数理解析学４・講義ノート

(1)

数理解析学４・講義ノート

第６回

(2020

年

11

月

11

日

(

水

)

配信分

)

7 Traizet

^の仕事

2(

^抄

)

Traizet

は

’02

年の論文において、埋め込まれた

N -noids

の列の崩壊した極限状態として、

N

枚の平面の隣接する

2

枚を無限小の

catenoids

により連結したものを考え、そこに陰関数定理を適用して、崩壊していない埋め込まれた

N -noids

の族を構成した。続く

’04

年の論文では逆に、埋め込まれた

N -noids

の列の崩壊した極限状態が、どのような制約条件の下にあるかを考察している。ここに導かれる制約条件は、陰関数定理を適用する際に課した条件を正当化するものであるが、一方、

Ros

の結果（定理

6.1

）が示唆しているように、この極限状態は必ずしも

N

枚の平面の隣接する

2

枚を無限小の

catenoids

により連結したものになるとは限らず、例えば無限小の

Costa

曲面が

3

枚の平面を連結している場合も有り得るし、また、より高位の無限小の曲面を含んでいる可能性もある。

よって、一般的にはその制約条件はより複雑な形をとって記述されることになる。

Traizet

の

’04

年の仕事の目的の一つは、前節の予想の解決に向けて，一つの里程標を

立てることである。(なお、前節同様、本節も結果の紹介にとどめる。)

埋め込まれた

N -noids M

は各

end ∞ k (k = 1, . . . , N )

が

x ₁ x ₂ -平面と平行になるよう

配置されているとする。特に下から数えて奇数番目が下向きであると仮定すると、

N -noids

が埋め込みであるためには、ends

∞ k

の

weights a _k

に対し、上向きを正と考えた

weights

の列

{ c _k := ( − 1) ^k a _k } ^N k=1

が広義単調増加

(c ₁ ≤ c ₂ ≤ · · · ≤ c _N )

でなければならない。ここで、

・

M

が分離された

ends

を持つ

⇐⇒ { c _k } ^N k=1

が狭義単調増加

(c ₁ < c ₂ < · · · < c _N ).

・

ϵ > 0

とする。

M

が

ϵ-分離された ends

を持つ

⇐⇒ c _k+1 − c _k ≥ ϵ(c _N − c ₁ ) (k = 1, . . . , N − 1).

さらに、

M n ⊃ { M _n }

に対し、

(2)

・

{ M _n }

が一様に分離された

ends

を持つ

⇐⇒ n

によらない

ϵ > 0

が存在して、M

_n

が

ϵ-

分離された

ends

を持つ。

と、それぞれ定義する。

以下、

M (G, N ) ⊃ { M n }

について、定理

6.1

の収束を考える。

k = 1, . . . , N

に対し、

I k := { i | M i, ∞

が

k

段目の

end

を持つ

}

とおく。（この

I k

は

§ 6

の

I k − 1 ∪ I k

である。）

相似変換

φ i,n

の拡大率を

µ i,n

とする。

{ M n }

が一様速度を持つ

⇐⇒ C > 0

が存在して

µ i,n ≤ Cµ j,n ( ∀ i, ∀ j = 1, . . . , m; ∀ n ∈ N)

と定義する。ここで、

µ i,n = 1 ∀ i = 1, . . . , m; ∀ n ∈ N

を仮定してよい。実際、

M ˜ n :=

µ 1,n M n , ˜ φ i,n := 1

µ _i,n φ i,n

とおくと、その拡大率は

µ ˜ i,n = 1.

{ M _n }

が一様速度を持つとき、

µ _i,n µ _1,n ∈ [ 1

c , c]

の部分列は収束するので、その極限を

ℓ _i

とおくと、

˜

φ _i,n ( ˜ M _n ) = 1

µ _i,n φ _i,n (µ _1,n M _n ) = µ _1,n

µ _i,n φ _i,n (M _n ) → 1

ℓ _i M _i, _∞ =: ˜ M _i, _∞ .

{ M _n }

が一様速度を持たないとき、部分列を選び、添え字を入れ換えれば、

µ _1,n :=

min { µ _i,n | i = 1, . . . , m }

を仮定してよく、

µ _i,n

µ _1,n ∈ [1, + ∞ )

の部分列は収束するか

+ ∞

に発散するかのいずれかである。収束する場合は同上で、発散する場合は

M ˜ i, ∞ . = 1

∞ M i, ∞

平面が数枚重なっている、すなわちこの部分だけ先に崩壊しているものと考える。

M i, ∞

の

k

段目の

end

の

weight a i,k, ∞

に対し、

Q i,k := ( − 1) ^k a i,k, ∞

とおく。（

charge

と呼ぶ。）

k

段目が平坦な

end

のとき、または

k

段目に

end

を持たない

(i ̸ = I k )

とき、

Q i,k = 0

とする。

Q k := ^∑ ^m _i=1 Q i,k (k = 1, . . . , N )

とおく。

M _n

の

k

段目の

end

の

weight a _k,n

に対し、

c _k,n := ( − 1) ^k a _k,n

とおく。

Q _k = lim _n→+∞ c _k,n

が成り立つ。

x ₁ x ₂ -

平面を

C

と同一視し、

B _i,n

の中心の

C

への射影を

p _i,n ( ∀ i = 1, . . . , m; ∀ n ∈ N)

とおく。（一様速度となるよう取り替えたので、）一般には

lim _n _→ ₊ _∞ p _i, _∞ = ∞

となる可能性がある。（ならないのは

m = 1

すなわち一つの極限曲面

M _1, _∞

に収束するときに限る。）相似変換の列

{ ψ _n }

で、

lim _n _→ ₊ _∞ ψ _n (p _i,n ) = p _i ∈ C ( ∀ i = 1, . . . , m)

かつある

i ̸ = j = 1, . . . , m

に対し

p _i ̸ = p _j

をみたすようなものを選ぶ。

(3)

{ p ₁ , . . . , p _m }

を極限配置

( limit conﬁguration )

と呼ぶ。

{ p 1 , . . . , p m }

が非特異

( nonsingular ) ⇐⇒ p i ̸ = p j ( ∀ i ̸ = ∀ j = 1, . . . , m),

{ p 1 , . . . , p m }

が特異

( singular ) ⇐⇒

ある

i ̸ = j = 1, . . . , m

に対し

p i = p j

とする。

{ p 1 , . . . , p m }

が特異のとき、

i = 1, . . . , m

の同値関係を

i ∼ j ⇐⇒ p i = p j .

で定義する。

i ∈ α

のとき、

p α := p i

と表す。

Q α,k := ^∑ _i _∈ _α Q i,k

とおく。

∀ α

に対し、相似変換の列

{ ψ _n ^α }

で、

lim n → + ∞ ψ ^α _n (p i,n ) = p ^α _i ∈ C ( ∀ i ∈ α), lim n → + ∞ ψ _n ^α (p j,n ) =

∞ ( ∀ j ̸∈ α)

かつある

i ̸ = j ∈ α

に対し

p ^α _i ̸ = p ^α _j

{ p ^α _i | i ∈ α }

を部分配置

( subconﬁguration )

と呼ぶ。

{ p ^α _i | i ∈ α }

が非特異

⇐⇒ p ^α _i ̸ = p ^α _j ( ∀ i ̸ = ∀ j ∈ α),

{ p ₁ , . . . , p _m }

が

nested ⇐⇒

ある

α

に対し

{ p ^α _i | i ∈ α }

が特異

⇐⇒

ある

i ̸ = j ∈ α

に対し

p ^α _i = p ^α _j

とする。

一般に、配置の添字集合

{ 1, . . . , m }

を

tree

を用いて表す。

{ 1, . . . , m }

の各元を

leaf

とし、部分

tree

で

label

されるものを

node

とし、

tree

全体で

label

されるものを

root

とする。各

leaf

の深度

( depth )

は

root

との距離により定義し、配置の深度は

leaf

の深度の最大値により定義する。

非特異な配置は深さ

1,

部分配置が非特異な配置は深度

2

である。

∀ α :

節に対し、相似変換の列

{ ψ _n ^α }

で、

lim _n _→ ₊ _∞ ψ ^α _n (p _i,n ) = p ^α _β ∈ C ( ∀ i ∈ ∀ β : α

の

son), lim _n _→ ₊ _∞ ψ ^α _n (p _j,n ) = ∞ ( ∀ j ̸∈ α)

かつある

β ̸ = γ : α

の

son

に対し

p ^α _β ̸ = p ^α _γ

配置が非特異のとき、

F _i :=

∑ N

k=1

∑ m

j=1;j ̸ =i

Q _i,k Q _j,k

p _i − p _j ( ∀ i = 1, . . . , m),

部分配置が非特異のとき、

F _i ^α :=

∑ N

k=1

∑

j ∈ α;j ̸ =i

Q _i,k Q _j,k

p ^α _i − p ^α _j ( ∀ i ∈ α; ∀ α),

(4)

nested

のとき、

F _β ^α :=

∑ N

k=1

∑

γ:α

の

son;γ ̸ =β

Q _β,k Q _γ,k

p ^α _β − p ^α _γ ( ∀ β : αの son; ∀ α)

でそれぞれ

force

を定義する。

ここで、定理

6.2

において、

∀ k = 1, . . . , N − 1, ∀ i ∈ I _k

に対し、

{ Q _i,k := − ˜ a _k (M _i, _∞

の下向きの

ﬂux ) Q _i,k+1 := ˜ a _k (M _i, _∞

の上向きの

ﬂux ),

また

p i :=

{ q _i (i ∈ I _k : k

は奇数

)

− q _i (i ∈ I _k : k

は偶数) とおけば、

F _i =

∑ N

k=1

∑

j ∈ I

k−1

∪ I

k

;j ̸ =i

Q i,k Q j,k

p _i − p _j ,

W =

∑ N

k=1

∑

i<j

Q _i,k Q _j,k

であることに留意しておこう。

定理

7.1.

（論文の定理

4, 5, 6

）

[1]

配置が非特異のとき、

(1) F _i = 0 ∀ i = 1, . . . , m.

(2) i ∈ I _k ∩ I _k+1

のとき、

Q _i,k+1 − Q _i,k = H _k : i = 1, . . . , m

によらない定数。

[2]

部分配置が非特異のとき、

(1a) F _i ^α = 0 ( ∀ i ∈ α; ∀ α).

(1b) F _α = 0 ( ∀ α).

(2a) i ∈ I _k ∩ I _k+1

のとき、

Q _i,k+1 − Q _i,k = H _k ^α : i ∈ α

(2b) i ∈ I _k ∩ I _k+1

のとき、ある

ρ ∈ [0, 1]

が存在して

ρ(Q _i,k+1 − Q _i,k ) + (1 − ρ)(Q _α,k+1 − Q _α,k ) = H _k : i = 1, . . . , m

[3]

nested

のとき、

(1) F _β ^α = 0 ( ∀ β : α

の子

; ∀ α).

(2) i ∈ I _k ∩ I _k+1 , i ∈ α

のとき、

α

と

i

を結ぶ経路を

α = α ₀ , α ₁ , . . . , α _r = i

（

r

は

i

と

α

の深さの差）とすると、ある

ρ ₁ , . . . , ρ _r ∈ [0, 1]

が存在して

^∑ ^r _s=1 ρ _s = 1,

(5)

^∑ ^r _s=1 ρ _s (Q _α

_s

_,k+1 − Q _α

_s

_,k ) = H _k ^α : i ∈ α

[2] (2b)

について、次のことに注意する。

・

p i

が非特異ならば

ρ = 1

すなわち

Q i,k+1 − Q i,k = H k .

・

{ M i, ∞ | i ∈ α }

が一つの曲面のように振舞うならば

ρ = 0

すなわち

Q α,k+1 − Q α,k = H k .

・

p j

が非特異で

j ∈ I k ∩ I k+1

ならば

Q j,k+1 − Q j,k ∈ [Q i,k+1 − Q i,k , Q α,k+1 − Q α,k ]

または

[Q α,k+1 − Q α,k , Q i,k+1 − Q i,k ].

[3] (2)

については、

・

H _k ^α ∈ [min { Q α

s

,k+1 − Q α

s

,k | s = 1, . . . , r } , max { Q α

s

,k+1 − Q α

s

,k | s = 1, . . . , r } ].

定理

7.2.

（論文の定理

7

）

^∑ ^N _k=1 ^∑ _i<j Q _i,k Q _j,k = 0.

定理

7.1, 7.2

を用いて、次の定理を得る。

定理

7.3.

（論文の命題

6

）

N − 3

とする。

{ M _n }

が一様な速度を持つとき、極限

{ M _i, _∞ | i = 1, . . . , m }

は次のいずれかである。

(1) m = 1, M _1, _∞ ∈ M (G, 3).

(2) m = r + 1, r ≥ 2

（

Costa-Hoﬀman-Meeks

の配置）

M _1, _∞ , . . . , M _r, _∞ : 1 ∼ 2

段目の

catenoid, − Q _i,1 = Q _i,2 = 1, p _i = ζ _r ⁱ ⁻ ¹ (i = 1, . . . , r), M _r+1, _∞ : 2 ∼ 3

段目の

catenoid, − Q _r+1,2 = Q _r+1,3 = r − 1, p _r+1 = 0.

(3) m = 4

（

Horgan

の配置？）

M _1, _∞ , M _2, _∞ : 1 ∼ 2

段目の

catenoid, − Q _i,1 = Q _i,2 = 1 (i = 1, 2), p ₁ = 1, p ₂ = − 1,

M _3, _∞ , M _4, _∞ : 2 ∼ 3

段目の

catenoid, − Q _i,2 = Q _i,3 = r − 1 (i = 3, 4), p ₃ = a, p ₄ = 1/a (a ∈ C \ { 0, 1, − 1 } ).

(4) m = 4

（

(3)

の

a → +0

のときの極限、非特異

α = { 1, 2, 3 }

）

M _1, _∞ , M _2, _∞ : 1 ∼ 2

段目の

catenoid, − Q _i,1 = Q _i,2 = 1 (i = 1, 2), p ^α ₁ = 1, p ^α ₂ = − 1, M _3, _∞ : 2 ∼ 3

段目の

catenoid, − Q _3,2 = Q _3,3 = 1, p ^α ₃ = 0,

M _4, _∞ : 2 ∼ 3

段目の

catenoid, − Q _4,2 = Q _4,3 = c ∈ (0, 1].

(6)

定理

7.3

の系として、次を得る。（ちょっと怪しい）

系

7.4.

（論文の定理

2

）

G ̸ = 2

とする。

M (G, 3) \ C (G) ⊃ { M n }

が一様に分離された

ends

を持つならば、

{ M n }

のある部分列が

M _∞ ∈ M (G, 3)

に収束する。

定理

7.5.

（論文の定理

1

）

G ≥ 1

とする。

M (G ^′ , N ^′ ) = ∅ ( ∀ G ^′ < G, ∀ N ^′ ≥ G ^′ + 3)

ならば

M (G, N)

は

compact ( ∀ N ≥ G + 3)

である。

G = 1

のとき、事実

(3)

より、仮定が

G ^′ = 0 < G = 1

について満たされるので、

系

7.6.

（論文の系

1

）

M (1, N )

は

compact ( ∀ N ≥ 4)

である。

これが

∅

であるか否かはまだ知られていない。平行な

ends

を持つ種数

1

の

4-noids

は構成できるので、実際は極めて微妙な処である。

参考文献

数理解析学４・講義ノート