可撓筋違架構による制震構造の研究(その1) : 構造物の弾塑性解析

(1)

愛知工業大学研究報告第22号B 昭和62年 209

可携筋違架構による制震構造の研究(その 1)

構造物の弾塑性解析

小高

昭夫

C

o

n

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d

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r

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by Earth

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Method o

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h

e

Framed S

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u

c

t

u

r

e

s

Teruo ODAKA

Some of most chr旦cteristicengineering procedures in the structural analysis are as follows

First， the plastic hinge theorem under the int巴ractionbetween the bending moments and

axial forces. Second， th巴elasticand plastic deformation at the panel zone as beam.to-column

conection. Finally， the geometically large deflection theorem as to members， that is to say， especially Pムe百巴cton the column members

The m巴thodof analysis on framed structur巴sis developed in this paper. The interaction

between the bending moments and axial forces， the elastic and plastic deformations at the pan巴l

zon巴inbeam-to-column connection， and P-s effect on the column members are considered. And the method of analysis on the framed structures with flexible curved bracings is also introduc巴d. 1.序論耐震設計法において，建物が大地震をうける場合に対しては，構造物の保有耐力(終局耐力)を求め，構造物の終局状態における耐力，変形を計算し，安全性を確認することになっている。また高層の構造物におけるいわゆる大変形問題としてのPム効果についても検討する必要がある。さらに柱。梁接合部パネノレの変形，とくにせん断変形については，従来より問題とされている。本論文においては，構造物の保有耐力をより正確に評価するために，曲線材を有する通常の架構の弾塑性解析法について述べる。勿論柱e梁接合部ハ不ノレのせん断，曲げおよび軸方向力による変形，ならびに架構の各部材における幾何学的非線形にもとずく Pム効果も考慮した弾撃性解析法について詳述される。

2 .

構造物の弾塑性解析

(

1 )

2.1. 解析上の仮定および降伏条件弾塑性解析における仮定および降伏条件は次のようにする。 (1) 曲げモメントと曲率の関係は完全弾塑性とする。 (2) 部材の材端部にのみ塑性ヒンジが生じる単純塑性解析を行う。 (3) 降伏条件は，軸方向カと曲げモーメントの相関関係により生ずるものとし，せん断力の影響は無視する。 (4) Pム効果および幾何学的非線形は無視する。降伏条件はH型断面の強軸まわりに対して (1)式および図1に示される。一一 ↑ し山 =

=

一

巴

門丸 _一 1 一吋

τ

自

A

r:フランジの断面積

A

w

:

ウエブの断面積図1 降伏曲線中立軸がフランジ内に対して:

丘、

1

旦+主立

p)(

凹

+主立

p) No~l+ρ'Mo- 1十2ρ

¥N

o

!

一

1+2p

(2)

210 小高昭夫

(

1 )

A

'2 =

A

Z1

=事[

2 K

，

KZ{い

中立軸がウェブ内に対して・ N ζ 1

旦土色土

p)Z

(旦}二土

I No-1十ρ，Mo- 1十2ρ ¥NoJ ここに No ;全塑性軸方向力 Mo;全塑性モーメン卜 AF ρ =一_Aw一一 2 2 部材の弾塑性剛性マトリックス.部材の両材端部に剛域を有し，剛域端に塑性ヒンジを有する弾塑性剛性マトりックスは，著者の導いた1)と， R.K.Livesley21の考え方を拡張し， (2)式および図 2に示される。，品門1.(θ，) 門i(ej) ____

pωi

ど

ψ

一斗阜仰)

Qi

ゆ払

u

(

1 -

川 i)

司

令

(

ψ

k

，

=

∞

K2=

∞

_K

_{品三丘一ーム}

₌₀ 内 =0 K.=

∞

盛盤盈 0 - - - 自由ヨ沼環E K国望。一一一一一羽田園

，

=o K.=o 図2 部材の応力および剛性マトリックスの変化組一 L P AEI LI Q

，

A" ₂_K A" B" _K K

。

1旦2旦K M， o l t i A" ₂_K _o_IlB22+2B21 i 21口 rB '~"":，"~" ₂_K 1"'一一一₂_K一"'-"118， AE

P

'

I

-

'

t

I

0 AE t了1 0 出

t

E2ι11θ2 K Q， o 1一生旦 2K A" K 01 旦2旦K M

，

o 1当岩出'12_I主張主斗1 0 1

雫

(2) ここ』こ: K=2(1ーんーん)4{(Kl+1)(K2+1)-

i

}

4KEI(l-Aiーん)2(ITT -r¥(TT 1 1 ¥ 1) - A vqi(kl+l)(K2+1)-Bj 4EI (.Yry r U . ，'0 ，0' 1つK

，

KzKEI A" =一一!4K

_l

₇

_>

_'

，

₁

Kz{

_"

(1 ん)3 ん3)十一.l'l>._l.l'lo._;':一一 l¥> "'} " ' } ' sGA[2 • {(1ーん)ーん}+3K

，

(1ーん)2(1ーんーん) 十3K2V(1んーん)] A22= 早川lK2{(1 ん)ん}十K

，

(l んん ) + K2(1ーAiーん十叫ん)(1 んん)2十K山 (1 んん )] 4EI( 門K

，

K2KEI B'l = "'";

_L

"14K

，

K2{(1 ん)3-An十一一- i T一{(1 ん) 同GAl Ai}+3K

，

Ai叩 Ai-Aj)+3K2

いグ

(l-Ai ん)] 12EI( B22=77￨4K1K2(1ーんん)十K

，

(lーん- Aj) 十K2(1-Ai

ー

ん

な

6EI( B12=Bf-7L2Kん {(1

ー

ん

)2-Aj2)+ K

，

Aj(l-Ai U，一川十叫ん)(1んん

J

)

ここに

E

ヤング係数.

A:

断面積，

s

:

せん断剛性低下率.G せん断弾性係数. 1 断面2 次モーメント k せん断形状係数，1 部材長I AU;¥J:岡

1

域長さ， L = 1(1ーん-，1;)， K " K2 :図2参照なお岡

1

性マトリックスの変化は図2iこ示される。 2.3 解析手順解析は増分法により水平荷重を順次増分させ，崩壊までの追跡を行う。部材の組合せ応カが降伏関数上にのり塑性挙動をする場合は，弾塑性剛性マトリックスK，. K" は図2に示されるようにK，.K2を Oか∞にすることによって表わされる。そして一度塑性挙動をした部材は，弾性に復活しないものとする。また座屈荷重はオイラーの箆屈荷重を考慮し，座間後も現存の応力を保持するものとする。 v， 3 構造物の弾塑性解析(2) 3.1. 概要構造物の弾塑性解析は，通常の場合第2 章で示される解析法によってもよい。本主主においては，曲線材を有する構造物の解析のため，曲線材の剛性マトリックスを誘導した。次に柱。梁接合部ノミ不ノレのせん断，曲げモーメン卜および軌方向力による変形を考慮しさらに高層建築物において生じる応力に及ぼす影響が大きいPム効果による幾何学的非線形の影響および塑性時における剛性低下についても考慮した弾塑性解析法について述べる。 3. 2 曲線材を有する構造物の解析:構造物の解析における基本は部材の剛性マトリックスを求めることと云える。いま図3に示す半剛性ヒンシを有する曲線材の剛性マトリックスは次のように求められる。すなわち図4におけるX，Y座標系において，任意の

(3)

可撰筋違架構による制震構造の研究(その 1) 211

i

点における応力と変位の関係は

C

a

s

t

i

g

l

i

a

n

o

の第

2

定理によって計算され， (3)式で示される。半剛節ヒンジ剛の場合長l

，匂，れ→∞

ヒンジの場合長i

，

R

j

.

f.1k-O 図3 半剛性ヒンジを有する曲線材

ζB=α-f

₂_'，

xzR

山 ins-szn(E-4)}

~ ，-0

，

0.'.2 0."'2 y = Ro{州

f

-

世)ーイ}

r=

伊ザ = R

凋弔

S

I

P

5 =

2Rosi

n~

s(~ 世)-Cod

y

1 2

T' ---2 sznα

r

2

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。

，

AV b n

z

n a ，山 w '

一

ρ μ ﹄り b

一

dm

一

J η

S 一幻 ρ μ ﹂つゐ一 n 一 n a 山 τム一つゐ

一一

X

一

₇

一一

α

p d

o

c 図4 曲線材のx，y座標(基準〕系による表示

、

l 1 1 1 1与 I 1 1 1 1 j

phQM

r l E E -4 ﹄︿ l l ﹃ li ，、﹃ a E E E E E ' l l ι ， E E f -p d

aeFJ

b d C 一仰川 c υ ﹁﹁﹁ . ' ・ Ililia--1L D_山一

L

一一、 B i l l -L F E E ' p a p -J U 仇 O ， a E E E ' B ' e p ι z ' ︽_B 目目目目目目目目目﹃ l 、一一一

(

3 )

ここtこ ) ρ μ ﹂ワ白 n a O C D μ

+

ρ μ 一つれ “ n c u n J U ( D 山一し

一一

G ) ρ μ e u

o

c

+

ρ μ n

s

ず

+

t E A ( 。 & 叩 R

一し

一一

' o

-

B

三

3 β 1 β 1 c =~...o ₁₀(β_'1-' *sins+₂0 ""1-' '

f

;

2~VO I-" coss)

+

' Ao

←

'2 '

+

'

t

;

2 sins) d

=~02(ß-ksinβ #cos)

₁₀_，~ ₂0" "1-' 2~vo ，

+

'A

よ

_o(#-ksins)'2 2

Ron_:.

.

s

e =~'oßsinf; ₁₀ f

=

一β 1-'0 "'"2 Eo:ヤング係数，Ao:部材の断面積 Ro: I曲率半径

s

:曲角〔図4参照〕曲線材の剛性マトリッ Fスは， (3)式より

z

点における撰性マトリックスが得られるので， (3)式を逆変換することによって求められ， (4)式となる。

i

1

4 :

、

1 1 1 1 I L l i t -J 抗的。， F l l h ' E B B -﹃ l ，、 ι l l ﹄目目目目目目目目、﹁， B ' 1 1 1 1 1 1 1 1 h F I l a ι ー﹂

C

E

F

一(4) または { Pi }

=[

K口

1{

u;} ここに A=df-e2， E =ab-ce B=ae-bf

，

F=cd-b2 C=be-ad， L1 =b(2ae-bf)+c(df-e2)

a

2b ここで z点を固定とした場合 J点における応力と変位の関係は(5)式で表される。 B C I r Uj I D - E

1

め } 一一 (5) F 1 1

D

j

1 A 削 r t i s -f i l l a -L

。一

d

E

一

。

一

R

一一、I_l -t a t ﹀ ' E E E E E E J D りも M 叫， a E E E E E E E ' l l ﹄ 4、 1 1 4 4 ι 1 ι 1 1 1 1_、またj点を固定とした場合 j点の反力 (PJ，Q j， Mj) と

i

点の変位(Ui

，

vi

，

D

a

との関係は(6)式となる。

￨

;

ト

₁

=

l

L

)

，

_Ro

"

p

"

_LoAI-B₁

[

₁

A

_~

B

-D _~

-

c

-E _~

￨

[

u

₁

1

₁

i

Vi

r

u

，

1

M

j

J

L

-BL-C

一

DL-E -EL-FJl D

i

J

(6) {Pj } = [Kji] { U;} i点を固定とした場合における応力と変位の関係は， (5)式で求められるので

i

点の変位を関係づける間性マトリックスをとれば， (6)式と同様に， { P;} = [ Ku

1 {

U j } 一一 (7) となり，さらに[Ku

1

= [ Kji

F

の関係より (8)式となる。

A

B

D

[Kl=1

C

E

F

-A

B

C

B

D

E

-BL-C

一

DL-E -EL-F

SYM F

D

E

A

B

C

ー

(

8 )

次に一般座標系における曲線材の剛性マトリックスは， (8)式を座標変換すれば得られ， (9)式となる。

(4)

夫昭小高 212 μz BE+CD BF-CE DF+E2 Lx(CE-BF) DF-E' -BF+CE +BF-CD p

，

一

(

9 )

V

，

AE-BC -Lx(-AF-C') -Lx(AE-BC) 十AE-BC -AD+B2 -AF+C2 BF-CE Lx(BF-CE) BE+CD Lx(AF-C') AE+BC Lx2(AF-C2) -2Lx(BC -AE) +AD-B2 AF-C2 1 A

Q

，

B

，

M

，

U j Vj

B

j BE-CD AE+BC BF+CE AF-C2 DF-E2 Sy恥f

P

Q

M

AD-B2

い

で

s

，

幻nsi，(ej;i→j) Ll= ADF+2BCF~CZD~AE2~B2F A主主 ( 一山iai十2?t，{.Libi+?t川 i2di山 iei

ん

こ

そ

β

"Ui;

i

→j) b 2 a b 2bν 2 1 ρa 2: b 8r

，

LxLv2 十Ly2f，+

ん

2Cj+ 2tj?μjbj十μ/dj)十記長 ; a 0 2 2 1 2 ρb

去

ν

t

;

ri

B= 凱(l~ ?t)Lx?t，十 Lyf.J-，)白川一山z十川(C，

~d，) 十 {~(l~ ?t)Lxμ，+Ly?ti}e，

+

(1 ~?t)LxLY.f;+ ん μJ

(Cj~fj) ー(ん2μ2)川十(と坐主主

P" j V

，

j 4Eo 10 kk b 2 b 2

。

ーー ν 2b 1 2 ρa b 8rj U/ a 2 b 2

。

2 b 2 1 2 G 2b'ν 一ρb

$

₂₀

-

ν

l -pa 主

。

t

;

rj 8rk LxLy

c=

主

:(A山 +μ，e，+Lyf，+ ?tjaj十μje;)~

4 E

:

i

:

k

k D =

~0{~2(1~ ?t)Lxμ山

2仙 b;+μi2Ci十ん2d;+2(1 ム~o V/ ν b 一_μ

。

2 G 2 1 2 ρa

t

;

rk ~ t?)Lx，t?e;+ (1 ~ t?)2Lx2 f

，

+μJ2Cj-2んμjbj+A/dj) 世，P b 2 o b 一一日 ← 一 2b. 2 r ，P o 0 2 2 1 2 ρa ーρb

一

七

8r1

t

;

rl 2 一主 K L 7 ゎ川 9 u 一 c 、 t ' _一 Y E A V 4 6 J O - - 一目 11 ム一

︹

十一ル凡 7R 3 一フ X 一 τ 上

L

一 o

E

一 A 斗ム十 (10) OrrP "' G 2bν 1 2 α 8rl

E=

~:({.L，a，~?t，ei~(l~À)Lxfi十 M

んの) δ p _n G 2 ρb

t

;

rl ←

L

主

L

ム江ー且

LX2 4Eo1oki' 4Eo1okk < px/ b 2 pa b 8rJ L x L x L x

F=

音戸叫)+EifEIZ;

十在日世y/ 1 2

t

;

rJ GzzEE(2sz nEi十β企)， (aj;i→j)

10 ¥ ~0' "2 ' ^"2 b 2 ρa δr bz=

￥ ( 什今川 + 印刷，

(bj;

i

→ j)

z E21(3-251nd

企

coss，)

+

土(盆

+~sinßi)，

10 ¥f-J1 20~ fl>j...Jt ₂L-V u/Jl} Ao ¥ _{2 '}₂ 1 2 G 2bν ν b 一 μ

t

;

rK 8rL (Cj;

i

→ j) a 2 ρb a

E

γ

L

ド号

i

(

d

z

ト

ins，

一

手

川

，

)

十

走

(

与

ト

ns，) (dj ;

i

→ j)

(5)

2

1

3

通常部材は線材として解析するが，ここでは幅のある置換モデノレに変換し，この置換モデノレと接合部パネノレ周辺との適合条件を満足させる。いま図5Iこ示す接合部における接合部パネノレ部分の変位形態を図6のように設定する。いま節点yの接合部パネノレの中心における代表変位と接合部パネノレ端の適合条件式は.(1国式で表される。可援筋違架構による制震構造の研究(その1)

3 .

3

接合部パネノレの変形を考慮した解析 : 柱E梁接合部パネノレのせん断，曲げおよび軸方向力による変形を考慮した解析法をマトリックス法によって誘導する。すなわち接合部パネノレの各変形形態を設定し，それらの代表的な変位と接合部パネノレ周辺および柱@梁a筋違等の各部材の変位の適合性を考慮しつつ，外力と接合部パネノレの代表的変位の関係を導く。

rj

ト

オ

m，工へ

9m

，工

科ふ

Qrn

，工事171，工

〔長]

イサ

_/ _{フーノ} (術

ツ~

品

目

・

1

明，，羽+リ .1

1

11

-

，1

V

L

1 _「戸川)S

，γl う更男 Z

_"

j" dァ F

m

- - ー幽・ーー

-M

接合部パネノレ周辺変位と材端変位一一一

n

2

図5

N

E

:

・

_:

m

n

接合部パネノレの変位形態図図6

(6)

214 小高昭夫 {Br}P=

[

s

r}P{Ur}P， (節点γにおいて) (10') ここに，{Br

}

P

:

接合部パネノレ周辺の変位 {U r}P :接合部パネノレ中心の変位 [sr]P :接合部パネノレ中心と周辺の適合マトリックス次に節点ァに関する接合部パネノレ周辺と部材の適合条件は，

{ふ}

=

[

尚

J

]{

Br}P(節点Yにおいて〕ここに，{Br} :各部材端の変位 {Br}P:接合部パネノレ周辺の変位 ) -l (

[

α

'

r

J

]

:接合部パネノレ周辺と部材の適合マトリックスで表される。節点、γにおける接合部パネノレ中心の変位と，接合部パネノレ周辺の適合条件を全体の架構について計算すれば， (10')式よりω)式のように表わすことができる。

{

B

d

P

l

r

[

s

d

l

r

{

u

J} {B2}P1 1 [s2] 0 1 1 {U 2}Pl (12) {Br}P

βr

[

]

U

P

。

{

ゐ

}P

[

s

R

]

1 1 {UR}P { B} P

=

[

s]P { U }P (12') ここに， {a}P:接合部パネル周辺の変位の全て [β]P:接合部ノζネノレ周辺と中心の適合マトリックス {U}P :接合部パネノレ中心の変位 R=(N， M) ::節点、すべての総和接合部パネル周辺部の四隅における応力と変位の関係は仮想仕事式よりω)式で表される。 Pr.i Qr.i δr.

t

;

ri BrJ

t

;

rJ

f

(1出 Brk Crk δrl

t

;

rl (13') Pr.J Qr.J Pr.k Qr.k Pr.l Qr.l krr r kr2r k2rr k22r {Pr}P = [kr]P {Br}P ここに， Pri， Qri， ...接合部パネノレの四隅の応力 dri

，

Sri

，

…

:接合部パネノレの四隅の変位 [Kr]P ・接合部パネノレの剛性マトリックス (13)または節点γにおける釣合いの関係式で，架構全体に対しては， (14)式のように表される。 p p

}

1 2

p

{

[kr]P (k

2 ]

P

{BJ}P {BZ}P

。

) 4 1 ( P

}

f

p

{

[kr )P {Br}P

。

[kk]P

J

l

{

ゐ

}P {PRY {p}P=

[

k

)

P

{a}P ここに， R=(N， M):節点すべての総和 (14') 部材の材端力と材端変伎の関係は次のようになる。いま図5における梁部材 (m，n)について考察する。図 7における曲げ，せん断および軸方向力の各変形を考慮した部材

ω

の剛性マトリックスは，日式で表される。図7 PmLI i 一企了~L1 0

。

- τ A

，

;

E L10 I I

a

札 QmL I _{1 0}

E

L

r

_-2EIL' _o

E

L

i

₂L' _E_I I I <mL MmL￨d11￨0-ZI詰 { 川 ) 0

五

I

品

{

日

k)1rLI (15) Pml

I

~I ArE下 o 0 τ A

，

;

E L10 0 1 1

a

ml QmlI _I0

一

EI L 2L' EI

。

EI2EI L L' 11<m' MmlI _{1 0}

-

2

L26LEh

E

_I

6 f

f

r _{1-2k) 0} 2LE2IEL3 (1+k)118ml または，

{

I

¥

J

}

=

[

瓦

1]

{

a

LI } (15') ここに，

AN

部材の断面積(軸方向力に対して)， E :ヤング係数 I 断面2次モーメγ，ト K :弾性形状係数， β:塑性係数， AR :部材の断面積(せん断力に対して)， 3KEI A (L

¥2".

12KEI ¥ 一

(

;

'

T

)

(

1+一一一

l

-A

R

sGL

2

，

"

-

'

-¥

EI / ¥.L

，

s

G

A

R

L

2

}/12 一方，部材

ω

と部材(防との平衡方程式は， (16)式で表さされる。

(7)

可携筋違架構による制震構造の研究〔その1) P1m，nli ₂1 _b s QI叫n)i 1 2br Plm，nlj QI叫n)j Plm，nlk Qlm，nlk P1m，nll Qlm，nll Plm，nll Qlm，nll Plm，nlJ Qlm，nlJ Plm，nlk Qlm，nlk P1m，n1L

I I

Qlm，nlL

J

L

0 1 1

2 bs

I

r

P m，L ￨￨QmL 1

2 b

γ _M_m_._L P酷I 1 : 11

~.m.I

l M m，I

。

日

または， {PU} = [αu

F

{

P u } (16') さらに，部材(必と部材 (B)の適合条件式は(17)式で表される。 L L L I -m m m m m m R υ F 炉、 β u

。

O 岸戸、 o u

-

・

1

・

1 1 1

2 br

2 b

γ .1

・

.

-・

1

・

または，

{

d

'

u} = [αU ]{dLI} (17') (15)， (16)式および(17)式より U8)式が得られる。 {Pu } = [ku ] {δLI} (梁材に対して〕ここに，

[ん

]=[αu

F

[

五

u][αu]

。

(m.n)i Clm，nli dlm，nlj Clm，nlj CI(m，nlk Clm，nlk dlm，nll Clm

川

(17) dlm，nll Clm，nll dlm，nlJ Clm，nlJ dlm，nlK Clm，nlK dlm，nlL Clm，nlL (18) 部材(c) 部制 (U) 図8 柱材と接合部パネノレ端のカと変位柱材についても梁材と伺様にして求めることができる。すなわち図8において，曲げ，せん断および軸方向力の

2

1

5

各変形を考慮した部材(C)の剛性マトリックスは次のようになる。 P出￨￨上_E_I ₂L' _E_I _EL _I ₂L' _E_I I I

a

n

，

QnK I -AjLE -a - 一一ALNE-一凋 I I _On L23LEh r L 2 6 L E 2 I MnK 1 11 ~EI ・ 1吋) -~EI ・ 1 胡 118nK

ヨ

I

j

~

U

由 L L' L L' Pn

，

I I

-

t

r

.-2Ei Ei -2Ei

I

a

n

，

Qn' I

半

L

).

一ALNE-一， I I _~nJ Mn' I ￨一2L ' 一EI

・

6LEI L 2 -h1-2kト 2EI

・

3UEr， 1+k) I 18n

，

または， ¥

hd

= [ k~J

]

{

d

K

d

ここに， AN， I， k，

・・:

(15)式参照。また，部材(C)と部材仰の平衡方程式はマトリックス表示をすれば(20)式で表される。 (19') PI同n)i l Qlm，nli

₂

_a

s Plm，nlj 1 Qlm，nlj

₂

_a

_s Plm，nlk 1 P nK Qlm，nlk

₂

_a

_r

QnK P1m，nll

.

MnK

~

1 ₍_加₎ Qlm，nll

₂

_a

7 _{P nJ} P1m.nll Qnf Qlm，nll MnJ Plm，nlJ 1

・

Qlm，nl] l P1m.nIK l Qlm，nlK 1 p

叫

，

nlL Qlm，nlL または， {PKJ}=[αKJ

F

[

P

KJ ] 部材(C)と部材(D)の適合条件式は (2U式で表される。 (20') 8田，.nli Clm，" d '(m，n)} c，.・nU o '(m，"lk 晶m川k 8，.川t

。

u

o'(m.lI)! 品田川I 8，.

e

，.川3 8，岡川K 8，.川L

e

，，圃n)L

a

nK

- ・

・

1

・

t ;nk

-・・・

・・・・・・

1

・

1 1

・・一…一・・・・・・

_2ar ₂_a_r

。

nK

a

n

，

・

-

1

・

t ;n'

-

・

1

・

。

n

'

・一一一・・・₂1 _a_s ₂1 _a_s

(8)

216 または， {BKd = [σKJ ] { OKJ } (21') 依って， (19)， (却)式および(21)式より (22)式が得られる。 { PKJ } = [ kKJ ] { OKJ } (22) ここに， [kKJ] = [αKJ

]

T

[五~J][αKJ] 筋違材に対しては，図9において，接合部パネノレとピン接合とすれは，応力と変位の関係は(23)式となる。図9 筋違と接合部パネノレ端の力と変位 P附，-]2 Aμ _，_._j₂_-，1μ n ; 即 Q耐 Aμ μ2・-，1μ μ 2. ξm， M加

AE

i

(お) Pmk L ，12 -，1μ・，12 Aμllsmk Qmk Aμμ2 • λμ μ2 •

I

~mk Mmk または，{:f

¥d

=

ι

[

k]

{

3 .

，

k} (23') 筋違材の場合は，平衡方程式および適合条件式は図9 よりあきらかなように，それぞれのマトリックスは単位マトリックスとなるので， {pjd=[r

]

T

{pjk} {B;:} =[I]{

瓦り

{p jk}= [ I

]

T

[

k

7

k] [ 1 ] { Ojd = [ι~]{ Oj.} (24) となる。全架構に対する応力と変位の関係は，全架構に対して仮想仕事の原理を適用すれば得られる。いま仮想変位， {U水}による外力{F}のなす仕事をWeとすれば， (お)式で表される。 We = {U*} {F}

U

V

φ

U V φ T F F F F 71 F {U*} =

j

U_r ， {F}二

U

R

U

R L主

F

R

F

RU FR V

F

Rφ FRr φR

7 R

小高昭夫一方，仮想変位{U*}によって内力のなす仕事

W

INは次のようになる。 WlN

=

主

[(SJ)(PI}+ZIM{PIJ}] 側 (接合部パネノレ) (部材〕ここに

R

節点の数， 17:パネノレに接続する部材の数接合部パネノレの変位は

0

0 '

)

式より， {O，)P

==

[sl]P {U} {O，)PT ニ {U)Tβ[

，

]PT {O

，

*}PT = {U*}T [sI]円部材端の変位と接合部パネノレ周辺の変位は日1)式および (幻)式より， (2国式となる。判 ω {O

[

J

}

= α[

川

{OI)P= [au] [βIY{U} { δ口}T= {U)T {sI

]

P

[

α

[

J

]

T

{OIJ*)T= {U*)T [sI

]

P

[

α

u

F

接合部パネノレの応力と変位の関係は(13)式および(27)式よ ) 8 2 ( り， {P

，

}P=

[

わ

]

P

{o，}= [k

，

]P [s，]P {U} 目的となるO さらに，部材の応力と変位の関係は， (18)， (加，)， ω)式および(28)式より(叩)式となる。 {PIJ}= [k

ι

{O

[

J

}

= [k

[

J

]

[

α

[

J

]

[sI

]

P

{U} (30) よって，内力のなす仕事W'Nは次のように表される。 R W'N = {U*}T [ 17[K

，

]P十17[K

[

J

]

{U} (31) 仮想仕事の原理より， W巴= W1Nであるから， {F)=IE[[K

れ

5[klJIllUj=[K]{U) 惚) (25) [KJ]P =

[

s

J]pT _[_k

_，

_]

_P

_[_s

_，

_]

_P

:接合部パネノレの剛性マトリックス， [KIJ]ェ [sl]PT[a

[

J

]

T

[k

[

J

]

[

α

[

J

](βI]P :部材の間性マトリックス， [K] = [K1]P十 [K

[

J

]

・骨組全体ど剛性マトリックス，となる。さて，接合部パネノレおよび部材の剛性マトリックスを計算すれば次のようになる。接合部パネノレの変形は，図 10に示すように伸縮による変形，せん断変形および曲げ変形である。接合部パネノレの剛性マトリックスは，接合部パネノレの釣合い力系において，仮想仕事法によって計算することができる。いま接合部パネノレの釣合い力系において，仮想変位， {O*}を与えたときの仕事は次のように求められる。すなわち外力仕事Weは， We={δ*}T {P} (33) ここI，こ

(9)

~i Oj ~j ~k ~， OI ~l ~1 ~K δL ~L

W

ε

=

f

!

v

L

1 WedV

= -{o*}

!

v

[B

]

T[D][B]同

ω

2

1

7

可携筋違架構による制震構造の研究(その1) こに， {σ}

=

{~;}

=占

E

〔

l

f

〕

{

;

)

=

[

D

]

{

E

}

{ε}

=

{~;}

=

{

低

二

i

J

!

?

2

1 )

1-if

2a 1 12a

l

I

2b 2b I さらに，

{

E

*F

=

{ゲ}T

[

B

]

T

となり，

L

1 W

e =ー{O*}T[B

]

T

[

D

]

[B] {o} それゆえ，伸縮による仕事

W

ε

は側式となる。 (曲げ) 仮想仕事の原理より外力仕事と内力仕事は{O*}の任意性によって成立するので， (せん断〉 OI ν 4ab

{P}=

f

!

v

[

B

]

T

[

D

]

[

B

]

dV {

o

}

を1 O1

l

F

l

p

= ω t

占

宮

切出

E

】 OK ~K ν 4ab 1 4b2 ν 1 4ab ~ 4b2

ν

一

山

一 0 1 ﹂一 a a a τ

乱

。

D U ハ出口リハ陥 D 日 Q R U Q 1 U Q n q ハ

_uha

接合部パネノレの変形 {P} = * * * 本 * * * 也事 * * * * * * * * 3 k k t t I I 1 7 K K L L

SESξssssaEd

在

ξ

a

F

U

S

図

1

0

{o*}= (37') OL ~L ν 4ab =[ゐ

]

{

O

}

，となる。また骨組み全体に対する接合部パネノレの剛性マトリックスは(32)式より， (38)式と

t

c

る。 I b I lプ ν ￨

[

K

1 ]

P

=

[s

]

I

pT [kl]P [sI]P

=

Et

I

“

。

￨

￨一

νtil

(

2 )

曲げ変形による仕事 (W

<

T

X，

W

め):曲け変形による仕事は，接合部パネノレの伸縮による仕事

(We)

を求めた場合と同様にして計算出来る。結局，曲げ変形による仕事は(湖， (40)式となる。 F世X= 2btEI(/)x (39) Fゆy= 2atEIφy (40) (3) せん断変形による仕事

(Wr)

:せん断変形による仕事

Wr

も同様に仮想仕事の原理によって計算すれば得らとなる。内力仕事

W

inは，単位体積当りの仕事をム

W

in とすれば，次のようになる。

W

叩

=

!

v

L

1 W

e前十

!

v

L

1 W

中xdVキ

!

v

L

1

W恥前十

!

v

L

1

Wγ剖 ₍₃₈₎ れる。すなわち附式となる。 A 川 V 3 ( ) 5 3 ( =

We+W<

Tx+W

<t

y+Wr

ここに，

We

接合部パネノレの伸縮による仕事 W世x，

W<

T

y :接合部パネノレの曲け変形による仕事

Wr

接合部パネノレのせん断変形による仕事各変形による仕事を計算すれば次のようになる。

(

1 )

接合部パネノレの伸縮による仕事 (WE):単位体積当りの仕事ム

W

ε

は次のように計算される。

ムWe=一

{

E

*

}

T{

σ

}

(10)

f r r u u ，￠ LU 一つ白 b -2 ν 7 h U G 一 2 1 i 一つん a n v ム U 一つム LU 一つム ν -b a 一 2 1i 一つムG p b 1 .-b 1 . 夫 d" d" 昭小高 Fy= 4abtGY 4(1) 接合部パネノレの伸縮，曲げ変形およびせん断変形を考慮した接合部ノミネノレの剛性マトリックスは， (38)，ω)，臼印式および(41)式より， (42)式となる。 218 y，占xc 占YC </>xc 世y， U，

r

b

a 一2 1 一₂ 1・

。

"

a 2 l-a ρb • ("L V， < / > ， y， dn 世"' <py， b 一つムム U 一つゐ ν 7 0 E2 1 一2 α η V L U -a a b 一 2 んどっ ω ν Z U 2 2 3 ム一つ ' u α ρ 。 b 1・ OSi d" (42) . 4abtG .

Etj-Etν

Et!ノ

Etj

. 2btEI [KrY = 1 aν 2 2b 1・ d" (44) (44') 臼5)

•

E2 ρb G ーI ('" 2atEI 部材の剛性マトリックスは次のように求められる。梁材の剛性マトリックスは，図11(a)のように変位関係を想定すれば，

ぺ

L

ト

2 f

E

ト

争

-d

日

_{剛性マトリックスは側式で求まる。} 次に，柱材の剛性マトリックスは，図11(b)に示すように変位関係を想定すれば，臼7)式で示される。 ξ

r

k

J

ξrl (47) OrK ~rK ~Si ~Sj OSJ ~SJ • 1 1

・

1 1 2as 2as 1

・

• 1

・

OK K K F ﹄ヨ β U 尽 O

6

f}J 梁材部の置換図 (a) (4T) U， r r y y r r T r x y x y s V A V Y R O S A V I ￠ U または， {d'KJ}= [α'KJl {oKJ} ) ' h u (

。一

2 G 士 Z 1L

一

。

，

u ν 一 a b 一 2 b η ド . 1 a

"

図11 -a 一2 α 一つゐ 1 一2 ν 一 a b 一2 b ρ 。

。

1

•

ε" Orj Orl b

z

1 -2 ν -a b -2 1・ • 1 { δLl}= [β¥Il {u} となる。 (43)，制式より，陥)式が得られる。 {3Ll}=

[

α

'

Ll

l

[s'Ll

l

{u} また，平衡方程式は， {F} = [s'Ll

F

[

α

'

Ll

F

{ρ} ここに， {ρ}= [主Ll

l

{d'Ll} よって， {F} = [s'Ll}T [ゲLll[kLll [α'Lll [s'Lll {u} 倒) となり，骨組み全体の剛性マトリックスに対する梁材の a" ('"

E

γ

L

S

r

L

OSi ー 1

・

. 1 1 1 2br 2br T L r ﹄﹃ L qovbβu

、。

s s s s s x y v t ψ y o o δ G 一2 a 一2 1 よ一つ白 ν 一_a v O 一 2 ム U ハド 1 a ε" (43) δsk δsl ~Sl . 1

・

• 1 1 1 2bs 2bs

6

8 r

G F ワ白 E2 司t_A 一 q L ν 一 a b -2 1 h U A r a -t;" b 2 3 S A h ゐ川畑 pa • -二つゐ ν -G f D X 4 1 .-b • 1 ・ δ" ('" (43') {瓦r}

=

[α'LIl {δu}

(11)

219

;

:

￨

叶

倒

U. V. (52') 可擦筋違架構による制震構造の研究(その1) (48') a ν b b 2b 2 2

•

• -a - z

a -2 1 ﹃ 2 ν - a b 一 2 A 凹 a

•

l b - m i d" 1;" 制的 {8KJ} = [β'KJ] {U} となる。 (4札側式より， ω)式が得られる。 {8KJ} = [a'KJ] [β'

K

J

]

{U} また，平衡方程式は次式となる。

{

F

}

=

[

β

'K

J

]

T[α'KJ

]

T

{

P

}

ここに， {P} = [kKJ] {8KJ} 1 aν b b 1・bppV姐一一一ー2 2b 2 2 a -Z E 2 15 ν -a b 一 2 b n w r a

-•

•

{8u} = β叶 {U}[ (51)，仰)式より， (53)式が得られる。 {8u} = [aU] [βu]{U} OSi SSi よって， {F} = β[

い

][α'

K

J

]

T[k

K

J

]

[

α'

K

J

][

s

'

K

J

]

{U} (50) となり，骨組み全体の剛性マトリックスに対する柱材の剛性マトリックスは， (50)式より求められる。筋違の剛性マトりックスは，筋違の形式によって，節点の符号を①・①とすれば，右上がりと右下がりの2 種類があり各々次のようになる。 (a) 右上がりの場合:図12(a)において，節点をピンとすれば，次のようになる。 ) 回日出 ( U， V， φF 8" 8 " φ"

:

7

1 (

ゆ V，ゆs 8" 8 .. φ" φ .. (54') (55)

•

-a -2 a -2 1νa b b E ・-bρ

a-Ht-22

bν1 a a ρb~-~~-= 2a 2 2 2 b -2 b -2 v -z p a -2 1 -2

-rb

b -2 1 -2 一 a b A V n v b a l ・ 8，1 1・・・・ 8

，

1 ; ， 8

，

1 ; ，

{

8 r

J}=

[

C

U

]

{U} となる。また平衡方程式より次式が得られる。 {F}

=

[su

]

T

[

ぬ

J

]

T

{ρ}

=

[su

]

T

[au

]

T

[

五

J]

{

8 r

J}

=

[

C

u

]

T

[

k

r

J

]

[

C

U

]

{U} それ故，骨組み全体に対する筋違材(右上がり〉の剛性マトリッPスは， (55)式で与えられる。 (b)右下がりの場合:図12(b)において，節点をピンとすれば次のようになる。

8

1 む

a

8J む

8

J

L

{高J}= [au] {8u} また， 8

，

(5曲 (56') 、_{2 1 1 ι} 目目目目目目目目 ' E f -- a_{‘ ，} E E E E E E E E E E E E E E E ' p p ， d J j k k T T S S AUF-コホ o y b r E ' 1 1 1 a E E E E E ︿_' 1 1 1 1 1 1 a E t_、 1 1 1 目白 (51') ( b )

r

右下り』の場合 L

①

J 筋違の置換図

、

l i l t B I l l -﹀ a ' B a l l i -J t z z i f r s s R u ν ι d 必 U タ ' b F ﹃ I l l i -E -E E E E E E ' ︿ B E E -﹄ t i l i a --、 1 図12 1

8

1

5

8

1 8J む

8

J {du}= α[

叶

δ口{} l l

(12)

2

0

小高昭夫 u，

I

で表される。従って構造物が大変形をする場合において，

;

￨

ある荷重段階における増分荷重と増分変位の関係は制式 O，J b 一2 b 一2 ν 7 0 E2 1 一2

。

η ド γr 1・b f r r T x p x y 尽 O 尽 O ，の i A V J T E G 一2 a 一2 1i 一つ “ ν 一 G L U 一 q L b ρ 1 a -O" s s s s s s s s z y x y U V 4 Y 8 3 φ i A V ' b 一つ M G 一つ ω b 一2 E 2 ν 7 0

。一

2 1

一

2 ν 一 G I 一つ b v o 一 2 一 a b A u r n ド b a 1 1 0 i'k ) 7 5 ( {3IJ} = [sIJ){U} ( 5， (日 57)式より， {3IJ} = [的][βIJ){U} となる。さらに， (57') (回) 占I ρG 1 aνb b 2 2b2 2 r r r r F T T X Y X UVAVY331ψ 1・b む島、 EZ E2 1 i ↓ η

。

ν -a 九 U 一つ &

。

ハド a l ) 9 5 (

l

r u p s φ U O

，

s z f v l φ れ v O 一 2 ' h u 一 n ノ U Eb a -2 1 一2 G ρ LU

•

1

•

i

，

白 bν1 ρb一一_{20 2}_{2 2}一目 10 s s s s x y x Y E S -の 1 1 ￠ {吉川=[CIJ) {U} また，平衡方程式より， {F} =[sIJF [αIJF {ρ} = [sIJF [αIJF[ゐ)

{

d

;

J) 側) ニ [cuF

[

k

;

J)[CIJ) {U} となり，骨組み全体に対する筋違材(右下がり〉の剛 (59') 性マトリックスは， (58)式でもとまる。 3.4. PL1効果を考慮した解析. 構造物が非線形挙動をする場合，その原因は，構造材料の非線形性すなわち材料の応力度一歪度の関係の非線形性か，

P

L1効果または幾何学的非線形による場合がある。本節では，PL1効果による大たわみ問題を取り扱う。大たわみの場合における剛性マトリックス[KL)')は， [KL) = [Ke)

+

PO [Ko) 師1) ここに， [KL) :大たわみの場合の剛性マトリックス， [Ke) 微小変位(弾性〕の場合の剛性マトリツクス， [Po) 軸方向力， [Ko) : PL1効果による非線形項の剛性マトリックス，で求められる。

[

L

1 P

)

コ [KL){出} ここに，

[

L

1 P

)

:増分荷重 {L1U}:増分変位弾性挙動をする骨組が大たわみをおこす場合に，曲げねじれ等の影響を無視すれば，部材に生じる歪(ε}は，その前段階までの歪ε。}と，次の歪増分 ({ εα}との和と出2) して表される。 {ε}= ε。{}

+

{Eo} ( 6 3 ) 変形前

(n

段階〕と変形後 (

(n-1)

段階〉の座標と変位の関係を図13のように表すと，歪と変位の関係は次のようになる。

(

U

)

.

Y

tl"

Z(W)

(

V

o

+

d

V

，

U

o

十

&

u

)

司、号、〈判す1)段階 J 竹段階ニに (V)

J

図13 座標と変位 J引 l(dUO¥2 d_2"l{o ニ」十 ( 一一 ) 一円才 dx '

2 '

dx 一 d(vo

+

3v)，

U

d I ，

J

2 d2 E

吋ア十討す。

+3u)J -

令

μ(

。

+3u) ε α

一一也

L

白山科 1

即位

r

じ 0 - dx ' dx dx '2l dx J d2₍₃_u₎ Y dx2 ここで，上式の第2項は各荷重増分に対する項で，部材が真直であると仮定できれば無視て、きる。さて，部材に貯えられる歪エネノレギ- Uは，図 14において，応力歪図14 弾性エネノレギ U = Uo

+

Uo = U 0

+

U1十U2 ここに，

U

o・求める荷重段階までの歪エネノレギー白母 U1 = E

f

E

O

山

y

d

z

U

ミ

ニ

f

c

E

a

)

2 d

X

d

y

d

Z

(13)

2

1

可携筋違架構による1Ii~震構造の研究〔その 1) となる。部材の剛性行列[K

，

]

はCastiglianoの第一定理から求められ，白5)式となる。的5)

a

2_打_ー

[

K

;

]

= 一~

。

_u

_;

_a

_u

j 岡

U

I

'

生マトりックス(大たわみの剛性マトリックス〕を計算した結果は次のようになる。 1 10 6 5L 1 10 6 5L 部材の応力と変位図15 L 一初 1 一日 -一 0 6 一

_L

一 F 一司 1 ム一戸 h d

L

2 一日

[

K

o]

=

z端はヒンジ，J端は岡

1 (

1 )

9 1

8L 8

9

8L

L 2 一日 SYM 征一

V

Z

一_L

1

2

1

L2 61 L3

1

2

1 L3

-一

8 L

一

8

9

8L

SY恥4 [KoP] = 訂工日一

V

A L 日一

u

m

一

U

41 L A L [Ke] = E A L 1端は剛 9

8L

1 L 9 一札 1 8 J端ともにヒンジ 1 L

9 1

8L 8

L 8 J端はヒンジ， SYM 1端， [Ko

β]=

(

3 )

(2) 4I L ここに， L:部材長， I 断面2次モーメント，

A:

断面積部材の応力度が蝉性範囲をこえ，塑性領域に入った場合については，単純塑性理論より導く。すなわち塑性領域における増分荷重と増分変位の関係は，塑性ヒンジの理論により，増分外力{L1

F

}

に対して，増分応力

μ

{

L1Mυ =0とし，増分回転角{L18

，

}

を消去した剛性マトリッを附式のように求める。 {L1P} = [[KP]

+

Po[Ko

ρ

]

{L1u} ここに，[KP] 弾塑性剛性マトりックス [Kot 塑性領域を含むPL1効果による非線形 Jsの剛性マトリッグスさて，部材が塑性領域に入ったときの非線形項の剛性マトリックスは，図15において各節点の状態によって次師団 SYM

- 一

L SYM [KoP]= のようになる。

(14)

222 小高昭夫 3.5. 弾塑性解析弾塑性解析における解析の前提条件は次のようにする。 (1) 部材の変形は軸方向力による変形，曲げ変形およびせん断変形を考慮する。 (2)接合部パネノレの変形はせん断変形を考慮する。 (3) 柱部材のPム効果の影響を考慮する。 (4) 曲げモーメン卜と曲率の関係は図16(a)に示すように完全弾塑性型とする。 (5) せん断力とせん断歪の関係は図16(b)に示すように

B

i

-

L

i

n

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a

r

裂とする。 (6) 軸方向力と軸方向歪の関係は図16(c)に示すように完全弾塑性型とする。

k h V

~

-

s

1 4

(b)せん断力とせん断盃 (a)曲げモーメントと曲率 (c)翰方向力と鞘方向歪図16 曲げモーメン卜，せん断力および軸方向力と夫々の歪の関係尚図16において， Mpは全塑性モーメント Mpcは軸方向力の作用するときの全塑性モーメント， Qpcは全塑性せん断力， Npは全塑性軸方向力および Nkはオイラーのの座屈荷重である。降伏条件として，柱および筋違は曲げモーメントと軸方向力との相関関係，図1によって降伏する。また梁は曲げモメントによって降伏する。更に接合部パネノレはせん断降伏を考慮し，筋違は軸方向力による降伏を考慮する。解析は荷重増分法により，水平荷重を漸次増分させ， Pb.効果を考慮し，各増分ステップ毎に座標変換を行い本論文は下記の報告を整理，加筆したものである。解析する。

4 .

結論本論文においては，構造物の弾塑性解析法が詳述された。すなわち， (1 ) 構造物の弾塑性解析法に関して，曲げモ←メントと曲率の関係を完全弾塑性とし，単純塑性解析法を柱・梁接合部パネノレのせん断変形， Pb.効果の影響を無視した場合について示した， (2) 曲線材を有する般の構造物について，柱・梁接合部パネノレのせん断，曲げおよび勅方向力による変形ならびに

P

ム効果による幾何学的非線系の影響等を考慮した弾塑性解析法について詳述した。 (3) 本論文に示される解析法によれば，通常の骨組構造物の保有耐力(終局耐力)を厳密に計算で、きる。参考文献 1 )小高昭夫，堀江文雄マトりックスを用いた骨組解析の一考察 :8本鋼構造協会第 3回大会講演論文集，昭和44年5月

2)

R. K.

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著，山田嘉昭，川井忠彦共訳eマトリックス構造解析入門， p.88-p.91:培風館，昭和43 年9月

3

)上田幸雄，赤松毅人，近江義夫マトリックス法による骨組構造物の弾塑性解析，日本造船協会論文集 126号， 1969年12月謝辞本論文は東急、建設株式会社技術研究所，本田義博氏が研究生として解析したものである。また竹中工務応技術研究所，主席研究員斉藤勝彦氏には有益なる助言を辱うした。ここに感謝の意を表します。〔受理昭和62年1月25日〉小高昭夫他:可換耐震筋違の可能性について・日本建築学会学術講演会梗概集，昭和46年11月小高昭夫他・可携耐震筋違の可能性について。(その2) 日本建築学会学術部講演梗概集，昭和47年10月小高昭夫:可境耐震筋違の可能性について。〔その3):日本建築学会関東支部学術研究発表会，昭和47年11月

可撓筋違架構による制震構造の研究(その1) : 構造物の弾塑性解析

可携筋違架構による制震構造の研究(その 1)

構造物の弾塑性解析

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