Tamafumi KANEYAMA
兼
山
瓊
典
Abstract
It is known every × integral matrix is the sum of three integral squares. So in this paper I prove that which × integral matrix can be expressed as the sum of two integral squares.
Introduction
Les possibilités d’exprimer une matrice entiere pour la somme de carrés des matrices entieres sont con-sidérées par Carlitz［ ］,Granville［ ］,Griffin et Krusemeyer［ ］et Newman［ ］.
Newman a utilisé les fait sur GF（ ）dans［ ］et a prouveé que toutes × matrices entieres sont la somme de trois carrés des matrices entieres. En outre il a prouveé qu’il est la meilleur possibilité.
Presque toutes × matrices entieres sont la somme de trois carrés des matrices entieres, je prouve dans ce dissertation que certains × matrices entieres peut exprimer des matrices pour la somme de deux car-rés des matrices entieres.
Des × martices entieres
Soit A＝!#a b c d
"
$une × matrice entiere dans M（ , Z ）. Je prouve beaucoup de lemmes.
Lemme Si a−d ≡ （mod ）alors une matrice A peut exprimer la matrice pour la somme de deux carrés des matrices entieres.
Démonstration: Parce que a−d ≡ （mod ）,soit a−d ＝ p＋ （p∈Z ）et on met m＝p＋ , n＝p. Alors m−n＝ , m＋n＝ p＋ , m−n ＝ p＋ ＝a−d . Donc ! # m c b −n " $＋!#−n −bc＋d "$ ＝!# m＋bc c （m−n） b（m−n） n＋bc " $＋!#−n −bc＋d −n −bc＋d " $ ＝!#m−n ＋d c（m−n） b（m−n） d " $ ※ E-mail [email protected]
＝! # a c b d " $ cqfd.
Lemme Si a−d ≡ （mod ）et b est un nombre impair alors une matrice A peut exprimer la matrice pour la somme de deux carrés des matrices entieres.
Démonstration: Parce que a−d ≡ （mod ）et b est un nombre impair, on suppose a−d ＝ p（p∈Z ）, b＝ k＋ （k∈Z ）. Met u＝（p＋ ）＋（b−k）c−a. Alors ! #αγ βδ"$＝!#p＋c−u b−k −p " $＋!#u k"$ ＝!#（p＋ ）＋（b−k）（c−u） c−u b−k p＋（b−k）（c−u）"$＋!# uk u k uk＋ "$ Donc α＝（p＋ ）＋（b−k）（c−u）＋uk ＝（p＋ ）＋（b−k）c−u（b− k） ＝（p＋ ）＋（b−k）c−｛（p＋ ）＋（b−k）c−a｝× ＝a, β＝b−k＋k＝b, γ＝c−u＋u＝c, δ＝p ＋（b−k）（c−u）＋uk＋ ＝p ＋（b−k）c−u（b− k）＋ ＝p ＋（b−k）c−｛（p＋ ）＋（b−k）c−a｝× ＋ ＝− p＋a ＝−（a−d ）＋a ＝d . cqfd.
Lemme Si a−d ≡ （mod ）et c est un nombre impair alors une matrice A peut exprimer la matrice pour la somme de deux carrés des matrices entieres.
Démonstration: Parce que a−d ≡ （mod ）et c est un nombre impair, on suppose a−d ＝ p（p∈Z ）, c＝ h＋ （h∈Z ）. Met υ＝（p＋ ）＋b（h−c）−a. Alors ! #αγ βδ"$＝!#p＋c−h b−υ −p " $＋!#h υ"$ ＝!#（p＋ ）＋（b−υ）（c−h） c−h b−υ p＋（b−υ）（c−h）"$＋!# υh h υ υh＋ "$ Donc α＝（p＋ ）＋（b−υ）（c−h）＋υh
＝（p＋ ）＋b（c−h）−υ（c− h） ＝（p＋ ）＋b（c−h）−｛（p＋ ）＋b（h−c）−a｝× ＝ a, β＝b−υ＋υ＝b, γ＝c−h＋h＝c, δ＝p ＋（b−υ）（c−h）＋υh＋ ＝p ＋b（c−h）−υ（c− h）＋ ＝p ＋b（c−h）−｛（p＋ ）＋b（h−c）−a｝× ＋ ＝− p＋a ＝−（a−d ）＋a ＝d . cqfd.
Lemme Si a−d ≡ （mod ）et b, c sont des nombres pairs alors une matrice A peut exprimer la matrice pour la somme de deux carrés des matrices entieres.
Démonstration: Parce que a−d ≡ （mod ）et b, c sont des nombres pairs, on suppose a−d ＝ p（p∈Z ）, b＝ k, c＝ h（k, h∈Z ）. Met m＝p＋ , n＝p− . Alors m−n＝ , m −n ＝ p＝a−d . Donc ! # m h k −n " $＋!#−n −kh＋d "$ ＝!# m＋kh h（m−n） k （m−n） n＋kh " $＋!#−n −kh＋d −n −kh＋d " $ ＝! # m−n ＋d h k d " $ ＝!#a c b d " $ cqfd.
Lemme Si a−d ≡ （mod ）et a, b, c, d sont des nombres pairs alors une matrice A peut exprimer la matrice pour la somme de deux carrés des matrices entieres.
Démonstration: Parce que a−d ≡ （mod ）et b est un nombre pair, on suppose a−d ＝ p＋ （p∈Z ）, b＝ k（k∈Z ）.
Met
u＝（p＋ ）＋（b−k＋ ）c−a.
Parce que a, c sont des nombres pairs, u est un nombre entier. Alors ! #αγ βδ"$＝!#cp＋−u b−k＋ − p− " $＋!#u k− "$
＝! #（p＋ ）＋（b−k＋ ）c−u （c−u） b−k＋ （ p＋ ）＋（b−k＋ ）（c−u）"$ ＋!#u（k− ） u k− u（k− ）＋ " $ Donc α＝（p＋ ）＋（b−k＋ ）（c−u）＋u（k− ） ＝（p＋ ）＋（b−k＋ ）c−u（b−k＋ −k＋ ） ＝（p＋ ）＋（b −k＋ ）c− u ＝（p＋ ）＋（b−k＋ ）c−｛（p＋ ）＋（b −k＋ ）c−a｝ ＝a, β＝b−k＋ ＋k− ＝b, γ＝c−u＋u＝c, δ＝（ p＋ ）＋（b−k＋ ）（c−u）＋u（k− ）＋ ＝（ p＋ ）＋（b−k＋ ）c−u（b−k＋ −k＋ ）＋ ＝（ p＋ ）＋（b−k＋ ）c− u＋ ＝（ p＋ ）＋（b−k＋ ）c−｛（p＋ ）＋（b−k＋ ）c−a｝＋ ＝− p− ＋a ＝−（a−d ）＋a ＝ d . cqfd. Le lemme suivant a été prouvée essentiallement par Granville［ ］.
Lemme Si a−d ≡ （mod ）alors une matrice A peut exprimer la matrice pour la somme de trois carrés des matrices entieres.
Démonstration: Parce que a−d ≡ （mod ）,on suppose a−d ＝ p＋ （p∈Z ）. Met u＝d −bc− −（ p＋ ）． Alors ! #c b" $＋!# p＋ p＋ "$＋!#u "$ ＝!#bc c b bc＋ " $＋!#（ p＋ ）（ p＋ ） " $＋!# u u " $ ＝!#bc＋（ p＋ ）＋u c b bc＋ ＋（ p＋ ）＋u " $ ＝! # d＋ p＋ c b d " $ ＝!#a c b d " $ cqfd.
Lemme Si a−d ≡ （mod ）et a, d sont des nombres impairs et b, c sont des nombres pairs alors une matrice A ne peut pas exprimer la matrice pour la somme de deux carrés des matrices entieres.
Démonstration: Parce que a−d ≡ （mod ）,on suppose a−d ＝ p＋ （p∈Z ）. Parce que
a＋d ＝a−d ＋ d ＝（ p＋ ）＋ d ＝（ p＋ ＋d ） et d est un nombre impair, on pout supposer a＋d ＝ q（q∈Z ）.
Donc on suppose que la matrice A est exprimée la matrice pour la somme de deux carrés des matrices entieres X et Y. Alors A＝! # a c b d " $＝X ＋Y . （ ）
Soient t＝tr（X ）, d ＝det（X ）, t ＝tr（Y ）, d ＝det（Y ）tels que X ＝t X −d I , Y ＝t Y −d I
où I est la matrice identité. Alors ! #ac b d " $＝t X −d I ＋t Y −d I , t X＋t Y ＝! # a c b d " $＋（d ＋d ）I＝!#a＋d ＋dc b d＋d ＋d"$ （ ） Prenant trace des deux côtés, on a
t＋t ＝（a＋d ）＋（d ＋d ）. （ ）
Il suit d’après le（ ）que comme a＋d ＝ q, t et t sont les nombres impairs ou sont les nombres pairs. Si t et t sont les nombres impairs, soient t＝ k ＋ , t ＝ k ＋（k , k ∈Z ）.
Alors
（ k ＋ ）＋（ k ＋ ）＝a＋d ＋（d ＋d ）, d＋d ＝（k ＋k ＋k ＋k −q）＋ .
Donc d＋d est un nombre impair. D’après le（ ）,on a t X＋t Y ≡!# "$（mod ）.
Parce que t et t sont des nombres impairs, on a X≡Y（mod ）, X ≡Y（mod ）. Ce dit que ! #ac b d " $≡!# "$（mod ）.
Ceci est en contradiction avec a, d sont des nombres impairs.
Si t et t sont des nombres pairs, soient t＝ k , t ＝ k（k , k ∈Z ）. Alors k＋ k ＝a＋d ＋（d ＋d ）,
d＋d ＝（k ＋k −q）. Ce dit que d＋d est un nombre pair. Parce que t et t sont des nombre pairs, on a
t X＋t Y ≡!# "$（mod ）. （ ）
!
#a＋d ＋dc b
d＋d ＋d"$≡!# "$（mod ）. （ ） Ceci（ ）,（ ）sont en contradictions avec（ ）et achiève le démonstration du lemme.
cqfd. Tout de suite nous rassemblons touts les lemmes, on a le théorème suivre.
Théorème Soit A＝!#a c
b d
"
$une × matrice entiere dans M（ , Z ）. Alors
. Si a−d ≡ （mod ）,et a, d sont des nombres impairs et b, c sont des nombres pairs alors une matrice A ne peut pas exprimer la matrice pour la somme de deux carrés des matrices entieres. Mais peut exprimer la matrice pour la somme de trois carrés des matrices entieres.
. Sinon une matrice A peut exprimer la matrice pour la somme de deux carrés des matrices entieres.
BIBLIOGRAPHIE
［ ］L. Carlitz: Solution to problem （posed by I. Connell）,Canad. Math. Bull., （ ） ― ［ ］A. Granville: Matrices as the sum of four squares, Linear and Multilinear Algebra, （ ） ― . ［ ］M. Griffin and M. Krusemeyer: Matrices as sums of square. Linear and Multilinear Algebra, （ ） ― . ［ ］M. Newman: Integral Matrices, Celsea, New York（ ）.
［ ］M. Newman: Sums of squares of matrices, Pasific Journal of Mathematics, （ ） ― .
［ ］O. Taussky: History of sums of squares in algebra, American Mathematics Heritage, Algebra and applied Mathematics,
