解析学序論１（含演習） No.9 2012.6.21
2.3 合成関数の偏微分 担当：市原
問題
2.8
次の二変数関数f
と関数ϕ, ψ
について,df
dt
を求めなさい．(1) f (x, y) = x
2+ y
2, ϕ(t) = sin t, ψ(t) = cos t
(2) f (x, y) = cos(x + y), ϕ(t) = e
−t, ψ(t) = e
t問題
2.9
次の二変数関数f
について，∂f
∂u
と∂f
∂v
を求めなさい．(1) f (x, y) = x
3− xy + y
3, x = u − 2v, y = v − u
(2) f (x, y) = x
2+ y
2, x = cos u + sin v, y = u − v
問題
2.10
二変数関数f : D → R
は全微分可能とする．z= f (x, y), x = rcosθ, y = r sin θ
とすると き、( ∂z
∂x )
2+ ( ∂z
∂y )
2を
∂z
∂r
と∂z
∂θ
を用いて表しなさい．問題
2.11 D ⊂ R
2，f: D → R
（z= f (x, y)）とし，g : [a, b] → R
とする．さらにx = g(t)
とする．つまり，tと
y
に関する二変数関数z = f (g(t), y)
を考える．このとき，f がD
においてx
に関して変 微分可能であり，gが[a, b]
で微分可能であるならば，z= f (g(t), y)
をt
に関して偏微分すると∂z
∂t = ∂f
∂x · dg dt
となることを証明しなさい．（提出期限：6月
