[ 問題 1]( 力学 ) 図 1のように杭の頭の位置 A の上方 h のところから, おもりを初速度 0 で自由落下させて, 杭を地中に打ち込む おもりが杭に衝突したあとは, おもりと杭は一体となって鉛直下方向 ( 重力方向 ) に一緒に動き, おもりが地面に届く前に杭は止まった 自由落下のときに

専門科目（午後）

２６ 大修

創造エネルギー

時間

１３：３０～１５：３０

［問題１］

（力学）

［問題２］

（原子物理学）

［問題３］

（物理化学）

［問題４］

（流体力学）

［問題５］

（熱力学・伝熱工学） ［問題６］

（電磁気学）

［問題７］

（電気電子回路）

注意事項

１．

［問題１］～［問題７］から３題を選択し，解答せよ。

２．解答は１題ごとに別々の解答用紙に記入せよ（解答用紙３枚を回収する）

。

３．各解答用紙に必ず問題番号および受験番号を記入せよ。

４．定規，コンパス，電卓は使用してはいけない。

[問題１]（力学）

図１のように杭の頭の位置 A の上方 h のところから，おもりを初速度 0 で自由落下させて，杭を 地中に打ち込む。おもりが杭に衝突したあとは，おもりと杭は一体となって鉛直下方向(重力方向) に一緒に動き，おもりが地面に届く前に杭は止まった。自由落下のときにおもりが受ける空気抵抗 は無視でき，杭の質量を M，おもりの質量を m，重力加速度を g，おもりが杭に衝突してからの時 間を t，杭の頭が動いた距離を x，最初の杭の頭の位置を x = 0，鉛直下方向を正として，以下の設 問に答えよ。 （１）おもりが杭に衝突する直前の速さ（v 0）を求めよ。 （２）おもりが杭に衝突した直後の，おもりと一体となった杭の速さ（v 1）を求めよ。 （３）杭は地中に打ち込まれる間，常に地中から一定の抵抗力 F を受ける。おもりが杭に衝突した あとの運動方程式を，m，M，F，g，x，t を用いて示せ。 （４）（３）で示した運動方程式を解き，衝突後の杭の速さを，時間 t の関数として求めよ。 （５）（４）で求めた杭の速さと時間の関係から，衝突後に杭の頭が動いた距離 x を時間 t の関数と して求めよ。 （６）おもりが杭に衝突してから杭が止まるまでの時間を求めよ。 （７）杭が打ち込まれる深さを求めよ。ここで打ち込まれる深さとは，おもりが衝突してから杭が 止まるまでに杭が動いた距離を指す。 （８）おもりが衝突したあと杭が止まるまでに行われた仕事を求めよ。 （９）おもりが自由落下を始めてから杭が止まるまでの運動エネルギーの時間変化を図示せよ。図 の横軸はおもりが自由落下を始めてからの時間，縦軸はこの系の運動エネルギーとせよ。

m

M

h

おもり

杭

地面

地中

x

A

図１

3

［問題２］

（原子物理学）

ボーア模型に基づいて，電子の２種類の円運動を扱い，考察する。なお，電子の電荷を – e，質 量を_{m, 真空の誘電率と透磁率をそれぞれ ε0，µ0}，光速度をc とする。 問１ ボーアの水素原子模型によれば，水素原子は + e の電荷を持つ水素原子核と，それを中心と して半径a, 角速度 ω でニュートン力学的に円運動する 1 個の電子からなる。 以下の設問に答えよ。 (1) 電子に対して，遠心力とクーロン力の釣り合いの式を示せ。原子核の質量は電子に比べて十分 に大きいものと仮定して良い。 (2) この電子にボーアの量子条件を適用する。すなわち，角運動量がħ ≡ h/(2π)のn倍 (n = 1, 2, 3, …) であるような軌道のみが電子軌道として許される。ただしhはプランク定数である。この量子条件 を式で表せ。 (3) 電子の軌道半径 a 及び角速度 ω は，n (以下量子数という) に依存してそれぞれ離散的な値 an， ωnとなる。n, h (または ħ), ε0, m, e を用いて anおよび ωnを表せ。 (4) 電子の量子数が n の時，運動エネルギーKnとポテンシャルエネルギーUnをn, h (または ħ), e, m, ε0 を用いて表せ。なお，ポテンシャルエネルギーの基準として，電子が無限遠点に存在する時に Un = 0 とせよ。 (5) 電子の全エネルギーEnは，KnとUnの和で表される。Enをn, h (または ħ), e, m, ε0を用いて表せ。 (6) 電子が量子数iの状態からj (i > jとする)の状態に遷移した際に，(Ei – Ej) のエネルギーを持つ光 子が_{1個放出される。そのときの光子の波長λをi, j, h (またはħ), e, m, c, ε0}を用いて表せ。 問２ 次に，一様磁場空間での電子の円運動について考察してみる。z 軸方向に一様な磁束密度 B の印加された_{x-y 平面内で，半径 a, 角速度 ω で円運動する 1 個の電子につき，問１と同様に扱う。} 以下の設問に答えよ。 (1) この電子に対して，遠心力とローレンツ力の釣り合いの式を示せ。 (2) 電子の角速度 ω を m, e, B で表せ。（なお，この角速度は，サイクロトロン角周波数 ωcと呼ばれ る。） (3) このような電子の運動に対して，ボーアの量子条件を適用する。すなわち，角運動量が ħ の n 倍 (n = 0, 1, 2, 3, …)であるような軌道のみが電子軌道として許されるとする。ただし，本問の運動 の場合，磁場の影響のため，解析力学の教えによると，量子条件を適用する際の角運動量は a2[mω – (eB/2)] で与えられる。この量子条件を式で表せ。 (4) 電子の軌道半径は n に依存して離散的な値 anとなる。n, h (または ħ), Β, e を用いて anを表せ。 また，問１とは異なり，ニュートン力学を適用する場合，n = 0 を除外できない事を説明せよ。 (5) 電子の量子数が n の時，運動エネルギーKnをn, h (または ħ), ωcを用いて表せ。また，電子のポ テンシャルエネルギーUnが場所によらずゼロになる事を説明し，電子の全エネルギーEnをn, h (ま たはħ), ωcを用いて表せ。 (6) 電子が量子数 i の状態から j (i > j とする)の状態に遷移した際に，(Ei – Ej) のエネルギーを持つ 光子が1 個放出される。そのときの光子の波長 λ を i, j, c, ωcを用いて表せ。 (7) 問２(6)で求めた準位間のエネルギー差は，シュレディンガー方程式を用いた詳細な計算結果と 一致する事が知られている。一方，問２(5)で求めたエネルギー準位は，シュレディンガー方程式に よるエネルギー準位（これをランダウ準位という）とは一致しない。ボーアの原子模型の問題点を 指摘せよ。

€

P

1 mol

€

V

€

T

€

R

€

PV = RT

van der Waals

€

P =

RT

V − b

−

a

V

2 € a

€

b

€

(P +

a

V

2

)(V − b) = RT

van der Waals P V

€

P − V

€

dP

dV

=

€

= 0

€

d

2

P

dV

2

=

€

= 0

€ P_c 1 mol € V_c € T_c € Pc = € Vc = € Tc = € P_c € V_c € T_c € a

€

b

€

R

€ a =

€

b =

€

R =

€ P_r = P /Pc € V_r = V /Vc € T_r = T /Tc € P_r € V_r € T_r

€

=

8

3

T

r

€

P

€

V

€

V

€

T

€

R

€ a

€

b

€

R

€ a

€

b

€ P_c € V_c € T_c € P_r € V_r 0.1 1 90

［問題４］

（流体力学）

次の文章中の（ ）内に適切な言葉または式を入れて文章を完成させ，設問に答えよ。 図は流速 U₁，密度_l，温度 T₁の一様流中に置かれた直径 d_１の円柱の周りの流れを示している。 斜線で示すように，流体中の円柱表面には（ ア ）と呼ばれる大きな速度勾配を持つ層が形成され， 円柱背後には流線の乱れた後流と呼ばれる領域が形成される。流速が次第に高くなると，円柱の後 流には双子渦や非対称で周期的な（ イ ）渦が形成されるなど，流速に応じて流れは特徴的な構造 を持つようになる。 流体の圧力を P,粘性係数をμとすると，非圧縮性流体に対する運動方程式は以下のように書け る。 ) 1 ( gradP U Dt DU       (1)は( ウ )の式と呼ばれ基本的な流体運動を記述するが，解析的に厳密解を得ることは困難で ある。しかしながら，流れを特徴づける物理量を規格化して整理すると，上記の基礎方程式は（ エ ） と呼ばれる無次元数 Re＝( オ )のみをパラメータとする形に変換でき，流れの性質を統一的に議論 できる。 同様に，圧縮性を考慮した運動方程式を規格化すると（ カ ）と呼ばれる無次元パラメータ M＝ （ キ ）が導かれ，圧縮性の影響の目安を与える。なお，流体中の音速 a は温度の関数であり，R を気体定数，γを比熱比とすると，理想気体の場合には a＝（ ク ）と書ける。流速がさらに高く なり，a を超えるようになると流れの性質は不連続に変化し，円柱の前方には（ ケ ）と呼ばれる 強い圧力波が形成される。 二つの幾何学的に相似な流れがあったとき，たとえ物体の大きさ，流速，密度，温度などが異なっ ていても，Re や M の値さえ同じであれば，全く同形の流れの場を表わす。このことを二つの流れ は（ コ ）に相似であるといい，風洞や水槽を用いた模型実験を裏付けている。 (1) 上記の運動方程式の左辺について説明し，厳密解を得ることが困難な理由を述べよ。 (2) 代表的な長さ，流速，時間，および圧力で(1)式を無次元化することによって，規格化され た非圧縮性流体の運動方程式と Reの表式を導け。 (3) 粘性と圧縮性の影響について，Reと M をパラメータとして分類し，流体の振舞いを 説明せよ。 (4) 流速を次第に高くしていったときの円柱周りの流れの様子をイラストで示せ。なお，その 際には上記で定義したパラメータ Re と M を用いて流れのパターンを分類せよ。 (5) 直径 d₂（4d₂＝d_１）の円柱を用いて，粘性と圧縮性を考慮した模型実験を行うための風洞 の流速 U₂，密度₂，温度 T₂の条件を求めよ。ただし，上流の圧力は一定(P₁＝P₂)， 粘性係数は，



 _T と仮定してよい。

［問題５］

（熱力学・伝熱工学）

問１ 図１に示す冷凍サイクルを考える。状態①の作動気体はコンプレッサーで圧縮されて状態② となった後，温度T の外気（_A T_AT₂）により冷却されて状態③となり，さらに再生熱交換器で冷 却されて状態④となる。この再生熱交換器では，高圧の作動気体（過程③→④）と低圧の作動気体 （後述の過程⑥→①）の間で熱交換が行われる。状態④の作動気体はタービンで膨張して状態⑤と なり，温度T の低温室内（_C T_CT₅）で周囲から吸熱して状態⑥となる。その後，再生熱交換器で 加熱されてコンプレッサー入口に戻る。ここで作動気体単位質量あたりについて，外気への放熱量 をQ_out，低温室からの吸熱量をQ とし，モーターの仕事を_in W ，コンプレッサーの仕事を_M W ，タ_C ービンの仕事をW とする（単位はいずれも J/kg）_T 。ただし，状態①～⑥の温度と圧力を，T ～₁ T [K]，₆ 1 P ～P [Pa] とする。 ₆ このサイクルについて次のことを仮定する。 (Ⅰ) 作動気体は理想気体とし，定圧比熱Cp [J/(kg K)] および比熱比は一定値とする。 (Ⅱ) コンプレッサーでの圧縮過程，およびタービンでの膨張過程は等エントロピー変化とする。 (Ⅲ) 熱交換過程は等圧変化とし，P₂ P₃P₄，P₅P₆P₁ とする。 (Ⅳ) 外気および低温室での熱交換は十分に行われるとし，T₃T_A，T₆T_C とする。 (Ⅴ) 再生熱交換器において，外部との熱の授受はないものとする。 図１ 以上の仮定を用い，圧力比P P ，外気温度₂/ ₁ T ，低温室温度_A T ，および再生熱交換器の温度効率_C  が与えられるとして，以下の設問に答えよ。ただし，温度効率 は次式で定義される。 3 4 3 6 T T T T    …(1) （1） 温度比T T を 圧力比₂/ ₁ P P と比熱比₂/ ₁ を用いて表せ。 （2） 上の設問(1)で得られた温度比を r（T T₂/ ₁）と定義し，コンプレッサーの仕事W を_C T と r を用₁ いて表せ。またタービンの仕事W を_T T と r を用いて表せ。 ₄ （3） 温度T および₁ T を ₄ T ,_A T , _C を用いて表せ。 （4） 低温室からの吸熱量Q を _in T ,_A T , _C , rを用いて表せ。 （5） 次式で定義される成績係数 を T ,_A T , _C , rを用いて表せ。 in M Q W   …(2) （6） このサイクルの T-S 線図を描け。ここで S は比エントロピーである。 （［問題５］は次ページへ続く） タービン コンプレッサー モーター 外気T_A 低温室 T_C out Q in Q ① ② ④ ⑤ ③ 再生熱交換器 ⑥ M W WC WT

(7) 1の場合について，圧力比P P がどのような値の時に成績係数₂/ ₁ が最大となるかを述べよ。ま た，その理由について考察せよ。ただし，Q_in0であることに留意せよ。 問２ 次の用語について簡潔に説明せよ。 （1） 温度伝導率（熱拡散率とも呼ばれる） （2） プラントル数 (3) ヌセルト数 （4） 混合平均温度 （5） 対数平均温度差

[問題６]（電磁気学）

次のアンペールの法則に関する文章を読んで問いに答えよ。なお，文章中の物理量を表す記号は， MKSA 有理単位系で表記されているものとする。 誘電率，透磁率，電気伝導率（これらは実数とする）がそれぞれ _{ε,µ,σ の均質な媒質中を，電} 流密度および体積電荷密度の大きさがそれぞれ _{J, ρ の定常電流が流れている。媒質中に任意の閉} 曲線C を描き，閉曲線 C で囲まれた任意の曲面の面積を S（面積要素を dS とする），閉曲線 C 上 の線要素ベクトルをdl（大きさを dl とする）として，曲面上の任意の点 P の単位長さの [（ア） 法線，接線，位置 _{] ベクトルと点 P を貫く電流密度ベクトル J のなす角をθ（ 0≦θ ≦π / 2 ）とす} る。点 P の [（ア）法線，接線，位置 ] ベクトルの向きに通過する単位面積当たりの正味の電流 は，二つのベクトルの [（イ）スカラー積，ベクトル積，ベクトル和 ] から [（ウ）式 ] となる。 曲面を通過する全電流は，その曲面について積分して，[（エ）式 ] と書ける。ただし，IP ≡ [（ウ） 式 ] とした。閉曲線 C の [（オ）内部，線上，外部 ] の磁束密度ベクトル B（大きさを B とする） には，アンペールの法則 _{[（カ）式 ] = µ [（エ）式 ] の関係式が成立する。また，この関係式は，} [（キ）ストークス，発散，留数 ] の定理より， [（ク）式 ] = µ [（ケ）式 ] …（１）

と式変形できる。さらに，[（コ）rot B = 0，div B = 0，grad B = 0 ] より，B = [（サ）演算子 ] A と おくことができる。A をベクトル・ポテンシャルと呼び，これを用いて，(A) アンペールの法則か らビオ・サバールの法則を導くことができる。 電荷保存則は定常電流では，div J = 0 となる。いま，電流が時間 t について変化すれば，div J = [（シ）式 ] となる。電束密度ベクトルを D とすると，[（ス）演算子 ] D = [（セ）式 ] より，電 荷保存則は， div ( [（ソ）式 ] ) = 0 …（２） となる。式（２）より，非定常電流に対するアンペールの法則は， [（ク）式 ] = µ ( [（ケ）式 ] + [（タ）式 ] ) …（３） と書くことができる。_(B) 式（３）の右辺括弧内第二項目を [（チ）語句 ] とよび，電流密度 J の 時間変化が緩やかな場合はこの項を無視できる。 問１ 文章中の[ ]内に適切な語句，式，演算子等を記入して文章を完成せよ。ただし，（ア）・（イ）・ （オ）・（キ）・（コ）については，[ ]内から適切なものを１つ選べ。 問２ 下線部 (A) を証明せよ。なお，任意の位置 r のベクトル・ポテンシャル A(r) は，以下の 式で表すことができ，位置r, r’ はそれぞれ x, y, z 軸による直交座標系の座標 ( x, y, z ), ( x’, y’, z’ ) で表されるものとする。

A r

( )

=

µ

4π

J r'

( )

r − r'

V

∫

dV ,

ただし， € dV = d x'd y'dz' とする。 （[問題６]は次ページへ続く）

問３ いま，媒質中を流れる電流密度 _{J の角周波数をω とする。下線部 (B) が成立するために必} 要な角周波数の条件を示せ。

問４ 電極の面積がS’の平行平板コンデンサーがある。時刻 t = 0 で電流 I を流して充電を開始し た。充電中のコンデンサーの電荷をQ とするとき，電流 I が，極板間でも下線部 (B) の [ （チ） 語句 ] として，連続的につながることを示せ。

(a) (b) 図１

［問題７］

（電気電子回路）

問１ 以下の設問に答えよ。 (1) 次の文章の（ア）～（キ）に適当な用語を，また（Ａ）に数式を入れ，文章を完成せよ。 図１(a)のような多数の電源を含む直流線形回路において，任意の端子 1-2 に負荷抵抗 を接続す る。このとき， に流れる電流 は，端子 1-2 から回路を見込んだときの（ア） と負荷を開放 したときの端子 1-2 間の（イ） を用いて，次式で表される。 （Ａ） （１） これを（ウ）の定理とよぶ。すなわち，図１(a)の端子 1-2 から回路網を見込んだときの等価回路は 図 1(b)（注意：設問(2)の答で未完成）のように表される。このため（ウ）の定理は等価電源の定理 ともよばれる。 （ウ）の定理は，重ね合わせの理を用 いて次のように証明される。出力電圧が 等しい電圧源を背中合わせに接続（逆極 性で接続）したものは出力電圧が零の電 圧源であるから（エ）と等価である。し たがって，（イ） と等しい出力を持つ 電圧源ⅠおよびⅡを背中合わせにして 出力回路に入れた図２(a)の回路は，図１(a)の回路と（オ）である。電圧源Ⅰだけを除去した図２(b) の回路では，端子 1-2 間の電圧が零であるから，（カ）には電流が流れない。 次に，電圧源Ⅰ以外の全ての電源を除去した図２(c)の回路（注意：設問(2)の答）では，出力電圧 が零の電圧源は（エ）と等価で，出力電流が零の電流源は（キ）と等価であり，端子 1-2 から見た 回路の（ア）が であるから，負荷抵抗 に流れる電流は （Ａ）と表される。図２(a)は図２ (b)と(c)の重ね合わせであるから，全ての電源が接続されている状態，すなわち図２(a)で負荷抵抗 に流れる電流 は，図２(b)と(c)で に流れるそれぞれの電流を加え合わせたもので，式（１）に よって表される。以上で，（ウ）の定理が証明された。 (2) (1)の文章中に記載されている図１(b)の回路を完成させ，さらに図２(a)，(b)を参考に図２(c)を 描け。 (3) 図３の回路について，以下に答えよ。 (a) 端子 3-4 から左側の回路網を見込んだときの等 価回路を電圧源 ，抵抗 ， ， を用いて 描け。なお， は負荷を開放したときの端子間 電圧である。 (b) 10 V， 2 Ω， 3 Ω， 0.8 Ω， 4 Aのときの を求めよ。また，負荷 での消費電力を最大にする抵抗値 および このときの負荷の消費電力 を求めよ。 （［問題７］は次ページへ続く） (a) (b) (c) 図２ 図３

図４ 問２ 図４の回路において電圧源 ，電流源 ，抵抗 ， ， お よび が与えられているとして，以下の設問に答えよ。 (1) 抵抗 および に流れる電流 および を求めよ。 (2) 抵抗 および で消費される電力 および を求めよ。 (3) 電圧源 および電流源 が供給する電力 および を求め よ。