ゆえに I1 = 2πi X Imc>0 Res Qz P(z);c

複素関数・同演習 宿題 No. 13 (2021年1月13日出題, 2021年1月19日13:30 までに PDF 形式で提出)

年 組 番 氏名 (解答は裏面も使用可, A4レポート用紙に書いても可) 問13 次の定積分を留数を用いて求めよ。

(1) I₁ = Z _∞

−∞

dx

x⁶ + 1 (2) I₂ = Z _∞

0

cosx

(x²+ 1)²dx (3) I₃ = Z 2π

0

cos⁴θ dθ

問13解説

(1) P(z) :=z⁶+ 1, Q(z) := 1 とすると、ともに多項式で、detP(z) = 6≥2 = 0 + 2 = degQ(z) + 2. ま た任意の x∈Rに対して、P(x) = x⁶+ 1≥0 + 1 = 1 よりP(x)̸= 0. ゆえに

I₁ = 2πi X

Imc>0

Res Qz

P(z);c

.

cが Q

P の極⇔P(c) = 0⇔c⁶ =−1⇔c=e^(2k+1)πi6 (k = 0,1,· · · ,6)⇔c= ±√ 3 +i

2 ,±i,±√ 3−i

2 .

いずれも P の1位の零点で、Imc >0 であるものは、c= ±√ 3 +i 6 ,i.

Res Q

P;c

= Q(c) P^′(c) = 1

6c⁵ = c

6c⁶ =−c 6. ゆえに

I₁ = 2πi×

−1 6

√ 3 +i

2 +i+ −√ 3 +i 2

!

= 2πi

−6 ·(−2i) = 2π 3 . (2) 被積分関数は偶関数であるから、

I₂ = 1 2

Z _∞

−∞

cosx

(x²+ 1)²dx= 1 2Re

Z _∞

−∞

e^ix

(x²+ 1)²dx.

P(z) := (z²+ 1)², Q(z) := 1, a= 1 とおくと、a >0, degP(z) = 4≥1 = 0 + 1 = degQ(z) + 1, 任意 の実数x に対してP(x)≥(0 + 1)² = 1 であるから P(x)̸= 0. ゆえに

I2 = 1 2Re

Z _∞

−∞

Q(x)

P(x)e^iax dx= 1

2Re 2πi X

Imc>0

Res

Q(z) P(z)e^iaz;c

! . P(c) =⇔(c²+ 1)² = 0⇔c=±i.

どちらもP の2位の零点であるから、^Q

P の高々2位の極(実は2位の極)、Imc >0であるものはc=i.

Res

e^iz (z²+ 1)²;i

= 1

(2−1)! lim

z→i

(z−i)²· e^iz (z² + 1)²

_′

= (z+i)⁻²·e^iz_′

z=i

= (−2(z+i)⁻³+i(z+i)⁻²)e^iz

z=i =−i

2e⁻¹. ゆえに

I₂ = 1 2Re

2πi· −i 2 e⁻¹

= π 2e. (3) z =e^iθ (θ∈[0,2π]) とおくと、dz =ie^iθdθ であるから、dθ = dz

ie^iθ = dz iz. cosθ= e^iθ+e^−iθ

2 = z+ 1/z

2 = z²+ 1 2z . 留数定理を用いて

I₃ = Z

|z|=1

z²+ 1 2z

4

· dz iz = 1

16i Z

|z|=1

(z²+ 1)⁴

z⁵ dz = 1

16i·2πiX

|c|<1

Res

(z²+ 1)⁴ z⁵ ;c

= π 8 ·Res

z⁸+ 4z⁶+6z⁴+ 4z²+ 1

z⁵ ; 0

= π

8 ·6= 3π 4 .