2 不変式のレベル

On Nagata’s example of an infinitely generated ring of invariants

向井 茂 (MUKAI, Shigeru) ^∗

永田は[8]において，偶数変数多項式環へのベクトル群 Cⁿ の標準的なべ き単作用

(t₁, . . . , t_n) ∈ Cⁿ C[x₁, . . . , x_n, y₁, . . . , y_n] =: S x_i →x_i

y_i →y_i+t_ix_i , 1 ≤i ≤n (1)

の余次元３部分空間G ⊂ Cⁿ への制限を考察した．そして，n= 16 で Gが 一般のときに不変式環 S^G が有限生成でないことを示した．（dimG = 13） 筆者は[5]第２章において，その議論を改良して n = 9 のときにも有限生成で ないことを示した ¹（dimG= 6）．本稿ではこれにいくつかの注意を与える とともに（§4），さらに進めて次を示したい．

定理 1 18変数多項式環への作用（１）の一般の３次元部分空間 G ⊂C⁹ に 関する不変式環 S^G も有限生成でない．

代数群の多項式環への線型作用に対する不変式環の有限生成性は Hilbert

の第14問題と呼ばれる．定理より加法群 G_a の３個の直積に対してこの答は 否定的である．一方，G_a 自体に対して答は肯定的である（Weitzenb¨ock の 定理[15][12]）．² よって加法群の直積に対する第14問題では次が未解決で残っ ている．³

問題 G_a×G_a の多項式環への線型作用に対して不変式環は有限生成か？ ⁴

∗Supported in part by the JSPS Grant-in-Aid for Scientific Research (A)(2)10304001.

1講演の後（１０月１５日）に同様のこと（n= 9,dimG= 6）がSteinberg氏[14]によって既になされ ていたことを寺西氏に教えていただいた．この場を借りて訂正し感謝する．

2Ga の線型でない作用に対する反例についてはRoberts[11]を見よ．

3Hilbert自身の創始した方法でもって、簡約代数群に対しては肯定的である．例えば，拙著[5]を参照された い．

4講演の際にも報告したが，作用（１）の２次元部分空間Gに関する不変式環は有限生成である．これ以外 にも自明でない肯定的例があるが，ここでは扱わない．

一般に作用（１）を余次元 r の部分空間Gへ制限したものの不変式環 S^G

に対しては３本足の n 頂点 Dynkin 図形 T_2,r,n−r⁵

r n−r

◦ ◦ − − − ◦ ◦ − − − ◦ ◦ ◦( ×)

◦

のルート系が対応する． よく知られているように，これの Weyl 群は

1 2 + 1

r + 1

n−r ≤ 1 (2)

のときに無限群になる．そして，G が一般なときこのせいで不変式環 S^G が 有限生成でなくなる．定理はこのなかで dimG= n−r が最小になる場合で ある．また，（2）において等号の成立する次の３つの場合（アフィンDynkin

図形）の一つである．

(n, r) (9,3) (9,6) (8,4)

dimG = n−r 6 3 4

Dynkin 図形⁶ E˜₈ E˜₈ E˜₇

幾何 P²の９点爆発 P⁵の９点爆発 P³の８点爆発

無限生成環には病的なイメージをいだくかもしれないが，ここで扱うのは 楕円曲線 C 上の２点 p, q からえられる２重次数付環

m,n∈Z

H⁰(C,OC(mp+nq))

のように幾何的に自然なものである．これは直線束 OC(p−q) ∈ Pic⁰C が 位数無限ならば有限生成でない．⁷実際，２重次数付環としての台は

{m+ n > 0} ∪ {(0,0)} ⊂ Z²

5図には対応する表現を示すために頂点×を追加したもの（拡大Dynkin図形）を書いた．Weyl群がレベ ル１の不変式の全体にどう「作用」するかを表す．

6最初の２つはは同じDynkin図形であるが，拡大Dynkin図形は異なる．

7この例はRees [10]以来いろんな所に顔を出している．

で，半群として有限生成でない．よってこの環は有限生成でない．⁸

1 永田同型

余次元 r の部分空間 G ⊂ Cⁿ がr個の斉次１次方程式系

n i=1

a⁽¹⁾_i t_i = n

i=1

a⁽²⁾_i t_i = · · · = n

i=1

a^(r)_i t_i = 0 (3)

で定義されているとしよう．定義式の変数t_iに y_i/x_i を代入してえられる r

個の有理式

n i=1

a⁽¹⁾_i y_i x_i,

n i=1

a⁽²⁾_i y_i x_i, . . . ,

n i=1

a^(r)_i y_i

x_i. (4)

は G 不変である．S を x₁, . . . , x_n で局所化した環

C[x^±₁¹, . . . , x^±_n¹, y₁, . . . , y_n] = C[x^±₁¹, . . . , x^±_n¹, y₁

x₁, . . . , y_n x_n]

に (t1, . . . , tn) ∈ G は

y_i

x_i → y_i x_i + t_i

で作用する．⁹ よって，局所化した作用の不変式環は C[x^±1₁ , . . . , x^±1_n ] 上

（4）で生成されている．これらに単項式 _n

1 x_i を掛けて分母を払ってえら れる不変式 J⁽¹⁾(x, y), . . . , J^(r)(x, y) で生成されるS^Gの部分（多項式）環を

R とする．問題は R[x₁, . . . , x_n] ⊂S^G の差であるが，これが幾何的に記述 できる．¹⁰

8この環はアフィンDynkin図形A˜1◦=◦に関係する（§4を参照せよ）．

9x1, . . . , xn は不変式だからこれは可能である．

10講演で話したように，r= 1の場合に両者は一致する．

まず，

S^G = S[x⁻₁¹, . . . , x⁻_n¹]^G∩ S = R[x^±₁¹, . . . , x^±_n¹]∩S (5)

に注意しよう．J⁽¹⁾(x, y), . . . , J^(r)(x, y) の線型結合で 単項式y_1n

i=2x_i を 含まないものが (r−1) 次元ある．これらで生成される R のイデアルを I₁， 同様に I₂,· · ·, I_n を定める．I₁ に属するものは x₁ で割ることによって不変

（多項）式がえられる．より一般に，共通部分

I₁^b1 ∩ · · · ∩I_n^bn, (b₁, . . . , b_n ≥ 0)

に属するものは単項式 x^b₁¹· · ·x^b_nⁿ で割ることにより不変式がえられる．あと 少しの議論と（5）より次をえる．

命題 2 ([8],[7]) 不変式環 S^G は拡大多重Rees環

R[x₁, . . . , x_n] +

b1,...,bn≥0

(I₁^b1 ∩ · · · ∩I_n^bn)x⁻₁^b1· · ·x⁻_n^bn ⊂ R[x^±₁¹, . . . , x^±_n¹]

と一致する．

J⁽¹⁾(x, y), . . . , J^(r)(x, y) を斉次座標とする射影空間 P^r−1 = ProjR を 考えよう．上で定義したイデアル I_i,1≤ i ≤ n, は点

pi := (a⁽¹⁾_i : a⁽²⁾_i : · · · :a^(r)_i ) ∈ P^r−1

で消える多項式の全体である．以下，これらの n 点は相異なるとしよう．そ して p₁, . . . , p_n を中心とする爆発

π : X = X_G −→ P^r−1

を考える．XG の同型類は G の定義式（3）によらない．(r−1) 次元射影 的非特異代数多様体で，これの Picard 群は超平面の引き戻し h と例外因子

e_i を基底とする階数 n+ 1 の自由アーベル群である．

さて，すべての直線束の大域切断の空間の直和

a,b1,...,bn∈Z

H⁰(X,OX(ah−b₁e₁ − · · · −b_ne_n))

L∈PicX

H⁰(X, L) (6)

は環になる．これをX の全座標環（totalcoordinate ring）と呼び，T C(X)

で表す．今の場合，T C(X)は上の拡大 Rees 環に同型である．より正確には それに R の自然な次数付けを加えて n+ 1 重次数付環にしたものである．

命題 3 不変式環 S^G は爆発 X_G の全座標環 T C(X_G) と同型である．¹¹

2 不変式のレベル

作用（１）は線型作用なので多項式の全次数を保つ．よって不変式環は全次 数でもって次数付けられている．また f(x, y) が G不変式なら，

f(αx₁, . . . , αx_n, y₁ + αt₁x₁, . . . , y_n+αt_nx_n)

= f(αx₁, . . . , αx_n, y₁, . . . , y_n)

が成立する．よって，f(αx, y) も G不変式である．これより S^G は x に関 する次数と y に関するそれで２重に次数付けられている．

定義 2n変数多項式 f = f(x, y) ∈ S に対して

l(f) := deg_xf −(dimG−1) deg_yf ∈ Z

を f のレベルと言う。

例（１）x₁, . . . , x_n はレベル１の不変式である．

（２）前節の不変多項式 J⁽¹⁾(x, y), . . . , J^(r)(x, y) は，x に関して n−1

次，y に関して線型である．よって，レベルは G の余次元 r に等しい．

命題3の同型で J⁽¹⁾(x, y), . . . , J^(r)(x, y) は H⁰(X,OX(h)) の元に，x_i

は H⁰(X,OX(e_i)) にうつる．よって次をえる．

補題 4 H⁰(X,OX(ah−b₁e₁ − · · · −b_ne_n)) にうつる不変式 f ∈ S^G に対 して次が成立する．

l(f) =ra− n

i=1

b_i, a = deg_y f

3 定理の証明の概略

楕円曲線 C/Γ,Γ = Z+Zτ, を６次の完備線型系，例えば ℘関数とのその高 次導関数，による射

C/Γ −→P⁵, z → (1 :℘(z) : ℘(z) : · · · : ℘^(v)(z))

でもって P⁵ に埋め込み，それの像を C ，９点 c₁,· · ·, c₉ ∈ C の像を

p₁, . . . , p₉ ∈ C とおく．また，C⁹の３次元部分空間を

G =

(t₁, . . . , t₉) 9

i=1

t_i = 9

i=1

℘(c_i)t_i = · · · = 9

i=1

℘^(v)(c_i)t_i = 0

と定める．次が定理１のより精密な形である．

定理 5 c₁,· · ·, c₉ ∈ C はΓ を法として Z 上１次独立，すなわち，

Z⁹ −→C/Γ, (b₁, . . . , b₉) → 9

i=1

b_ic_i, は単射 (7)

と仮定する．このとき，作用 G C[x₁, . . . , x₉, y₁, . . . , y₉] の不変式環は 有限生成でない．

§1 を復習しよう．不変有理式

9 i=1

y_i x_i,

9 i=1

℘(c_i)y_i x_i,

9 i=1

℘(c_i)y_i x_i, . . . ,

9 i=1

℘^(v)(c_i)y_i x_i.

に単項式 ₉

1x_i を掛けて分母を払ったものがJ⁽¹⁾(x, y), . . . , J⁽⁶⁾(x, y) ∈ S^G

で，これらで生成される部分環が R である．そして，拡大 Rees 環

R[x₁, . . . , x₉] +

b₁,...,b₉≥0

(I₁^b1 ∩ · · · ∩I₉^b9)x^−b₁ ¹· · ·x^−b₉ ⁹ ⊂ R[x^±1₁ , . . . , x^±1₉ ]

と不変式環 S^G が一致する．

言い換えるとS^G は P⁵ の９点 p₁, . . . , p₉ を中心とする爆発 X の全座標 環 T C(X) と同型であるが，今の場合，９点の取り方より C（またはそれの

X における固有変換）に制限する環準同型写像

T C(X) −→ T C(C;p₁, . . . , p₉)

|| ||

S^G

a,b₁,...,b₉∈ZH⁰(C,OC(a)⊗ OC(− ⁹_i=1b_ip_i))

(8)

が考えられる．補題4よりレベル l の不変式は C 上の次数 l の直線束の大域 切断にうつる．

さて，無限個の不変式の構成について簡単に述べる．

定義 不変式のr(≥ 2)次元空間V ⊂ S^Gとr個の零でない不変式f₁, . . . , f_n∈ S^G

の組 (V;f₁, . . . , f_r) は，すべての添字集合 I ⊂ {1, . . . , r} ^{に対して，}V の 元で

i∈I f_i で割り切れるものの全体のなす部分空間の余次元が I の元の個 数に等しいときに裏返し可能と言う．

このような組が与えられたとき，(r−1)個の積 f₁· · ·fˇ_i· · ·f_r で割り切れ る V の元が定数倍を除いて一意に定まる．これをg_i としよう．これら全ての 積 g₁· · ·g_n は積 f₁· · ·f_r の (r−1)乗で割り切れる．また，一個を除いた積

g₁· · ·gˇ_i· · ·g_r は f₁· · ·f_r の (r −2)乗で割り切れる．そこで，これらの商

g1· · ·gˇi· · ·gr

(f₁· · ·f_r)^r−2, 1≤ i ≤ n

で生成される S^G の部分空間を V とおく．このとき，V と

g_i

f₁· · ·fˇ_i· · ·f_r, 1≤ i ≤ r (9)

の組を (V;f₁, . . . , f_r) の裏返しという．なお，n ≥ r = dimV ときの

(V;f₁, . . . , f_n) が裏返し可能とは，r個の添字集合 I ⊂ {1, . . . n} ^すべて

に対して (V;f_i, i ∈ I) が裏返し可能と定める．また，(V;f₁, . . . , f_n) の

f₁, . . . , f_r に関する裏返しとはVと（9）ともとのままの f_i, r+ 1 ≤ i ≤ n,

の組を言う．他の添字集合 I に対しても同様である．

定理の証明ではr = 6, n = 9とする．J⁽¹⁾(x, y), . . . , J⁽⁶⁾(x, y)の生成する

S^G の６次元部分空間V と当り前の不変式x₁, . . . , x₉ の組 (V;x₁, . . . , x₉)が 裏返し可能である．これをx₁,· · ·, x₆ で裏返したものを(V⁽¹⁾ : f₁⁽¹⁾,· · ·, f₉⁽¹⁾)

とする．このとき，これも裏返し可能である．f₁⁽¹⁾,· · ·, f₆⁽¹⁾ で裏返すとも とに戻ってしまうので，それ以外の６つ組でもって裏返す．こういうこと をくり返していく．¹² 何回も裏返しが可能なのことや，えられる不変式の

C への制限が零でないことは（7）で保証される．このようにしてえられる

(V⁽ⁱ⁾ : f₁⁽ⁱ⁾, . . . , f₉⁽ⁱ⁾) において，V⁽ⁱ⁾ のレベルはいつも６で，９個の不変式

f₁⁽ⁱ⁾, . . . , f₉⁽ⁱ⁾ はレベル１で保たれる．一方，いつも y次数の小さい順に６個 を選んで裏返しをするようにしておくと，f₁⁽ⁱ⁾, . . . , f₉⁽ⁱ⁾ の y次数の最大は着 実に増加していく．補題4よりこれらは T C(C;p₁, . . . , p₉)の無限個の相異 なるレベル１直和成分にうつる．一方，仮定（7）より T C(C；p₁, . . . , p₉)

のレベル０部分は定数しかない．よって，不変式環 S^G の C への制限写像

（8）による像は有限生成でない．特に，S^G自身も有限生成でない．

12(V;x₁, . . . , x₉)に添字の置換と裏返しでもってWeyl群W( ˜E₈)を作用させると言うこともできる．

4 余次元３の場合についての注意

全座標環 T C(X)

L∈PicX H⁰(X, L) の多重次数付環としての台

{L ∈ PicX|H⁰(X, L) = 0}

は効果的因子（effective divisor）全体のなす半群 EffX であることに注意 しよう．これが半群として有限生成でなければ，環 T C(X) も有限生成でな い．定理１は Weyl 群の作用を使ってこの半群が有限生成でないことを示す という方針で証明できる．しかし，前節では先に不変式環を楕円曲線に制限 する方法を紹介した．ちなみに裏返しは P⁵ の双有理変換

P⁵· · · →P⁵, (x₁ : x₂ : x₃ : x₄ : x₅ : x₆) → ( 1 x1

: 1 x2

: 1 x3

: 1 x4

: 1 x5

: 1 x6

)

に対応する．

この節では G が余次元３の場合について２つの注意を与える．X = X_G

は射影平面 P² の n点

p_i = (a⁽¹⁾_i : a⁽²⁾_i : a⁽³⁾_i ), 1 ≤ i ≤n

での爆発である．これは曲面なので半群EffX を直接扱うことが容易である．

例えば，次が成立する．

補題 6 C は X 上の既約曲線で自己交点数は負，(C²) < 0，とする．この とき，C の線型同値類 [C] は半群 EffX のどんな生成系にも属する．

証明. C が二つの効果的因子の和 C₁+C₂ と線型同値だとする．このとき，

(C.C1) + (C.C2) = (C²) < 0

である．よって，C₁, C₂ のどちらかは C を既約成分として含み，他方は零 である．♦

特に，第１種例外曲線

C P¹,(C²) =−1 (10)

はこの EffX の生成系に属するので，命題2より次をえる．

命題 7 曲面 X_G 上に無限個の第１種例外曲線が存在するなら，不変式環 S^G

は有限生成でない．

一方，点が９個以上で一般の位置にあるとき，X 上に無限個の第１種例外曲 線があることが永田[9]により示されている．よって，n ≥ 9 で余次元３の

G ⊂ Cⁿ が一般のとき，S^G は有限生成でない．これが第１の注意である．

なお，半群 EffX の３次元空間

A˜₁ = {a(3h− 9

i=1

e_i)−me₈ −ne₉}

による切口は下図のとおりである．レベル l は m+n に等しく，それが０ の 3h− ⁹i=1e_i（反標準因子）とレベル１平面内の放物線上の無限個の第１ 種例外曲線

(m² +m)(3h− 9

i=1

e_i)−me₈ + (m+ 1)e₉, m ∈ Z

とで生成される．

半群EffX

[5]（や[14]）の証明はこの論法ではない．[8]に従って８次元乗法群のさらな る作用

T =

(d₁, . . . , d₉) ∈ C⁹ 

9 i=1

d_i = 1

S

x_i →d_ix_i

y_i →d_iy_i , 1 ≤i ≤9

を考え，より小さな不変式環

S^G·T

a,b∈Z

H⁰(X_G,OX(ah−b(e₁ + · · ·+e_n)))

が有限生成でないことを示すものである．こちらの利点は環 S^G·T の次元

（=4）が最小になることである．

さて，９点 p₁, . . . , p₉ ∈ P² が３次曲線のペンシル

Λ : λ₁f₁(x, y, z) +λ₂f₂(x, y, z) = 0

の基点集合である場合を考えよう．これは無限個の例外曲線の存在がよく見え る場合である．もちろん特別な場合はそうでないことによく注意しておこう．

例 Hesse ペンシル

λ₁(x³ +y³ + z³)−3λ₂xyz = 0

の基点を爆発した曲面 X 上には９個しか例外曲線がない．

ペンシルは X の楕円ファイバー付け f = Φ_|−KX| : X → P¹ を与える．

同伴公式より（10）は C P¹,(C.−K_X) = 1 と同値である．よって，

X 上の第１種例外曲線は射 f の切断に外ならない．どれかひとつを選んで 原点とみなすことにより全体はアーベル群になる．これを Mordell-Weil 群

（より精密にはMW格子[13]）と呼ぶ．Mordell-Weil 群は（負定値）E₈ 格子

E₈ = {α = ah− 8

1

b_ie_i|3a− 8

1

b_i = 0} ⊂ PicX,

(h²) = 1 (e²_i) =−1

の効果的なルートの全体

{α ∈ E₈|(α²) = −2, H⁰(X,OX(α)) = 0}

（f の可約ファイバーと言っても同じ）で生成される部分群による剰余群と同 型である．一般には無限群で，不変式環 S^G は有限生成でない．

それに引き換え，４次元不変式環S^G·T は５変数多項式環C[u₁, u₂, x, y, z]

の主イデアル (u₁f₁(x, y, z) +u₂f₂(x, y, z)) による剰余環になる．とくに，

有限生成である．これまでの例では S^G·T が有限生成でなかった．これが第 ２の注意で，S^G が有限生成でなくなるのには２つの原因がある．

前節ではG = G³_a に対する S^G の非有限生成性を示したが，小さい方の 不変式環 S^G·T に対してもそれが示せる．しかし，それには P⁵ の９点爆発 自体ではだめでそれの極大モデル¹³にうつる必要がある．これはこれで面白 いが，準備が必要なのでここでは略した．

5 最後に

代数群 Ga のm変数多項式環 C[z1, . . . , zm] への線型作用は m次べき零行列

A = (a_ij)_1≤i,j≤m と対応する．そして，不変式はAに付随する偏微分方程式

∂Af :=

1≤i,j≤m

aijzi

∂f

∂z_j = 0

の解である．よって，序文の問題は次のように言い替えられる．

問題 可換なべき零行列の対A, Bに対する不変式環，すなわち，∂_A と ∂_B の 共通定数環

{f(z) ∈ C[z₁, . . . , z_m]|∂_Af = ∂_Bf = 0}

は有限生成か？

不変式環の有限生成性を示す技術は Hilbert の論文[4]からあまり進展し ていない．¹⁴ 何か新しい肯定的な技術開発の契機になればと提出する次第で ある．

参考文献

[1] Dolgachev, I.: Weyl groups and Cremona transformations, Proc.

Symp. Pure Math. 40(1983), 283–294.

[2] —— and Ortland, D.: Point sets in projective spaces and theta functions, Ast´erisque, 165(1988).

[3] Du Val, P.: On the Kantor group of a set of points in a plane, Proc. London Math. Soc. 42(1932), 18–51.

13反標準因子がnefになるモデルのこと．極小モデルが標準因子をnefにすることをもじった．公式用語で はない．

14例えばHilbertの原論文の解説を試みた拙稿[6]§4 を参照されたい．

[4] Hilbert, D.: ¨Uber die Theorie der algebraischen Formen, Math.

Ann., 36 (1890), 473–534.

[5] 向井 茂:：モジュライ理論１，岩波書店，1998年．

[6] —— : 不変式とモジュライ，数学のたのしみ，28巻，2001年12月，日 本評論社，pp. 29–41．

[7] Mukai, S.: Counterexample to Hilbert’s fourteenth problem for the 3-dimensionaladditive group, RIMS preprint, 1343(2001).

[8] Nagata, M.: On the fourteenth problem of Hilbert, Int’l Cong.

Math., Edingburgh, 1958.

[9] ——: On rational surfaces, II, Mem. Coll. Sci. Univ. Kyoto. Ser.

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[10] Rees, D.: On a problem of Zariski, Illinois J. Math. 2(1958), 145–

149.

[11] Roberts, P.: An infinitely generated symbolic blow-up in a power series ring and a new counterexample to Hilbert’s 14th problem, J. Algebra, 132(1990), 461–473.

[12] Seshadri, C.S.:On a theorem of Weitzenb¨ock in invariant theory, J. Math. Kyoto Univ., 1(1962), 403–409.

[13] Shioda, T.: Mordell-Weil lattices and Galois representation, I, II, III, Proc. Japan Acad. 65A(1989), 267–271, 296–299, 300-303.

[14] Steinberg, R.: Nagata’s example, in ‘Algebraic Groups and Lie Groups’, Austral. Math. Soc. Lect. Ser. 9, Cambridge Univ. Press, 1997, pp. 375–384.

[15] Weitzenb¨ock, R.: ¨Uber die Invarianten von Linearen Gruppen, Acta. Math., 58(1932), 230–250.

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