第 13 回　解析 A 演習解答 (7/30)

第

13

A

(7/30)

学科 学籍番号 名前 得点

次の関数の導関数 y^′ を求めよ．答えは通分するなどして，簡単な形に整理すること．

講義中に出てきた初等関数の微分公式は証明なしに自由に用いてよい．

1. y= √ x 1 +x²

（解答）

y^′ = 1·√

1 +x²−x·(√

1 +x²)^′ 1 +x²

=

√1 +x²−x· 1 2√

1 +x² ·2x 1 +x²

=

√1 +x²− √ x² 1 +x² 1 +x²

= (1 +x²)−x² (1 +x²)√

1 +x²

= 1

(1 +x²)√ 1 +x²

2. y= tan⁻¹ 1−x 1 +x

（解答）

y^′ = 1 1 +

(1−x 1 +x

)2 ·(1−x 1 +x

)_′

= 1

1 + (1−x)² (1 +x)²

· −1·(1 +x)−(1−x)·1 (1 +x)²

= 1

1 + (1−x)² (1 +x)²

· −2 (1 +x)²

= −2

(1 +x)²+ (1−x)²

= −2 2 + 2x²

=− 1 1 +x²

1. 関数f(x) =x²e^xについて，以下の設問に答えよ．

(1) f(x) の n 次導関数 f⁽ⁿ⁾(x) をLeibnizの定 理を用いて計算せよ．

(2) f(x) にMaclaurinの定理を適用し

f(x) = f(0) +f^′(0)x+ f^′′(0) 2! x² + f⁽³⁾(0)

3! x³+ f⁽⁴⁾(θx) 4! x⁴ の形に表せ．ただし，0< θ <1 とする．

（解答）

(1)

(x²)^(k)= 0 (k =3) であるから，Leibnizの公式より

f⁽ⁿ⁾(x) =

∑n

k=0

nC_k(x²)^(k)(e^x)^(n−k)

=x²(e^x)⁽ⁿ⁾+nC1(x²)^′·(e^x)⁽ⁿ⁻¹⁾ +_nC₂(x²)^′′·(e^x)⁽ⁿ⁻²⁾

=x²e^x+n·2x·e^x

+ n(n−1)

2 ·2·e^x

= (x²+ 2nx+n²−n)e^x

(2) (1)より

f⁽ⁿ⁾(0) =n²−n (n= 0,1,2,· · ·) であるから，Maclaurinの定理より

f(x) =f(0) +f^′(0)x+ f^′′(0) 2! x² + f⁽³⁾(0)

3! x³+ f⁽⁴⁾(θx) 4! x⁴

= 0 + 0·x+ 2

2! x²+ 6 3! x³ + (θ²x²+ 8θx+ 12)e^θx

4! x⁴

=x²+x³+ (θ²x²+ 8θx+ 12)e^θx

24 x⁴

2. 関数 f(x) = sin⁻¹ √ x

1 +x² −tan⁻¹x は定数関 数であることを証明し．その定数の値を求めよ．

（解答）

y= √ x

1 +x² とおくと f^′(x) = √ 1

1−y² ·y^′− 1 1 +x²

ここで

√1−y² =

√

1− x²

1 +x² = √ 1 1 +x² と1枚目の問題の計算より

f^′(x) =√

1 +x²· 1 (1 +x²)√

1 +x² − 1

1 +x² = 0

よって，f(x)は定数関数である．さらに f(0) = sin⁻¹0−tan⁻¹0 = 0−0 = 0 であるから，常に f(x) = 0 である．

3. 点 aの近傍で定義された関数 f(x)について，以 下の設問に答えよ．

(1) 関数 f(x) が点 a で連続であることの定義 を述べよ．

(2) 関数 f(x) が点 a で微分可能であることの 定義を述べよ．

(3) f(x)が点 aで微分可能ならば，点a で連続 であることを証明せよ．

（解答）

(1) lim

x→af(x) =f(a)が成り立つ．

(2) 極限値 lim

x→a

f(x)−f(a)

x−a が存在する．

(3) f(x) は点a で微分可能であるから

xlim→af(x) = lim

x→a

{

f(a) + (x−a)f(x)−f(a) x−a

}

=f(a) + 0·f^′(a)

=f(a)

よって，f(x) は点a で連続である．