原子核反応論
八尋正信（九州大学）
目次
１．散乱の量子論
（基礎、Eikonal近似、Glauber近似、多重散乱理論）
２．CDCC理論
３．天体核反応
（太陽ニュートリノ問題、漸近係数、Eikonal-CDCC）
４.ビッグバン元素合成と宇宙論への応用
５．最先端の核反応とハドロン物理
散乱の量子論
目次
1.散乱の基礎論
2.Born近似とEikonal近似
3.Glauber近似
4.Glauber近似の問題点
5.多重散乱理論
6.多重散乱理論とGlauber近似をもとにした新理論
１．散乱の量子論の基礎
参考書
１）八尋ノート ２）量子力学I 高田健次郎著 朝倉書店 ３）原子核反応論 河合光路・吉田思郎著 朝倉書店 ４）散乱の量子論 砂川重信著 岩波全書Al11O3N9（窒化アルミニウム）
電子顕微鏡像
黒い点が金属Al原子。
酸素、窒素原子は像に現れていない。
電子顕微鏡写真の例
文部科学省：ナノテクノロジー総合支援プロジェクターセンター 板東義雄氏のHPより http://www.nanonet.go.jp/japanese/nano/primer/nano09.html 1 nm＝10-9 m散乱実験の必要性
１．微視的世界であるため、原子核は目に見えない。
原子核（陽子、中性子） 数fm 1 fm=10-15 m原子核
1km原子核の中の核子の運動
１．量子的＋非相対論的
原子核（陽子、中性子） 数fm 1 fm=10-15 m 不確定性関係c
pc
x
Δ
≅
h
Δ
(
)
MeV
fm
MeVfm
x
c
pc
40
5
200
)
(
≅
=
Δ
=
Δ
h
MeV
mc
2≅
940
核子の質量核子の中のクォーク
１．量子的＋相対論的
核子 1fm 1 fm=10-15 m 不確定性関係c
pc
x
Δ
≅
h
Δ
(
)
MeV
fm
MeVfm
x
c
pc
200
1
200
)
(
≅
=
Δ
=
Δ
h
MeV
mc
2≅
10
クォークの質量粒子描像と波動描像をつなぐ
ψ
ψ
*=
P
確率解釈（単位体積中の存在する粒子数） 確率の流れ密度（単位面積のところを単位時間に通り抜ける粒子数）(
* *)
2
ψ
∇
ψ
−
ψ
∇
ψ
=
im
j
h
r
連続の方程式0
=
⋅
∇
+
j
dt
dP
r
単位面積（1 m2）入射平面波
ψ
=
e
ikzv
m
k
j
z= h
=
外向き球面波r
e
f
ikr)
,
(
θ
ϕ
ψ
=
2 2r
v
f
j
r=
Ω
=
Ω
=
j
r
d
f
vd
dN
r 2 2Ω
=
=
f
d
N
dN
d
σ
2v
j
N
=
z=
微分断面積(
* *)
2
ψ
∇
ψ
−
ψ
∇
ψ
=
im
j
h
r
散乱振幅の求め方
,
ψ
ψ
E
H
=
(
)
2
1 2 2 2 0V
V
r
r
H
H
=
+
=
−
∇
+
−
μ
h
2 1 2 1m
m
m
m
+
=
μ
２体問題
,
)
(
E
−
H
0ψ
=
V
ψ
,
)
(
0 1 0ε
ψ
ψ
ψ
=
+
E
−
H
+
i
−V
,
0
)
(
E
−
H
0ψ
0=
Lippmann-Schwinger 方程式,
)
(
0 1 0 −+
−
=
E
H
i
ε
G
座標表示
,
)
(
0 1 0ε
ψ
ψ
ψ
r
d
r
r
E
H
i
r
r
V
r
=
+
∫
′
−
+
−′
′
r
r
e
r
i
H
E
r
r r ip′
−
−
=
′
+
−
′ − − 2 1 04
2
)
(
h
π
μ
ε
r′
r
),
(
)
(
2
2 0d
r
e
V
r
r
r
e
r
r
ip r r ip r⎯ →
⎯
−
′
′
′
⎯
→∞ ⋅ − ⋅′ ′∫
ψ
π
μ
ψ
ψ
h
漸近領域では),
(
)
(
2
2d
r
e
V
r
r
f
=
−
∫
′
−ip ⋅′r′′
ψ
′
π
μ
h
よってp
T
p
Te
e
r
d
f
=
−
∫
′
−ip ⋅′r′ ip⋅r′=
−
2′
2 2)
2
(
2
h
h
μ
π
π
μ
0ψ
ψ
T
V
=
T行列の定義 ボルン近似),
(
)
(
2
2d
r
e
V
r
r
f
=
−
∫
′
−ip ⋅′r′′
ψ
′
π
μ
h
r ip r p i Borne
r
V
e
r
d
f
=
−
∫
′
− ⋅′ ′(
′
)
⋅ ′2
π
h
2μ
0ψ
ψ
=
Ω
波動演算子Ω
= V
T
条件1
0V
<<
G
0
ψ
ψ
T
V
=
,
0 0ψ
ψ
ψ
=
+
G
V
,
0 0ψ
ψ
ψ
V
VG
V
V
=
+
Vを左から掛ける,
0 0 0 0ψ
ψ
ψ
V
VG
T
T
=
+
に注意,
0T
VG
V
T
=
+
よって 摂動解,
) 0 (V
T
=
T
(1)=
V
+
VG
0T
(0)=
V
+
VG
0V
,
) ( 0 ) 1 (n nT
VG
V
T
+=
+
２．Born近似とEikonal近似
Eikonal近似：高エネルギー前方散乱でよい近似例）核子-核子散乱
核力（Tamagaki potential；triplet-even、central）
Ω
d
d
σ
q
q
r
ik
r
fk
r
Eikonal近似（その１）
0
)
(
)
(
2
2 2=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
+
∇
−
V
r
E
ψ
r
μ
h
)
(
)
2
(
1
2
/
3
e
r
ikz
χ
π
ψ
=
以下のように波動関数を表し、
χ は緩やかな関数と考える。
μ
2
)
(
k
2E
=
h
0
)
(
)
(
2
2=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
+
Δ
−
V
r
E
ψ
r
μ
h
に代入。すてる
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
′
′
=
∫
∞ −)
,
(
1
exp
d
z
v
b
z
v
i
zr
h
χ
よって,
χ
χ
V
dz
d
v
i
h
=
,
2
2
)
(
2
2 2 2⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+
+
Δ
=
Δ
χ
χ
χ
μ
χ
μ
dz
d
ik
k
e
r
e
ikz ikzh
h
v
k
k
h
h
h
h
=
=
μ
μ
2
2
2を一定
μ
→
∞
)]
,
(
exp[
)
2
(
1
)
(
3/2d
z
V
b
z
v
i
ikz
r
z′
′
−
≈
∫
∞ −r
h
π
ψ
よって、Eikonal近似に基づく波動関数は
Eikonal近似（その２）
,
)
(
0 1 0ε
ψ
ψ
ψ
r
d
r
r
E
H
i
r
r
V
r
=
+
∫
′
−
+
−′
′
ε
π
μ
ε
i
p
k
e
p
d
r
i
H
E
r
r r p i+
−
=
′
+
−
− ⋅ − ′∫
2 2 ) ( 3 2 1 0)
2
(
2
)
(
r r rr
h
q
r
k
r
p
r
q
k
q
q
k
q
k
k
p
k
2−
2=
2−
(
r
+
r
)
2=
−
2
r
⋅
r
−
2≈
−
2
r
⋅
r
) ( 1 0
)
(
)
(
)
(
)
(
x
x
y
y
z
z
e
ik z zv
i
r
i
H
E
r
−
+
ε
−′
≈
−
δ
−
′
δ
−
′
θ
−
′
− ′h
μ
k
v
=
h
速度)]
,
(
exp[
)
2
(
1
)
(
3/2d
z
V
b
z
v
i
ikz
r
z′
′
−
≈
∫
∞ −r
h
π
ψ
上式をLS方程式に代入,
)
(
0 1 0ε
ψ
ψ
ψ
r
d
r
r
E
H
i
r
r
V
r
=
+
∫
′
−
+
−′
′
よって散乱振幅の式に代入
)])
,
(
exp[
1
(
2
)
(
d
z
V
b
z
v
i
e
b
d
ik
f
≈
∫
iqb−
−
∫
′
′
∞ ∞ − ⋅ −r
h
r
r rπ
θ
NN
Γ
),
(
)
(
2
2d
r
e
V
r
r
f
=
−
∫
′
−ip ⋅′r′′
ψ
′
π
μ
h
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
′
′
−
−
−
=
∫
∞ ∞ −)]
,
(
exp[
1
d
z
V
b
z
v
i
v
i
T
r
h
h
1
)
,
(
1
′
′
<<
∫
∞ −z
b
V
z
d
v
zr
h
Born近似が成立する条件1
0<<
v
a
V
h
Eikonal近似が成立する条件kz
z
b
V
z
d
v
z<<
′
′
∫
∞ −)
,
(
1
r
h
v
d
z
V
b
z
ka
a<<
′
′
∫
∞ −)
,
(
1
r
h
1
>>
ka
ka
v
a
V
<<
h
0 よって1
0<<
E
V
E
k
k
kv
=
=
2
μ
h
h
h
なぜなら３．Glauber近似
原子核＋原子核散乱
Eikonal 近似、Adiabatic 近似
断熱近似
0
)
2
)
(
(
2
=
Ψ
−
+
+
+
∇
−
ε
ε
ω
μ
P
A
V
h
P
A
Eikonal近似
)])
,
(
exp[
1
(
2
)
(
d
z
V
b
z
v
i
e
b
d
ik
f
≈
∫
iq b−
−
∫
′
′
∞ ∞ − ⋅ −r
h
r
r rπ
θ
Φ
′
′
−
−
Φ
≈
∫
∞∫
∞ − ⋅ −)]
,
(
exp[
1
2
)
(
d
z
V
b
z
v
i
e
b
d
ik
f
el iq br
h
r
r rπ
θ
P
A
Argonne V18
triplet-even state , central part
1
0<<
E
V
Eikonal近似
は疑問!!
N-N散乱の散乱振幅
E
LAB=150MeV
Eikonal近似
)])
,
(
exp[
1
(
2
)
(
d
z
V
b
z
v
i
e
b
d
ik
f
≈
∫
iq b−
−
∫
′
′
∞ ∞ − ⋅ −r
h
r
r rπ
θ
Φ
′
′
−
−
Φ
≈
∫
∞∫
∞ − ⋅ −)]
,
(
exp[
1
2
)
(
d
z
V
b
z
v
i
e
b
d
ik
f
el iq br
h
r
r rπ
θ
P
A
∑
t
ij反応断面積
Comparison of TEL pot. and
AV18
５．多重散乱理論
P
A
Schrödinger equation
M. Yahiro, K. Minomo, K. Ogata, M. Kawai, Prog.Theor.Phys.120:767-783,2008.
0
)
(
,
=
Ψ
−
+
+
+
∑
∈
∈
P
j
A
i
ij
A
P
h
v
h
K
ω
蓑茂氏提供
ＬＳ方程式
,
0 0ψ
ψ
ψ
=
+
G
V
0ψ
ψ
T
V
=
,
0 0ψ
ψ
ψ
V
VG
V
V
=
+
Vを左から掛ける,
0 0 0 0ψ
ψ
ψ
V
VG
T
T
=
+
に注意P
A
i
j
Watson方程式の証明
,
∑
=
T
ijO
を仮定して
O
が
を証明
)
1
(
G
0
O
V
O
=
+
)
(
0 ij ij ij ijG
O
T
T
=
τ
+
τ
−
O
G
T
G
ij ij ij ij 0)
01
(
+
τ
=
τ
+
τ
)
1
(
)
1
(
G
0 1G
0O
T
ij=
+
τ
ij −τ
ij+
ij ij ij ij ij ij ij ij ijv
v
G
0τ
v
τ
G
0v
(
1
τ
G
0)
v
τ
=
+
=
+
=
+
ij ij ijG
v
=
(
1
+
τ
0)
−1τ
)
1
(
G
0O
v
T
ij=
ij+
①
②
②を①に代入
和（ij）をとる。よって
)
1
(
G
0O
V
O
=
+
6. 多重散乱理論とGlauber近似
をもとにした新理論
i
j
i
j
P
A
から
を掛けると
もともとのL-S方程式
P
A
多重散乱理論から出てくるL-S方程式
i
j
,
0
T
VG
V
T
=
+
多重散乱理論をもとにした方程式
Effective NN interaction
P
A
0
)
1
(
,
=
Ψ
−
−
+
+
+
∑
∈
∈
P
j
A
i
ij
A
P
Y
Y
h
h
K
τ
ω
Schrödinger equation
Adiabatic and eikonal approximations
0
)
(
,
=
Ψ
−
+
+
+
∑
∈
∈
P
j
A
i
ij
A
P
h
v
h
K
ω
1
>
Y
T
Y
Y
T
′
−
=
1
多重散乱理論もとにしたGlauber理論
)])
,
(
exp[
1
(
2
)
(
d
z
U
b
z
v
i
e
b
d
ik
f
≈
∫
iq b−
−
∫
′
′
∞ ∞ − ⋅ −r
h
r
r rπ
θ
∑
t
ij∑
=
ijU
τ
エネルギーが高いi
j
P
A
i
j
Comparison of TEL pot. and
AV18
i
j
i
j
P
A
Non-adiabatic :
Adiabatic :
i
j
P
40C
a
断熱近似のテスト
P
A
光学極限
Φ
′
′
−
−
Φ
≈
∫
∞∫
∞ − ⋅ −)]
,
(
exp[
1
2
)
(
d
z
U
b
z
v
i
e
b
d
ik
f
el iqbr
h
r
r rπ
θ
1
>>
Y
を考える
])
)
,
(
exp[
1
(
2
)
(
≈
∫
−
−
∫
′
Φ
′
Φ
∞ ∞ − ⋅ −z
b
U
z
d
v
i
e
b
d
ik
f
el iq br
h
r
r rπ
θ
G-matrix: K. Amos et al., (Melbourne group) Adv. Nucl. Phys. Vol.25 (2000) 275 Hatree-Fock cal.
Results of the Melbourne model 1
65 MeV p-elastic cross sections as a function of the c.m. scattering angle
K. Amos et al., Adv. Nucl. Phys. 25, 275 (2000).
Results of the Melbourne model 2
Corresponding analyzing power
K. Amos et al., Adv. Nucl. Phys. 25, 275 (2000).
