汎関数型有限変形非線形粘弾性体構成則(梗概)

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[ut

!]

UDC:624.D42.7:516.3

Journalof Structuraland CoDstiuctionEngiDeefing

(Transactions of AIJ)No.4e6,December,1989 ag4O6eE"ees\kgrsMXscvakza･1989ff･12fi

FUNCTIONAL

FINITE

NONLINEAR

VISCOELASTIC

CONSTITUTIVE

LAW

by

MASANORI

IZUMI*,

SATOSHI

KURITA**,

TORU

TAKAHASHI***

Members

of

A.

I.

J.

and

SONG-TAO

XUE"*"

'

1.

Introduction

ThepToceduTeste analyse soil-structure interactionforalinearsystem are well developed and havebeen applied to

practice,Some successful methods havebeen_presentedbyWolf tosolve thesoil-structure interaction_problems

while soil isconsidered as infinitesimailinearelastic material inreference 1). Apselhasconsidered soil as

infinitesimallinearviscoelastic material and has_givenout theGreen'sfunctionand some examples inreference 2).

However,sometimes ithasbeenshewed thatthenonlinear effectscan not beavoided during_gfeatearthquakes or for

tallbuildings,where many sources fornonlinearity exist, forinstancenonlinearity of the structure, soil or the

contact surface of soil and structure, Thestudy of nonlinearity of soil hasbecomean importafitsubject, becausethe response of soil duringvibration shews not enly the _geometrical butalso material nonlinearity.

Many-soil models havebeen _presentedtostudy the nonlinearity of soil inrecent _yearsbasedon various

characteristics of soil, for example likeKinematic

Cap

Model,Hardin-DrnevichModel,Ramberg-OsgoodModel

and Ohsaki-HaraModel,and also _greatsuccesses havebeenachieved

[references

3),4),5),6),7)].

In

_thispaper,

we will avoid diving ourselves todetail nature of soilL For reasons thatduring_great earthquake the displacement of soilisdifficulttobelimitedin"infinitesimal"

and theconstitution of soil can beexpected to benonlinear, we will

'

consider the soil as finitenonlinear viscoelastic continuous media,

Study on vificoeiastic material can

be

divided

intotwo parts,one ison thematerials with,fading memory and

the other is materials with .smooth memory. Commonly study on fading memory material often uses integral_type constitutive equati'on

(in

other words functionalmaterials) while study on smooth memory material uses rate type

(in

other words strain-rate-dependent materials) inreference 8). Ithasbeen_pointed out byEringenthat the con-stitutive equations forfadingmemory and forsmooth memery are thesame while using theinfinitesimallinear theoryinreference 8).

In recent years, viscoelastic material with fading memory hasfounditsapplications ina wicle range of _practical cases

[references

9),10),11),12),13)].Inthis_paper,we _presenta research on soil

by

viscoelastic material with

fading memory. Making assumption of Helmholtz free energy as functionalintegr.altype, finitenonlinear theoryis

developedforfunctionalviscoelastic material byusing the SecondLaw ofThermodynamics.Investigationtellsus

that constitutive Iawsstudied inreferences _{9),10),11),15)}areallspecial typesofthe

law

presentedinthis_paper.

Applicationof this law intosimple shear defo[mationwill beshown, We also _presenttheequations forone

dimensional simple extension which could beused inexperiment todeterminethe elastic constants and memory

functions.Finally,we _present the displacementfieldequation inone

dimension

which could be used to one

dimensionalwave _propagation.

2.Development

Basicprinciplesof ContinuumMechanics,namely, thefourlocalbalancelaws

_{(Conservatien}

ofMass, Balance

of Momenta, and Conservationof Energy)and the Second Law of Thermodynamics inthe material ceordinate

discussed

_in

reference 8), 14),15) have the followingformula

'-_{Professor,Tohoku Unlv.,Dr.Eng.}

# _{Assoc. Prof. Tohoku Univ.,Dr, Eng,}

i-i _{GraduateStudent Tohoku Univ}

t t

(Manuseriptreceived July10,l988;PaperAceeptedOctober7, 1989)

ft==p(M,)i/'rsv-･-･･･････-･･-･･-･'･''･････''h'''''''-'''-"'''-'''H''''H''H'''H''H''H''''''''''''''''''''''''''''''''{2.1)

(Tlttxti):x+A(.fL-bk)=O-･･････-････-･･--･･-･････････-････-･･･-････--････････-･･･････-････････････-･･･-････-･--･･-･････(2.2)

TKL=TLx''''--''-'''"''"''-'''H''''''"''''H''''''''''''''''''''''''''''''''"''''''''''''''''''''''''''''H''''''--''--''''''(2.3)

thE='Txtvi;x+QK/K-IlfthH''H''"'''""''"'''''''-''-"''"'''''''"'-''"'''''''-''"''-''""'"'--'"i''H''-''''''(2.4)

-7(6b+bo)+'li Txtvi/K+Px/K+-;T,

Qie,()O････-･･･-･･--･--･･･-･･･-･･-･････････････････････-･･-･･････t･･-････(2,

s)

Where all the symbols havethe same meaning inreferences 8>,14),15). We rewrite them in the following

e istemperature; _n isentrppy

density;

h issupply of eneTgy;

Q

isheat; e isinternalenergy; v isvelocity;

t. isstress tensor;

_f

is

body

force

density

peruhit mass;

xiisspatial ceordinate; Xt ismaterial coordinate;

, isa comma, indicesafter thecomma indicatepartialdifferentiationwith respect to XK when they are

majuscules, and with respeCt to xk when thby are minuscules; ;means _the covariant _partialderivativeof a covariant･･vector ;

. _means the differentiation_{with respect} to time t;

j

means the

Jacobian,

j--det(x.);

･･

A,p mean mass densityof material frame,and of spatial･frame, respectiyely; T means Piola-Kirchhoff_{pseudostresses,} Trt=jXx,ictnt;

M,

means the third_principalinvariantof the Greendeformationtensor,. _Mc=det(C,,);

CKLmeans GTeen'sdeformationtensor;

ip

means Helmholtzfreeenergy. ip=e-erp,infact,as _pointedinreference 8),e hasrelation with strain potential

Z

[C..(t-T'),

e(t-r'),

erc(t-r'),

X] as _Age=Z

Pf==(QKfe)-jXK,icsicwhere s isthe influxof entropy of the

body;

The inequality

(2.5)

iscalled Clausius-Duheminequality.The SecondLaw of Thermodynamicscan now be

stated as Axiom of Entropy:"The Clausius-Duheminequalityis_postulatedto be valid for all independent thermodynamic _process".

Sofareven with allequations and inequality_{givenpreviously}the_problem is_grosslyunderdetermined

because

no consideration hasbeen_given to the nature of substance consisting the body.Inthis _paper we consider the viscoelastic materials with fadingmemory. Ithasbeenshown inreference 8)thatthe_generalstress constitutive

'

equations forsimple materials withfadingmemory can bewritten as

tkt(X,t)=JL'x.xxu7:rcL[CMN{t-T'),e(t-r'),

es(t-T'),

X] 'OST'$oo ････-･･･-･･･-･･--･････-･･･-･･-(2.6) thisequations mean the stresses are functienalsof the historiesof Green'sdeformationtensor, temperature and

temperature _gradientswith respect to _XK. ' ' '

Inthe _{special case of non-heat-conducting materials, we} dropthedependepce _on the temperature _gradientsand if we make more assumption forsimplicity tliatthe materials considered here_possessno memory of tempertiture,we can easily write out all of theconstitutive equations'for stress tk:,internalenergy E, entropy density_rp,Helmholtz

freeenergy

to

as follows

[reference

8)] '

tht=J'-ixkKxi,LT"[C'(T'),C,e]-･-･･･-･-･-････････-･,･･･-････-･･･････････-･･･-････-･･････････････-･･-････････････････:･1(2.7)

E=e[C'(VX C,e]･･･-･･････････････-･･--････････････-･:･･･-････-･･･-･････-････････-･･･-･-･････-････････:････L･･･-･--･--･･-･･･(2.8) n=n[Ct(T'), C, e]･･--･･-･･-････--･･--･･･-････-･･･:･-･･--･･･-･･･-･-･･--････････-･･･-･-･･･-･･･-･･･-････････-･-･･-･･･---･･････(2.9)

e=E-en=o[c'(r'),

c, e]-･---･･----･--･-･-･-･--･---･-･･-･-･･-･---･---･-･(z. lo)

' herewe hadintroducedthe differencehistories

C'(T')=C(t-T')-C(t) OST'S'ab･････････-････-････････････････････････････-･ny･-･･････････････i････････････････-･･(2.11)

Linear constitutiye equation forlinear viscoelqstic mat'e'rial can be

'shown

in a form of integral of Green's deformationwhile theHelmholtz fiee energy in such case hastfieform of doubleintegral

[references

8),9),10),

14),15)],becauseinalineartheory the fadingmemory isconsidered as small

(the

infinitesimalstrain isused). And

heTesince we are concerned with thefinitenontinear theoryof material with fadingrnbrTlerY, we consider herethe

Helmholtz freeenergy as an expansion to multiple integralinthe following

-46-NII-Electronic Library Service

the=Z(C, e}+Jf"" ErL(s)CiL(s)ds+J('M _.jl'an F,,..(s,,sDCi,(s,)C:.(s,}ds,ds,

+J('"'

_J['"'

_.L'"e F,,..,,(s,,s,,s,)Ck(s,)CL.(s,>C$,(s,)ds,ds,ds,+･････････ ･････････-･･････-･･･････････(2. l2)

where thememory functions

thL(s},

EtL"N(si,

s2), FILMNpQ{st, s!, ss), --･-･-,satisfysymmetry conditions and limit

conditions

[See

equations

(2.27),

{2.28)],

The SecondLaw of Thermodynamics can bewritten inthe form of Clausius-Duhem inequalitywhich hasbeen

previouslyexpressed in

(2,5)

and ihthis theory itcan besimplified as follows:

'

--7(di+bn>+tb71,,e,,lo･･･････-･･･-････-･･･-･･･-････-･････････････-･･･････････････････-･････--･････-･･････t-･･-･･-･(2.13)

We･firstdifferentiate

di

with time _t,

fodi=aaZe

b+[

_oec\,-Xop Fl,,(s}ds-2Xoo

XeS

_K,..(s,,s,)ck.(sDds,ds,

-3Xco

Jg"O

.(Mfl....,{s,,s,,s,)ck.(s,)cs,(s,)ds,ds,dsl-･･･i･･]b,,

-Xoc FKL(s) _{dds cxL(t-s)ds-2}

XM

Xe"

ErcLMN(s,,s2) _{dds, cKL(t-s,)Ci.(s!)ds,ds:}

-3.L'"'Xco)['coFlLHNpQ(si,st,si) _dds, CKL(t-s,)CLN(s2)CPQ(s3)dsids2ds3a･･･i･i･･･a･

"""""."""H".,"H""",".""",H"H"H..--""-H".""H"H"H----･---(2.14)

Substitutionof this intothe Clausius-Duhem inequality

_(2,13)

_gives

-!i}(:'e,Z,+n)'[li/

+ft

[

_7be.-2

aac\,+2Xca K,(s}ds+4ftu

Xas

F,,..{s,,s,)CL.(s,)ds,ds,

+6XcoXcofco KL..,,(s,,s,,s,)CL.(s,)c$,(s,)ds,ds,ds,+...]ddCtKL

+t

[X"

Fkt(s)iltr _{CxL(t-s)ds+2Xcofou EKLMN(si,}s!) -d-ds-i _{CxL(t-si)CkN(st)ds,ds!}

+3Xco

Xanfdi

_E,...,{s,,

s,,s,)

dds,C,,(t-s,)Ck.(s,)C;,(s,)ds,ds,ds,+-･････].>o･･-･････････-･･･････-(2.Is)

Thisislinearindeldt,Henceforarbitrary variation of deldt _theinequalitycannot bemaintained uniess the

coefficient of deldt vanishes. Alseitcan beshown that forany histoTyC.,(T),thereexist many sufficient near

histories such thatdC,.(t)ldtisarbitrary. Thisimpliesthat the_{coefficient of} dC..ldt _{must vanish,} Thus _we

get

1OZ ''

O`=-7iJ' ae HHHH-"H-""-'"'HHHH-H-"'-'''-'-'m""-'''"''''"-'-'-'--'m""m---･-(2.16)

T.=2 aOc\, -2fOD FIL(s)ds-4fep

Xco

_1itLMN(s,,st) _{CkN( sii)dsids2}'

-6Jl'"'X".L'coErLMNpQ(s],sr, s3)CkN(s2)CSQ(s3}ds,ds2dss-････t････ ･････････--･･････････････-･･-･･････(z.₁₇₎ and

i[Xoo

F,,{s)ddsc,,(t-s}ds+2JCcofoolz,,..(s,,s,)

dds,c.,(t-s,)cL.(s,)d&ds,

+3fco

XcaXoo

Fu"NpQ(si,sb s3)

dds,Cu<t-si}CkN(sz)CPQ(sDds,dstds3+･･････E･･])e･･････････････-(2. Is)

this inequalitymeans that

F,,(s)=O･････-････-･･･-････-･･･････････--･-････････-････-････-･･-･･･-･･ny･-･･･････-･･･--･-･-･･････････････････････-････････(2.I9)

e

[Xto

Xtu

¢KLMN{Si, S2)

eft,(s,)bb.{s,)ds,ds,+

'

-3XuafcoX" ¢...,(s,, s,, s,)ek.(s,)ek.(s,)bF,(s,)ds,ds,ds,+･･･････-･

]lo-･･･--･-･･･-････････････<2.

2o)

where we haddefined

¢Mt.MN(si, s2)=Jl]" FrcLNN(si,s3)ds3

--

47

¢KLNNpQ(Sl, Sz, S3)=uc _.C"FKLHNpe(Sl,S4,Ss)dS4dSs

----･ ･･-･･-･･--･--･･-･･-･･-･･-･･--･･--･-･･･-･･-････-･･-･･･--････-･･-･･････--･･･-･･-･･-･･-･･-･･-･･･---･･(2.21)

eiL(s)=

_dd.CKL(r)

.=,..････-･･--･･･-･･･-･･･--･･･-･･-･････-･･-･･･-･･･-･･--･-････････････-･･-･･-･･a-i･-･-･･････(2.22) upon introducing the netation:

''

ipKL-N(S2)=Jfat

ipKLMN(Sh

Sr)dSi'"''''-''-''"''''H''"'''''''''''H-'''''''"''-''''-'-H''-'''H''''''"''--･--･･-･･･(2. ₂₃₎

¢xtNNpq(s2, ss)=XeD

ipNLMNpQ(si,

st, ss)dsi

".."." .,.-.,".,."...,,-.,".,,...H...,-.,,,-.,,.,..."...-.･-･･-･-･････--･･･-(2.24)

Finallythe constiututive equation fprPioia-Kirchhoff_{psudostresses}isinthe following

T,,=2 aacll,+4X'co¢.,.,<s,)Ck.(s,>ds,-6.L'coXM di,,..,Q{s,,s,}ek.(s,)ep,(s,)ds,ds,+･･･････--.

."HHk",""-v.."H"H."H",-","-"""""""---･---･-･-･･---･---(Z.25)

Thereforeconstitutive'equation of

(2.7)

takes the formof

t,,==j'ixk,x,,[2 _aac\,+4XM o,,..(s,)eL.(s,)ds,-6XOefD' _cb.,..Q(s,,s,)ek,<s,)eF,(s,)ds,ds,+･-･-･･-･･]

....,.-,."..H..."..H..H...".,.",,,..."".･-･･-････････-･･-･･･-･･･-･･-･･-････-･･････-････(2.26) where thefadingmemory functionsdi,tMN,dircL..,q,･:-･･･,must satisfytheequations

(2.

23),

(2L

24>, inequality

(2.

2o)

and the followingsymmetry conditions and limitconditions

OKLHN(SZ,SZ)=OHNKL(S2, Sl)

eKLMN{Sl,St)=diLXNN{Sl, St)=OXLNM(Sli St)

-"H"H"". .."...",.-,.M...,..,H.,,,"...,･･･...H.-"",..,･･-･･･-･･.･･-･･-･･..,,,.,,,.,.",･",,.,.,..(2.27)

limdixLMN(s)=O

s-ca

limdiKLMNpQ(sl,sD=O SI-to

1imdi.LNNpQ(s,,st)=O

St-m

}imdirLHNpQ(Sl,SD=O SI-co '

?r"-""

.,".,".,".H..-..H...H,.",,.,.,",,".."..H..."..,-.,m,-",,",･,････-････--･･-･･--･･･-･･･-･･-･････<2.28) From constitutive equation

(2.

26),itiseasy tofindout thatthestressconsists of two _parts:one istheelastic

part,and theother isviscous part.

Investigationon constitutive equation

(2.

26)_givesus thefollowingresults. Equation

(2.

26)will havethesame

meaning withthe constitutive equation presentedin,reference11)byFilippovif equation

(Z.

26)istransferred into isotropicform.Itwill also becometheconstitutive equation inreferences 9),10)presentedbyChristensenifwe use the material lineartheoryon

(2.

26)

for

both

elasticpart and viscous part,Here,vve must _pointout th,at

Z=Z(

C, e) inequation

(2.

26)isthe elastic strain _potential,and ifwe dropout theviscous partof equation

(2.

26),then

(2.

₂₆₎

becomesthe nonlinear constitutive equation forelastic material which hasbeenvery well developedinreference ls

).

To make differencewith other constitutive models, we define

(2.

26)as FiniteNenlinearViscoelasticConstitutive

Law and such kindsof material will becalled FiniteNonlinearViscoelasticMaterials.

,

'

3.Simplification

Beforesimplifying this theery, itisnecessary to investigatethe linearyiscoelasticity, One study of'linear

viscoelasticity iscalled finitelinearviscoelasticity becauseitisvalid forlargestrain, While i'ntroducingthe infinitesimalstrain, the finitelinearviscoelastic theory becomestheIinearviscoelastic theory, Somethingimportant forinfinitesimallinearviscoelasticity isthat the strain-rate-dependent constitutive equation and the functional

constitutive equation are the same.

Here we express theinhomogeneous constitutive equation

(2.

26)intoisotropic eonstitutive equation which will be used to solve some _problems.For simplicity, we will consider the constitutive equation

(2,

26) only totwo fold integralapproximation

-48-NII-Electronic Library Service

'

t.=j'ix.,x,,,

[2

_aOcll,+4

.L-tu

o.,..(s,)bkMs,)ds,-6

X'co

_{.ll'e" di,,..,,(s.}s,)

ek.(s,)e$,(s,)ds,ds,]

.,.,.,,,..,".,.-,.",,-,,-,,-.,,.-,,",,",,･･････-･･--･･･-･･･-･･･--･--･--･･-･･-･･-･･--･-･･･--･･-･･-･(3.1) From the strain theory of continuum mechanics we can replace the Green'sDeformationTensors_C,,

by

LagrangianStrainTensorsE,L

by

using the followingrelations

2EKt=CKL-61rL'H''-''-'''''''"''''''''''-''-''''"''H'''"'''''''-''''''-''"''"'''"''"''-'''''"''"'''''''''''''(3.2)

Here we use the lineartheory forelastlc _parts,which requires a second-order expansion of

Z

inE.

Z(E,

e)=Z,{e)+ £ .,{e)E.+112

Z...(e)E.E..･･-･･-････-･･-･･-･･･････-････-･--･･-･･････-･･-･-･･-･･････

(3.

3) Substitutionof

(3.2)

and

(3.3)

into

{3.1)

_gives

tlti=1

_I

XhsXu

[

£ ,,{e)+Z,,..{e)E..+8XO" ¢.,...{s}EL.(s)ds

-24

I-co

.L'O'di,...,,(s.s,)Ei.(s,)E;,(s,)ds,ds,]-･･･-････････--･････････-･･･-･･･-･-･･･--･･･-･････････････-

(3.

4)

(3,4)

can also berewritten by using s,=t-s,

tkt=l

_J

XagffXt,L

[ZKL(e)+ZnMN(e)EMN+8

f:,

¢KLMN(t-s)EHN(s)ds

-24

fZfL

dircLHNpe(t-sht-s2)E-N(sDEpQ(sDdsids2]･-･･-････-･･･-･･･-･････････-･--･･--･--･-･･-･(3.s)

Constitutiveequation

(3.

5)forisotropicmaterial isobtained byusing the Theoryof Invariantstoreplace the

memory functionsby their isotropicexpressions. Here we only _give out the results

tn=j-ixuxt,L(a61rL+fiiEuilL+2I9tErcL+Jf:[7u{t-s)Eu(s)ikL+2n(t-s)Eu(s)]ds

.L:fZ[.,{t-s,, t-s,)

aEa",<it)aE5,,(i2)

6),,+.,{t-,,, t-.,)t.(aEgN,lSt)aEsQ,(,S2))on,

OErr(Si}OEKL(S2)

as, as, +p4(t"sh t-sz>

OEais`IS:!L)_{'mO'E5Ls(tS!->]ds,ds,l･･--.H.H..-(3.6)}

+ga(t-St, t-S!)

where, a iselastic module

(if

the reference state isunstressed, then a=O),

fl,

and

_Bt

are known as the Lame's constants _which may be written as Xe and pt.inthe elastic mechanics, and _{M, n, "i,uz, ys, "4} are are all mem-ory f"nctions.The characteristics of soil suggest thatthe soil can be considered to obey thislaw.

4.Application

We will study the followingexamples inrectangular coordinates forbothspatial coordinate x, and material coordinates XL.

Example 1 Simple shear deformation

Simple shear deformation isspecified by

:l:ll+K(t)Xz

l

.

₍₄

₁₎

xb=)k

t

The deformation_gradientik_given by

[x,,]=[t

Kit)

:1･･･-･･-･･･--･--･-'''''''"'''"'''-'''"''"-''-''H'''"'''-'"'-"''"''-''-''"''-H'"'""'H(4.2)

LO O IJ

While the strain tensoris

[k.,]-u2[K?t)

KK\t))

:1･-･･････-･･--･･-･･･--･---･-････---･･-･･--･･--･-･･-･･･-･･--･---･-･--･-･････-<4.3)

LO O OI

Tbe stresses, evaluated from

(3,6)

are

tii=a[2+K!(t)]+Bi[Kt(t)+112K`(t)]+B,[Kt{t)+KKt)]

+.L:(x(t-s)K(s) aKeiS)

[2+K:(t)]+n(t-s)

aKaiS)

[K(t)+2K'(t)K{s)])

ds

+fL

f:

(pt(t"si,

t-st)K{s,)K(s,) OKo.(?')eKai?2)

_[2+K2(t)]

--

49

+pt,(t-s,, t-s,)

[}+K(.nK(.,)]

OKo.(?])aKo,{?t)

[1+Kz{t>]

OK

{s,)

OK

(s,)

[K(sDK(s,)K'(t)+112K(s,>K(t)]

+ptS(t-Si, t-S!)

as, as,

+",(t-s,, t-s,) aKas(i')aKei?!)

[t

K:(t)+K(si)K(si}Ki(t)+e K(sz}K(t)+t]) dsids2

.""""". ...H...",,-,,,.,,,-.,,,",,,.,,",.,.-,.,".,H,,,.-･･-････････････････-････-･-･-･･････-(4.4) Example 2 One dimensionalsimple extension

The elastic constants and memory functionsinconstitutive equations

(3.6)

can usually bedeterminedby

ex-periment forone dimensionalsimpie extension. Herewe _present the equations which will be useful for ex-periment.Beforewriting equations, we firstmake assumption thatthematerial considered inthissection is un-stressed duringtirne domain

(-oo,

O]Thismeans the elastic constants a=O and thattheintegraldomainfor

constitutive equations

(3.6)

is

[O,

t]. '

The censtitutive equations

(3,6)

can besimplified mostly forone dimensionalmotion as followswhere the elastic constants and memory functionshavethe same meaning as inequation

(3.

6)and a istheone dimensional

stress.

a=( aOxX

)

[2Ml

+X' _7(t-s) aEa.(S}ds+.JC:

_JCtpt(t-s.

t-s,) eEas{?i)OEai?:)dsids21 ･-･･-･･-･･-･･･

(4.

s)

The deforrnationequation forone dimensionalsimple extension is_given as

x=A(t)X--･-･---･-･･---･･---･-･---(4.6)

then

E=112[A'(t)-1]･----･--･･･-･･-･･--･･-････-･･･････････････-･････-･･･--･･;-･･-･･････-･･･････････････-･･-･････････-･･(4.7)

Substitutingall these into

<4,5),

we have

o=A(t)(fi[A:(t)-1]+Xt _7(t-s)A(s) a'a4,(S)ds+.i['t.C"u(t-s,, t-s2)A(sDA(si)

OAos(?')OAas(?t) ds,ds,)

."I,-,,H.,."..",,,.,...H...."..-,,,.",."...H...,.,-,,",,...,.",.H..M,,.,.,.,,.,.,.(4.8) /. Let A(t}=Re[Aoexp<iwt)]･--･･･-･･･-･･･-･･-･･--･･-･･･-･''-'''-'''''"''''''''''''-'''''''-''''''''''''''H'''"''"'"''"(4.9)

where A,isa real ･numberand w isthe frequeney.

Substitutionof

{4.9)

into

(4,8)

_gives

a=P(Ag cos3 wt-A, cos tut)

-112 toAi

_JgM

7(s)cos 2a,sds sin 2a)tcos wt

+112 tuA: _.t"' 7(s)sin 2tosds cos 2wt cos tot

+118 a,'A:

J['on

X"

pt(s],s:)cos 2a)(si-sDdsLdsi COS tet

-118 w'A: _.J[-co

.L'op

pt(sh st)cos 2a,(s,+s,)ds,dst cos 4tot cos wt

-118 to:Ag

X'"O

X"

"(s. s2)sin 2w(si+s:)dsidse sin4tot eos tut ･･･-･･･-･････-･-･･･-･･･--･････････-･････{4.10)

'

The effect of the nonlinearity isto _produce a higherharrnonicterm.

We are now interesteclinordering the _A(t) to be a step functionand solving out the stress a. This isa

theoreticallyfundamentai equation f6r us

to

obtain the elastic cbnstant and memory functionsin experiment

Let

A(t)=U{t) U(t)isastepfunction･-･･･････---･--･-････-･････････････-･･････-････････-･･･-･･･-･･･-･-････-････(4.11>

then we can get

a(t)=U(t)IP[u2(t)-1]+7(t)U(O}+ll(t, t)U2(o)I･-･･･-･･･-･･･-･-･･････-････････-･--･･････････････････････-･････(4.12)

Example 3 Displacernentfieldequation in one dimension.

The main _pointof the_presentationof thetheoryinthispaperistostudy the wave _propagationinfinitenonlinear

50-NII-Electronic Library Service

viscoelastic _materials, in _other words. in _soil. Forthis _reason here _{we write out} the_one dimensionaldisplacement

fieldequation.

Cauchy's equation ofmotion inrnaterial coordinate hasthe form as equation

(2.

2).Itisnot difficulttowrite out TKLxaLinone dimension

T aaxC=

aaxX

[2flE

+ft 7(t-s) OEoiS) ds+J['tJCt"{t-s,, t-sn aEoi?'}aEa.(?') ds,ds,]････････-･･･(4.i3)

Lagrangianstrain hasthe followingrelation with displacement vector

E ±aaxU +1/2

(

eaxU

)'

---HHH-"""-""h--'""''"-'"H--H"H--"'-""H"H'-"H-"-''"H-'"''"'(4. ₁₄₎ and we have

x-X=U----･---･-･-･-･---･---･---･･---･(4.15)

Then we can write out

T ,O.t-(i+ a,.U

)

(2B

[

g.U

+i/2

(

a,.U

)i]+.L't

_7(t-.)

[

eS.U,(,s)+Og)ls) a5.U,(.s)]_d.

+X'f'.(t-s,, t-s,)

[

ag.U,`,S,i'+aU,.`Si'a5.",`.S,"

]･[

05.U,(.S,:'+OU,.`S:]a,!.U,`.Si)]_dstds2)

･---･---･･-･---･---･---･-･---(4.l6)

We can finaliyobtain _theone dimensionaldisplacementfieldequation

,a.

((i+

a,.U

₎

(2p

[

a,.U

+ii2

(

a,.U

)t]+X!

_7(t-.)

[

a5.U,(.s)+egis)e5.U,{.s)] _d.

+ftft.{t-s,, t-s,)

[

O,2.UiS;'+aU,.`Si'a5.U,(,S,"]･[a5.U,`,Si'+aU,.`S"a5.U,`,S;']_dsidstl)

-th a,Z,U,-Af ･-･･-･･･--･-･･･-･･･-･･･--･･-･･･････-･･･--･-････-･･･････-･･･････-･･･････-･･･--･･-･･･-･････････････-･･-(4.

i7) '

If

boundary

condition and initial condition are _given, we can obtain the displacement,

but

_itistoo complicated to besolved immediately. Neverthelessitcan beapplied toagiven real material _practicatlywith numerical methods. If

we make

f=O,

_{then this}eqttation describesthe wave _propagation forone dimension,

5.Conclusion

Inthis_{paper, on} the _{basis of} the characteristics of soil, we developed a constitutive law which is correct not only

for

finitedisplacementbut also for nonlinear viscoelastic material with fading memory. Constitutive equation inthis

paper can be written inintegraltypetoinfinitefold,Asitis correct forfinite strain thislawis called FiniteNenlinear

ViscoelasticConstitutiveLaw. Applicationsof thistheory up _totwo foldof integralshavealso beenshown inthis

paper.

Acknowledgment

The authors are greatlypleasedto acknowledge Prof.YoshihiroSugimura,TohDku Univ. who encouraged the authors and cordially _gaveadvice,

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-52-NII-Electronic Library Service 【論　 文】 UDC ：624．【｝42．7 ：042 ．7：516．3 日本 建 築 学 会 構 造系 諭文 報 告 簗 第 406 号 ・1989 _年12_月

汎 関数

型

有限変形非線形粘弾性体構成則 （

梗概 ）

正 会 員 正 会 員 正 会 員 正 会 員 和 栗 高 薛 泉 田 橋 正 松 哲＊ 哲＊ ＊ 徹＊ ＊ ＊ 涛＊ ＊ ＊ 　1．序 　 地 盤 と構 造 物の相 互 作 用に関 する研 究におい て線 形 的 な解 析 手 法の開 発は現 在まで に十 分 進んで い る とい え よ う。 例え ば，Wolf は 地盤を線 形 弾 性 体と仮 定し （文 献 1）），一方 Apselは地 盤 を 線 形 粘 弾 性 体として考 慮 して （文献 2）），共に有 効な解 析手 法を提案して いる。 し か しな が ら大 規 模な 地震 応 答を考える際に非 線 形 的な解 析 手 法の開 発お よ び解 析は不 可 欠であ り，これ か らの課 題 と し て挙 げる こと がで き る_であ ろう。こ の課 題の うち， 地 盤の非 線 形 的な構 成 則を提 案す るのが_， 本 論 文の 目的 である。 　 土に対する非 線 形 的な構 成 則につ い て は，土の さまざ まな特 徴に基づい て_， 従 来， 数 多く の ものが提 案され て

い る。例え ば Kinematic　Cap モデル_，　Hardin−DrneVich

モ デ ル，Ramberg −Osgoodモ デ ル，大 崎一原モ デ ル，な

どで ある （文 献3），4），5），6＞， 7））。し か し なが ら， 本

論 文ではこれ ら土の細かな 特 徴 を とら える立 場 とは別

に，大 地 震 時に は変 位 応 答が微 小の範 囲にと ど ま らない こと を考 慮し て_， 土 を有 限 変 形を伴う材 料 非 線 形 粘弾性 連 続 体 （Finite　nonlinear 　viscoelastic 　material ｝ と 仮 定し， こ れ につ い て検 討 を加え， こ の仮 定され た材 料に 対する_構成則を理論 的に_導くこと を目的どする。 　 粘 弾 性 体 を研 究す るに当たっ て は通 常二 つの立 場が あ る （文 献8））。そ の 一つ は Smooth　memory （構 成 方程 式がひずみ の速 度の関 係 式で表され て い る もの _）を持つ とする立 場で あり，も う一っ は Fading　memory （構 成 方程 式がひずみ の汎 関 数で表さ れ て い る もの） を持つ と す る立 場で ある。Fading　memory _を持っ 粘 弾 性 体は_， 現 在まで，種々 の分 野で応 用 されて いる （文 献9），10）， ll ＞，12 ），13））。 こ れら の研 究で は Fading　memory を 持つ粘 弾牲 体 を 対象と し な が ら も そ れ ぞ れ 特 定の材料を 　拿 東北大学　教 授・工博 ＊＋ 東北大 学　助 教 授・工博 i＃ _{東 北 大 学 　大 学 院生} 　 （1988 年 7 月 10日原稿 受理，1989年10月7日採 用 決 定 ） 対象と し， あ る特 殊な構成 をな す場 合につ い て の み考 慮 さ れ て い る が，本 論文で は，地 盤 を想 定し ながらも，第 二熱 力 学 定 理 よ り，Fading　memory を持っ 粘 弾 性 材 料 にお け る普遍的な構成 方程式 を導く。これはい か なる材 料に対 し て も 適 用 可 能な もの であ り，文 献9），10）， 11），15）で示され て い る構 成 方 程 式はすべ て_本論 文で 導く構 成 方 程 式の_特殊な場合と して_{展 開 可能}で あ る。 ま た， さ らに解 析 が 容 易にな る よ うに こ の普 遍的な方程 式 を簡 略 化し， 最 後に幾つ かの簡 単な例に応 用を試みて い る。 　2．有 限変形非線形 粘弾性体の構成方程 式の導 出 　単一物質体 （Simple　material _＞の 力学 挙 動を記 述す る際に最も基 本と な る方程 式と不 等 式は，質 量 保 存 式， 平衡方程式，エ ネル ギー保 存式と第二熱 力 学 定 理で ある。 これ ら は （2．1）一（2．5）式で表さ れ る が_， こ のうち_{， 第} 二_{熱 力 学 定}理 は，こ こで は Entropy 定 理の 形， っ まり Clausius−Duhem _不等式で表して い る。こ の （2．1）一（2．5＞ 式の みで は物 体の_{力学 挙 動}を把 握する こと がで き ない こ と は，簡 単に分か る。 言い換え れ ば，この有 限 変 形非線 形粘弾性体の構成の性 質につ い て研 究す ること が必 要で あ る。 　Fading　memory _を持つ _{材 料 体}の基 礎 的な応 力 構 成 方 程 式はEringen に よっ て文 献8）に示さ れてい る よ う に （2、6）式で表 される。 こ こ で， 温 度の 変 化と温度の Memory を考 慮し ない とい う 条 件 を加え る と， 基 礎的 な応 力構 成方程 式は （2．7）式の よ うに書 き換え るこ と がで き る。 こ こ で，Difference　historyとい う粘 弾性 体 に_特有な概 念を （2」1） 式で 表 す。そ して_， Fading rnemory を持つ _{粘 弾 性 体}の構 成 方 程 式の 特 徴 を 考 慮 し

て，Helmholtz　free　energy を （2．12） 式の ように仮 定

する。そ う する と_， こ の_問題で の Clausius−Duhe 皿 _{不 等}

式は （2．13）式のよ うに簡 単に書くこと がで き る。 こ こ

で，Helmholtz　free　energy （2．12） 式を （2．13＞式に

代入 する と_， こ の不 等 式を満 足する よ うに_{，等式 （}2．16 ＞_， （2．17）と不 等 式 （Z．18）を導き出 すこと ができる。そ

一 53 一

して，Memory　functionに関す る仮定 （2．21 ），と性 質 （2．22 ）を利用 し， 積分，微分の諸性 質を使っ て式を展 開し てい く と， こ の粘弾性体の応 力につい ての構 成 方 程 式が，（2．26 ）式の よ うに示さ れ ること が最終 的に分か る。 こ の_{構 成 方 程}式に おい て は，_（2，27 ）の Memory 　

func

− tienが対 称で あ り，ま た （2．28） 式の よ う な Memory functionの値域の制 限が あ る。 以上展 開し た方 程 式の う ち，不等式 （2．20 ）は構成方程 式の制 限とし て，熱 力学 第二_{定 理 を表 し}て いる。 本 論 文で導か れた （2，26）式 を 有 限 変 形 非 線 形 粘 弾 性 体の構 成 則 と定 義 する。 　こ こ で，_（2．26） 式につ い て考 察 を行うと，次の よ う な 性 質 が 見い出さ れ る。構 成 則 （2．26 ）を等方体につ い て書 き 直せ ば，文 献 11｝で Filippovによ り提 出さ れ た 構 成 則と同じ意 味になる。構 成 則 （2．26）の弾 性 部分 と 粘 性 部 分の両 者 を材料線 形 化す れば， 文 献9＞， 10）で Christensenに ょ り考 察され た構 成 則 と一致す る。 （2．26） 式の粘 性 部 分 を消 去す．れば， 文 献 15 ）で詳細に 研 究さ れ た非線形 的な弾性体の_構成則と一致す る。 　3．応 答 　こ の理論の応_用を簡 単にす る た めに_， 構 成式 （2．　26_） の 二階積分までの部分の み を考慮す る。 計算を簡略化す る た め にGreen変 形テン ソ ルをLagrangianひずみ テン ソ ルに書き直し たの が（3．4）式であ る。構 成 方 程 式 （2．26） を見てわ か る よ うに物 体 構 成は 二つ の部 分か ら なり，一 つ が弾性 部_分で，も う一つ が粘性 部_分である。こ こ で， 弾 性 部 分は線 形 化 して考え る。 つ まりその弾 性ひずみ Potentialを （3．　3_｝式で表す。 最 後に不 変 量 理 論を用い る と，等 方均質体に_対する_構成式が，（3．6 ）式の よ うに な るこ と が分か る。 こ の 式で 示す よ うに，Memory functionは全部で 6個と な る。 　 例1 せ ん断 変 形 　最も簡 単な応 用 例とし て_， せ ん断 変 形を考え る。せ ん 断変形の変 形 式は （4．1） 式で表されるので，こ の_変形 につ い ての_応力は （4．4 ）式の ように簡 単に求め ること がで き る。 　 例2 一自由度Extention 　一自由度だ け を考え る場 合の構 成 方 程 式は （4．5）に な る。一自 由度の Extention は （4．6）で表さ れ る の で_， 応力を求め る た めには （4．8）式 を 使え ば簡 単にで き る。 こ こ で，_実周 期 振 動変形 （4．9）式 を代入 す れば，（4．10 ） 式で表さ れ る よ うに非 線 形 性の_特徴とし て_{高周期振動}が で ること が分か る。 さ らに一つ の計 算 例と し て，step 関 数を 入力す る場 合の応 力は （4．　12_）式の よ うに求 める こと がで き る。 　 例 3 一自由 度の変 位 方 程 式 　 物 質座 標にっ い て の Cauchy運 動 方 程 式 （2．2）を考 え る と，一自由 度の Lagrangian ひずみ と変位の_関係式 は （4．14）式になる。一自由 度の変 位 方 程 式は （4．17） の ように書 ける。こ の式 自体は複 雑すぎ る の で （Memory functionが ま だ定 義さ れ て い な い ため）， そのま まで は 数 値 解 析 的に は解きに くい が，実際の_物質に対して， Memory　

function

を 定義す ること がで き れ ば，波 動 伝 播 挙 動 を より合 理 的に把 握する こと ができ るで あ ろ う。 　4．結 　論 　本 論 文で は，大 地 震 時に土の変形応答 が 微小にと ど ま ら な い ことを考 慮し て_， 有 限 変 形 非線形粘弾性 体とい う 新 しい構 成モ デルを理 論 的に導きだし た。そ して，こ の 理 論 を 用い て，幾つ か の簡 単な応用例を 示 し た。この理 論を具 体 的に適 用する にあたっ て必要な数値解析 手 法の 開 発は，今 後の課 題の一つである。 一

₅₄

一 一