数学 II 演習 ( 第 6 回 ) の略解

数学 II 演習 ( 第 6 回 ) の略解

目 次

1

問

1

の解答

2

2 n

行

n

列のときにはどうなるのか

4

3

固有値と固有ベクトル

7

4

余因子行列とは

9

5

正方行列の正則性と

rank

の間の関係について

19

6

問

2

の解答

21

7

線型代数学における基本的な考え方について

24

8

線型空間とは

26

9

線型空間に「座標付け」するとは

28

10 V ₁

の構造を漸化式を解かずに調べると

35

11 V 2

の構造について

39

12 V ₁

の一般項を求めること

41

13

問

3

の解答

45

14

線型写像とは

48

15

数ベクトル空間の間の線型写像とは

52

16

線型写像の表現行列とは

56

1 問 1 の解答

(1)

与えられた連立一次方程式を

,

(λI − A)



  x y z



  = 0 (1)

という形に書き直してみます

.

ここで

,

もし

, (λI − A)

という行列が逆行列を持つと 仮定すると

, (1)

式の両辺に左から

(λI − A) ^{− 1}

を掛け算することで

,



  x y z



  =



  0 0 0



  ∈ R ³

となることが分かります

. ¹

したがって

,

一般に

,

勝手にひとつ与えられた正方行列

B

に対して

,

正方行列

B

が逆行列を持つ

⇐⇒ det B 6= 0

となることに注意すると

, (1)

式の連立一次方程式が自明でない解を持つためには

,

det(λI − A) = 0 (2)

でなければならないことが分かります

.

そこで

,

この行列式を計算してみると

,

例えば

,

det(λI − A) =

¯¯ ¯¯

¯¯ ¯

λ −1 0

0 λ − 1

− 1 0 λ

¯¯ ¯¯

¯¯ ¯

=

¯¯ ¯¯

¯¯ ¯

0 − 1 0

λ ² λ − 1

− 1 0 λ

¯¯ ¯¯

¯¯ ¯

( 1

列目

+ 2

列目

× λ )

=

¯¯ ¯¯

¯

λ ² − 1

− 1 λ

¯¯ ¯¯

¯ ( 1

行目で展開

)

= λ ³ − 1

となることが分かります

. ²

したがって

, (2)

式の方程式は

, λ ³ − 1 = 0

となることが分かりますから

,

与えられた連立一次方程式が自明でない解を持つた めには

,

ω = e ^{2π √ − 1/3} = − 1 + √ 3 i 2

1このような解を連立一次方程式の自明な解とか

trivial

な解とか呼んだりします

.

2この行列式は

,

第

5

回の問

1

の

(3)

と同じものです

.

として

,

λ = 1, ω, ω ²

でなければならないことが分かります

.

(2)

いま

, (1)

式の連立一次方程式は

,



 

λ − 1 0

0 λ − 1

− 1 0 λ



 



  x y z



  =



  0 0 0



  (3)

と表わすことができます

.

そこで

,

λ ³ = 1

となることに注意して

, (3)

式の連立一次方程式に対して

,

行に関する基本変形を施 してみると

,

例えば

,



 

λ − 1 0

0 λ − 1

− 1 0 λ

¯¯ ¯¯

¯¯ ¯ 0 0 0



  −−−−−−−−−−→ ¹

^{行目+3行目}

^{× λ}

3

行目

× ( − 1)



 

0 − 1 λ ²

0 λ − 1

1 0 − λ

¯¯ ¯¯

¯¯ ¯ 0 0 0



  −−−−−−−−−−→ ²

^{行目+1行目}

^{× λ}

1

行目

× ( − 1)



 

0 1 − λ ² 0 0 λ ³ − 1

1 0 − λ

¯¯ ¯¯

¯¯ ¯ 0 0 0



  −−−−−−−−−→ ¹

^{行目↔3行目}

2

行目

↔ 3

行目



 

1 0 − λ

0 1 − λ ² 0 0 λ ³ − 1

¯¯ ¯¯

¯¯ ¯ 0 0 0



  =



 

1 0 − λ 0 1 − λ ²

0 0 0

¯¯ ¯¯

¯¯ ¯ 0 0 0



 

というように変形できることが分かります

.

したがって

, (3)

式の連立一次方程式は

,

 



x − λz = 0

y − λ ² z = 0 (4)

という「精一杯の見やすい形」の連立一次方程式に書き直せることが分かります

.

そ

こで

, (4)

式の「精一杯の見やすい形」の連立一次方程式を解いてみると

, (3)

式の連

立一次方程式の解は

,



  x y z



  = t ·



  λ λ ² 1



 

= (λt) ·



  1 λ λ ²



  , t ∈ C (5)

となることが分かります

. ³

よって

, (5)

式における

(λt) ∈ C

^を

,

改めて

, t ∈ C

^と表 わすことにすると

, λ = 1, ω, ω ²

というそれぞれの

λ

に対して

, (1)

式の連立一次方 程式の解は

,

3ここで

, (4)

式を「

z

の値を勝手にひとつ決めたときに

, x, y

の値がどう決まるのか」ということを表わ

している式であると解釈しました

.

また

,

後で

,

より見やすい形になるように

, (5)

式では

,

ベクトルの成分か ら

λ

という因子を括り出して表わすことにしました

.

(i) λ = 1

のとき

, 

  x y z



  = t ·



  1 1 1



  , t ∈ C

(ii) λ = ω

のとき

, 

  x y z



  = t ·



  1 ω ω ²



  , t ∈ C

(iii) λ = ω ²

のとき

,



  x y z



  = t ·



  1 ω ² ω ⁴



  = t ·



  1 ω ²

ω



  , t ∈ C

となることが分かります

.

2 n _行 n 列のときにはどうなるのか

次に

,

行列

A

が

,

A =



 

 

 

 

0 1 0 · · · 0 0 0 1 . .. ...

.. . .. . . .. ... 0 0 0 · · · 0 1 1 0 · · · 0 0



 

 

 

 

| {z }

n

コ

という

n

行

n

列の行列であるとして

, u ∈ R ⁿ

^に対する

(λI − A)u = 0 (6)

という連立一次方程式について考えてみることにします

.

すると

,

第

5

回の問

1

のところ で見たように

,

この場合

,

det(λI − A) = λ ⁿ − 1

となることが分かりますから

,

問

1

と同様に考えると

, (6)

式という連立一次方程式が自明 でない解を持つためには

,

ω = e ^{2π √ − 1/n}

として

, λ

は

,

λ = 1, ω, ω ² , · · · , ω ^{n − 1}

でなければならないことが分かります

.

そこで

,

λ ⁿ = 1

となることに注意して

,

問

1

と同様にして

, (6)

式の連立一次方程式に対して

,

行に関する 基本変形を施してみると

,

例えば

,



 

 

 

 

λ − 1 0 · · · 0 0 λ −1 . .. .. . .. . .. . . .. ... 0 0 0 · · · λ − 1

−1 0 · · · 0 λ

¯¯ ¯¯

¯¯ ¯¯

¯¯ ¯¯

¯ 0

.. . 0 0 0



 

 

 

 

1

行目+

n

行目

× λ

−−−−−−−−−−−→

n

行目

× ( − 1)



 

 

 



0 − 1 0 · · · λ ² 0 λ − 1 · · · 0

.. . .. . . .. ... .. . 0 0 · · · λ − 1 1 0 · · · 0 − λ

¯¯ ¯¯

¯¯ ¯¯

¯¯ ¯¯

0 0 .. . 0 0



 

 

 



2

行目+1行目

× λ

−−−−−−−−−−→

1

行目

× ( − 1)



 

 

 



0 1 0 · · · − λ ² 0 0 − 1 · · · λ ³ .. . .. . . .. ... .. . 0 0 · · · λ − 1 1 0 · · · 0 − λ

¯¯ ¯¯

¯¯ ¯¯

¯¯ ¯¯

0 0 .. . 0 0



 

 

 



3

行目+2行目

× λ

−−−−−−−−−−→

2

行目

× ( − 1) · · ·

(n − 1)

行目+ (n

− 2)

行目

× λ

−−−−−−−−−−−−−−−−−−→

(n − 2)

行目

× ( − 1)



 

 

 



0 1 0 · · · − λ ² 0 0 1 · · · − λ ³ .. . .. . . .. ... .. . 0 0 · · · 0 0 1 0 · · · 0 − λ

¯¯ ¯¯

¯¯ ¯¯

¯¯ ¯¯

0 0 .. . 0 0



 

 

 



適当に行を並べ替える

−−−−−−−−−−−−−−→



 

 

 



1 0 · · · 0 − λ 0 1 0 · · · − λ ² .. . .. . . .. ... .. . 0 0 · · · 1 − λ ^{n − 1} 0 0 · · · 0 0

¯¯ ¯¯

¯¯ ¯¯

¯¯ ¯¯

0 0 .. . 0 0



 

 

 



というように変形できることが分かります

.

したがって

, (6)

式の連立一次方程式は

,

u =



 

 

 x 1

x ₂ .. . x n



 

 

 ∈ R ⁿ

として

, 

 

 

 

 

 

 

x 1 − λx n = 0 x ₂ − λ ² x _n = 0

.. .

x _{n − 1} − λ ^{n − 1} x _n = 0

(7)

という「精一杯の見やすい形」の連立一次方程式に書き直せることが分かります

.

そこで

, (7)

式の「精一杯の見やすい形」の連立一次方程式を解いてみると

, (6)

式の連

立一次方程式の解は

,



 

 

 

 x 1

x ₂ .. . x n − 1

x _n



 

 

 



= t ·



 

 

 

 λ λ ² .. . λ ^{n − 1}

1



 

 

 



= (λt) ·



 

 

 

 1 λ .. . λ ^{n − 2} λ ^{n − 1}



 

 

 



t ∈ C (8)

となることが分かります

. ⁴

よって

, (8)

式における

(λt) ∈ C

^を

,

改めて

, t ∈ C

^{と表わすこ} とにすると

, λ = 1, ω, · · · , ω ^{n − 1}

というそれぞれの

λ

に対して

, (6)

式の連立一次方程式 の解は

,

(1) λ = 1

のとき

, 

 

 

 x ₁ x ₂ .. . x _n



 

 

 = t ·



 

 

 1 1 .. . 1



 

 

 , t ∈ C

(2) λ = ω

のとき

,



 

 

 x 1

x 2

.. . x n



 

 

 = t ·



 

 

 1 ω .. . ω ^{n − 1}



 

 

 , t ∈ C

.. .

(n) λ = ω ^{n − 1}

のとき

, 

 

 

 x ₁ x ₂ .. . x _n



 

 

 = t ·



 

 

 1 ω ^{n − 1}

.. . ω ^{(n − 1)(n − 1)}



 

 

 , t ∈ C

となることが分かります

.

4ここで

, (7)

式を「

x

n の値を勝手にひとつ決めたときに

, x

1

, x

2

, · · · , x

n−1 の値がどう決まるのか」と いうことを表わしている式であると解釈しました

.

また

,

後で

,

より見やすい形になるように

, (8)

式では

,

ベ クトルの成分から

λ

という因子を括り出して表わすことにしました

.

3 固有値と固有ベクトル

一般に

, n

行

n

列の行列

A

に対して

, u ∈ C ⁿ , λ ∈ C

^として

,

Au = λu (9)

という連立一次方程式を考えてみます

. ⁵

このとき

, (9)

式の連立一次方程式が

,

自明でな い解

,

すなわち

, u 6= 0

となる解を持つときに

,

複素数

λ ∈ C

を行列

A

の固有値と呼びま す

.

また

,

固有値

λ

に対して

, (9)

式を満たすようなベクトル

u ∈ C ⁿ

^を行列

A

の

(

固有 値

λ

に対する

)

固有ベクトルと呼び

, (

固有値

λ

に対する

)

固有ベクトル全体の集合

行列

A

の

(

固有値

λ

に対する

)

固有ベクトル空間

¶ ³

V (λ) = {u ∈ C ⁿ | Au = λu }

µ ´

を行列

A

の

(

固有値

λ

に対する

)

固有ベクトル空間と呼びます

.

固有値を定義するとこ ろでは

, (9)

式が

u 6= 0

となる解を持つという条件を付けましたが

,

固有値

λ

に対して

, u = 0

も固有ベクトルであると考えることに注意して下さい

.

以上の定義は

,

次のように言い表わすこともできます

.

いま

,

勝手な複素数

λ ∈ C

^に対 して

, C ⁿ

^{の部分集合}

V (λ) ⊂ C ⁿ

^を

,

V (λ) = { u ∈ C ⁿ | Au = λu }

という式によって定めると

,

第

5

回の問

2

と同様にして

, V (λ)

は

C ⁿ

の線型部分空間にな ることが分かります

. ⁶

そこで

,

線型部分空間

V (λ)

が自明でないとき

,

すなわち

,

複素数

λ

が行列

A

の固有値であるための条件

¶ ³

V (λ) 6 = { 0 }

µ ´

となるときに

,

複素数

λ ∈ C

^を行列

A

の固有値と呼び

,

固有値

λ

に対して

, V (λ)

の元を

(

固有値

λ

に対する

)

固有ベクトルと呼ぶということができます

.

問

1

で見たように

, (9)

式は

,

(λI − A)u = 0 (10)

というように書き換えることができるので

,

線型部分空間

V (λ)

は

,

第

5

回の問

3

のところ で触れた行列の核

( kernel )

という概念を用いて

,

V (λ) = Ker(λI − A)

というように表わすこともできます

.

したがって

,

複素数

λ ∈ C

が行列

A

の固有値であ るための条件は

,

複素数

λ

が行列

A

の固有値であるための条件

(

言い換え

)

¶ ³

Ker(λI − A) 6= {0}

µ ´

というように表わすこともできます

.

5もちろん

, u ∈ R

ⁿ

, λ ∈ R

_{という設定でも}

,

同様の考察をすることができます

.

6皆さん

,

確かめてみて下さい

.

さて

,

一見したところでは

, (9)

式という連立一次方程式は

λ

の値を取り替えても大し た違いがあるようには見えませんが

,

与えられた行列

A

に対して

,

いくつか「特別な複 素数」が存在しているということを

,

問

1

の結果は意味しています

.

すなわち

,

ほとんどす べての複素数

λ ∈ C

^{に対しては}

, (9)

式の解は

u = 0

しか存在しないにもかかわらず

,

い くつかの「特別な複素数」

λ

に対しては

, (9)

式の解として

, u 6 = 0

となるものが存在す るというわけです

.

そこで

,

どのような複素数

λ ∈ C

が

,

行列

A

にとって「特別な複素数」であるのかと いうことをハッキリさせるために

,

問

1

では

, (9)

式を

(10)

式の形に書き換えて

,

複素数

λ

が行列

A

の固有値である

= ⇒

^行列

(λI − A)

は逆行列を持たない

(11)

というように考えました

.

すると

, 4

節で見るように

,

一般に

, n

行

n

列の行列

B

に対して

,

正方行列

B

が逆行列を持たないための条件

¶ ³

行列

B

が逆行列を持たない

⇐⇒ det B = 0

µ ´

となることが分かりますから

, (11)

式と合わせて

,

複素数

λ

が行列

A

の固有値である

= ⇒ det(λI − A) = 0

となることが分かります

.

そこで

,

問

1

では

,

det(λI − A) = 0

という方程式の解であるそれぞれの複素数

λ = 1, ω, ω ²

に対して

, (9)

式という連立一次 方程式の解をすべて求めてみることで

,

連立一次方程式に自明でない解が存在すること

,

す なわち

,

これらの複素数が行列

A

の固有値であることを直接確かめてみました

.

実は

,

一般的に線型写像の大まかな性質を調べてみると

,

複素数

λ

が行列

A

の固有値である

⇐⇒

^行列

(λI − A)

は逆行列を持たない というように

, (11)

式において

,

逆向きの「

⇐ =

」も成り立つことが分かります

. ⁷

した がって

,

問

1

のように連立一次方程式を直接解いてみなくとも

,

一般的に

,

複素数

λ

が行列

A

の固有値である

⇐⇒ det(λI − A) = 0 (12)

という関係が成り立つことが分かります

.

いま

, t

を変数として

,

行列

A

の特性多項式

¶ ³

ϕ _A (t) = det(tI − A)

µ ´

7このことに関しては

,

取りあえず

,

ここでは事実として認めて

,

後で「線型写像の大まかな性質」につい て触れたときに立ち返って考えてみたいと思います

.

と定めると

, ϕ A (t)

は

n

次の多項式になることが分かりますが

, ⁸

この多項式

ϕ A (t)

を行列

A

の特性多項式と呼びます

.

例えば

,

問

1

の例では

,

ϕ A (t) = t ³ − 1

でした

.

この記号を用いると

, (12)

式から

,

行列

A

にとって「特別な複素数」である固有 値は

,

行列

A

の固有値の特徴づけ

¶ ³

複素数

λ

が行列

A

の固有値である

⇐⇒ ϕ A (λ) = 0

µ ´

というように「特性多項式

ϕ A (t)

の零点」として特徴づけられることが分かります

.

特 性多項式

ϕ A (t)

は

n

次の多項式ですから

,

重複度も込めて

,

複素数

C

^の範囲で

,

ちょうど

n

個の零点を持ちます

. ⁹

したがって

, n

行

n

列の行列

A

に対して

,

相異なる固有値は 高々

n

個存在するということが分かります

.

すなわち

,

数ある複素数の中で

,

高々

n

個の 複素数だけが

,

行列

A

にとって「特別な複素数」として選ばれることが分かりました

.

固有値と固有ベクトルは

,

行列の「数」としての性質

,

あるいは

,

より一般に

,

線型写像の

「数」としての性質を理解するために

,

最も重要な概念です

.

したがって

,

将来

,

皆さんが どのような分野に進まれるとしても

,

行列

,

あるいは

,

より一般に

,

線型写像という概念を 用いて理解できるような事柄であれば

,

固有値と固有ベクトルが重要な概念とかかわって 現われてくるはずです

.

ですから

,

皆さんも

,

今のうちに

,

固有値や固有ベクトルといった 概念に慣れておくと良いのではないかと思います

.

皆さんは

,

これから

,

線型空間や線型写 像といった概念を学んでゆくことになりますが

,

そこでは

,

最初に与えられた座標系では なく

,

「上手い座標系」に座標を取り替えて考察することによって

,

与えられた行列や線型 写像の性質がより良く理解できるようになるというような考え方をします

.

この「上手い 座標系」を定めるときに

,

「固有ベクトル」という概念が活躍するのですが

,

この演習の中 でも

,

こうした事柄について

,

追々

,

触れてゆこうと思います

.

4 _{余因子行列とは}

第

5

回の問

1

のところで

,

行列式について少し説明しましたが

,

行列式を用いると

,

与え られた正方行列

A

が逆行列を持つかどうかということを判定したり

,

実際に逆行列を書き 下したりすることができます

.

そこで

,

ここでは

,

「行列式を用いた逆行列の存在判定」や

,

行列

A

に逆行列が存在するときに

,

行列

A

の行列成分を用いて逆行列

A ^{− 1}

を具体的に表 わす「逆行列の公式」などについて少し考えてみようと思います

.

以下で見るように

,

こ こでのアイデアは「行や列に関する行列式の展開公式」と「二つの行列の積がどのように

8例えば

, B(t) = tI − A

として

, B(t)

という行列の各行列成分

b

ij

(t)

が

t

に関する一次式以下の多項 式であることに注意して

,

第

5

回と問

1

のところで見た

det B(t) = X

i₁, i₂,· · ·, inは互いに異なる

ε

i1i2···in

b

i11

(t)b

i22

(t) · · · b

inn

(t)

という「教科書に載っている行列式の定義式」を用いて考えると

,

このことを確かめることができます

.

興味 のある方は

,

確かめてみて下さい

.

9この事実を代数学の基本定理と呼びます

.

計算できるのか」ということを見比べてみるということにあります

.

考え方の本質は全く 同じですから

,

話を具体的にするために

,

ここでは

,

行列

A

が

,

A =



 

a ₁₁ a ₁₂ a ₁₃ a ₂₁ a ₂₂ a ₂₃ a ₃₁ a ₃₂ a ₃₃



 

というように

3

行

3

列の行列である場合に説明してみることにします

. ¹⁰

さて

,

第

5

回の問

1

のところでは

,

行列式が

,

行列式を特徴付ける三つの性質

¶ ³

(

イ

)

多重線型性

(

ロ

)

歪対称性

(

ハ

)

規格化条件

µ ´

という三つの性質で特徴づけられるということや

,

これらの性質を用いると

,

行や列に関 する行列式の展開公式を導くことができるということなどを説明しました

.

そのときには

,

主に

,

列に関する議論を行ないましたが

,

全く同様にして

,

行に関する議論を行なうことも できます

.

例えば

,

行列

A

の一行目の行ベクトルを

,

³

a ₁₁ a ₁₂ a ₁₃

´

= a ₁₁ · ³

1 0 0

´

+ a ₁₂ · ³

0 1 0

´

+ a ₁₃ · ³

0 0 1

´

というように分解して

,

行に関する

(

イ

)

という性質を用いると

,

¯¯ ¯¯

¯¯ ¯

a 11 a 12 a 13

a ₂₁ a ₂₂ a ₂₃ a ₃₁ a ₃₂ a ₃₃

¯¯ ¯¯

¯¯ ¯

= a 11 ·

¯¯ ¯¯

¯¯ ¯

1 0 0

a ₂₁ a ₂₂ a ₂₃ a 31 a 32 a 33

¯¯ ¯¯

¯¯ ¯

+ a 12 ·

¯¯ ¯¯

¯¯ ¯

0 1 0

a ₂₁ a ₂₂ a ₂₃ a 31 a 32 a 33

¯¯ ¯¯

¯¯ ¯

+ a 13 ·

¯¯ ¯¯

¯¯ ¯

0 0 1

a ₂₁ a ₂₂ a ₂₃ a ₃₁ a ₃₂ a ₃₃

¯¯ ¯¯

¯¯ ¯

(13)

となることが分かります

.

ここで

,

行に関する

(

イ

), (

ロ

)

という二つの性質を用いると

,

例 えば

,

¯¯ ¯¯

¯¯ ¯

1 0 0

a ₂₁ a ₂₂ a ₂₃ a ₃₁ a ₃₂ a ₃₃

¯¯ ¯¯

¯¯ ¯

=

¯¯ ¯¯

¯¯ ¯

1 0 0

0 a ₂₂ a ₂₃ 0 a ₃₂ a ₃₃

¯¯ ¯¯

¯¯ ¯

(14)

などというように

, 1

が現われている列の

1

以外の成分はすべて

0

に取り替えることがで

10以下での議論のポイントが見やすいように

,

ここでは

,

行列

A

の

i

行

j

列の行列成分を

a

ijというよう に「ij」という添え字を付けて表わすことにしました

.

きますから

, ¹¹ (13)

式より

,

¯¯ ¯¯

¯¯ ¯

a 11 a 12 a 13

a ₂₁ a ₂₂ a ₂₃ a ₃₁ a ₃₂ a ₃₃

¯¯ ¯¯

¯¯ ¯

= a 11 ·

¯¯ ¯¯

¯¯ ¯

1 0 0

0 a ₂₂ a ₂₃ 0 a 32 a 33

¯¯ ¯¯

¯¯ ¯

+ a 12 ·

¯¯ ¯¯

¯¯ ¯

0 1 0

a ₂₁ 0 a ₂₃ a 31 0 a 33

¯¯ ¯¯

¯¯ ¯

+ a 13 ·

¯¯ ¯¯

¯¯ ¯

0 0 1

a ₂₁ a ₂₂ 0 a ₃₁ a ₃₂ 0

¯¯ ¯¯

¯¯ ¯

(15)

となることが分かります

.

そこで

,

さらに

,

¯¯ ¯¯

¯¯ ¯

1 0 0

0 a 22 a 23

0 a 32 a 33

¯¯ ¯¯

¯¯ ¯

=

¯¯ ¯¯

¯

a ₂₂ a ₂₃ a ₃₂ a ₃₃

¯¯ ¯¯

¯

などとなることに注意すると

,

¯¯ ¯¯

¯¯ ¯

a 11 a 12 a 13

a ₂₁ a ₂₂ a ₂₃ a ₃₁ a ₃₂ a ₃₃

¯¯ ¯¯

¯¯ ¯

= a ₁₁ · ¯¯

¯¯ ¯

a ₂₂ a ₂₃ a 32 a 33

¯¯ ¯¯

¯ − a ₁₂ · ¯¯

¯¯ ¯

a ₂₁ a ₂₃ a 31 a 33

¯¯ ¯¯

¯ + a ₁₃ · ¯¯

¯¯ ¯

a ₂₁ a ₂₂ a 31 a 32

¯¯ ¯¯

¯ (16)

というように

, (

一行目に関する

)

行列式の展開公式が得られます

.

これが

,

第

5

回の問

1

のところで行なった議論ですが

,

以下で見るように

,

我々の目的のためには

, (16)

式のよ うに

2

行

2

列の行列式に直してしまわずに

, (13)

式や

(15)

式の形のままで考察すると いう方が便利です

.

そこで

,

いま

, i, j = 1, 2, 3

として

, (15)

式の右辺に現われる行列式のように

,

行列

A

の

i

行目と

j

列目だけを

,



 

 

 



j

列目

∗ · · · 0 · · · ∗

.. . .. . .. .

i

行目

0 · · · 1 · · · 0

.. . .. . .. .

∗ · · · 0 · · · ∗



 

 

 



という形に取り替えることで得られる行列の行列式を

, A e ij

と表わすことにします

.

すな わち

,

行列

A

の余因子

( 3

行

3

列の場合

)

¶ ³

A e 11 =

¯¯ ¯¯

¯¯ ¯

1 0 0

0 a ₂₂ a ₂₃ 0 a ₃₂ a ₃₃

¯¯ ¯¯

¯¯ ¯

, A e 12 =

¯¯ ¯¯

¯¯ ¯

0 1 0

a ₂₁ 0 a ₂₃ a ₃₁ 0 a ₃₃

¯¯ ¯¯

¯¯ ¯

, · · · , A e 33 =

¯¯ ¯¯

¯¯ ¯

a 11 a 12 0 a ₂₁ a ₂₂ 0

0 0 1

¯¯ ¯¯

¯¯ ¯

µ ´

11あるいは

,

「ある行に別な行の何倍かを足す」という基本変形を行なっても行列式の値は変わらないこと に注意して

,

「二行目に一行目の

( − a

21

)

倍を足し

,

さらに

,

三行目に一行目の

( − a

31

)

倍を足す」という基本 変形を施して

, (14)

式を得たと考えてもらっても構いません

.

などと表わすことにします

.

一般に

,

正方行列

A

に対して

,

このような形で得られる行列 式

A e ij

を

,

行列

A

の第

(i, j)

余因子と呼んだりします

.

余因子を用いると

, (15)

式という一行目に関する行列式の展開公式は

,

余因子を用いた

(

一行目に関する

)

行列式の展開公式

( 3

行

3

列の場合

)

¶ ³

det A = a 11 A e 11 + a 12 A e 12 + a 13 A e 13 (17)

µ ´

というように簡明な形で表わすことができます

.

ただし

,

式の意味が分かりやすいように

,

ここでは

, {1, 2, 3}

という集合に関する和を考える添え字には「 」というように下線を 付けて表わしました

.

また

,

議論を辿ると

,

「下線がすべて二番目の添え字に付いている」

のは「行」に関する展開公式を考えているからであり

,

「下線が付いていない添え字がすべ て

1

になっている」のは「一行目」に関する展開公式を考えているからであることが分か ります

.

したがって

,

全く同様に考えると

,

例えば

,

「二列目」に関する展開公式は

,

余因子を用いた

(

二列目に関する

)

行列式の展開公式

( 3

行

3

列の場合

)

¶ ³

det A = a ₁₂ A e ₁₂ + a ₂₂ A e ₂₂ + a ₃₂ A e ₃₂

µ ´

というように表わされることが分かります

. ¹²

以上の準備のもとで

,

「行列

A

の逆行列を見つける問題」について考えてみることにし ます

.

そのために

,

第

3

回の問

2

のときと同様に

,

「行列

A

の逆行列を見つける問題」を

,

「

AB = I (18)

となるような

3

行

3

列の行列

B

を見つける問題」であると解釈することにします

.

そ こで

,

いま

,

行列

A

の「行ベクトル」を

a ₁ =

³

a 11 a 12 a 13

´

a 2 =

³

a ₂₁ a ₂₂ a ₂₃

´

a ₃ =

³

a 31 a 32 a 33

´

というように表わすことにします

.

また

,

行列

B

を

,

B =



 

b 11 b 12 b 13

b 21 b 22 b 23

b ₃₁ b ₃₂ b ₃₃



 

と表わして

,

行列

B

の「列ベクトル」を

,

b 1 =



  b 11

b ₂₁ b ₃₁



  , b 2 =



  b 12

b ₂₂ b ₃₂



  , b 3 =



  b 13

b ₂₃ b ₃₃



 

12皆さん

,

確かめてみて下さい

.

というように表わすことにします

.

このとき

,

二つの行列の積

AB

の各行列成分がどのよ うに計算されるのかということをじっくりと考えてみると

,

AB =



  a ₁ a 2

a 3



  ³

b 1 b 2 b 3

´

=



 

a 1 b 1 a 1 b 2 a 1 b 3

a ₂ b ₁ a ₂ b ₂ a ₂ b ₃ a ₃ b ₁ a ₃ b ₂ a ₃ b ₃



  (19)

となることが分かります

.

すなわち

, i, j = 1, 2, 3

に対して

, AB

という行列の

i

行

j

列 成分は

, a _i

という行列

A

の「行ベクトル」と

b _j

という行列

B

の「列ベクトル」の積 として得られることが分かります

.

この点に注意して

, (17)

式を眺めてみると

, b e ₁ =



  A e 11

A e ₁₂ A e ₁₃



 

として

,

det A =

³

a 11 a 12 a 13

´ 

  A e 11

A e 12

A e 13



 

= a 1 e b 1 (20)

というように

, (17)

式の右辺は

, a 1

という行列

A

の一行目の「行ベクトル」と

, b e 1

とい う行列

A

の一行目に対応した余因子を縦に並べた「列ベクトル」との積の形に表わせる ことが分かります

.

そこで

,

行列

A

の一行目以外の「行ベクトル」と

e b ₁

という「列ベク トル」の積がどうなるのかということも調べてみることにします

.

そのために

,

より一般に

, x ₁ , x ₂ , x ₃ ∈ R

^として

,

勝手な「行ベクトル」

x =

³

x 1 x 2 x 3

´

と

b e ₁

という「列ベクトル」の積がどうなるのかということを考えてみることにします

.

すると

,

上で

, (17)

式を導いた議論を逆に辿ると

,

x e b ₁ =

³

x 1 x 2 x 3

´ 

  A e 11

A e 12

A e ₁₃



 

= x ₁ A e ₁₁ + x ₂ A e ₁₂ + x ₃ A e ₁₃

= x 1 ·

¯¯ ¯¯

¯¯ ¯

1 0 0

0 a ₂₂ a ₂₃ 0 a 32 a 33

¯¯ ¯¯

¯¯ ¯ + x 2 ·

¯¯ ¯¯

¯¯ ¯

0 1 0

a ₂₁ 0 a ₂₃ a 31 0 a 33

¯¯ ¯¯

¯¯ ¯ + x 3 ·

¯¯ ¯¯

¯¯ ¯

0 0 1

a ₂₁ a ₂₂ 0 a ₃₁ a ₃₂ 0

¯¯ ¯¯

¯¯ ¯

= x 1 ·

¯¯ ¯¯

¯¯ ¯

1 0 0

a ₂₁ a ₂₂ a ₂₃ a ₃₁ a ₃₂ a ₃₃

¯¯ ¯¯

¯¯ ¯ + x 2 ·

¯¯ ¯¯

¯¯ ¯

0 1 0

a ₂₁ a ₂₂ a ₂₃ a ₃₁ a ₃₂ a ₃₃

¯¯ ¯¯

¯¯ ¯ + x 3 ·

¯¯ ¯¯

¯¯ ¯

0 0 1

a ₂₁ a ₂₂ a ₂₃ a ₃₁ a ₃₂ a ₃₃

¯¯ ¯¯

¯¯ ¯

=

¯¯ ¯¯

¯¯ ¯

x ₁ x ₂ x ₃ a ₂₁ a ₂₂ a ₂₃ a 31 a 32 a 33

¯¯ ¯¯

¯¯ ¯

となることが分かります

.

したがって

,

列ベクトル

b e 1

を右から掛け算した結果

¶ ³

x b e ₁ =

¯¯ ¯¯

¯¯ ¯ x a 2

a 3

¯¯ ¯¯

¯¯ ¯

(21)

µ ´

となることが分かります

.

すなわち

, x

という「行ベクトル」に

b f 1

という「列ベクトル」

を右から掛け算するということは

,

行列

A

の一行目を

x

に置き換えて得られる行列の行 列式を考えることと同じことであるということが分かりました

.

特に

, x

として

,

行列

A

の「行ベクトル」

a _i , (i = 1, 2, 3)

を考えてみると

, (21)

式から

,

a i b e 1 =

¯¯ ¯¯

¯¯ ¯ a _i a ₂ a 3

¯¯ ¯¯

¯¯ ¯

となることが分かりますが

,

行列式の持つ

(

ロ

)

という性質を用いると

,

結局

,

a i b e 1 =

 



det A, i = 1

のとき

0, i = 2, 3

のとき

(22)

となることが分かります

.

上では

,

一行目に関する行列式の展開公式をもとにして考察を進めましたが

,

例えば

,

二 行目に関する行列式の展開公式を用いると

,

全く同様の議論によって

,

b e 2 =



  A e ₂₁ A e ₂₂ A e 23



 

として

,

列ベクトル

b e 2

を右から掛け算した結果

¶ ³

x b e ₂ =

¯¯ ¯¯

¯¯ ¯ a ₁

x a 3

¯¯ ¯¯

¯¯ ¯

(23)

µ ´

となることが分かります

.

すなわち

, x

という「行ベクトル」に

b e ₂

という「列ベクトル」

を右から掛け算するということは

,

行列

A

の二行目を

x

に置き換えて得られる行列の行 列式を考えることと同じことであるということが分かります

.

特に

, x

として

,

行列

A

の 行ベクトル

a i , (i = 1, 2, 3)

を考えてみると

, (23)

式から

,

a i b e 2 =

¯¯ ¯¯

¯¯ ¯ a ₁ a _i a ₃

¯¯ ¯¯

¯¯ ¯

となることが分かります

.

したがって

,

この場合には

, a _i b e ₂ =

 



det A, i = 2

のとき

0, i = 1, 3

のとき

(24)

となることが分かります

.

全く同様の議論を

,

三行目に関する行列式の展開公式を用いて行ってみると

,

結局

, b e ₁ =



  A e ₁₁ A e 12

A e 13



  , b e ₂ =



  A e ₂₁ A e 22

A e 23



  , b e ₃ =



  A e ₃₁ A e 32

A e 33



 

として

, i, j = 1, 2, 3

に対して

, a i b e j =

 



det A, i = j

のとき

0, i 6 = j

のとき

(25)

となることが分かります

. ¹³

そこで

, (19)

式と

(25)

式を見比べてみると

, (25)

式は

,

行列

A

の余因子行列

( 3

行

3

列の場合

)

¶ ³

B e =



 

A e 11 A e 21 A e 31

A e ₁₂ A e ₂₂ A e ₃₂ A e ₁₃ A e ₂₃ A e ₃₃



  (26)

µ ´

として

,

余因子行列の重要な性質

¶ ³

A B e = det A · I (27)

µ ´

というように簡明な形で表わされることが分かります

.

一般に

,

正方行列

A

に対して

, A

の余因子

A e ij

を用いて

, (26)

式のような形で定義される行列

B e

を行列

A

の余因子行列と

呼びます

.

ここで

,

行列

A

の余因子行列の

i

行

j

列成分は

, A e ij

ではなく

, A e ji

であると いうことに注意して下さい

.

上の議論を見返すと

,

このように行と列の添え字が逆転して しまう原因は

, (17)

式のような「行」に関する行列式の展開公式を

, (20)

式のように

, a _i

という行列

A

の「行ベクトル」と

b e _j

という「列ベクトル」の積の形に表わそうとしたこ とにあることが分かります

.

13皆さん

,

確かめてみて下さい

.

さて

, (27)

式を用いると

,

行列

A

が逆行列を持つための条件を

,

次のように議論するこ とができます

.

そこで

,

まず

,

行列

A

に逆行列が存在すると仮定してみることにします

.

こ のことは

,

例えば

,

AB = I (28)

となるような

3

行

3

列の行列

B

が存在するということを意味します

.

そこで

, (28)

式の 両辺の行列式を考えてみると

,

第

5

回の問

1

のところで見たように

,

det(AB) = det A · det B

となりますから

,

det A · det B = 1

となることが分かります

.

したがって

,

特に

,

det A 6 = 0

となることが分かります

.

すなわち

,

行列

A

に逆行列が存在する

= ⇒ det A 6 = 0 (29)

となることが分かります

.

逆に

,

det A 6 = 0

であるとすると

, (27)

式の両辺を

, det A

という数で割り算することができますから

, (27)

式から

,

A · µ 1

det A B e

¶

= I (30)

となることが分かります

.

よって

, (30)

式から

, B = 1

det A B e

として

,

AB = I

となることが分かります

.

すなわち

,

det A 6 = 0 = ⇒

^行列

A

に逆行列が存在する

(31)

となることが分かります

.

以上の議論を合わせると

, (29)

式と

(31)

式から

,

逆行列が存在するための判定条件

¶ ³

行列

A

に逆行列が存在する

⇐⇒ det A 6 = 0 (32)

µ ´

というように

,

行列

A

に逆行列が存在するかどうかということが

,

行列

A

の行列式

det A

が

0

にならないかどうかということで判定できることが分かりました

.

また

,

上で見たよ うに

, det A 6 = 0

となる場合には

, (27)

式の両辺を

det A

で割り算することで

,

逆行列の公式

( 3

行

3

列の場合

)

¶ ³

A ^{− 1} = 1 det A ·



 

A e ₁₁ A e ₂₁ A e ₃₁ A e ₁₂ A e ₂₂ A e ₃₂ A e ₁₃ A e ₂₃ A e ₃₃



  (33)

µ ´

というように

, A

の逆行列

A ^{− 1}

が

A

の余因子行列を用いて具体的に与えられることが分 かりました

.

上では

,

行に関する行列式の展開公式を用いて議論しましたが

,

列に関する展開公式を 用いても

,

全く同様の議論をすることができます

.

すなわち

,

この場合には

,

行列

A

の「列 ベクトル」を

,

A =

³

a ⁰ ₁ a ⁰ ₂ a ⁰ ₃

´

と表わして

,

行列

A

の余因子行列

B e

の「行ベクトル」を

, b e ⁰ _i =

³ A e 1i A e 2i A e 3i

´

, (i = 1, 2, 3)

と表わすことにすると

,

勝手な「列ベクトル」

x ⁰ =



  x 1

x 2

x ₃



  , x ₁ , x ₂ , x ₃ ∈ R

に

,

それぞれの「行ベクトル」

b e ⁰ _i , (i = 1, 2, 3)

を左から掛け算した結果が

,

余因子行列の行ベクトル

b e ⁰ _i , (i = 1, 2, 3)

を左から掛け算した結果

¶ ³

 

 

 



 

 

 

b e ⁰ ₁ x ⁰ = ¯¯ ¯ x ⁰ a ⁰ ₂ a ⁰ ₃ ¯¯ ¯ b e ⁰ ₂ x ⁰ = ¯¯ ¯ a ⁰ ₁ x ⁰ a ⁰ ₃ ¯¯ ¯ b e ⁰ ₃ x ⁰ = ¯¯ ¯ a ⁰ ₁ a ⁰ ₂ x ⁰ ¯¯ ¯

(34)

µ ´

という式で与えられることが分かります

. ¹⁴

したがって

,

特に

, x ⁰

として

,

行列

A

の「列ベ クトル」を考えてみると

, (34)

式から

, i, j = 1, 2, 3

に対して

,

b e ⁰ _i a ⁰ _j =

 



det A, i = j

のとき

0, i 6= j

のとき

となることが分かりますから

,

今度は

,

14皆さん

,

確かめてみて下さい

.

余因子行列の重要な性質

¶ ³

BA e = det A · I

µ ´

という式が確かめられたということになります

.

また

, u, b ∈ R ³

^として

,

Au = b (35)

という連立一次方程式を考えると

, det A 6 = 0

のとき

,

u = A ^{− 1} b (36)

となることが分かりますが

, (33)

式と

(34)

式を用いると

, (36)

式から

, (35)

式の連立一次 方程式の解

u ∈ R ³

^が

,

連立一次方程式の解に対する

Cramer

の公式

¶ ³

u = 1 det A ·



 

 

 

¯¯ ¯ b a ⁰ ₂ a ⁰ ₃ ¯¯ ¯

¯¯ ¯ a ⁰ ₁ b a ⁰ ₃ ¯¯ ¯

¯¯ ¯ a ⁰ ₁ a ⁰ ₂ b ¯¯ ¯



 

 

 

(37)

µ ´

というように具体的な形で与えられることが分かります

. ¹⁵

ここでは

, 3

行

3

列の行列の場合に議論をしましたが

,

一般に

, n

行

n

列の行列

A

に対 しても

,

全く同じ議論をすることができ

,

この場合にも

,

やはり

,

逆行列が存在するための判定条件

¶ ³

行列

A

に逆行列が存在する

⇐⇒ det A 6 = 0

µ ´

という行列

A

の逆行列が存在するための判定条件が成り立つことが分かります

.

また

, det A 6 = 0

となる場合には

,

逆行列の公式

( n

行

n

列の場合

)

¶ ³

A ^{− 1} = 1 det A ·



 

 



A e ₁₁ A e ₂₁ · · · A e _n1 A e ₁₂ A e ₂₂ · · · A e _n2 .. . .. . .. . A e _1n A e _2n · · · A e _nn



 

 



| {z }

n

コ

(38)

µ ´

というように

,

行列

A

の逆行列

A ^{− 1}

が余因子行列を用いて具体的な形で与えられること が分かります

.

一般に

,

逆行列に対する

(38)

式の公式を

Cramer

の公式と呼びます

. ¹⁶

例 えば

, A

が

,

A = Ã

a b c d

!

15皆さん

,

確かめてみて下さい

.

16あるいは

,

これを

, (37)

式のように「連立一次方程式の解の公式」の形に書き直したものを

Cramer

の