体論 (ガロア理論) 雪本義人 1. 一般的な事項 1.1. 部分体，拡大体. ¶ ³ 定義 1.1. (1) 体 L の部分集合 K が条件 (i) 0∈ K，1 ∈ K (ii) すべての x, y∈ K に対して x + y ∈ K, x − y ∈ K (iii) すべての x, y∈ K に対して xy ∈ K (iv) すべての x∈ K \ {0} に対して x−1∈ K をみたすとき K は L の部分体，あるいは L は K の拡大体であるという (ここ で 0 は L の零元，1 は L の単位元である)．このことを L⊇ K，L/K などと 表す． (2)体の拡大 K ⊆ M ⊆ L があるとき M を K，L の中間体という． µ ´ 問 1.1. 複素数体C の部分集合 K ={a + b√3 i| a, b ∈ Q} はC の部分体であることを示せ． 問 1.2. R の部分体の関係 Q(√2,√3) =Q(√2 +√3) を示せ． 問 1.3. 体 L の部分体 Ki(i∈ I) の共通部分 T i∈IKi は L の部分体であることを 示せ． ¶ ³ 定義 1.2. K ⊆ L を体の拡大とする．体 L の部分集合 S に対して，K ∪ S を含む最小の L の部分体を K(S) と書き，K に S を添加した体という．S = {s1, s2, . . . , sn} が有限集合のときは K(S) のことを K(s1, s2, . . . , sn)と書くこ とが多い． 一つの元 α∈ L によって K(α) と表わせる体を K の単純拡大体という． µ ´ 問 1.4. n 個の元を添加した体 K(S) (S ={s1, s2, . . . , sn} ⊆ L) は K(S) = ½ f (s1, . . . , sn) g(s1, . . . , sn) ¯¯ ¯¯ f,g ∈ K[X1, . . . , Xn], g(s1, . . . , sn)6= 0 ¾ と外延的に表わされることを示せ． 1
問 1.5. S が無限集合であるとき K(S) =[ T K(T ) を示せ．ここで T は S のすべての有限部分集合を動く． 1.2. 標数. 体 K の単位元 n 個の和 (1.1) n z }| { 1 + 1 +· · · + 1 が 0 に等しくなるとき，そうなるような自然数 n の最小を K の標数という．この とき標数は素数である．すべての自然数 n に対して和 (1.1) が 0 と異なるとき K の 標数は 0 であるという． 標数が 0 であるとき K はQ と同型な部分体を含み，標数が素数 p のとき K は Z/pZ と同型な部分体を含む． 1.3. 拡大次数. ¶ ³ 定義 1.3. L を K の拡大体とする． (1) Lが K ベクトル空間として有限次元であるとき L は K の有限次拡大であ るという． (2) K ベクトル空間としての L の次元を L の K 上の拡大次数といい [L : K] で表す． µ ´ ¶ ³ 定理 1.1. K ⊆ M ⊆ L 体の包含関係とする． (1){α1, α2, . . . , αm} が M の K 基底，{β1, β2, . . . , βn} が L の M 基底ならば， {αiβj | 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n} は L の K 基底である． (2) (連鎖律) L/M と M/K が有限次拡大なら L/K も有限次拡大であって [L : K] = [L : M ][M : K] µ ´ 証明. (1) (生成すること) {β1, β2, . . . , βn} が M 上の基底だから，L の任意の元 x は適当な yj∈ M(1 ≤ j ≤ n) によって x = X 1≤j≤n yjβj と表される．各 yjは，{α1, α2, . . . , αm} が M の K 基底だから，適当な zij ∈ K(1 ≤ i≤ m) によって yj= X 1≤i≤m zijαi と表され，この等式を上の等式に代入することによって，{αiβj| 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n} が K 上で L を生成することがわかる． (独立性) あるスカラー cij ∈ K によって等式 X 1≤ i ≤ m 1≤ j ≤ n cijαiβj= 0
がなりたつと仮定する．この式は X 1≤j≤n X 1≤i≤m cijαi βj = 0 と変形できる．ここでPicijαi は M の元であって{βj}nj=1 が M 基底だから，各 j に対して X 1≤i≤m cijαi= 0. さらに{αi}mi=1 が K 基底であることから cij= 0 を得る． (2)ベクトル空間の基底の定義と (1) から明らか．¤ 問 1.6. 次を示せ．体の拡大 K ⊆ L の拡大次数が素数ならば K と L の中間体は K, L以外にない． 問 1.7. M1, M2が体 K ⊆ L の中間体であって [M1: K] と [M2: K]が互いに素な らば M1∩ M2= K であることを示せ． 1.4. 代数的元，代数的拡大体. ¶ ³ 定義 1.4. K ⊆ L を体の拡大，α を L の元とする．このとき Iα={f(X) ∈ K[X] | f(α) = 0} は単項イデアル整域 K[X] のイデアルである． (i) Iα= (0)の場合 α は K 上超越的であるという． (ii) Iα6= (0) の場合 α は K 上代数的であるという．この場合 Iαを生成する多 項式で最高次の係数が 1 のものを α の K 上の最小多項式といい Irr(α, K, X) で表す． µ ´ 問 1.8. K 上代数的な元 α の最小多項式は既約であることを証明せよ． K 上代数的な元 α の最小多項式のことを α の K 上の既約多項式ともいう． 問 1.9. 次の数のQ 上の最小多項式を求め，Q に添加した体の Q 上の次元と基底を 求めよ． (1)√2 (2) ω (1の原始 3 乗根のひとつ) 問 1.10. ω を 1 の原始 3 乗根とする． (1) ω6∈ Q(√3 2)を示せ． (2) [Q(√3 2, ω) :Q] を求めよ． (3)Q(√3 2, ω)のQ 基底を求めよ． 問 1.11. α =p√3− 1 とするとき (1) αの最小多項式を求めよ． (2) α3の最小多項式を求めよ． ¶ ³ 定義 1.5. 体の拡大 L/K は，L のすべての元が K 上代数的であるとき代数的 拡大という． µ ´ 拡大 L/K が有限次拡大ならば L/K は代数的拡大である．
有理数体Q 上代数的な複素数を代数的数という．代数的でない数を超越数という． 自然対数の底 e や円周率 π は超越数であることが証明されている． 問 1.12. C/R は代数的拡大であることを示せ． 問 1.13. (1) α が K 上代数的ならば，拡大 K(α)/K は代数的拡大であることを示 せ． (2) α, β が体 K 上代数的ならば，α± β, αβ, αβ−1(β 6= 0) も K 上代数的であるこ とを示せ． (3)拡大体 L⊇ K の K 上代数的な元の全体は体であることを証明せよ． 問 1.14. 代数的数の全体はQ の有限次拡大体でないことを示せ． ¶ ³ 定理 1.2. L が K の有限次拡大であることと L が有限個の代数的元で K 上生 成されることは同値である． µ ´ 証明. (⇒) [L : K] に関する帰納法によって示す．[L : K] = 1 のときは明らか． [L : K]≥ 2 のとき K に属さない L の元を α とする． このとき [L : K(α)] < [L : K] である．帰納法の仮定によって L は K(α) 上有限個の代数的元 β1, β2, . . . , βnで生成 される．ゆえに L = K(α, β1, β2, . . . , βn)であり，生成元 α はもとより βi(1≤ i ≤ n) も K 上代数的である． (⇐) 生成元の個数 n に関する帰納法によってしめす．n = 1 のときは明らかであ る（単純拡大の性質）．L = K(α1, . . . , αn−1, αn) とすると帰納法の仮定によって [K(α1, . . . , αn−1) : K] < ∞ である．また拡大 L/K(α1, . . . , αn−1) は単純拡大だ から拡大次数は Irr(αn, K, X) の次数以下であって有限である．定理 1.1 によって [L : K]も有限である．¤ 1.5. 体の同型写像，自己同型写像. ¶ ³ 定義 1.6. (1) K, K0 を体とする．環準同型写像 f : K → K0 は一対一写像であ るから，中への同型写像ともいう．さらに f が上への写像であるとき，f を (上 への) 同型写像という．K から K0 への同型写像が存在するとき K ∼= K0 と書 く． (2) L/K, L0/K0 を拡大体とする．同型写像 ϕ : L → L0 の制限 f = ϕ|K が K から K0 への同型写像であるとき，ϕ を f の拡張という．特に K = K0 の とき，idK の拡張を K 同型写像という．言い換えると，ϕ が同型写像であって ϕ(x) = x (x∈ K) であるとき ϕ を K 同型写像という．さらに L = L0 のとき ϕを K 自己同型写像という． µ ´ 問 1.15. f : K→ K0 を体の同型写像とする． (1) K3 ∀x に対して f(−x) = −f(x) を示せ． (2) K3 ∀x 6= 0 に対して f(x−1) = f (x)−1 を示せ． (3)Q ⊆ K (すなわち K の標数は 0) ならば，f は Q 同型写像であることを示せ． 問 1.16. (1) L を K の拡大体，α∈ L の K 上の最小多項式を f(X) とする．任意 の L の中への K 同型写像 ϕ : K(α)→ L について，ϕ(α) は f(X) の根であること を示せ． (2)中へのQ 同型写像 ϕ : Q(α) → C を全て求めよ． (3) ϕ(√3 2) =√3 2 ωのとき，L =Q(√3 2)の像は何か． (4) L =Q(√3 2)の Q 自己同型写像をすべて求めよ．
2. 最小分解体 ¶ ³ 定義 2.1. K を体，f (X) を K 係数の定数でない多項式とする．拡大体 L⊇ K を係数とする多項式環 L[X]⊇ K[X] において f (X) = γ(X− α1)(X− α2) . . . (X− αn); α1, α2, . . . , αn, γ∈ L, γ 6= 0 と一次因子の積に分解できるとき L を f (X) の分解体という． µ ´ ¶ ³ 定理 2.1. 定数でない任意の多項式 f (X) ∈ K[X] に対して f(X) の分解体 L⊇ K が存在する． µ ´ 証明. f (X) の次数 n に関する数学的帰納法によって示す．n = 1 のときは K 自体 が分解体である．以下では n > 1 と仮定する． もし f (X) = f1(X)f2(X) と定数でない多項式 f1(X), f2(X) ∈ K[X] の積に分解 するときは，帰納法の仮定によって f1(X) の分解体 L1 ⊇ K と f2(X) の分解体 L2⊇ L1 が存在し，この L2⊇ K が f(X) の分解体である． f (X)が既約多項式であるとき K1= K[X]/(f (X))は K の拡大体であり， ¯X∈ K1 は f (X) の根である．したがって K1[X]において f (X) は f (X) は 1 次式と n− 1 次式の積として表わされるから，状況は f (X) が既約でない場合に帰す．¤ ¶ ³ 定義 2.2. L⊇ K を f(X) ∈ K[X] の分解体，α1, α2, . . . , αn∈ L を f(X) の根 とするとき，L に含まれる f (X) の分解体のうち最小のもの K(α1, α2, . . . , αn) を f (X) の最小分解体とよぶ． µ ´ 上の定義では最小分解体はそれを含む分解体に依存して決まったが，次の定理によっ て，体 K と多項式 f (X)∈ K[X] が与えられたときその最小分解体は同型を除いて 一意的であることが分かる． ¶ ³ 定理 2.2. σ を体 K1 から K2 の上への同型写像，f (X) を K1 係数の多項式 とし，L1⊇ K1 を f (X) の最小分解体，L2⊇ K2 を σf (X) の最小分解体とす る．このとき σ を拡張した L1 から L2 の上への同型写像が存在する． µ ´ 証明. 拡大次数 n = [L1: K1]に関する帰納法によって示す．n = 1 ならば σ をそれ 以上拡張する必要はない．n > 1 のとき，K1[X]の元として，f (X) には 2 次以上の 既約因子 g(X) がある．このとき K2[X]の元 σg(X) は σf (X) の既約因子である． g(X)の根の一つを α，σg(X) の根の一つを β として同型写像の合成 σ0: K1(α)→ K1[X]/(g(X))→ K2[X]/(σg(X))→ K2(β) は σ の拡張である．ここで L1⊆ K1(α)は f (X) の最小分解体であり，L2⊇ K2(β) は σf (X) の最小分解体である．帰納法の仮定によって L1 から L2 の上への σ0 の 拡張が存在する．これは σ の拡張である．¤ 問 2.1. (1)Q 上 X2+ 1 の最小分解体を求めよ． (2)Q 上 X3− 2 の最小分解体 L とその拡大次数 [L : Q] を求めよ． (3) L =Q(√2 +√3 i)は Q 上 X4+ 2X2+ 25の最小分解体であることを示せ．
¶ ³ 定義 2.3. 体 K 上代数的な元 α, β は K 上の最小多項式が一致するとき K 共 役であるという． µ ´ 例 1. 複素数 a + b i (a, b∈ R) と a − b i は R 共役である． 問 2.2. √3 2と Q 上共役な元を求めよ． ¶ ³ 定理 2.3. L を f (X)∈ K[X] の最小分解体とする．次は同値である． (1) f (X)の根 α と β は K 共役である． (2) σ(α) = β であるような K 自己同型写像 σ : L→ L が存在する． µ ´ 証明. (2)⇒(1). g(X) = Irr(α, K, X) とおく．g(X) は K 係数の多項式だから g(β) = g(σ(α)) = σ(g(α)) = 0 となって，β も既約多項式 g(X) の根である． (1)⇒(2). K 同型写像 σ : K(α) ∼= K(β) が L の K 自己同型写像に拡張できること を示す．K(α) において f (X) が一次因子の積に分解するならば K(α) = L そして K(β)⊆ L だが，[K(β) : K] = [L : K] によって K(β) = L である．f(X) を K(α) 上で分解したときに 2 次以上の既約因子 f1(X)が現れるなら，K(α) に f1(X)の根 α1を付加した体と K(β) に f1σ(X)の根 β1を付加した体の間に σ を拡張した K 同 型写像 K(α, α1) ∼= K(α)[X]/(f1(X)) ∼= K(β)[X]/(f1σ(X)) ∼= K(β, β1) が存在する．K(α, α1, . . . ) が L になるまでこれを繰り返せばよい．¤ 問 2.3. f (X) を K 上の既約多項式とし重根をもたないとする． α1, α2, . . . , αt を f (X) の根，L を f (X) の最小分解体とするとき，K 自己同型写像 σ : L→ L は α1, α2, . . . , αtの置換を引き起こすことを示せ． 問 2.4. Q 上の X3− 2 の最小分解体を L とし，σ : L → L を Q 同型写像とする． (1) L =Q(√3 2, ω)を示せ． (2) σ(√3 2) および σ(ω) を求めよ． (3) τ (√3 2) = √3 2 ω, τ (ω) = ω を満たすQ 同型写像 τ : L → L について τ を X3− 2 の 3 根の置換として表せ． 3. 正規拡大 ¶ ³ 定理 3.1. L/K を代数的拡大とするとき次は同値： (1) 既約多項式 f (X)∈ K[X] が L の中に一つの根をもてば，全ての根は L に 属する． (2) 全ての α∈ L に対して，α と K 上共役な元が全て L に属する． (3) 全ての α ∈ L に対して，α の K 上の最小多項式は L で 1 次因子に分解 する． µ ´ ¶ ³ 定義 3.1. 代数的拡大 L/K は，上の定理の同値な条件をみたすとき正規拡大と いう． µ ´
問 3.1. (1)Q(√2)/Q は正規拡大であることを確かめよ． (2)Q(√32)/Q は正規拡大でないことを確かめよ． 問 3.2. 次を示せ． (1) L/K が正規拡大ならば，L, K の任意の中間体 M に対して L/M は正規拡大で ある． (2) M, N を L/K の中間体とする．M/K と N/K が正規拡大ならば M N/K は正 規拡大である． (3) M, N を L/K の中間体とする．M/K が正規拡大ならば M N/N は正規拡大で ある． ¶ ³ 定理 3.2. L/K が有限次拡大のとき次は同値． (1) L/K が正規拡大である． (2) Lの任意の拡大体 M の K 同型写像 σ : M → M に対して σ(L) ⊆ L µ ´ 証明. (1)⇒(2). L = K(α1, α2, . . . , αn)，αi の K 上の最小多項式を fi(X)とする． fi(σ(αi)) = σ(fi(αi)) = 0 だから σ(αi)は αi に K 共役である．仮定によって σ(αi)は L の元である． (2)⇒(1). α を L の元，f(X) を α の K 上の最少多項式，M を f(X) の最小分解 体とする．定理 2.3 によって，α に K 共役な任意の元 β に対して σ(α) = β となる M の K 自己同型写像が存在する．仮定から β = σ(α)∈ σ(L) ⊆ L なので β ∈ L で ある．¤ ¶ ³ 定理 3.3. L/K が有限次正規拡大であることと L が K 上のある多項式の最小 分解体であることは同値である． µ ´ 証明. (⇒) 定理 1.4 から L は有限個の K 上代数的元 αi(i = 1, 2, . . . , n) を添加する ことで得られる．元 αi の最小多項式を fi(X)とし f (X) = f1(X)f2(X)· · · fn(X) とおくと，L/K が正規拡大であるから，L は f (X) の K 上の最小分解体である． (⇐) L を多項式 f(X) の K 上の最小分解体とする．このとき f(X) の根を α1, α2, . . . , αn とすると L = K(α1, α2, . . . , αn)である．L の任意の拡大体の K 同型写像 σ に対 して f (σ(αi)) = σ(f (αi)) = 0 なので σ(αi)は f (X) の根である．したがって σ(L)⊆ L となる．定理 3.2 によっ て L/K は正規拡大である．¤ 問 3.3. 拡大Q(√4 2, i)⊇ Q(√4 2)⊇ Q について (1)Q(√42, i)/Q は正規拡大であることを示せ． (2)Q(√4 2, i)/Q(√4 2) は正規拡大であることを示せ． (3)Q(√4 2)/Q は正規拡大でないことを示せ． 問 3.4. Q(√42)/Q(√2), Q(√2)/Q はともに正規拡大であるが Q(√42)/Q は正規拡 大でないことを示せ．
4. 分離的拡大 ¶ ³ 定義 4.1. (1) K 上代数的な元 α は，Irr(α, K, X) が分解体において重根をも たないとき K 上分離的であるという．そうでないとき非分離的という． (2) 代数的拡大体 L/K は，全ての L の元が K 上分離的であるとき分離的と いう． µ ´ 多項式 f (X) = anXn+ an−1Xn−1+· · · + a1X + a0∈ K[X] の導関数 f0(X)を f0(X) = nanXn−1+ (n− 1)an−1Xn−2+· · · + a1 と形式的に定義する．このとき f (X), g(X)∈ K[X] と a, b ∈ K に対し (af (X) + bg(X))0 = af0(X) + bg0(X) (4.1) (f (X)g(X))0 = f0(X)g(X) + f (X)g0(X) (4.2) がなりたつ． 問 4.1. (1) 等式 (4.1) を示せ． (2)等式 (4.2) を示せ．(ヒント：まず f (x), g(x) のどちらかが単項式の場合に示せ．) 問 4.2. K 係数多項式 f (X), g(X) に対して次を示せ． (1) (g(X)k)0= kg(X)k−1g0(X) (0≤ k ∈ Z) (2) (f (g(X)))0= f0(g(X))g0(X) 多項式 f (X) が， g(α)6= 0 であるような多項式 g(X) によって f (X) = (X− α)eg(X), 表わされるとき，f (X) の根 α の重複度は e であるという．重複度が 2 以上の根を 重根という．根 α の重複度が e = 1 のときは f0(X) = g(X) + (X− α)g0(X) から f0(α) = g(α)6= 0 であり，重複度が e ≥ 2 のときは f0(X) = e(X− α)e−1g(X) + (X− α)eg0(X) から f0(α) = 0となる．したがって α が f (X) の重根であるための必要十分条件は f (α) = f0(α) = 0である． ¶ ³ 定理 4.1. 体 K の標数が 0 のとき，すべての代数的拡大体 L/K は分離的で ある． µ ´ 証明. 任意の元 α∈ L の最小多項式 f(X) とする．f(X) は次数が 1 以上の既約多 項式である．K の標数が 0 だから f0(X) は 0 でなく，f0(X) の次数は f (X) の次 数より小さいので，f (X) は f0(X)を割り切らない．多項式 f (X) の既約性から (4.3) a(X)f (X) + b(X)f0(X) = 1 となる a(X), b(X)∈ K[X] が存在する（K[X] はユークリッド整域）が，もし f(α) = f0(α) = 0なら式 (4.3) は成り立たない．¤
¶ ³ 定理 4.2. 有限次の分離的拡大は単純拡大である． µ ´ 証明. 体 K が有限体の場合は L も有限体であり，乗法群 L×= L\ {0} は巡回群で ある1から L⊇ K は単純拡大である．以下では K を無限体と仮定する． 拡大 L⊇ K を有限次の分離的拡大であるとする．体 L は K 上有限個の元で生 成されるが，2 個の元で生成されるときに単純拡大であることを示せば帰納法によっ て定理が証明される． 拡大体を L = K(α, β) とする．ここで α, β は K 上分離的な元である．多項式 f (X), g(X)をそれぞれ α, β の K 上の最小多項式とし，α1= α, α2, . . . , αmを f (X) の根，β1= β, β2, . . . , βn を g(X) の根とする． そうすると f1(X) = f ((α1− cβ1) + cX)と g(X) が一つの根 β1 だけを共有する ような 06= c ∈ K が存在する．なぜなら f1(X)の β1以外の根は β1+ αi− α1 c (i = 2, 3, . . . , m) だから，すべての (i, j) : 2≤ i ≤ m, 2 ≤ j ≤ n に対して β1+ αi− α1 c 6= βj であるような c6= 0 をとればよい．これは K が無限体であるから可能である． 上のように選んだ c によって θ = α−cβ(= α1−cβ1)と定める．いま h(X) を β の K(θ)上の最小多項式とすると，h(X) は f1(X)と g(X) の両方を割り切るが，f1(X) と g(X) の共通根は単根の β だけだから一次式であって h(X) = X− β となる．多 項式 h(X) は K(θ) 係数の多項式であったから β∈ K(θ) および α = θ + cβ ∈ K(θ) を得る．したがって K(α, β)⊆ K(θ) である．逆の包含関係 K(θ) ⊆ K(α, β) は明ら かである．¤ 5. 自己同型群と不変体 体 L の自己同型写像全体 Aut(L) は写像の合成によって群をなす．これを L の自 己同型群という． 問 5.1. Aut(L) が写像の合成によって群をなすことを示せ． ¶ ³ 定義 5.1. (1) 体 L の自己同型群 Aut(L) の部分群 G に対して F(G) = {a ∈ L | σ(a) = a ∀σ ∈ G} は L の部分体であり，G の不変体という． (2)拡大体 L/K に対して，L の K 自己同型写像全体のつくる群を
G(L/K) = {σ ∈ Aut(L) | σ(a) = a ∀a ∈ K}
と表わす． µ ´ 問 5.2. 上の記号のもとで (1)F(G) が L の部分体であることを示せ． (2)G(L/K) が Aut(L) の部分群であることを示せ． 1付録１を参照せよ
自己同型群 Aut(L) の部分群 G1, G2 について G1⊆ G2⇒ F(G1)⊇ F(G2) 体 L の部分体 K1, K2について K1⊆ K2⇒ G(L/K1)⊇ G(L/K2) 問 5.3. (1) 複素共役 σ : C → C; a + b i 7→ a − b i (a, b ∈ R) は R 同型写像であり， G(C/R) = {id, σ} であることを確かめよ． (2)G(Q(√2)/Q) を求めよ． ¶ ³ 定理 5.1. (1) 体 L の自己同型群 Aut(L) の部分群 G に対して G(L/F(G)) ⊇ G (a) F(G(L/F(G))) = F(G) (b) (2) 拡大体 L/K に対して F(G(L/K)) ⊇ K (c) G(L/F(G(L/K))) = G(L/K) (d) µ ´ 証明. (a) と (c) は明らかである．(b) を示す．(a) の両辺にF を施すと F(G(L/F(G))) ⊆ F(G) となり，(c) の K にF(G) を代入すると逆の包含関係 F(G(L/F(G))) ⊇ F(G) も得られる．(d) も (b) と同様に証明できる．¤ 問 5.4. (1)G(Q(√3 2)/Q) = {id} を示せ． (2)F(G(Q(√32)/Q)) 6= Q を示せ． 6. ガロア拡大 ¶ ³ 定義 6.1. 分離的かつ正規な代数的拡大をガロア拡大という．L/K がガロア拡 大であるとき G(L/K) を L/K のガロア群という． µ ´ 問 6.1. 拡大 L⊇ M ⊇ K において L/K がガロア拡大ならば L/M はガロア拡大 であることを示せ． ¶ ³ 定理 6.1. L/K を有限次ガロア拡大，G をそのガロア群とするとき次がなりた つ： (1) Lはある既約な分離的多項式の最小分解体である． (2) [L : K] =|G| (3) F(G) = K µ ´ 証明.(1) 定理 4.2 によって L = K(α) となる元 α∈ L がある．拡大 L/K 正規でが あるから既約多項式 f (X) = Irr(α, K, X) の根はすべて L に属し，L は f (X) の K 上の最小分解体である．拡大 L/K が分離的だから f (X) は分離的である． (2) L = K(α)なので L の K 自己同型写像 σ は σ(α) によって決まる．定理 2.3 に
よって α に K 共役な任意の元 β に対して σ(α) = β となるような K 自己同型写像 σが存在するから，|G| は α に K 共役な元の個数に等しい．それはまた重根を持た ない多項式 f (X) の次数に等しい． (3) L⊇ F(G) ⊇ K は明らかである．拡大 L/F(G) はガロア拡大であり，定理 5.1(d) からそのガロア群は G(L/F(G)) = G である．ゆえに (2) の K を F(G) で置き換 えた等式 [L :F(G)] = |G| もなりたつ．拡大次数について [L : K] = [L :F(G)][F(G) : K] であったから [F(G) : K] = 1 である．¤ 既約因子が重根を持たない多項式を分離的な多項式2という． 体 K 上の分離的な多項式 f (X) の最小分解体を L，f (X) の根を α1, α2, . . . , αn とすると，L/K はガロア拡大でガロア群 G は対応 σ7→ µ α1 . . . αi . . . αn σ(α1) . . . σ(αi) . . . σ(αn) ¶ によって α1, α2, . . . , αn 上の置換群（対称群の部分群）に同型である． 問 6.2. 二次拡大Q(√d)/Q はガロア拡大であることを示せ．ここで d は平方数で ない整数である． 問 6.3. L =Q(√2, i)とおく． (1) Lは Q 上のガロア拡大であることを示せ．また拡大次数をいえ． (2) σ を L のQ 自己同型写像で σ(√2) =√2, σ(i) =−i をみたすもの，τ を L の Q 自己同型写像で τ(√2) =−√2, τ (i) = i をみたすものとし，σ と τ によって生成 された群を G =hσ, τi とする．このとき G の元をすべて求め，乗積表を作成せよ． (3)G(L/Q) = G を示せ． (4)不変体F(G) = Q を確かめよ． ¶ ³ 補題 6.2. L/K を分離的な代数的拡大とする．{[K(α) : K] | α ∈ L} に最大値 mが存在すれば，[K(µ) : K] = m となる元 µ∈ L によって L = K(µ) となる． µ ´ 証明. α を任意の L の元とする．L が分離的であるから定理 4.2 によって K(µ, α) = K(ν) となる ν ∈ L が存在し，K(µ) ⊆ K(ν) となる．[K(µ) : K] の最大性から [K(µ) : K] = [K(ν) : K]であって K(µ) = K(ν)3 α となる．ゆえに K(µ) = L で ある．¤ ¶ ³ 定理 6.3. L を体，G を Aut(L) の有限部分群，K =F(G) とするとき (1) L/K は有限次ガロア拡大である． (2) [L : K] =|G| (3) G(L/K) = G µ ´ 証明. (1) 任意の元 α∈ L に対し，{α1, α2, . . . , αr} = {σ(α) | σ ∈ G} (左辺は元の重 複を除外してある) とし，f (X) = (X− α1)(X− α2) . . . (X− αr)とおく．すべての σ∈ G に対して σ(f) = f だから f(X) ∈ K[X]．したがって Irr(α, K, X) は f(X) の因子であるから重根をもたず，また根は全て L の元である．ゆえに L/K は分離 2混乱しやすい用法なので注意すること．たとえば (X− a)nなどは分離的な多項式である．
的な正規拡大である．整数の集合{[K(α) : K] | α ∈ L} には上界 |G| = deg f(X) が あるからその集合に最大値がある．補題 6.2 によって L/K は有限次拡大で (6.1) [L : K]≤ |G| となる． (2) K の定義から (6.2) G⊆ G(L/K) である．この定理の (1) によって定理 6.1(2) が適用できるから，上と併せて |G| ≤ |G(L/K)| = [L : K] を得る．この不等式と (6.1) から|G| = |G(L/K)| = [L : K] となる． (3)包含関係 (6.2) があって位数が等しい ((2) の証明の末尾) から二つの群は等しい． ¤ 問 6.4. Q 上 X3− 2 の最小分解体 L について (1) L =Q(√3 2, ω)を示せ．ただし ω = (−1 +√3 i)/2． (2) σ∈ G(L/Q) は {√32,√32 ω,√32 ω2} 上の置換を引き起こすことを示せ． (3)ガロア拡大 L/Q のガロア群 G(L/Q) は 3 次の対称群 S3 に同型であることを示 せ． (4) σ を L のQ 自己同型写像で σ(√3 2) =√3 2 ω, σ(ω) = ω をみたすもの，τ を L の Q 自己同型写像で τ(√3 2) =√3 2, τ (ω) = ω2 をみたすものとするとき，σ, τ をそれぞ れ根の置換として表せ． (5) H ={ρ ∈ G(L/Q) | ρ(√3 2) =√3 2} の不変体 K = F(H) を求めよ． (6) L/K はガロア拡大であることを確認し，ガロア群を求めよ． (7)拡大 K/Q はガロア拡大でないことを示せ． 問 6.5. 拡大 Q(√2 +√3 i)/Q はガロア拡大であることを示し，ガロア群を求めよ う． (1) α =√2 +√3 iとおく．Q 上の α の最小多項式 f(X) = Irr(α, Q, X) を求めよ． (2) f (X)の最小分解体は L =Q(√2 +√3 i)であることを示せ． (3) f (X)の根を α1= α, α2, α3, α4 とおく．ガロア群の要素を根の添え字の置換で 表せ． (4)ガロア群の乗積表を作成せよ． 7. ガロア理論の基本定理 ¶ ³ 定理 7.1 (基本定理). L/K を有限次ガロア拡大，G をそのガロア群とする． (1) L/K の中間体 M と G の部分群 H の間に次の一対一対応がある： M → G(L/M) F(H) ← H (2) M と H が対応するとき，L/M はガロア拡大で H はそのガロア群である． そして [L : M ] =|H|, [M : K] = |G : H| (3) M と H が対応するとき，M/K がガロア拡大であることと H が G の正 規部分群であることは同値である．さらにこのとき G(M/K) ∼= G/H. µ ´ 証明. (1),(2) 定理 6.1 および 6.3 による．
(3) (⇒) 拡大 M/K が正規だから u ∈ M の σ ∈ G による像 σ(u) は M の元であ り，τ ∈ H に対し τ(σ(u)) = σ(u) である．これは σ−1τ σ∈ G(L/M) = H を意味す る．ゆえに H は G の正規部分群である． (⇐) すべての τ ∈ H, σ ∈ G に対し，σ−1τ σ ∈ H であるから τσ(u) = σ(u)，した がって σ(u)∈ M．ゆえに M/K は正規拡大である．M/K が分離的であることは常 にいえるから M/K はガロア拡大である． このとき群準同型写像 G(L/K) → G(M/K); σ 7→ σ|M は定理 3.2 によって上への写像である．準同型定理を適用すれば上記の同型写像が 得られる．¤ 8. 三次方程式とガロア拡大 8.1. カルダノの公式. 三次方程式 x3+ ax2+ bx + c = 0 の解の公式はカルダノの公式と呼ばれている．いわゆるカルダノの方法によってそれ を導く．まず x = y− a/3 とおけば，この方程式は (8.1) y3+ 3py + q = 0 と左辺の 2 次の係数が 0 の方程式に変換できる．ここで p = b/3− a2/9, q = 2a3/27− ab/3 + c である．さらに y = u + v とおけば u3+ v3+ 3(u + v)(uv + p) + q = 0 となり (8.2) u3+ v3=−q (8.3) uv =−p を同時にみたす解 u, v を見つければ，y = u + v は方程式 (8.1) の解になる．式 (8.3) の両辺を 3 乗すると (8.4) u3v3=−p3 となり，式 (8.2),(8.4) から u3, v3 は二次方程式 x2+ qx− p3 = 0 の解である．ゆ えに u3, v3=−q ± p q2+ 4p3 2 . 対称性から，y = u + v を求めるには，上の解で復号が + の方を u3 と仮定してよ い．方程式 (8.3) をみたす (u, v) は次の三つである． 3 s −q +pq2+ 4p3 2 , 3 s −q −pq2+ 4p3 2 , 3 s −q +pq2+ 4p3 2 ω, 3 s −q −pq2+ 4p3 2 ω 2 , 3 s −q +pq2+ 4p3 2 ω 2, 3 s −q −pq2+ 4p3 2 ω
ここで ω は 1 の原始三乗根である．これから y = u + v および x = y− a/3 がただ ちに得られる． 問 8.1. 次の方程式を解け． (1) X3+ 3X− 1 = 0 (2) X3− 3X − 1 = 0 (3) X3+ 6X− 7 = 0 問 8.2. 次の数 A, B に関して問いに答えよ． A = 3 sr 28 27 + 1, B =− 3 sr 28 27− 1 (1)方程式 X3+ X− 2 = 0 を因数定理を用いて解け． (2) A + B は方程式 X3+ X− 2 = 0 の実数解であることを示し，A + B の値を求 めよ． (3)方程式 X3+ X− 2 = 0 をカルダノの解法によって解け． 8.2. 三次方程式に関するガロア群. 解の公式によって三次方程式 X3+aX2+bX+c = 0 の解は，係数 a, b, c と整数（有理数）の加減乗除で表される数やその平方根とそれ らの三乗根を用いて得られることがわかった．体の拡大の様子をみよう． 多項式 f (X) = X3+ aX2+ bX + cの根を α 1, α2, α3とする．ここで a, b, c は一 般性を持たせるため数値ではなく，互いに関係のない文字としておく．K =Q(a, b, c) 上 f (X) の最小分解体を L とすると，L = K(α1, α2, α3) =Q(a, b, c, α1, α2, α3) = Q(α1, α2, α3)である．自己同型群 Aut(L) の部分群 G を{α1, α2, α3} 上の対称群と する．ただし置換の表記は添字{1, 2, 3} 上の置換として書き表す． Gによる固定体はF(G) = K である．したがって拡大 K(α1, α2, α3)/K はガロ ア群 G = S3をもつガロア拡大である．F(G) = K は「α1, α2, α3についての対称式 は α1+ α2+ α3=−a, α1α2+ α2α3+ α3α1= b, α1α2α3=−c の有理式として表 される」ことを意味する． 三次の交代群 A3={id, (1, 2, 3), (1, 3, 2)} の固定体 F(A3)を求めよう．差積 ∆ = (α1− α2)(α1− α3)(α2− α3)の二乗 D = ∆2 を方程式 f (X) = 0 の判別式という． 根と係数の関係を使うか，根の公式を用いるかして D =−27(4p3+ q2)∈ K を得る．このときはF(A3) = K(∆)で，K(∆) は K 上二次のガロア拡大である． M = K(∆)とおく．正規鎖 S3> A3>{id} に対応する体の列は K ⊆ M ⊆ L で あり，L⊇ M はガロア拡大でそのガロア群は位数 3 の巡回群 A3 である． 三乗根を表すときに ω を使用したので，K に ω を含めておくと上の状況を説明 しやすい．実際カルダノの解法で定めた p, q, u, v を用いると p, q, ω ∈ K, uv = −p および ∆ =−(1 − ω)3(u3− v3) =−(1 − ω)3p3 q2+ 4p3 より M = K(∆) = K(p3 q2+ 4p3), L = M (u) = M (v) である．根は平方根と三乗根を用いて得られる．
¶ ³ 定理 8.1. f (X) = X3+ 3pX + qを Q 上の既約多項式とする．L を Q 上 f(X) の最小分解体とおくとき G(L/Q) = ( A3 Dが有理数の 2 乗であるとき S3 Dが有理数の 2 乗でないとき ここで D =−27(4p3+ q2)は f (X) = 0 の判別式である． µ ´ 問 8.3. Q 上 f(X) = X3− 3X + 1 の最小分解体を L とする．f(X) の判別式を求 め，ガロア拡大 L/Q のガロア群を求めよ． 8.3. 対称式への応用. 置換 σ∈ Sn は f (X1, X2, . . . , Xn)7→ f(Xσ(1), Xσ(2), . . . , Xσ(n)) によって体 K(X1, . . . , Xn)の自己同型を定める．これらの自己同型の全体を，記号 を流用して，Sn で表わすことにする．すべての σ∈ Sn に対して σf = f となる有 理式 f ∈ K(X1, . . . , Xn)を n 次の対称 (有理) 式という． n次多項式 (X + X1)(X + X2) . . . (X + Xn)の n− k 次の係数を Tk とおくと Tk = X U Ã Y i∈U Xi ! である．ただし U は k 個の元からなる{1, 2, . . . , n} の部分集合全体を動く．このとき Tk は対称式であり X1, X2, . . . , Xn の第 k 基本対称式と呼ばれる (k = 1, 2, . . . , n)． 例 2. a, b, c の基本対称式は a + b + c, ab + ac + bc, abc であり，a, b, c, d の基本対称式は
a + b + c + d, ab + ac + ad + bc + bd + cd, abc + abd + acd + bcd, abcd
である． ¶ ³ 定理 8.2. T1, T2, . . . , Tn を不定元 X1, X2, . . . , Xn の基本対称式とし L = K(X1, X2, . . . , Xn) M = K(T1, T2, . . . , Tn) とおく．拡大 L/M は対称群 Sn をガロア群にもつガロア拡大である．したがっ て対称な有理式は基本対称式の有理式として表せる． µ ´ 証明. Sn を変数の置換から定義される L の K 自己同型写像の全体とし，F を固 定体 F(Sn) = F とする．このとき L/F はガロア群 Sn をもつガロア拡大であり， L⊇ F ⊇ M である． 次に F = M を示す．Tk を X1, X2, . . . , Xn の第 k 基本対称式とすると多項式 f (X) = Xn− T1Xn−1+· · · + (−1)nTn は f (X) = (X− X1)(X− X2) . . . (X− Xn)
と分解するから，L は f (X) の M 上の最小分解体である．ゆえに [L : M ]≤ n! と なる．一方 L/F はガロア拡大だから [L : F ] =|Sn| = n! である．連鎖律 (定理 1.1) から 1≤ [F : M] = [L : M ] [L : F ] ≤ 1 および F = M を得る．¤ 問 8.4. (1) 対称な有理式 f /g が既約ならば，f と g は対称多項式であることを示 せ． (2)対称多項式は基本対称式の多項式として表わされることが知られている (対称多 項式の基本定理)．これを用いて定理 8.2 を示せ． 8.4. 可解性. ¶ ³ 定義 8.1. 群 G とその部分群の列 G = G0⊇ G1⊇ G2⊇ . . . で Gi が Gi−1 の正規部分群である (i = 1, 2, 3, . . . ) ものを G の正規鎖という． 単位群にいたる正規鎖 G = G0⊇ G1⊇ G2⊇ · · · ⊇ Gn ={e} で Gi−1/Giがアーベル群であるようなものが存在するとき群 G を可解群という． µ ´ 上で「アーベル群」を「巡回群」に置き換えても同じものが定義される． 例 3. G⊇ H ⊇ K が正規鎖であっても K が群 G の正規部分群であるとは限らな い．たとえば 4 次対称群 S4 の元 ρ = (1 2 3 4) と σ = (1 2)(3 4) によって生成され る部分群を G とすると G ={id, ρ, ρ2, ρ3, σ, σρ, σρ2, σρ3} である (頂点が 4 個の二面体群と同型)．右辺が部分群であることは ρ4= σ2= idと ρσ = σρ−1 から確かめられる．偶置換である G の元全体 G∩ A4 を H とすると H ={id, ρ2, σ, σρ2} である．さらに K ={id, σ} とすると G⊇ H ⊇ K が正規鎖であるけれども K は G の正規部分群ではない． 問 8.5. G を群，H を G の部分群，K を G の正規部分群とする．このとき K∩ H は H の正規部分群であることを示せ． ¶ ³ 定理 8.3. K を標数 0 の体とし，L を多項式 f (X)∈ K[X] の最小分解体とす る．方程式 f (X) = 0 が冪根によって解けるための必要十分条件は L/K のガ ロア群が可解群であること． µ ´ 例 4. 定理 8.2 における体 L は f (X)∈ F [X] の最小分解体でありガロア群 G(L/F ) は n 次対称群 Sn と同型であった．
¶ ³ 定理 8.4. p を素数とする．p 次の既約多項式 f (X)∈ Q が 2 個の虚根と p − 2 個の実根をもつならば，f (X) のQ 上の分解体 L のガロア群 G = G(L/Q) は p次対称群 Sp と同型である． µ ´ 証明. ガロア群 G を根の置換群とみなすと，複素共役は G の元であり根の互換を与 える．またQ に f(X) の根の１つを添加した体の Q 上の拡大次数は p であるから p| [L : Q] = |G| である．コーシーの定理によって G は位数 p の元をもつ．その元 は p 次の置換で位数 p のものだから長さ p の巡回置換である．対称群 Sp は１つの 互換と１つの長さ p の巡回置換によって生成されるから G = Sp である (付録を参照 せよ)．¤ 例 5. f (X) = X5− 5X + 1 ∈ Q[X] は既約多項式で 2 個の虚根と 3 個の実根をも つ．定理 8.4 によって，その分解体のQ 上のガロア群は S5と同型である．したがっ て方程式 f (X) = 0 は冪根によって解けない． 問 8.6. 上の多項式が 2 個の虚根と 3 個の実根をもつことを示せ． ¶ ³ 定理 8.5. (1) 一般 n 次多項式 f (X) = Xn+ a n−1Xn−1+· · · + a0 に対して K =Q(an−1, . . . , a0)とおき，K 上 f (X) の最小分解体を L とおくと，ガロア 拡大 L/K のガロア群は n 次対称群 Sn に同型である． (2)五次以上の交代群 An は単位群以外に真の正規部分群をもたない．ゆえに五 次以上の一般方程式に冪根による解の公式はない． µ ´ 問 8.7. 五次交代群 A5 は単位群以外に真の正規部分群をもたないことを示せ． 付録１ 群の元 a に対し an= 1 となる正整数 n が存在するとき，そのような正整数の最小 を a の位数といい，ord(a) と記す．他方 an = 1となる正整数 n が存在しないとき aの位数は無限大であるという． 補題 8.6. a, b を群の元とする． (1) an= 1⇔ ord(a) | n. (2) ord(a) = mn⇒ ord(am) = n. (3) a, bが可換であって m = ord(a) と n = ord(b) が互いに素ならば ord(ab) = mn. 証明. (1) (⇒). 仮定から m = ord(a) は有限である．余り付きの割り算によって n = qm + r, 0≤ r < m をみたす整数 q, r が存在する．このとき 1 = an = aqm+r = (am)qar= ar となるが，m の最小性から r = 0 でなければならない． (⇐). m = ord(a) とおく．n = mq となる整数 q があるから an = (am)q = 1. (2) p = ord(am)とおく．まず (am)n = amn= 1だから，(1) によって p | n．つぎ に amp= (am)p= 1だから，(1) によって mn = ord(a)| mp そして n | p となる． (3). p = ord(ab)とおく．m, n の定義から (ab)mn= (am)n(bn)m= 1
となるので (1) によって p| mn である．次に mn | p を示す．bnp= (bn)p = 1 だ から anp= anpbnp= (ab)np= ((ab)p)n= 1 となり，(1) によって m| np ．仮定で m と n が互いに素だから m | p を得る．同 様に n| p も示せる．ゆえに p は m, n の公倍数であって，最小公倍数 mn の倍数で ある．¤ 定理 8.7. 体の乗法群の有限部分群 G は巡回群である． 証明. 群 G の位数を n とする．n = 1 のときは明らかであるので，n > 1 の場合に位 数 n の元が存在することを示せばよい．ここで n の素因数分解を n = pe1 1 p e2 2 . . . pess とする．ただし p1, p2, . . . , ps は相異なる素数である． まず，各 i について位数が pei i の倍数であるような元が存在するならば，位数 n の元が G に存在することがわかる．なぜなら補題 8.6(2) によって位数が pei i である ような元 ai が存在し，補題 8.6(3) によって ord(a1a2. . . as) = nとなるから． もし G に位数 n の元が存在しないとすると，ある i (1≤ i ≤ s) に対して，任意 の元 a∈ G の位数が pe11 . . . p ei−1 i−1 p ei−1 i p ei+1 i+1 . . . pess = n/pi の約数となり，an/pi = 1 となる．しかしこれは方程式 Xn/pi = 1 の根の個数が n/pi 以下であることに矛盾する．¤ 付録２ 群 G の元 a, b に対して a−1b−1abを [a, b] で表わし a, b の交換子という．群 G の部 分群 H, K に対して交換子 [h, k](h∈ H, k ∈ K) の全体によって生成される部分群 h[h, k]| h ∈ H, k ∈ Ki を [H, K] で表わす． 部分群 [G, G] を G の交換子群という．交換子 [a, b] (a, b∈ G) と G の任意の元 g に対して g−1[a, b]g = [g−1ag, g−1bg] も交換子である．したがって有限個の交換子 [ai, bi] (ai, bi∈ G, 1 ≤ i ≤ n) の積の内 部自己同型像 g−1[a1, b1][a2, b2] . . . [an, bn]g = g−1[a1, b1]gg−1[a2, b2]g . . . g−1[an, bn]g = [g−1a1g, g−1b1g][g−1a2g, g−1b2g] . . . [g−1ang, g−1bng] も交換子の積だから [G, G] は G の正規部分群である． 群 G の正規部分群 H について次の条件は同値である： (1) G/H はアーベル群 (2) baH = abH (a, b∈ G) (3) a−1b−1ab∈ H (a, b ∈ G) (4) [G, G]⊆ H 問 8.8. 上の条件が同値であることを示せ． したがって次の定理が得られる． 定理 8.8. 群 G の交換子群 [G, G] は，剰余群 G/H がアーベル群となるような正規 部分群 H のうちの最小のものである．
群 G に対し D0(G) = G Di(G) = [Di−1(G), Di−1(G)] (i > 0) によって定義される部分群の列 D0(G)⊇ D1(G)⊇ D2(G)⊇ . . . を G の交換子群列という． 定理 8.9. G が可解群であるためには G の交換子群列が単位群にいたることが必要 十分である． 証明. 十分であることは明らかである．必要性を示す． G = G0⊇ G1⊇ G2⊇ · · · ⊇ Gn={e} を Gi−1/Gi がアーベル群であるような正規鎖とすると，定理 8.8 をもちいて，Gi⊇ Di(G) を示すことができる．したがって Dn(G) ={e} となる．¤ 定理 8.10. An (n≥ 3) は 3 サイクル全体によって生成される． 証明. 二つの互換 (i j), (k l) の積が 0 個以上の 3 サイクルの積として表わされる ことを示せばよい (恒等置換は 0 個の積，1 個だけのときも積とみなす)．{i, j} と {k, l} が一致するとき，積は恒等置換である．{i, j} と {k, l} の共通部分が 1 元だけ (の集合) であるとき，j = l としても一般性を失わない．このとき (i j)(k j) = (i j k) だから 3 サイクルである．共通部分が空集合のときは (i j)(k j) = (i k j)(i k l) と二個の 3 サイクルの積である．¤ 例 6. i, j, k, l, m を相異なる文字とするとき (m l k)−1(i j k)−1(m l k)(i j k) = (j k l) である．文字の個数 n が 5 以上のときは上の等式において，任意の j, k, l に対し， それと異なる i, m をとることができるから，任意の 3 サイクルは 3 サイクルの交換 子として表わされる．ゆえに D(An) = An となり An は可解群でない． 定理 8.11. p が素数であるとき対称群 Sp は任意の互換 τ と任意の長さ p の巡回置 換 σ によって生成されることを示せ． 証明. 次の命題は既知であるとして証明する：一般に対称群 Snは (1 2) と (1 2 . . . n) によって生成される． 番号を付け替えることによって互換 τ は (1 2) であると仮定してよい．さらに巡 回置換 σ の表現を 1 から始めてよい．このとき表現の k 番目に 2 が現れるならば， σk−1 によって 1 は 2 に置き換えられ，しかも σk−1 は長さ p の巡回置換である： σk−1 = (1 2 . . . )．文字 3, . . . , p の並べ方を換えても上の命題はなりたつので τ と σk−1 は S n を生成する．したがって τ と σ も Sp を生成する．¤ 参考文献 [1] 永尾汎「代数学」(朝倉書店)1983 年 [2] 草場公邦「ガロワと方程式」(朝倉書店)1989 年
