书
书
书
第
５２
卷
第
３
期
２０１７
年
６
月
西
南
交
通
大
学
学
报
ＪＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＳＯＵＴＨＷＥＳＴ ＪＩＡＯＴＯＮＧ ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ
Ｖｏｌ． ５２ Ｎｏ． ３
Ｊｕｎ． ２０１７
收
稿
日
期
：
２０１５０６２２
基
金
项
目
：国
家
自
然
科
学
基
金
资
助
项
目
（
５１３６８０３２
，
５１５６８０３６
）；甘
肃
省
科
技
计
划
资
助
项
目
（
１６０６ＲＪＹＡ２３１
）
作
者
简
介
：董
长
军
（
１９７９
—
），男
，工
程
师
，博
士
研
究
生
，研
究
方
向
为
桥
梁
结
构
设
计
理
论
，
Ｅｍａｉｌ
：
Ｄｏｎｇｃｈａｎｇｊｕｎ． １９７９＠ １６３． ｃｏｍ
引
文
格
式
：董
长
军
，刘
世
忠
，李
爱
军
．
变
曲
率
曲
线
梁
的
单
元
刚
度
矩
阵
分
析
［
Ｊ
］
．
西
南
交
通
大
学
学
报
，
２０１７
，
５２
（
３
）：
４７４４８１．
ＤＯＮＧ Ｃｈａｎｇｊｕｎ
，
ＬＩＵ Ｓｈｉｚｈｏｎｇ
，
ＬＩ Ａｉｊｕｎ． Ｅｌｅｍｅｎｔ ｓｔｉｆｆｎｅｓｓ ｍａｔｒｉｘ ａｎａｌｙｓｉｓ ｆｏｒ ｖａｒｉａｂｌｅ ｃｕｒｖａｔｕｒｅ ｃｕｒｖｅｄ ｂｅａｍ
［
Ｊ
］
． Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ
Ｓｏｕｔｈｗｅｓｔ Ｊｉａｏｔｏｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ
，
２０１７
，
５２
（
３
）：
４７４４８１．
文
章
编
号
：
０２５８２７２４
（
２０１７
）
０３０４７４０８ ＤＯＩ
：
１０． ３９６９ ／ ｊ． ｉｓｓｎ． ０２５８２７２４． ２０１７． ０３． ００６
变曲率曲线梁的单元刚度矩阵分析
董
长
军
，
刘
世
忠
，
李
爱
军
（兰
州
交
通
大
学
土
木
工
程
学
院
，甘
肃兰
州
７３００７０
）
摘
要
：针
对
单
元
刚
度
矩
阵
多
为
隐
函
数
，不
便
于
直
接
应
用
的
问
题
，在
极
坐
标
系
下
，假
定
变
曲
率
曲
线
梁
剪
心
和
形
心
重
合
，根
据
卡
氏
第
二
定
理
，推
导
了
一
种
显
式
变
曲
率
曲
线
梁
单
元
悬
臂
端
柔
度
矩
阵
的
解
析
解
公
式
．
该
公
式
先
将
其
柔
度
矩
阵
退
化
到
经
典
的
形
式
；再
通
过
求
逆
运
算
得
到
变
曲
率
曲
线
梁
单
元
悬
臂
端
刚
度
矩
阵
；最
后
根
据
静
力
平
衡
条
件
与
结
点
位
移
的
任
意
性
获
得
曲
线
梁
的
单
元
刚
度
矩
阵
．
以
两
端
固
定
曲
线
梁
为
例
，利
用
ＭＡＴＬＡＢ
编
程
与
ＡＮＳＹＳ
有
限
元
计
算
结
果
进
行
了
对
比
，结
果
表
明
：竖
向
位
移
和
扭
转
角
相
差
都
在
５％
以
内
，两
者
的
误
差
较
小
，验
证
了
单
元
刚
度
矩
阵
对
变
曲
率
曲
线
梁
计
算
的
有
效
性
；矩
阵
中
的
元
素
可
用
带
参
数
的
显
函
数
表
达
，且
所
有
参
数
都
可
直
接
引
用
，说
明
了
它
的
正
确
性
．
关
键
词
：单
元
刚
度
矩
阵
；变
曲
率
曲
线
梁
；有
限
元
；单
元
柔
度
矩
阵
中
图
分
类
号
：
Ｏ３９
文
献
标
志
码
：
Ａ
Ｅｌｅｍｅｎｔ Ｓｔｉｆｆｎｅｓｓ Ｍａｔｒｉｘ Ａｎａｌｙｓｉｓ ｆｏｒ
Ｖａｒｉａｂｌｅ Ｃｕｒｖａｔｕｒｅ Ｃｕｒｖｅｄ Ｂｅａｍ
ＤＯＮＧ Ｃｈａｎｇｊｕｎ
，
ＬＩＵ Ｓｈｉｚｈｏｎｇ
，
ＬＩ Ａｉｊｕｎ
（
Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｃｉｖｉｌ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ
，
Ｌａｎｚｈｏｕ Ｊｉａｏｔｏｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ
，
Ｌａｎｚｈｏｕ ７３００７０
，
Ｃｈｉｎａ
）
Ａｂｓｔｒａｃｔ
：
Ｍｏｓｔ ｅｌｅｍｅｎｔ ｓｔｉｆｆｎｅｓｓ ｍａｔｒｉｘｅｓ ａｒｅ ｉｍｐｌｉｃｉｔ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ
，
ａｎｄ ｈｅｎｃｅ ａｒｅ ｉｎｃｏｎｖｅｎｉｅｎｔ ｔｏ ａｐｐｌｙ
ｄｉｒｅｃｔｌｙ． Ｔｏ ｏｖｅｒｃｏｍｅ ｔｈｉｓ ｄｅｆｉｃｉｅｎｃｙ
，
ａｓｓｕｍｉｎｇ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｓｈｅａｒ ｃｅｎｔｅｒ ｏｆ ａ ｖａｒｉａｂｌｅｃｕｒｖａｔｕｒｅ ｃｕｒｖｅｄ
ｂｅａｍ ｃｏｉｎｃｉｄｅｓ ｗｉｔｈ ｉｔｓ ｃｅｎｔｒｏｉｄ
，
ａｎ ｅｘｐｌｉｃｉｔ ａｎａｌｙｔｉｃａｌ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｆｏｒｍｕｌａ ｆｏｒ ｆｌｅｘｉｂｉｌｉｔｙ ｍａｔｒｉｘ ｏｆ ａ ｋｉｎｄ
ｏｆ ｖａｒｉａｂｌｅｃｕｒｖａｔｕｒｅ ｃｕｒｖｅｄ ｂｅａｍ ｅｌｅｍｅｎｔ ｗｉｔｈ ｃａｎｔｉｌｅｖｅｒ ｅｎｄ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ｉｓ ｄｅｒｉｖｅｄ ｉｎ ｐｏｌａｒ ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅｓ
ｂｙ Ｃａｓｔｉｇｌｉａｎｏｓ ｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔ ｔｈｅｏｒｅｍ． Ｆｉｒｓｔ
，
ｔｈｅ ｆｌｅｘｉｂｉｌｉｔｙ ｍａｔｒｉｘ ｉｓ ｄｅｇｒａｄｅｄ ｔｏ ｃｌａｓｓｉｃａｌ ｆｏｒｍｓ．
Ｔｈｅｎ
，
ｔｈｅ ｓｔｉｆｆｎｅｓｓ ｍａｔｒｉｘ ｏｆ ｔｈｅ ｖａｒｉａｂｌｅｃｕｒｖａｔｕｒｅ ｃｕｒｖｅｄ ｂｅａｍ ｅｌｅｍｅｎｔ ｗｉｔｈ ｃａｎｔｉｌｅｖｅｒ ｅｎｄ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ
ｉｓ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｂｙ ｉｎｖｅｒｓｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｆｌｅｘｉｂｉｌｉｔｙ ｍａｔｒｉｘ． Ｆｉｎａｌｌｙ
，
ａｃｃｏｒｄｉｎｇ ｔｏ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ｏｆ ｓｔａｔｉｃ ｂａｌａｎｃｅ ａｎｄ
ａｒｂｉｔｒａｒｉｎｅｓｓ ｏｆ ｎｏｄｅ ｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔ
，
ｔｈｅ ｅｌｅｍｅｎｔ ｓｔｉｆｆｎｅｓｓ ｍａｔｒｉｘ ｉｓ ｏｂｔａｉｎｅｄ． Ｉｎ ａｄｄｉｔｉｏｎ
，
ｔａｋｉｎｇ ａ
ｃｕｒｖｅｄ ｇｉｒｄｅｒ ｗｉｔｈ ｔｗｏ ｃｌａｍｐｅｄ ｅｎｄｓ ａｓ ａｎ ｅｘａｍｐｌｅ
，
ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎｓ ａｒｅ ｃｏｎｄｕｃｔｅｄ ｂｅｔｗｅｅｎ ｔｈｅ
ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ ｒｅｓｕｌｔｓ ｂｙ ＭＡＴＬＡＢ ｐｒｏｇｒａｍ ａｎｄ ｔｈｏｓｅ ｂｙ ＡＮＳＹＳ． Ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔｓ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｖａｌｕｅｓ ｏｆ
ｖｅｒｔｉｃａｌ ｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔ ａｎｄ ｔｏｒｓｉｏｎ ａｎｇｌｅ ｇｅｎｅｒａｔｅｄ ｂｙ ＭＡＴＬＡＢ ｄｅｖｉａｔｅ ｆｒｏｍ ｔｈｏｓｅ ｂｙ ＡＮＳＹＳ ｗｉｔｈｉｎ
５％
，
ｔｈｅ ｓｍａｌｌ ｅｒｒｏｒ ｂｅｔｗｅｅｎ ｔｈｅｍ ｖｅｒｉｆｙｉｎｇ ｔｈｅ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅｎｅｓｓ ｏｆ ｔｈｅ ｓｔｉｆｆｎｅｓｓ ｍａｔｒｉｘ ｉｎ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｓ ｏｆ
ｖａｒｉａｂｌｅｃｕｒｖａｔｕｒｅ ｃｕｒｖｅｄ ｂｅａｍ． Ｗｈａｔｓ ｍｏｒｅ
，
ｅｌｅｍｅｎｔｓ ｉｎ ｔｈｅ ｍａｔｒｉｘ ｃａｎ ｂｅ ｅｘｐｒｅｓｓｅｄ ａｓ ｅｘｐｌｉｃｉｔ
ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｏｆ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ａｎｄ ａｌｌ ｔｈｅ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ｃａｎ ｂｅ ｄｉｒｅｃｔｌｙ ｒｅｆｅｒｅｎｃｅｄ
，
ｗｈｉｃｈ ａｌｓｏ ｐｒｏｖｅｓ ｔｈｅ
ｃｏｒｒｅｃｔｎｅｓｓ ｏｆ ｔｈｅ ｅｌｅｍｅｎｔ ｓｔｉｆｆｎｅｓｓ ｍａｔｒｉｘ．
Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ
：
ｅｌｅｍｅｎｔ ｓｔｉｆｆｎｅｓｓ ｍａｔｒｉｘ
；
ｖａｒｉａｂｌｅ ｃｕｒｖａｔｕｒｅ ｃｕｒｖｅｄ ｂｅａｍ
；
ｆｉｎｉｔｅ ｅｌｅｍｅｎｔ
；
ｅｌｅｍｅｎｔ
ｆｌｅｘｉｂｉｌｉｔｙ ｍａｔｒｉｘ
第
３
期
董
长
军
，等
：变
曲
率
曲
线
梁
的
单
元
刚
度
矩
阵
分
析
曲
线
梁
桥
能
很
好
地
适
应
地
形
、地
物
的
限
制
，因
而
在
桥
梁
建
设
中
得
到
广
泛
应
用
．
但
当
受
到
地
形
、地
貌
或
其
它
因
素
的
制
约
时
，不
同
曲
率
半
径
的
桥
梁
需
要
布
置
在
一
起
，它
们
之
间
往
往
需
要
变
曲
率
曲
线
梁
桥
作
为
过
渡
，同
时
变
曲
率
曲
线
梁
桥
也
可
以
作
为
线
路
的
曲
线
段
与
直
线
段
的
过
渡
段
．
长
期
以
来
变
曲
率
曲
线
梁
桥
的
计
算
采
用
近
似
的
以
直
代
曲
、或
以
直
代
曲
的
格
子
梁
算
法
．
自
２０
世
纪
８０
年
代
初
以
来
，学
者
们
对
曲
线
梁
桥
做
了
理
论
与
试
验
研
究
，取
得
了
丰
硕
成
果
［
１５
］
．
吴
鸿
庆
［
６
］
依
据
能
量
变
分
原
理
，应
用
弹
性
核
法
，避
开
形
函
数
的
引
入
和
微
分
方
程
的
求
解
，求
解
了
曲
梁
单
元
刚
度
矩
阵
． Ｗａｎｇ
等
［
７
］
求
得
了
摆
线
弧
、悬
链
线
弧
、椭
圆
弧
和
正
弦
弧
的
刚
度
矩
阵
，但
这
些
刚
度
矩
阵
均
是
对
称
结
构
的
刚
度
矩
阵
，而
变
曲
率
曲
梁
在
单
元
划
分
后
，曲
梁
单
元
往
往
并
非
对称结构
，其刚度矩阵应用范围有
限
．
邱
波
［
８
］
将
有
限
元
技术与薄壁曲线梁理论相结
合
，建
立
了
变
曲
率
曲
梁
单
元
刚
度
矩
阵
，其
刚
度
矩
阵
为
隐
函
数
．
王
银
辉
等
［
９
］
建
立
了
变
曲
率
曲
线
箱
梁
内
任
意
点
的
考
虑
初
曲
率
影
响
的
位
移
和
应
变
关
系
，利
用
最
小
势
能
原
理
得
到
了
等
参
有
限
元
列
式
，其
有
限
元
列
式
为
隐
函
数
．
本
文
在
能
量
法
的
基
础
上
，在
极
坐
标
下
，推
导
出
轴
线
的
变
曲
率
曲
梁
单
元
刚
度
矩
阵
的
解
析
解
．
经
过
验
算
［
４
］
，当
曲
线
梁
曲
率
半
径
较
大
时
，曲
线
梁
剪
心
和
形
心
的
距
离
对
变
形
计
算
结
果
的
影
响
较
小
；
但
当
曲
率
半
径
较
小
时
，影
响
较
大
．
因
此
作
出
基
本
假
设
：假
定
曲
线
梁
剪
心
和
形
心
的
距
离
远
小
于
较
小
的
曲
率
半
径
，即
形
心
与
剪
心
重
合
．
１
变
曲
率
曲
梁
单
元
的
单
元
柔
度
矩
阵
如
图
１
所
示
，有
一
变
曲
率
曲
线
梁
，在
局
部
极
坐
标
系
下
，梁
轴
线
可
以
表
述
为
ρ ＝ ρ
（
α
）
．
（
１
）
在
曲
梁
轴
线
上
任
一
点
处
，按
右
手
法
则
建
立
起
如
图
１
（
ｂ
）所
示
的
流
动
坐
标
系
ξηζ
，图
中
：
ξ
轴
沿
曲
梁
轴
线
的
切
线
方
向
；
η
轴
沿
径
线方向
；
ζ
轴垂直于曲
梁
轴线所在的平面
；
ｉ
，
ｊ
为曲梁单元的两端
，点
Ｍ
（
ξ
，
η
，
ζ
）为
曲
梁
内
的
任
意
一
点
．
首
先
做
几
个
定
义
：
定
义
ｉ
点
与
ｊ
点
曲
率
半
径
延
长
线
交
点
的
夹
角
为
θ０
；
定
义
Ｍ
点
与
ｊ
点
曲
率
半
径
延
长
线
交
点
的
夹
角
为
θ．
根
据
几何关系
，
θ
等于
Ｍ
点与
ｊ
点曲线切线的夹
角
． Ｍ
点
到
ｊ
点
曲
率
半
径
的
距
离
为
Ｌ２
，到
ｊ
点
切
线
的
距
离
为
Ｌ１
，
ｊ
点
到
Ｍ
点
曲
率
半
径
的
距
离
为
Ｌ４
，到
Ｍ
点
切
线
的
距
离
为
Ｌ３．
在
局
部
坐
标
系
下
ｊ
点
的
极
角
为
θ１
，
Ｍ
点
的
极
角
为
α
，
Ｍ
点
和
ｊ
点
极
角
的
差
值
为
β．
θ
θ
θ
θ
β
α
（
ａ
）平
面
图
（
ｂ
）三
维
图
图
１
变
曲
率
曲
梁
单
元
与
结
构
坐
标
系
Ｆｉｇ． １ Ｖａｒｉａｂｌｅｃｕｒｖａｔｕｒｅ ｃｕｒｖｅｄ ｂｅａｍ
ｅｌｅｍｅｎｔ ａｎｄ ｉｔｓ ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅｓ ｓｙｓｔｅｍ
如
图
１
所
示
，在
结
点
ｉ
处
，定
义
结
点
位
移
和
结
点
力
如
下
：
沿
流
动
坐
标
系
ξ
轴
方
向
的
结
点
位
移
为
切
向
位
移
ｕｉξ
，沿
ξ
轴
方
向
的
结
点
力
为
轴
力
Ｎｉξ
；沿
流
动
坐
标
系
η
轴
方
向
的
结
点
位
移
为
径
向
位
移
ｖ
ｉη，沿
η
轴
方
向
的
结
点
力
为
径
向
剪
力
Ｑｉη
；沿
流
动
坐
标
系
ζ
轴
方
向
的
结
点
位
移
为
横
向
位
移
ｗｉζ
，沿
ζ
轴
方
向
的
结
点
力
为
横
向
剪
力
Ｑｉζ
；绕
流
动
坐
标
系
ξ
轴
的
角
位
移
为
扭
转
角
θｉζ
，绕
ξ
轴
的
结
点
力
为
扭
矩
Ｍｉξ
；绕
流
动
坐
标
系
η
轴
的
角
位
移
为
弯
曲
转
角
θｉη
，绕
η
轴
的
结
点
力
为
弯
矩
Ｍｉη
；绕
流
动
坐
标
系
ζ
轴
的
角
位
移
为
弯
曲
转
角
θｉζ
，绕
ζ
轴
的
结
点
力
为
弯
矩
Ｍｉζ．
结
点
ｊ
处
的
结
点
位
移
和
结
点
力
的
定
义
方
法
与
ｉ
点
完
全
相
同
．
所
有
结
点
位
移
和
结
点
力
均
以
该
结
点
处
流
动
坐
标
系
坐
标
轴
的
正
方
向
为
正
．
５
７
４
西
南
交
通
大
学
学
报
第
５２
卷
在
极
坐
标
下
，极
轴
与
曲
线
切
线
的
夹
角
为
γ
，有
如
式
（
２
）关
系
．
γ ＝ ａｒｃｔａｎ ρ
（
α
）
ρ′
（
α
）
．
（
２
）
由
图
１
几
何
关
系
可
知
，
β ＝ α － θ１ ＝ θ ＋ ａｒｃｔａｎ
ρ
（
α
）
ρ′
（
α
）
－ ａｒｃｔａｎ
ρ
（
θ１
）
ρ′
（
θ１
）
．
（
３
）
曲
线
上
任
一
点
的
切
线
斜
率
为
ｋ ＝ρ′ｓｉｎ α ＋ ρｃｏｓ α
ρ′ｃｏｓ α － ρｓｉｎ α ．
（
４
）
根
据
极
坐
标
下
点
到
直
线
的
距
离
公
式
得
Ｌ１ ＝ ± Ｌ′１ ＝ ±
(
－ ρ
（
α
）
ρ′
（
θ１
）
ρ
（
θ１
）
ｓｉｎ
（
α － θ１
）
１ ＋ρ′
２
（
θ１
）
ρ２
（
θ１
槡
）
＋
ρ
（
α
）
ｃｏｓ
（
α － θ１
）
－ ρ
（
θ１
）
１ ＋ρ′
２
（
θ１
）
ρ２
（
θ１
槡
）
)
．
（
５
）
当
极
点
Ｏ
与
点
Ｍ
在
结
点
ｊ
处
的
切
线
同
侧
时
，
式
（
５
）取
“
－
”号
，异
侧
时
取
“
＋
”号
．
同
理
可
得
Ｌ２ ＝ ± Ｌ′２ ＝ ±
(
ρ
（
α
）
ρ
（
θ１
）
ρ′
（
θ１
）
ｓｉｎ
（
α － θ１
）
１ ＋ ρ
２
（
θ１
）
ρ′２
（
θ１
槡
）
＋
ρ
（
α
）
ｃｏｓ
（
α － θ１
）
－ ρ
（
θ１
）
１ ＋ ρ
２
（
θ１
）
ρ′２
（
θ１
槡
）
)
，
（
６
）
Ｌ３ ＝ ± Ｌ′３ ＝ ±
(
ρ
（
θ１
）
ρ′
（
α
）
ρ
（
α
）
ｓｉｎ
（
α － θ１
）
１ ＋ρ′
２
（
θ１
）
ρ２
（
θ１
槡
）
＋
ρ
（
θ１
）
ｃｏｓ
（
α － θ１
）
－ ρ
（
α
）
１ ＋ρ′
２
（
α
）
ρ２
（
α
槡
）
)
，
（
７
）
Ｌ４ ＝ ± Ｌ′４ ＝ ±
(
－ ρ
（
θ１
）
ρ
（
α
）
ρ′
（
α
）
ｓｉｎ
（
α － θ１
）
１ ＋ ρ
２
（
θ１
）
ρ′２
（
θ１
槡
）
＋
ρ
（
θ１
）
ｃｏｓ
（
α － θ１
）
－ ρ
（
α
）
１ ＋ ρ
２
（
α
）
ρ′２
（
α
槡
）
)
．
（
８
）
若
ρ′
（
θ１
）
＞ ０
，当
极
点
Ｏ
与
点
Ｍ
在
结
点
ｊ
处
的
曲
率
半
径
所
在
直
线
的
同
侧
时
，式
（
６
）取
“
－
”号
，异
侧
时
取
“
＋
”号
；若
ρ′
（
θ１
）
＝ ０
，当
ｓｉｎ
（
α － θ１
）
≥０
时
，式（
６
）取“
＋
”号
，当
ｓｉｎ
（
α － θ１
）
＜ ０
时
，取
“
－
”号
；若
ρ′
（
θ１
）
＜ ０
，当
极
点
Ｏ
与
点
Ｍ
在
结
点
ｊ
处
的
曲
率
半径所在直线的同侧时
，式（
６
）取“
＋
”
号
，异
侧
时
，取
“
－
”号
．
当
极
点
Ｏ
与
结
点
ｊ
在
点
Ｍ
处
的
切
线
同
侧
时
，
式
（
７
）取
“
－
”号
，异
侧
时
取
“
＋
”号
．
若
ρ′
（
α
）
＞ ０
，当
极
点
Ｏ
与
结
点
ｊ
在
点
Ｍ
处
的
曲
率
半
径
所
在
直
线
的
同
侧
时
，式
（
８
）取
“
－
”号
，异
侧
时
取
“
＋
”号
；若
ρ′
（
α
）
＝ ０
，当
ｓｉｎ
（
α － θ１
）
≥０
时
，式（
８
）取“
－
”号
，当
ｓｉｎ
（
α － θ１
）
＜ ０
时
，取
“
＋
”号
；若
ρ′
（
α
）
＜ ０
，当
极
点
Ｏ
与
结
点
ｊ
在
点
Ｍ
处
的
曲
率
半
径
所
在
直
线
的
同
侧
时
，式
（
８
）取
“
＋
”号
，
异
侧
时
，取
“
－
”号
．
如
图
２
所
示
，在
流
动
坐
标
系
下
，曲
梁
上
任
一
点
Ｍ
，其
内
力
的
定
义
方
法
与
结
点
力
的
定
义
方
法
相
同
，
沿
流
动
坐
标
系
ξ
轴
方
向
的
内
力
为
轴
力
Ｎξ
，绕
ξ
轴
的
内
力
为
扭
矩
Ｍξ
；沿
η
轴
方
向
的
内
力
为
径
向
剪
力
Ｑη
，绕
η
轴
的
内
力
为
扭
矩
Ｍη
；沿
ζ
轴
方
向
的
内
力
为
横
向
剪
力
Ｑζ
，绕
ζ
轴
的
内
力
为
扭
矩
Ｍζ．
图
２
内
力
和
结
点
力
关
系
Ｆｉｇ． ２ Ｒｅｌａｔｉｏｎ ｄｉａｇｒａｍ ｂｅｔｗｅｅｎ ｉｎｔｅｒｎａｌ
ｆｏｒｃｅｓ ａｎｄ ｎｏｄａｌ ｆｏｒｃｅｓ
设
曲
梁
单
元
的
ｉ
端
为
固
定
端
，根
据
图
２
和
平
衡
方
程
，曲
梁
上
任
一
点
Ｍ
（
ξ
，
η
，
ζ
）的
内
力
为
Ｎξ＝ － Ｎｊξｃｏｓ θ － Ｑｊηｓｉｎ θ
，
Ｑη＝ Ｎｊξｓｉｎ θ － Ｑｊηｃｏｓ θ
，
Ｑζ＝ － Ｑｊζ
，
}
（
９
）
６
７
４
第
３
期
董
长
军
，等
：变
曲
率
曲
线
梁
的
单
元
刚
度
矩
阵
分
析
Ｍξ＝ ± ＱｊζＬ３ － Ｍｊξｃｏｓ θ － Ｍｊηｓｉｎ θ
，
Ｍη＝ ± ＱｊζＬ４ ＋ Ｍｊξｓｉｎ θ － Ｍｊηｃｏｓ θ
，
Ｍζ＝ ± ＮｊξＬ１ ± ＱｊηＬ２ － Ｍｊζ．
}
（
１０
）
当
极
点
Ｏ
与
结
点
ｊ
在
点
Ｍ
处
的
切
线
同
侧
时
，
式
（
１０
）中
第
１
个
式
子
取
“
＋
”号
，异
侧
时
取
“
－
”号
．
对
式
（
１０
）中
第
２
个
式
子
，若
ρ′
（
α
）
＞ ０
，当
极
点
Ｏ
与
结
点
ｊ
在
点
Ｍ
处
的
曲
率
半
径
所
在
直
线
的
同
侧
时
，取
“
＋
”号
，异
侧
时
取
“
－
”号
；若
ρ′
（
α
）
＜０
，当
极
点
Ｏ
与
结
点
ｊ
在点
Ｍ
处的曲率半径所在直线的同侧时取
“
－
”号
，异
侧
时
取
“
＋
”号
．
当
极
点
Ｏ
与
点
Ｍ
在
结
点
ｊ
处
的
切
线
的
同
侧
时
，式
（
１０
）中
第
３
个
式
子
等
号
后
的
第
１
项
取
“
＋
”号
，异
侧
时
取
“
－
”号
．
对
式
（
１０
）
中
第
３
个
式
子
等
号
后
的
第
２
项
，若
ρ′
（
θ１
）
＞ ０
，当
极
点
Ｏ
与
点
Ｍ
在
结
点
ｊ
处
的
曲
率
半
径
所
在
直
线
的
同
侧
时
，取
“
＋
”号
，异
侧
时
取
“
－
”号
；若
ρ′
（
θ１
）
＜ ０
，
当
极
点
Ｏ
与
点
Ｍ
在
结
点
ｊ
处
的
曲
率
半
径
所
在
直
线
的
同
侧
时
，取
“
－
”号
，当
极
点
Ｏ
与
点
Ｍ
在
结
点
ｊ
处
的
曲
率
半
径
所
在
直
线
的
异
侧
时
，取
“
＋
”号
．
根
据
式
（
５
）
～
（
８
）正
负
号
的
取
值
，式
（
１０
）可
整
理
为
Ｍξ＝ － ＱｊζＬ′３ － Ｍｊξｃｏｓ θ － Ｍｊηｓｉｎ θ
，
Ｍη＝ － ＱｊζＬ′４ ＋ Ｍｊξｓｉｎ θ － Ｍｊηｃｏｓ θ
，
Ｍζ＝ － ＮｊξＬ′１ － ＱｊηＬ′２ － Ｍｊζ．
}
（
１１
）
将
式
（
９
）和
（
１１
）写
成
矩
阵
形
式
为
Ｆ
（
Ｍｅ
）
＝ ＨＦ
（
ｅ
）
ｊ
，
（
１２
）
式
中
：
Ｆ
（
ｅ
）
Ｍ ＝ Ｎ[ ξ Ｑη Ｑζ Ｍξ Ｍη Ｍζ]
Ｔ
； （
１３
）
Ｈ ＝
－ｃｏｓ θ －ｓｉｎ θ ０ ０ ０ ０
ｓｉｎ θ －ｃｏｓ θ ０ ０ ０ ０
０ ０ －１ ０ ０ ０
０ ０ －Ｌ′３ －ｃｏｓ θ －ｓｉｎ θ ０
０ ０ －Ｌ′４ ｓｉｎ θ －ｃｏｓ θ ０
－ Ｌ′１ － Ｌ′２
０ ０ ０ － １
；
（
１４
）
Ｆ
（
ｅ
）
ｊ ＝ Ｎ[ ｊξ Ｑｊη Ｑｊζ Ｍｊξ Ｍｊη Ｍｊζ]
Ｔ
．
（
１５
）
梁
体
内
的
应
变
能
为
Π ＝ １
２
∫
ｓ
（
－ Ｎｊξｃｏｓ θ － Ｑｊηｓｉｎ θ
）
２
ＥＡξ
ｄｓ ＋
１
２
∫
ｓ
（
Ｎ
ｊξｓｉｎ θ － Ｑ
ｊηｃｏｓ θ
）
２
ＧＡη
ｄｓ ＋１
２
∫
ｓ
Ｑ２
ｊζ
ＧＡζ
ｄｓ ＋
１
２
∫
ｓ
（
－ ＱｊξＬ′３ － Ｍｊξｃｏｓ θ － Ｍｊηｓｉｎ θ
）
２
ＧＩξ
ｄｓ ＋
１
２
∫
ｓ
（
－ ＱｊξＬ′４ ＋ Ｍｊξｓｉｎ θ － Ｍｊηｃｏｓ θ
）
２
ＥＩη
ｄｓ ＋
１
２
∫
ｓ
（
－ ＮｊξＬ′１ － ＱｊηＬ′２ － Ｍｊζ
）
２
ＥＩζ
ｄｓ
， （
１６
）
式
中
：
Ｅ
、
Ｇ
分
别
为
材
料
的
弹
性
模
量
和
剪
切
模
量
；
Ｉξ
、
Ｉη
和
Ｉζ
分
别
为
截
面
的
扭
转
惯
性
矩
和
截
面
对
η
、
ζ
轴
的
惯
性
矩
；
Ａξ
、
Ａη
和
Ａζ
分
别
为
截
面
面
积
和
截
面
对
η
、
ζ
轴
的
有
效
抗
剪
面
积
．
根
据
卡
氏
第
二
定
理
，经
整
理
得
ｕｊξ ＝
∫
ｓ
Ｎｊξｃｏｓ
２
θ
ＥＡξ
ｄｓ ＋
∫
ｓ
Ｑｊηｓｉｎ θｃｏｓ θ
ＥＡξ
ｄｓ ＋
∫
ｓ
ＮｊξＬ′
２
１
ＥＩζ
ｄｓ ＋
∫
ｓ
ＱｊηＬ′１Ｌ′２
ＥＩζ
ｄｓ ＋
∫
ｓ
ＭｊζＬ′１
ＥＩζ
ｄｓ ＋
∫
ｓ
Ｎｊξｓｉｎ
２
θ
ＧＡη
ｄｓ －
∫
ｓ
Ｑｊηｓｉｎ θｃｏｓ θ
ＧＡη
ｄｓ
；
（
１７
）
ｖｊη ＝
∫
ｓ
Ｎｊξｓｉｎ θｃｏｓ θ
ＥＡξ
ｄｓ ＋
∫
ｓ
Ｑｊηｓｉｎ
２
θ
ＥＡξ
ｄｓ ＋
∫
ｓ
ＮｊξＬ′１Ｌ′２
ＥＩζ
ｄｓ ＋
∫
ｓ
ＱｊηＬ′
２
２
ＥＩζ
ｄｓ ＋
∫
ｓ
ＭｊζＬ′２
ＥＩζ
ｄｓ －
∫
ｓ
Ｎｊξｓｉｎ θｃｏｓ θ
ＧＡη
ｄｓ ＋
∫
ｓ
Ｑｊηｃｏｓ
２
θ
ＧＡη
ｄｓ
；
（
１８
）
ｗｊζ ＝
∫
ｓ
ＱｊξＬ′
２
３
ＧＩξ
ｄｓ ＋
∫
ｓ
ＭｊξＬ′３ｃｏｓ θ
ＧＩξ
ｄｓ ＋
∫
ｓ
ＭｊηＬ′３ｓｉｎ θ
ＧＩξ
ｄｓ ＋
∫
ｓ
ＱｊξＬ′
２
４
ＥＩη
ｄｓ －
∫
ｓ
ＭｊξＬ′４ｓｉｎ θ
ＥＩη
ｄｓ ＋
∫
ｓ
ＭｊηＬ′４ｃｏｓ θ
ＥＩη
ｄｓ ＋
∫
ｓ
Ｑｊζ
ＧＡζ
ｄｓ
；
（
１９
）
θｊξ ＝
∫
ｓ
ＱｊξＬ′３ｃｏｓ θ
ＧＩξ
ｄｓ ＋
∫
ｓ
Ｍｊξｃｏｓ
２
θ
ＧＩξ
ｄｓ ＋
∫
ｓ
Ｍｊηｓｉｎ θｃｏｓ θ
ＧＩξ
ｄｓ －
∫
ｓ
ＱｊξＬ′４ｓｉｎ θ
ＥＩη
ｄｓ ＋
∫
ｓ
Ｍｊξｓｉｎ
２
θ
ＥＩη
ｄｓ －
∫
ｓ
Ｍｊηｓｉｎ θｃｏｓ θ
ＥＩη
ｄｓ
；
（
２０
）
θｊη ＝
∫
ｓ
ＱｊξＬ′３ｓｉｎ θ
ＧＩξ
ｄｓ ＋
∫
ｓ
Ｍｊξｓｉｎ θｃｏｓ θ
ＧＩξ
ｄｓ ＋
∫
ｓ
Ｍｊηｓｉｎ
２
θ
ＧＩξ
ｄｓ ＋
∫
ｓ
ＱｊξＬ′４ｃｏｓ θ
ＥＩη
ｄｓ －
７
７
４
西
南
交
通
大
学
学
报
第
５２
卷
∫
ｓ
Ｍｊξｓｉｎ θｃｏｓ θ
ＥＩη
ｄｓ ＋
∫
ｓ
Ｍｊηｃｏｓ
２
θ
ＥＩη
ｄｓ
；
（
２１
）
θｊζ ＝
∫
ｓ
ＮｊξＬ′１
ＥＩζ
ｄｓ ＋
∫
ｓ
ＱｊηＬ′２
ＥＩζ
ｄｓ ＋
∫
ｓ
Ｍｊζ
ＥＩζ
ｄｓ．
（
２２
）
δ
（
ｊｅ
）
为
结
点
ｊ
处
的
位
移
矩
形
，
ｆ
为
结
点
处
ｊ
处
的
柔
度
矩
阵
，则
有
δ
（
ｊｅ
）
＝ ｆＦ
（
ｅ
）
ｊ
，
（
２３
）
式
中
：
δ
（
ｊｅ
）
＝
（
ｕｊξ ｖｊη ｗｊζ θｊξ θｊη θｊζ
）
Ｔ
； （
２４
）
ｆ ＝
Ａ１１ ０ Ａ１３
０ Ａ２２ ０
Ａ３１ ０ Ａ
３３
，
（
２５
）
其
中
：
Ａ１１ ＝
∫
ｓ
ｃｏｓ２ θ
ＥＡξ
ｄｓ ＋
∫
ｓ
Ｌ′２
１
ＥＩζ
ｄｓ ＋
∫
ｓ
ｓｉｎ２ θ
ＧＡη
ｄｓ
∫
ｓ
ｓｉｎ θｃｏｓ θ
ＥＡξ
ｄｓ ＋
∫
ｓ
Ｌ′１Ｌ′２
ＥＩζ
ｄｓ －
∫
ｓ
ｓｉｎ θｃｏｓ θ
ＧＡη
ｄｓ
∫
ｓ
ｓｉｎ θｃｏｓ θ
ＥＡξ
ｄｓ ＋
∫
ｓ
Ｌ′１Ｌ′２
ＥＩζ
ｄｓ －
∫
ｓ
ｓｉｎ θｃｏｓ θ
ＧＡη
ｄｓ
∫
ｓ
ｓｉｎ２ θ
ＥＡξ
ｄｓ ＋
∫
ｓ
Ｌ′２
２
ＥＩζ
ｄｓ ＋
∫
ｓ
ｃｏｓ２ θ
ＧＡη
ｄ
ｓ
；
Ａ１３ ＝
∫
ｓ
Ｌ′１
ＥＩζ
ｄｓ
∫
ｓ
Ｌ′１
ＥＩζ
ｄ
ｓ
；
Ａ２２ ＝
∫
ｓ
Ｌ′２３
ＧＩξ
ｄｓ ＋
∫
ｓ
Ｌ′２４
ＥＩη
ｄｓ ＋
∫
ｓ
ｄｓ
ＧＡζ
∫
ｓ
Ｌ′３ｃｏｓ θ
ＧＩξ
ｄｓ －
∫
ｓ
Ｌ′４ｓｉｎ θ
ＥＩη
ｄｓ
∫
ｓ
Ｌ′３ｓｉｎ θ
ＧＩξ
ｄｓ ＋
∫
ｓ
Ｌ′４ｃｏｓ θ
ＥＩη
ｄｓ
∫
ｓ
Ｌ′３ｃｏｓ θ
ＧＩξ
ｄｓ －
∫
ｓ
Ｌ′４ｓｉｎ θ
ＥＩη
ｄｓ
∫
ｓ
ｃｏｓ２
θ
ＧＩξ
ｄｓ ＋
∫
ｓ
ｓｉｎ２
θ
ＥＩη
ｄｓ
∫
ｓ
ｓｉｎ θｃｏｓ θ
ＧＩξ
ｄｓ －
∫
ｓ
ｓｉｎ θｃｏｓ θ
ＥＩη
ｄｓ
∫
ｓ
Ｌ′３ｓｉｎ θ
ＧＩξ
ｄｓ ＋
∫
ｓ
Ｌ′４ｃｏｓ θ
ＥＩη
ｄｓ
∫
ｓ
ｓｉｎ θｃｏｓ θ
ＧＩξ
ｄｓ －
∫
ｓ
ｓｉｎ θｃｏｓ θ
ＥＩη
ｄｓ
∫
ｓ
ｓｉｎ２
θ
ＧＩξ
ｄｓ ＋
∫
ｓ
ｃｏｓ２
θ
ＥＩη
ｄ
ｓ
；
Ａ３１ ＝
∫
ｓ
Ｌ′１
ＥＩζ
ｄｓ
∫
ｓ
Ｌ′２
ＥＩζ
ｄ
[
ｓ
]
；
Ａ３３ ＝
∫
ｓ
ｄｓ
ＥＩ
[
]
ζ
．
在
局
部
极
坐
标
系
下
，当
曲
梁
轴
线
方
程
为
ρ ＝ ａｅｂα
（
２６
）
时
，其
中
，
ａ ＞ ０
，
ａ
和
ｂ
是表征曲率变化的参数
，
则
有
Ｌ′１ ＝
－ ａｂｅ
ｂα
ｓｉｎ（
α － θ１
）
＋ ａｅ
ｂα
ｃｏｓ（
α － θ１
）
－ ａｅ
ｂθ１
１ ＋ ｂ
槡
２
；（
２７
）
Ｌ′２ ＝
ａｅ
ｂα
ｓｉｎ
（
α － θ１
）
＋ ａｂｅ
ｂα
ｃｏｓ
（
α － θ１
）
－ ａｂｅ
ｂθ１
１ ＋ ｂ
槡
２
；（
２８
）
Ｌ′３ ＝
ａｂｅ
ｂθ１
ｓｉｎ（
α － θ
１
）
＋ ａｅ
ｂθ１
ｃｏｓ（
α － θ
１
）
－ ａｅ
ｂα
１ ＋ ｂ
槡
２
；（
２９
）
Ｌ′４ ＝
ａｅ
ｂθ１
ｓｉｎ（
α － θ
１
）
＋ ａｂｅ
ｂθ１
ｃｏｓ（
α － θ
１
）
－ ａｂｅ
ｂα
１ ＋ ｂ
槡
２ ．
（
３０
）
由
极
坐
标
下
曲
率
半
径
方
程
得
ｊ
点
的
曲
率
半
径
为
Ｒｊ＝ ａ １ ＋ ｂ
槡
２
ｅｂθ１
，
（
３１）
由
此
得
到
一
端
固
定
的
变
曲
率
曲
梁
单
元
悬
臂
端
的
柔
度
矩
阵
ｆ
为
ｆ ＝
ｆ１１ ｆ１２ ０ ０ ０ ｆ１６
ｆ２１ ｆ２２ ０ ０ ０ ｆ２６
０ ０ ｆ３３ ｆ３４ ｆ３５ ０
０ ０ ｆ４３ ｆ４４ ｆ４５ ０
０ ０ ｆ５３ ｆ５４ ｆ５５ ０
ｆ６１ ｆ６２ ０ ０ ０ ｆ
６６
，
（
３２
）
式
中
：
ｆ１１＝
Ｒｊ
ＥＡξ
[
ｅｂθ０－ １
２ｂ ＋
２ｅｂθ０
ｓｉｎ ２θ
０＋ ｂ
（
ｅｂθ０ｃｏｓ ２θ０－ １
）
２
（
４ ＋ ｂ２
）
]
＋
Ｒｊ
ＧＡη
[
ｅｂθ０－ １
２ｂ －
２ｅｂθ０
ｓｉｎ ２θ
０＋ ｂ
（
ｅｂθ０ｃｏｓ ２θ０－ １
）
２
（
４ ＋ ｂ２
）
]
＋
８
７
４
西
南
交
通
大
学
学
报
第
５２
卷
ｆ１１→
ｓ
ＥＡξ
，
ｆ１２→０
，
ｆ１６→０
，
ｆ２２→
ｓ３
３ＥＩζ
＋ ｓ
ＧＡη
，
ｆ２６→
ｓ２
２ＥＩζ
，
ｆ３３→
ｓ３
３ＥＩζ
＋ ｓ
ＧＡη
，
ｆ３４→０
，
ｆ３５→
ｓ２
２ＥＩη
，
ｆ４４→
ｓ
ＧＩξ
，
ｆ４５→０
，
ｆ５５→
ｓ
ＥＩη
，
ｆ６６→
ｓ
ＥＩζ
．
② ａ
值
不
变
，
ｂ→∞
，
θ０→０
，有
ｆ１１→
ｓ
ＥＡξ
，
ｆ１２→０
，
ｆ１６→０
，
ｆ２２→
ｓ３
３ＥＩζ
＋ ｓ
ＧＡη
，
ｆ２６→
ｓ２
２ＥＩζ
，
ｆ３３→
ｓ３
３ＥＩζ
＋ ｓ
ＧＡη
，
ｆ３４→０
，
ｆ４４→
ｓ
ＧＩξ
，
ｆ４５→０
，
ｆ５５→
ｓ
ＥＩη
，
ｆ６６→
ｓ
ＥＩζ
．
可
见
，当
曲
率
半
径
无
穷
大
时
，
ｆ
退
化
为
空
间
悬
臂
直
梁
单
元
的
柔
度
矩
阵
，此
时
ｓ
相
当
于
直
线
梁
中
的
轴
线
长
度
．
２
局部坐标系下变曲率曲梁单元刚
度
矩
阵
文
中
第
１
章
建
立
了
一
端
固
定
曲
梁
悬
臂
端
的
柔
度
矩
阵
，下
面
讨
论
建
立
单
元
两
端
为
任
意
状
态
的
曲
梁
单
元
刚
度
矩
阵
［
６
］
．
建
立
的
悬
臂
端
柔
度
矩
阵
隐
含
有
曲
梁
单
元
另
一
端
固
定
的
约
束
条
件
，因
而
是
非
奇
异
的
，其
逆
阵
为
悬
臂
端
的
刚
度
矩
阵
［
１０１４
］
．
根
据
曲
梁
单
元
结
点
力
与
结
点
位
移
的
关
系
及
结
点
位
移
的
任
意
性
可
以
得
到
悬
臂
端
的
刚
度
矩
阵
即
为
曲
梁
单
元
ｊ
端
的
刚
度
矩
阵
，再
分
两
次
利
用
静
力
平
衡
条
件
与
结
点
位
移
的
任
意
性
可
获
得
曲
梁
的
单
元
刚
度
矩
阵
［
１５１６
］
．
曲
梁
单
元
结
点
力
与
结
点
位
移
关
系
可
表
示
为
Ｆ
（
ｉｅ
）
Ｆ
（
ｅ
）
[ ]
ｊ
＝ Ｋｉｉ Ｋｉｊ
Ｋｊｉ Ｋ
[
ｊｊ
]
δ
（
ｉｅ
）
δ
（
ｅ
）
[ ]
ｊ
．
（
３４
）
其
中
单
元
刚
度
矩
阵
为
Ｋ
（
ｅ
）
＝ Ｋｉｉ Ｋｉｊ
Ｋｊｉ Ｋ
[
ｊｊ
]
．
（
３５
）
当
δ
（
ｉｅ
）
＝ ０
时
，有
Ｆ
（
ｉｅ
）
＝ Ｋｉｊδ
（
ｅ
）
ｊ
，
Ｆ
（
ｅ
）
ｊ ＝ Ｋｊｊδ
（
ｅ
）
ｊ ．
（
３６
）
由
式
（
２３
）可
知
Ｆ
（
ｊｅ
）
＝ ｆ
－ １
δ
（
ｊｅ
）
．
（
３７
）
故
Ｋｊｊ ＝ ｆ
－ １
．
（
３８
）
另
一
方
面
，根
据
静
力
平
衡
条
件
有
Ｆ
（
ｉｅ
）
＝ ＨＦ
（
ｅ
）
ｊ
，
（
３９
）
把
式
（
３６
）代
入
式
（
３９
）可
得
Ｋｉｊδ
（
ｅ
）
ｊ ＝ ＨＫｊｊδ
（
ｅ
）
ｊ ．
（
４０
）
由
于
δ
（
ｊｅ
）
的
任
意
性
，必
有
Ｋｉｊ＝ ＨＫｊｊ
，
（
４１
）
由
单
元
刚
度
矩
阵
的
对
称
性
可
得
Ｋｊｉ＝ ＫｊｊＨ
Ｔ
．
（
４２
）
同
理
，当
δ
（
ｊｅ
）
＝ ０
，再次利用静力平衡条件及
δ
（
ｉｅ
）
的
任
意
性
［
１７
］
可
得
Ｋｉｉ ＝ ＨＫｊｊＨ
Ｔ
．
（
４３
）
因
此
两
端
为
任
意
约
束
情
况
的
变
曲
率
曲
梁
单
元
，
局
部
坐
标
系
下
单
元
刚
度
矩
阵
为
Ｋ
（
ｅ
）
＝ ＨＫｊｊＨ
Ｔ
ＨＫｊｊ
ＫｊｊＨ
Ｔ
Ｋ
[
ｊｊ
]
．
（
４４
）
３
算
例
两
端
固
定
曲
线
梁
，跨
中
作
用
向
下
的
集
中
荷
载
，在
局部极坐标系下曲梁轴线方程表达为
ρ ＝
３． ０１３ ７５３ ４８１ ３０５ｅ１． ３２３ ８１３ ６００ ９１６α
，两
固
定
端
的
曲
率
半
径
分
别
为
５
、
１０ ｍ
，
θ０ ＝ π ／ ６．
梁
的
横
截
面
是
边
长
为
０． １ ｍ
的
正
方
形
，材
料
特
性
为
Ｅ ＝ ２１０ ＧＰａ
，
Ｇ ＝ ８０ ＧＰａ
，集
中
荷
载
为
１０ ｋＮ
，计
算
曲
梁
的
跨
中
位
移
．
文
中
计
算
方
法
采
用
Ｍａｔｌａｂ
编
制
程
序
． ＡＮＳＹＳ
有
限
元
建
模
时
采
用
Ｓｏｌｉｄ１８５
单
元
，将
曲
梁
沿
轴
线
划
分
成
１００
等
份
，根
据
轴
线
方
程
精
确
地
计
算
曲
梁
上
各
点
的
坐
标
，依
据
坐
标
建
立
结
点
和
六
面
体
单
元
． ＡＮＳＹＳ
计
算
结
果
中
，实
体
单
元
无
法
直
接
得
到
截
面
扭
转
角
和
弯
曲
转
角
，
本
例
中
截
面
扭
转
角
和
弯
曲
转
角
是
根
据
结
点
间
的
相
对
位
移
及
它
们
的
几
何
关
系
间
接
计
算
出
的
．
两
种
方
法
得
到
的
跨
中
位
移
结
果
对
比
如
表
１
所
示
．
将
两
种
方
法
得
到
的
计
算
结
果
加
以
比
较
，竖
向
位
移
两者相差
４． ８％
，绕轴线的扭转角两者相差
４． ２％
，弯
曲
转
角两者都很小
，都在
５％
以内
，两种
方
法
的
得
到
计
算
结
果
较
为
接
近
，说
明
了
本
文
推
导
刚
度
矩
阵
的
正
确
性
．
表
１
跨
中
位
移
计
算
结
果
Ｔａｂ． １ Ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ ｒｅｓｕｌｔｓ ｏｆ ｓｅｃｔｉｏｎ ｄｅｆｌｅｃｔｉｏｎ ａｔ ｍｉｄｓｐａｎ
ｗζ／ ｍｍ θξ／ ｒａｄ θη／ ｒａｄ
本
文
方
法
计
算
结
果
－ １． ６５４ － ０． ０００ ５４３ ３． ２ × １０－ ６
有
限
元
计
算
结
果
－ １． ６６２ － ０． ０００ ５２０ ０
４
结
论
（
１
）本
文
由
卡
氏
第
二
定
理
导
出
变
曲
率
曲
线
梁
悬
臂
端
柔
度
矩
阵
的
解
析
式
，在
不
同
的
简
化
方
法
下
，
验
证
了
所
得
柔
度
矩
阵
都
可
以
退
化
到
经
典
的
形
式
，验
０
８
４
