フーリエ変換
6.1フーリエ変換
複素フーリエ級数は
(5.18)(5.19)で
f(x) 1 X n=01 c n exp(i nx a )= 1 2 [f(x+0)+f(x00)]; x2[0a;a] c n = 1 2a Z a 0a f(x)exp(0i n x a )dx (6.1)と定義された。ここで
k n = n a ; 1k n =k n+1 0k n = a (6:2)とおいて
(6.1)第
2式を書き直すと係数
c nは
c n = 1k n 2 Z a 0a df()e 0ik n :となる。これを
(6.1)第
1式に代入すれば
1 2 [f(x+0)+f(x00)]= 1 2 1 X n=01 e iknx 1k n Z a 0a df()e 0iknと書くことができる。さらに
a!1; 1k n !0の極限操作を行うと、和は
X n 1k n ! Z dkと積分に移行するから
1 2 [f(x+0)+f(x00)] = 1 2 Z 1 01 dk e ik x Z 1 01 df()e 0ik (6:3)が得られる。これをフーリエの積分公式という。
ここで関数
f(x)は
(01;1)において有界変動関数でかつ
Z 1 01 dxjf(x)j=有界
(6:4)でなくてはならない。
F(k)= 1 2 Z 1 01 df()e 0ik F[f(x)] (6:5)と書けば、
(6.3)は
1 2 [f(x+0)+f(x00)] = Z 1 01 dke ik x F(k)F 01 [F(k )] (6:6)とあらわされる。
xが
f(x)の連続点ならば
f(x)= Z 1 01 dke ik x F(k)=F 01 [F(k)] (6:7)である。
(6.5)を フーリエ変換、
(6.6)をフーリエ逆変換 という。
2をどこにどの様につけ
るかはいろいろな流儀があり、上の他に
(6.5)で係数を
1= p 2として、そのかわりに
(6.6)の積分にも係数
1= p 2を付けることもある。ここでは
(6.5)(6.6)のようにしておく。
例題
6.1次の関数のフーリエ変換を求め、そののちフーリエ逆変換によりもとの関数に
戻ることを確かめよ。
(1) exp(0ajxj); a>0 (2) exp(0 1 2 a 2 x 2 ) (3) d dx f(x);ただし
f(x)は連続でかつ
jxj!1とした時
任意の
Nに対して
jxj 0Nより早く
0となる。
(6.8)解
.次の様に計算できる。
(1) F(k) = 1 2 Z 1 01 dxe 0ajxj e 0ik x = 1 2 f Z 1 0 dxe 0(a+ik )x + Z 0 01 dxe (a0ik )x g = 1 2 f 1 a+ik + 1 a0ik g= 1・
a (a 2 +k 2 ) ; (6.9)フーリエ逆変換を求めるには
f(x) = Z 1 01 dke ik x F(k)= a Z 1 01 e ik x a 2 +k 2 dk = 1 2i Z 1 01 dk e ik x f 1 k0ia 0 1 k+ia g (6.10)を計算する。複素
k平面で考えて、
x > 0の時には上半平面で、
x < 0の時には下半平
面でこの積分路を閉じても、積分の値は変わらない
(第
5章付録を参照
)。それぞれの場合
に寄与する極は
iaまたは
0iaである。積分路は複素
k平面上で
kの偏角の増す正の方向
(x>0)または偏角が減る負の方向
(x<0)にまわっている。したがって
f(x)= 1 2i 2 ( (+2i)e 0ax :x>0 0(02i)e ax :x<0 ) =e 0ajxj : (2) F(k)= 1 2 Z 1 01 dxe 0 1 2 a 2 x 2 0ik x = 1 2 Z 1 01 dxe 0 1 2 a 2 (x+ ik a 2 ) 2 0 k 2 2a 2 (6:11)この積分を実行するために、複素平面上で図
6.1のような積分路
Cを考えよう。閉じた積
分路で囲まれた領域内に極はないから
I C dze 0 1 2 a 2 z 2 = Z R 0R dxe 0 1 2 a 2 x 2 +i Z k a 2 0 dye 0 1 2 a 2 (R+iy ) 2 + Z 0R R dxe 0 1 2 a 2 (x+ ik a 2 ) 2 +i Z 0 k a 2 dye 0 1 2 a 2 (0R+iy ) 2 = 0である。ここで
R !1の極限を考えると、右辺第
2,4項は一様に
0となる。したがって
Z 1 01 dxe 0 1 2 a 2 x 2 + Z 01 1 dxe 0 1 2 a 2 (x+ ik a 2 ) 2 =0である。第
1項のガウス積分は
( Z 1 01 dxe 0 1 2 a 2 x 2 ) 2 = Z 1 01 Z 1 01 dxdye 0 1 2 a 2 (x 2 +y 2 ) =2 Z 1 0 drr e 0 1 2 a 2 r 2 = Z 1 0 dte 0 1 2 a 2 t = 2 a 2より
Z 1 01 dxe 0 1 2 a 2 x 2 = p 2 aである。したがって
Z 1 01 dxe 0 1 2 a 2 (x+ ik a 2 ) 2 = p 2 aである。これを
(6.11)に代入してフーリエ変換は
F(k)= 1 a p 2 exp(0 k 2 2a 2 ) (6:12)となる。すなわち、ガウス関数のフーリエ変換はガウス関数であることが分かる。フーリ
エ逆変換は全く同様に行うことができ、元に戻ることが示される。
////////////////////////////////// ////////////////////////////////// ////////////////////////////////// //
図
6.1/////////////////////////// ////////////////////////////////// ////////////////////////////////// ////////////////////////////////// ////////////////////////////////// (3) F(k)= 1 2 Z 1 01 dxe 0ik x f(x) (6:13)と定義しておく。部分積分を用いて
1 2 Z 1 01 dxe 0ik x df(x) dx = 1 2 [e ikx f(x)] x=1 x=01 0 1 2 Z 1 01 dx de 0ik x dx f(x) = 0 1 2 Z 1 01 dx(0ik )e 0ik x f(x) = ik 1 2 Z 1 01 dxe 0ik x f(x)=ikF(k): (6.14)を得る。また逆変換は
Z 1 01 dke ik x ikF(k )= d dx Z 1 01 dke ik x F(k)= d dx f(x) (6:15)である。
ixf(x)のフーリエ変換に関しても
1 2 Z 1 01 dxe 0ik x ixf(x) = 0 d dk 1 2 Z 1 01 dxe 0ik x f(x) = 0 d dk F(k ) (6.16)となる。これらの結果を用いると、微分方程式をフーリエ変換で容易に解けることがある。
(例題
6.4を参照
)■
例題
6.1(3)の結果を少し一般的に書くと次の様な重要な結果になる。
F[f (n) (x)]= 1 2 Z 1 01 dxe 0ik x f (n) (x)=(ik) n F[f(x)]; (6:17) F[x n f(x)]=(i d dk ) n F[f(x)]: (6:18)これらは
(6.14)の部分積分、あるいは
(6.16)を
n回繰り返せば導くことができる。
「デルタ関数のフーリエ変換」とその逆変換を考えよう。デルタ関数
(x0x 0 )のフー
リエ変換は、定義に従って
F[(x0x 0 )] = lim n!1 1 2 Z 1 01 dxe 0ik x n (x0x 0 ) = lim n!1 r n 1 2 Z 1 01 dxe 0ik x e 0n(x0x 0 ) 2 = lim n!1 r n 1 2 e 0ik x 0 Z 1 01 dxe 0ik (x0x 0 ) e 0n(x0x 0 ) 2 = lim n!1 r n 1 2 e 0ik x 0 Z 1 01 dxe 0ik x0nx 2と変形される。この積分は
(6.11)と同じ様に計算される。
lim n!1 1 2 Z 1 01 dxe 0ik x n (x0x 0 )= lim n!1 r n e 0ik x0 1 2 p n e 0 k 2 4n = lim n!1 1 2 e 0ik x 0 e 0 k 2 4n = e 0ik x 0 2 : (6.19)したがって
F[(x0x 0 )]= 1 2 exp(0ikx 0 ): (6:20)さらに、ここで
x 0 =0とすると
F[(x)]= 1 2 (6:21)である。これらをフーリエ逆変換すれば
(x0x 0 ),あるいは
(x)にもどるはずである。式
で書くと
F 01 [ 1 2 ]= Z 1 01 dk 1 2 e ik x =(x) (6:22)となる。これもデルタ関数の別の表式である。しかしこの積分は、普通の積分の概念から
考えれば、うさんくさいところがある。
e ik xは
jk j ! 1で
0になる関数ではないからで
ある。
実は
(6.20) (6.21)が超関数の意味で定義されているように
, (6.22)も超関数“
1”に関す
るものとして理解されなくてはならない。この超関数“
1”を
I(x)と書いて 、
(6.21)の右
辺
1=2は超関数
I(x)の
1=2倍とみなすことにする。超関数
I(x)は
I n (x)=exp(0x 2 =n) (6:23)の極限として
I(x)= lim n!1 e 0x 2 =n (6:24)と定義すればよい。
(6.19)の計算の途中はまさにそうなっている。
I(x)あるいは
I n (x)と
の積として積分の中にあらわれる関数は、性格の良い、
jxj! 1では任意の
Nについて
jxj 0N
より速く
0になる関数
f(x)であると考えているからである。この時、超関数
I(x)は
1と“ ほとんど同じ ”である。こう考えておけば
I(x)のフーリエ変換は
1 2 Z 1 01 dxI(x)e 0ik x = lim n!1 1 2 Z 1 01 dxI n (x)e 0ik x = lim n!1 p n 2 p e 0 nk 2 4 = lim n!1 r n e 0nk 2 =(k) (6.25)と計算できる。
(6.25)と
(6.22)は
x ! k ,k ! 0xと置きかえただけで完全に同じ式であ
る。以上によってデルタ関数と“
1”は互いにフーリエ変換、フーリエ逆変換でむすびつい
ていることが分かった。このことは物理的に言えば容易に理解できる。すなわち、広がっ
た平面波をスペクトル分解すれば単一の波であるが、一方空間的に狭い領域にだけ強度を
持った波をフーリエ分解すると、すべての波長の波を重ねなくてはならない、ということ
である。
ここでやったように、一般に
jxj ! 1で急激に
0にならない関数についても、それを
超関数とみなして
jxj! 1で急激に
0になる関数の極限と考えることで、フーリエ変換
を定義できる。しかし、そのかわり充分遠方でその超関数の“ 値 ”が、元の関数の値と一
致しているかどうか議論することの意味はなくなる。このことを上で、
“ ほとんど同じ ”と
いった。超関数は線形汎関数として定義されているからである。
例題
6.2たたみ込み
(合成績
) Z 1 01 dyf(x0y )g(y) (6:26)をフーリエ変換せよ。またそれを逆変換して元に戻ることを確かめよ。
解
. F[f(x)]=F(k ); F[g (x)] =G(k) (6:27)と定義しておく。
F[ Z 1 01 dyf(x0y)g(y)]= 1 2 Z 1 01 dxe 0ik x Z 1 01 dyf(x0y )g(y) =2・
1 2 Z 1 01 dte 0ik t f(t) 1 2 Z 1 01 dy e 0ik y g(y)=2 F(k)G(k): (6.28)これを逆変換すると
F 01 [2F(k)G(k)] = 2 Z 1 01 dke ik x F(k )G(k) = 2 Z 1 01 dk 1 Z 1 01 dk 2 (k 1 0k 2 )e ik 1 x F(k 1 )G(k 2 ):ここで デルタ関数のフーリエ逆変換
(6.22)を用いて
(k 1 0k 2 )= Z 1 01 dy 1 2 e 0i(k 1 0k 2 )y (6:29)を代入すると、
F 01 [2F(k)G(k)] = Z 1 01 dy Z 1 01 dk 1 Z 1 01 dk 2 e 0i(k 1 0k 2 )y e ik 1 x F(k 1 )G(k 2 ) = Z 1 01 dy Z 1 01 dk 1 e ik 1 (x0y ) F(k 1 ) Z 1 01 dk 2 e ik 2 y G(k 2 ) = Z 1 01 dy f(x0y)g (y) (6.30)となり、元に戻る。このようにたたみ込みが積
F(k )G(k)に変換されるため、積分方程式
を解く時、フーリエ変換が有用であることがある。■
以上の例題
6.1,6.2で分かるように、フーリエ変換および逆変換を考える上で、
(x); 0 (x);I(x)などの超関数の概念が重要である。ヘビサイド 関数
H(x) H(x)= ( 0 :x<0 1 :x0 (6.31)も同様に超関数として理解することができる。
例題
6.3ヘビサイド 関数
H(x)は、超関数の意味で
d dx H(x)=(x) (6:32)と定義できることを示せ。
解
. jxj!1で充分早く
0になる関数
f(x)を考える。
Z 1 01 dH(x) dx f(x)dx=[H(x)f(x)] 1 x=01 0 Z 1 01 H(x)f 0 (x)dx =0 Z 1 01 H(x)f 0 (x)dx=0 Z 1 0 f 0 (x)dx=0[f(x)] 1 x=0 =f(0) (6.33)となる。これは
(6.32)を示している。■
フーリエ変換を用いて、微分方程式を解いてみよう。
例題
6.4次の方程式を解け。
d 2 dx 2 f(x)0f(x)=e 0jxj (6:34)解
. F[f 00 (x)] = 0k 2 F[f]=0k 2 F(k ) ; F[e 0jxj ] = 1 2 Z 1 01 e 0ik x e 0jxj dx = 1 2 f Z 1 0 e 0ikx0x dx+ Z 0 01 e 0ik x+x dxg= 1 1 1+k 2 :これから
F(k ) =0 1 1 (k 2 +1) 2 :故に
f(x)=0 1 Z 1 01 dke ik x 1 (1+k 2 ) 2 :被積分関数は
k =6iを
2位の極として持つ。
x>0の場合には積分路を複素
k平面上の
上半平面で閉じ、また
x<0の場合には下半平面で閉じる。したがって
x>0 : f(x)=0 1 2 i[ d dk e ik x (i+k) 2 ] k =i =0 1+x 2 e 0x ; x<0 : f(x)=0 1 2 i(01)[ d dk e ik x (0i+k) 2 ] k =0i =0 10x 2 e xである。まとめて
f(x)=0 1+jxj 2 e 0jxj (6:35)となる。■
ここで、いくつかの関数のフーリエ変換を表の形で与えておこう。
表
6.1フーリエ変換の表
f(x)= R 1 01 dke ik x F(k) F(k)= 1 2 R 1 01 dxf(x)e 0ik x 1 (k) x n f(x) (i d dk ) n F(k) 1 jxj ;(x6=0;0< <1) 1 sin( 2 ) 0(10) jk j 10 1 x 2 +a 2 ;(a>0) 1 2・
1 a exp(0ajkj) e 0ax 2 ;(a>0) 1 p 2a exp(0 k 2 4a ) sechax;(a>0) 1 2a sech(0 k 2a ) sinax x ;(a>0) ( 1 2 jkj<a 0 jkj>a sin(a 2 x 2 );(a>0) 1 2a p cos( k 2 4a 2 + 4 )例題
6.5 1次元の熱伝導を
01 <x <1の領域で考えよう。時刻
t =0に
x =の位
置に強さ
1の点熱源を置いたとき、この系は方程式
( @ @t 0a @ 2 @x 2 )u(x;t) =(x0) (t) (6:36)により表される。
(6.36)を、初期条件
u(x;t) =0 ; t<0 (6:37)のもとで解け。
解
.(6.36)を
xおよび
tについてフーリエ変換し、
u(x;t)= Z 1 01 dk Z 1 01 dw e ik (x0 ) e 0i! t ~ u (k ;! ) (6:38)と書く。さらに点熱源を表す
(6.36)の右辺をフーリエ変換すると
(x0)(t)= 1 4 2 Z 1 01 dk Z 1 01 d!e ik (x0 ) e 0i! t : (6:39)これらを
(6.36)に代入して整理すると
~ u (k;!)= 1 4 2 1 0i!+ak 2 (6:40)となる。
kを実数とした時、
(6.40)は複素
!平面上で、
Im ! >0の領域で正則である
(極
は
! =0iak 2 )。
(6.40)をフーリエ逆変換して、
u(x;t)は
(6.38)で与えられる。この時、
!についての積分は
e 0i! tの因子により、
t>0の時は複素
!平面上の下半平面で、
t <0の時は上半平面で閉じなくてはならない
(図
6.2)。極は
!平面の下半平面上
0iak 2にある
から、
t<0の場合には積分路のかこむ領域内に極はなく、積分の結果は
0となる。
u(x;t)=0 : t<0: (6:41) t > 0の場合には
! -下半平面上の極
0iak 2からの寄与を計算して、積分路は負の方向に
まわっているから
u(x;t) = 1 4 2 Z 1 01 dk Z 1 01 d!e ik(x0) e 0i! t 1 0i!+ak 2 = 1 2 Z 1 01 dke ik (x0 ) e 0ak 2 tとなる。この積分は今まで何度かでてきたもので、
(6.11)と同じ様に実行できる。
u(x;t) = 1 2 Z 1 01 dk e 0at(k 0i x0 2at ) 2 e 0(x0 ) 2 =4at = 1 2 p at expf0 (x0) 2 4at gG(x0;t); t>0 (6.42) t!0の極限では、これはデルタ関数の定義そのままであるから
lim t!0 G(x0;t)= (x0) (6:43)となり、たしかに点熱源であることも理解できる。この解
(6.42)を
1次元熱伝導方程式の
「基本解」という。■
////////////////////////////////// ////////////////////////////////// ////////////////////////////////// ////////////////////////////////// //図
6.2/////////////////////////// ////////////////////////////////// ////////////////////////////////// ////////////////////////////////// //////////////////////////////////一般に無限の長さの
1次元熱伝導方程式で、初期条件として
t =0で熱分布
f(x)を与
えた時、任意の時刻での熱分布は
( @u @t 0a @ 2 u @x 2 =0 ; t >0 u(x;0)=f(x) (6.44)に従う。この方程式の解は基本解を用いて
u(x;t)= Z 1 01 dG(x0;t)f() (6:45)で与えられる。
f(x)を点熱源が連続的に分布しているものと見なせば、
(6.45)はそれらの
解を重ね合わせたものと理解することができる。
(6.45)を直接示そう。
(6.45)を
(6.44)第
1式に代入すると
( @ @t 0a @ 2 @x 2 )u = Z 1 01 df()( @ @t 0a @ 2 @x 2 )G(x0;t) = Z 1 01 df()(x0)(t)=f(x)(t) (6.46)となる。ここでは
G(x0;t)が
(6.36)の解であることを用いた。したがって
u(t)は
t6=0で
(6.44)の第
1式を満たす。
t !0では
(6.43)により
lim t!0 u(x;t) = Z 1 01 df()lim t!0 G(x0;t)= Z 1 01 df()(x0)=f(x) (6:47)となり、
u(x;t)は
(6.44)の第
2式を満たすことも示された。
6.2ラプラス変換
フーリエ変換と同様にラプラス変換はしばしば用いられる積分変換の
1つである。関数
y(t)が次の性質を満足していると仮定する。
(1) y(t)=0 ; t<0(2) 1 0 dte 0 t jy(t)j<1; :
正の実数
(6.48)この時
y(t)のフーリエ変換
Y F (!)を考え、さらに
!を複素領域に拡張する。
Y F (!)= 1 2 Z 1 01 e 0i! t y(t)dt; (6:49)あるいは、
! =! 0 0i 0 (! 0 ; 0 :実数
)とすると、
Y F (!)= 1 2 Z 1 01 e 0i!0t e 0 0t y(t)dt: (6:50)ここで
(6.50)の右辺が収束するならば、
Im! 0 <0 0である
! 0 =! 0 0i ( =0Im! 0 )について
Y F (! 0 )= 1 2 Z 1 01 e 0i! 0 t e 0 t y(t)dtも収束する。これを改めて
Y F (!)と書いて
(! =! 0 0i ) Y F (!)= 1 2 Z 1 0 e 0i! t y(t)dt = 1 2 Z 1 0 e 0i!0t e 0 t y(t)dt: (6:51)を出発点とする。
(6.51)で
y(t)=0(t<0)であるので、積分の下限を
0と書いた。
(6.51)の収束領域は
Im! =0 <0 0である。また
(6.51)のフーリエ逆変換は
y(t)=e t Z +1 01 d! 0 e i! 0 t Y F (!)= Z +10i 010i d!e i! t Y F (!) (6:52)と書ける。
( > 0 )最後の積分路は複素
!平面上で実軸に平行に、
! = 010iから
+10iまでの直線をとる。
上の式
(6.51),(6.52)で
i! =pとすると
Y L (p)=2Y F (!)= Z 1 0 dte 0pt y (t)L[y(t)] (6:53) y (t)= 1 2i Z +i1 0i1 dpe pt Y L (p)L 01 [Y L (p)] (6:54)である。
p=i!という変換は複素
!平面上の図形を
90度正の向きに回転させたものであ
るから複素
p平面上での収束領域
(Y L (p)の正則領域
)は図
6.3のように虚軸にそった直線
p= 0より右側の領域となる。積分路はこの直線
p= 0である。
(6.53)を
y (t)のラプラ
ス変換、
(6.54)をラプラスの逆変換という。複素
p平面上で
R e p= 0より右側は
Y L (p)の正則領域であるから、逆に
Y L (p)を計算したあとで、その極を含む領域がすべて左側に
くる様に
0或いは
を決める。そのような
(> 0 )を選んで、ラプラス逆変換
(6.54)を
行えばよい。
//////////////////////////////////////////////////////////////////// ////////////////////////////////// //
図
6.3/////////////////////////// ////////////////////////////////// ////////////////////////////////// ////////////////////////////////// //////////////////////////////////例題によって、ラプラス変換の具体例をみよう。
例題
6.6 df dxをラプラス変換せよ。
解
. F L (p)=L[f(x)]= Z 1 0 dxe 0px f(x) (6.55)として、部分積分すると
Z 1 0 dxe 0px f 0 (x)=e 0px f(x) 1 0 +p Z 1 0 dxe 0px f(x)=0f(0)+pF L (p)となる。ただしここで境界条件
f(1)=0を用いた。したがって
L[f 0 (x)]=0f(0)+pF L (p) (6.56)を得る。■
例題
6.6の結果を少し一般的に書くと
L[f (n) (x)]=p n F L (p)0 n01 X r =0 p n0r 01 f (r ) (0) (6.57)である。
例題
6.7たたみ込み（合成積）
Z x 0 df()g(x0) (6.58)をラプラス変換せよ。
解
. L[f(x)]=F L (p); L[g(x)]=G L (p) (6:59)とする。
L[ Z x 0 df()g(x0)] = Z 1 0 dxe 0px Z x 0 df()g(x0)= Z 1 0 dx Z x 0 de 0p f()e 0p(x0 ) g(x0) = Z 1 0 d Z 1 dxe 0p f()e 0p(x0 )g(x0)= Z 1 0 de 0p f() Z 1 0 dye 0py g(y) =F L (p)G L (p): (6.60)このようにたたみ込みが積
F(k)G(k)に変換されるため、積分方程式を解く際にラプラス
変換は有用である。■
例題
6.8微分方程式
( d 2 u dx 2 +u=f(x) ; x0 u(0) =u 0 (0) =0 (6.61)をラプラス変換により解け。
解
.u(x)および
f(x)のラプラス変換を
u L (p)= Z 1 0 dxe 0px u(x)=L[u(x)]; (6:62) f L (p)= Z 1 0 dxe 0px f(x)=L[f(x)] (6:63)と書く。
d 2 u dx 2のラプラス変換
L[u 00 (x)]を計算しよう。これは結果についてはすでに
(6.57)で見た。
L[u 00 (x)] = Z 1 0 e 0px u 00 (x)dx = [e 0px u 0 (x)] 1 x=0 0 Z 1 0 (0pe 0px )u 0 (x)dx = [e 0px u 0 (x)] 1 0 +[pe 0px u(x)] 1 0 0p Z 1 0 (0pe 0px )u(x)dx = p 2 u L (p)0pu(0)0u 0 (0) (6.64)ここでは部分積分、および
e 0px u 0 (x), e 0px u(x)!0(x!1)を用いた。
初期条件
u(0) =u 0 (0) =0より、
(6.61)第
1式は
(p 2 +1)u L (p)=f L (p)すなわち
u L (p)= f L (p) p 2 +1 (6:65)となる。
ラプラス変換のたたみ込み
(6.60)を考えると、
(6.65)のラプラス逆変換の結果は
u(x)= Z x 0 f()fL 01 [ 1 p 2 +1 ]g x0 d (6:66)であることが分かる。添字
x0はラプラス逆変換した関数の変数を示している。ここで
1=(p 2 +1)のラプラス逆変換を求める必要がある。
L 01 [ 1 p 2 +1 ]= 1 2i Z +i1 0i1 dpe px 1 p 2 +1 : (6:67)1=(p 2 +1)
は
1位の極を
p=6iにもっている。この被積分関数で、
が任意の正の数であ
れば、直線
R ep=より右側は正則な領域である。
pの積分路は図
6.4のように左側で閉
じても、その値は変わらないはずである。したがって
は任意の正の数としてよい。積分
路は正の方向にまわっているから
L 01 [ 1 p 2 +1 ] = 1 2i Z +i1 0i1 dp( 1 p+i 0 1 p0i )e px (0 1 2i ) = 0 1 2i [e 0ix 0e +ix ]=sinx (6.68)となる。これを
(6.66)に代入して、最終的に
u(x)= Z x 0 df()sin(x0) (6:69)を得る。■
////////////////////////////////// ////////////////////////////////// ////////////////////////////////// ////////////////////////////////// //図
6.4/////////////////////////// ////////////////////////////////// ////////////////////////////////// ////////////////////////////////// //////////////////////////////////ラプラス変換のいくつかを表にまとめておこう。
表
6.2ラプラス変換の表
f(x)= 1 2i R +i1 0i1 dpe px F L (p) F L (p) = R 1 0 dxe 0px f(x) (x0a) = ( 1 :x>a>0 0 :x<a e 0pa p 0 x >01 0(1+) p +1 0 e ax 1 p0a a sinax a p 2 +a 2 0 cosax p p 2 +a 2 0 sinha a p 2 0a 2 jaj cosha p p 2 0a 2 jaj 6.3離散フーリエ変換と高速フーリエ変換
フーリエ変換は連続変数による積分変換であるが、実際に数値的に取り扱う際には、離
散的変数値を用いた有限項の和に置きかえる必要がある。
関数
f(x)は区分的に滑らか
(孤立した点以外では滑らか
)で連続であり、周期
2aの周期
関数とする。
[0;2a]を基本の区間としよう。この様な周期関数の複素フーリエ級数展開は
f(x) = 1 X n=01 c n e i n x a c n = 1 2a Z a 0a f(x)e 0i n x a dx (6.70)と表される。区間
[0;2a]を
N等分
0 = x 0 <x 1 <x 2 <...<x N01 <x N =2a; x k = 2ak N ;k =0;1;...;N 01 (6.71)して、この分点上の和によって、
(6.70)の第
2式の積分を置き換える。
c n = 1 N N01 X k =0 f( 2ak N )e 0i 2nk N (6:72)あるいは、
! = exp 2 i N ; f k = f(x k );k=0;1;2...;N01 c n = 1 N N01 X k =0 f k (! ) nk ;n =0;1;2;...;N01 (6.73)と書ける。
ff 0 ;f 1 ;...f N01 gから
fc 0 ;c 1 ;...;c N01 gへの変換を 離散フーリエ変換 という。
この逆変換
(離散フーリエ逆変換
)は、
(6.70)第
1式より
f k = N01 X n=0 c n ! nk (k =0;1;2;...;N 01) (6:74)となる。
(6.73)の定義により
N01 X n=0 c n ! nk = 1 N N01 X k 0 =0 f k 0 N01 X n=0 ! n(k 0k 0 ) = 1 N N01 X k 0 =0 (k 0 6=k ) f k 0 10! N(k0k 0 ) 10! (k 0k 0 ) +f kとなるが、
!は
1の
N乗根
(! N = 1)であるから右辺第
1項は
0となる。これにより
(6.74)を直接たしかめることができた。
離散フーリエ
(逆
)変換は
(6.73)を直接この式に従って計算すると
nと
kはともに
0か
ら
N01まで動くから、
N 2回に比例する乗・加算が必要である
(正しくは乗算
N 2回、加
算
N(N02)回
)。このため
Nの増加にともなう計算の手間の増加は急激で、
Nが
300程
度になると実用上無視できない問題となる。効率よく計算を行うという点から、高速フー
リエ変換
(FFT=FastFourierTransform)という有効な計算アルゴリズムがある。
FFT
