 の体であれば, 任意の形式群が加法群と R 上同型である (定理 70).

問題 7. F, G, H ∈R[[x, y]] を R 上の形式群とする.

(1) ϕ∈Hom_R(F, G),ψ ∈Hom_R(G, H)⇒ ψ◦ϕ∈Hom_R(F, H)を確かめよ.

(2) 恒等写像idF ∈EndR(F)をidF(t) := tで定める. ϕ ∈HomR(F, G)に対しϕ◦idF = ϕ, id_G◦ϕ =ϕ を確かめよ.

命題 26. F ∈R[[x, y]]を R 上の形式群とする. End_R(F)は,演算

(ϕ+˙ ψ)(t) := F(ϕ(t), ψ(t)), (ϕ◦ψ)(t) :=ψ(ϕ(t)) (ϕ, ψ ∈End_R(F)) に関して環になる.

証明. • 零元(加法単位元) := 0 = 0 + 0t+ 0t²+· · · ∈R[[t]].

• ϕ∈End_R(F)のマイナス元 (加法逆元) =−ϕ:= inv_F(ϕ).

• 乗法単位元 :=t.

とおけば, 形式群およびその準同型の定義から, 環の定義の各条件が従う. 例えば 0 が零元の定義を満たすこと. 0 ˙+ϕ=F(0, ϕ)^F^(0,y)=y= y|y=ϕ=ϕ.

分配法則が成り立つこと. ϕ·(ψ+˙ ψ^′) = ϕ(F(ψ, ψ^′)) =F(ϕ(ψ), ϕ(ψ^′)) =F(ϕ·ψ, ϕ·ψ^′) = ϕ·ψ+˙ ϕ·ψ^′.

他の条件も同様であるので省略する.

問題 8. EndR(F) が環であることを,省略せずに証明してみよ.

命題 27. F ∈R[[x, y]] を R 上の形式群とする. m∈Z に対し m 倍写像 [m]∈End_R(F) を以下で定める.

(1) [0](t) := 0.

(2) [m] が定まっているとき [m+ 1](t) :=F([m](t), t). (m ≥0).

(3) [m] が定まっているとき [m−1](t) :=F([m](t),invF(t)). (m ≤0).

(18)

このとき

ι: Z→End_R(F), m7→[m]

は単射環準同型写像を与える. とくに Zは End_R(F) の部分環とみなせる. さらに [m](t)≡mt mod deg 2

を満たす.

証明. まずm≥1 に対して

[1](t) = [0 + 1](t) =F([0](t),[1](t)) =F(0, t) =y|y=t =t= id_F, [2](t) = [1 + 1](t) =F([1](t),[1](t)) = id_F + id˙ _F,

...

[m](t) = [m−1 + 1](t) = F([m](t),[1](t) = id| _F +˙ · · ·{z + id˙ _F}

m個

,

[−1](t) = [0−1](t) = F([0](t),inv_F(t)) =F(0,inv_F(t)) =y|y=invF(t)= inv_F(t), [−2](t) = [−1−1](t) = F([−1](t),[−1](t)) = inv_F(t) ˙+ inv_F(t),

...

[−m](t) = [1−m−1](t) = F([1−m](t),[−1](t) = inv_F(t) ˙+· · · + inv˙ _F(t)

| {z }

m個

となることに注意. ι が環準同型であることを言うためには [m+n] = [m] ˙+ [n], [mn] = [m]·[n] を示せばよい. 簡単のため m, n≥1 の場合を考えると

[m+n] = id| F+˙ · · ·{z + id˙ F}

m+n個

= id| F+˙ · · ·{z + id˙ F}

m個

+ id˙ | F +˙ · · ·{z + id˙ F}

n個

= [m] ˙+ [n], [mn] = id| _F +˙ · · ·{z + id˙ _F}

mn個

= id| _F +˙ · · ·{z + id˙ _F}

n個

+˙ · · · + id˙ | _F +˙ · · ·{z + id˙ _F}

n個

| {z }

m個

= [n] ˙+· · · + [n]˙

| {z }

m個

,

[m]·[n] = (id| _F+˙ · · ·{z + id˙ _F}

m個

)·[n]^分配法則= id_F ·[n] ˙+ · · ·+ id˙ _F ·[n]

| {z }

m個

= [n] ˙+ · · · + [n]˙

| {z }

m個

より従う. 他の場合も同様なので省略する. 次にι の単射性を言う. まず (ϕ+˙ ψ)(t) mod (t²) = F(ϕ(t), ψ(t)) mod (t²)

F(x,y)=x+y+2次以上の項

= (ϕ(t) mod (t²)) + (ψ(t) mod (t²)) に注意. よって m≥1 に対して

[m](t) mod deg 2 = (id| _F +˙ · · ·{z + id˙ _F}

m個

)(t) mod deg 2 =mtmod deg 2, [−m](t) mod deg 2 = inv| _F +˙ · · ·{z + inv˙ _F}

m個

(t) mod deg 2 = −mtmod deg 2

(19)

が言える. よって

kerι={m∈Z|[m](t) = 0} ⊂ {m∈Z|mt≡0 mod deg 2}={0} よりkerι={0} であり, 単射性が従う. 「さらに」の部分は 4 行上で得られている.

2.6 形式群に付随する群

補題 28. O を局所体 K の整数環とする. すなわち

∃正規加法付値v: K^× ↠Z s.t.v(xy) = v(x) +v(y), v(x+y)≥min(v(x), v(y)) であり

O ={z ∈K |v(z)≥0}

と書ける. また剰余体 F=O/p (p={z ∈K |v(z)>0} は付値イデアル) を用いて

|z|:=

(1

|F|

)v(z)

, d(x, y) :=|x−y| と定めると, O は, このd による距離位相 (p 進位相) で完備である.

(1) ∀a, b∈ O, |a+b| ≤max(|a|,|b|).

∀x, y, z ∈ O, d(x, z)≤max(d(x, y), d(y, z)).

(2) |a| ̸=|b| のとき |a+b|= max(|a|,|b|).

d(x, y)̸=d(y, z) のとき d(x, z) = max(d(x, y), d(y, z)).

(3) 点列a_n ∈ O に対して {∑n

k=1a_k}n∈N が収束列 ⇔ |a_n| →0 (n → ∞).

点列bn∈ O に対して {bn}n∈N が収束列 ⇔ |bn−bn−1| →0 (n→ ∞).

証明. (1) a:=x−y, b:=y−z とおけば a+b =x−z. よって示すべきは

|a+b| ≤max(|a|,|b|) すなわち (

|F|1

)v(a+b)

≤max(

( 1

|F|

)v(a)

, ( 1

|F|

)v(b)

).

これは v(a+b)≥min(v(a), v(b)) より従う. (2) まず

Claim. |xy|=|x||y|(x, y ∈ O),|1|=| −1|= 1.

を示しておく. v(xy) =v(x) +v(y)より |xy|=|x||y| が従い, よって |1|=|1∗1|=|1||1|, すなわち |1| = 1 である (|1| ̸= 0 は, |x| = 0 ⇔ v(x) = ∞ ⇔ x = 0 より). さらに 1 =|1|=|(−1)∗(−1)|=| −1|| −1| より Claimが従う. (1)と同じ考え方で, 示すべきは

|a| ̸=|b| ⇒ |a+b|= max(|a|,|b|)

1 環論からの準備

代数学特論 3

木曜 2 限 (10:40 ∼ 12:10) K310 担当教員 : 加塩 朋和 研究室 : 4 号館 3 階 E-mail : kashio [email protected]

参考文献

目 次

1 環論からの準備

1.1 有限体

1.2 形式的冪級数環 , 形式的ローラン級数体

1.3 p 進数体と p 進整数環 , 局所体とその整数環

2 形式群の定義と例

2.1 形式群の定義

2.2 G ˆ

2.3 G ˆ

2.4 F

2.5 形式群の準同型写像

2.6 形式群に付随する群

木曜 2 ^限 (10:40 ∼ 12:10) K310 担当教員 : 加塩朋和研究室 : 4 号館 3 階 E-mail : kashio [email protected]

目次

1 ^{環論からの準備}

1.1 ^有限体

2 ^{形式群の定義と例}