テーマ G01： 慣性モーメント（Moment of inertia） コマ回しをすると，長い時間回転させるには重くて大きなコマを選ぶことや，ひもを早 く引くことが重要であることが経験的にわかります．遊びを通して，回転の運動エネルギ ーを増やせば，回転の勢いが増すことを学習できるので，機械系の学生にとってコマ回し も大切な体験学習のひとつと言えます．そもそも，回転体は機械には不可欠な要素であり， 回転運動への理解は機械工学において重要な項目の一つです．ここでは，その基礎として 回転運動における慣性の法則と，慣性の大小を表わす慣性モーメントを説明します． (1) 慣性質量と慣性モーメント 外力が作用しないとき，静止している物体は静止し続け，運動している物体は等速直線 運動を続けようとする性質を慣性の法則 (law of inertia) もしくは，運動の第 1 法則(the first law of motion)といいます．直線運動では，物体は運動エネルギー 2 2 1 mv [J] を持っています．この運動エネルギーは慣性の大小を左右しますが，エネルギーが大きい ほど，慣性が大きくなり，運動を止めにくくなります．運動エネルギーに含まれるのは質 量と速度ですが，質量 m [kg]は速度 v [m/s]に関係のない物体固有の値であり，慣性の大き さを表わす指標となるため，慣性質量 (inertial mass) [kg]と呼ばれます． 一方，物体が回転する場合も，物体は回転を続けようとする性質があり，直線運動の場 合と同じように慣性の法則が成立します．回転体は，回転の運動エネルギー（回転エネル ギー） 2 2 1 I [J] を持っています．m は I，v はに対応しており，回転エネルギーと運動エネルギーは式が 類似していることがわかります．I は回転体の慣性の大きさを表す指標になり，慣性モーメ ント (moment of inertia) [kgm2]と呼ばれます．は角速度 [rad/s] で，を 2πで割ると回 転速度（回転数）[1/s]になります． 慣性質量は重量計で測定することができますが，慣性モーメントを直接測定する計測機 器はありません．慣性モーメントは，質量が同じでも物体の形状や回転軸の位置が異なる と，値が変わってしまうため，実際に回転させてトルクを測定し，理論的に値を求めるし かありません．工業力学や機械工学便覧には，代表例の形状に関して公式が記載されてい るので，回転体を設計する際の参考にすることができます．しかし，複雑な形状になると， 自分で計算しなければなりません．そのためには，慣性モーメントの理論を理解する必要 があります． (2) 慣性モーメントの定義 質量が無視できる半径 r のアームで固定回転軸に接続された質量 m の物体に対し，アー
ムと垂直な方向に力 F を加えると，物体は軸を中心として半径 r の円軌道上を回転し始め ます． このとき，物体の加速度を a とすると，ニュートンの運動の第 1 法則より，力と加速度の 関係は ma F (1) と表わされます．一方，回転の角速度を [rad/s]，角加速度を [rad/s2]とすると， a r r a , , (2) の関係から， mr F (3) となります．ところで，力 F に腕の長さ r を乗じた値T Frは，アームを回転するための トルクに他なりません．(3)式から， 2 mr Fr T (4) となります．ここで， 2 mr I (5) とおくと， I T (6) と表記することができます．この I が慣性モーメントとよばれるものです． 次に，物体が複数あり，一体となって回転する場合を考えます． トルクは，それぞれの物体を回転するのに必要なトルクの合計になるので mr I r m r F T n i i i n i i i n i i i
1 2 1 2 1 (7) m r 回転軸 F I I m1 r1 回転軸 F1 r2 m2 F2となり，慣性モーメントは
n i i ir m I 1 2 (8) と表わされます．物体が一つ一つ分かれておらず，連続した形の物体の慣性モーメント計 算する場合，合計を求める方法では物体を無数の物体に分割する必要があり，式は
1 2 i i ir m I (9) と無限個の合計となるため計算は容易ではありません．この場合，次のようにΣ記号を積 分記号に置き換える必要があります．
r dm I 2 (10) 円盤を例に，具体的な計算をしてみましょう． 円盤（半径 R，厚さ h）の回転中心から，半径 r の位置に微小な幅 dr のリングを考えま す．リングを伸ばすと，長さ2r，幅 dr テープ状となるので，このリングの微小重量 dm は，円盤の密度を [kg/m2] とすると hrdr h dr r dm2 2 (11) となります．(11)式を(10)式に代入すると
r dm r hrdr h r dr I 2 22 2 3 (12) となり，質量による積分を半径による積分に置き換えることができます．積分範囲は円盤 の中心r0から円盤の半径r Rまでです．したがって，定積分を行うと， 4 4 0 4 0 3 2 1 4 2 4 2 2 h r dr h r hR hR I R R
(13) さらに，円盤の質量を M [kg]とすると，密度は h R M 2 (14) 回転軸 R R r 回転中心 円盤を上から見た状態 dr 引き延ばすとなので，これを(13)式に代入すると 2 2 1 4 2 2 MR hR h R M I (15) 慣性モーメントを 2 Mk I (16) とおいたとき，k を回転半径 (radius of gyration) [m]と言います．円盤の場合，(15)式との比 較から 2 R M I k (17) となります．円盤の場合，回転半径 k は円盤の半径 R に一致するわけではありませんが， R に比例していることを理解しておく必要があります． (3) 慣性モーメントの定理 ① 平行軸の定理 重心 G から d 離れた，z 軸に平行な回転軸 w を考えます． w 軸回りの慣性モーメントを I とすると，
dm d xdm d dm r dm d dx r dm d dx y x dm y d dx x dm y x d dm r I G G 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (18) 右辺第 1 項は，物体の重心回りの慣性モーメントI に等しく， G
r dm IG G 2 (19) となる．次に，右辺第 2 項の積分は，重心回りのモーメントをM に等しく，モーメントG のバランスから 0
xdm MG (20) となる．右辺第 3 項の積分は，全質量 M に等しい． R x y z d G I y x r w
dm M (21) したがって，(18)式は M d I I G 2 (22) となります．これを平行軸の定理と言います． ② 直交軸の定理 回転軸として，図のように，x, y, z の直交する 3 つの軸を考えます． 図より 2 2 2 y x r (23) の関係があり，両辺に dm を掛けると dm y dm x dm r2 2 2 (24) さらに，両辺を積分すると
r2dm x2dm y2dm (25) 各項は，3 つの軸の慣性モーメントIx,Iy,Izに等しいので，次の関係が存在します． y x z I I I (26) この関係を，直交軸の定理と言います． ここで，I は円盤の面に垂直な軸（回転対称軸）回りの慣性モーメントであり，極慣性モzーメント (polar moment of inertia)と呼ばれます． (4) 慣性モーメントとコマ回し 回転速度が同じ場合，慣性モーメントの大きな回転体の方が静止状態から回転し始める 際の起動トルク注が大きくなり，同時に蓄えられる回転エネルギーも大きくなって，回転を 止めにくくなります．慣性モーメントを大きくするには，(16)式から分かるように，質量 か回転半径を増やせばよいわけですが，質量より，2 乗に比例する回転半径を増やす方が R x y z x y r
効果的と言えます．すなわち，同じ質量なら，円盤の半径を大きくする方が良いことにな ります．このことは，コマ回しの場合も，慣性モーメントの大きいものを選ぶ方が，回転 の勢いを増し，回転時間を長くできることを意味しています．ただし，あまり大きくなり すぎると，起動トルクが大きくなり過ぎて，手では十分な回転速度が得られないため，限 界は存在します． 注：起動トルクは，静止時から物体が回転し始める際に必要なトルクです． http://www.sit.ac.jp/user/konishi/JPN/L_Support/SupportPDF/Moment_of_inertia.pdf Copyright ⓒ 2009, 2013 小西克享, All Rights Reserved.
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