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惑星による近日点移動

中嶋 慧

November 26, 2020

Abstract この記事では、惑星による近日点移動について述べる。

Contents

1 ラグランジュの惑星方程式 2 1.1 一般論 . . . . 2 1.2 2 次摂動 . . . . 3 2 摂動関数の展開 3 3 水星の近日点移動 10 4 摂動関数の高次展開 11 4.1 [4] の結果 . . . . 11 4.2 [3] の結果 . . . . 13 4.3 e4の係数 . . . 16 5 2 次摂動 18 5.1 大きさの評価 . . . 18 5.2 一般論 . . . 20 6 高次展開：考察 22 A 高次展開：Hansen 係数を使う方法 25

1

ラグランジュの惑星方程式

1.1

一般論

ラグランジュの惑星方程式によると、 dϖ dt = √ 1− e2 na2_e ∂R ∂e + tanI₂ na2√₁− e2 ∂R ∂I (1.1) である。a は長半径, n は 2π/ 公転周期, e は離心率, I は軌道傾斜角であり、 ϖ := ω + Ω (1.2) であり、ω は近点引数, Ω は昇交点経度である。ϖ は近日点経度である。R は摂動関数である。 無摂動の系を太陽の周りを周る水星とし、他の惑星 (摂動天体) による摂動を考えると、 R = Gm1 |r1− r|− Gm1 |r1|3 r1· r (1.3) である。添え字 1 は摂動天体を表す。 ラグランジュの惑星方程式は、 x = t(a, e, I, Ω, ϖ, ε, ρ) (1.4) についての連立 1 解微分方程式である： dxk dt = F k_{(x). (1.5)} ρ は、 dρ dt = n (1.6) である。n は、 n = ka−3/2, k = √G(M + m) (1.7) から決まる a の関数である。m は (注目) 惑星の質量で、M は太陽質量である。 離心率 e の方程式は、 de dt =− √ 1− e2 na2 [ _e 1 +√1− e2 ∂R ∂ε + 1 e ∂R ∂ϖ ] (1.8) である。

1.2

2

次摂動

さて、 xk = xk₀+ δ1xk+ δ2xk+· · · (1.9) と摂動展開する。xk 0は無摂動の値であり、1 次摂動 δ1xkは、 dδ1xk dt = F k_(x 0) (1.10) で決まる。2 次摂動は、 dδ2xk dt = F k l(x0)δ1xl, Fkl(x0) := ∂Fk ∂xl   x=x0 (1.11) で決まる。特に、(1.1), (1.8) より、 dδ1ϖ dt = 1 n0a20 [√_{1− e}2 e ∂R ∂e + tanI₂ √ 1− e2 ∂R ∂I ] x=x0 , (1.12) dδ1e dt = − √ 1− e2 0 n0a20 [ _e 1 +√1− e2 ∂R ∂ε + 1 e ∂R ∂ϖ ] x=x0 (1.13) である。

2

摂動関数の展開

R の永年部を e, e1, sin I, sin I1の 2 次まで求める。 さて、

x = r(cos Ω cos η− sin Ω sin η cos I), (2.1)

y = r(sin Ω cos η + cos Ω sin η cos I), (2.2)

z = sin η sin I, (2.3) η = ω + φ (2.4) である。また、 |r1− r|2 = r12+ r 2_{− 2r} 1rf (I, I1)≡ ∆2 ≡ [∆(I, I1)]2, (2.5)

f (I, I1) = (cos Ω1cos η1− sin Ω1sin η1cos I1)(cos Ω cos η− sin Ω sin η cos I)

+(sin Ω1cos η1+ cos Ω1sin η1cos I1)(sin Ω cos η + cos Ω sin η cos I)

+ sin η1sin η sin I1sin I (2.6)

であり、

f (0, 0) = cos(Ω1+ η1) cos(Ω + η) + sin(Ω1+ η1) sin(Ω + η)

= cos(Ω1− Ω + η1− η)

である。f (I, I1) は以下のように展開できる：

f (I, I1) = f (0, 0) + f2(I, I1) +O(sin I, sin I1)4, (2.8)

f2(I, I1) = sin η1sin η sin I1sin I +

1 2sin

2_I 1sin η1

[

sin Ω1cos(Ω + η)− cos Ω1sin(Ω + η)

]

+1

2sin

2_{I sin η}[_{sin Ω cos(Ω}

1+ η1)− cos Ω sin(Ω1+ η1)

] = sin η1sin η sin I1sin I +

1 2sin 2_I 1sin η1sin(Ω1 − Ω − η) +1 2sin 2_{I sin η sin(Ω− Ω} 1− η1)

= sin η1sin η sin I1sin I +

1 2sin 2_I 1 1 2[− cos(η ′ 1− η′) + cos(−η1+ Ω1− η′)] +1 2sin 2_I1 2[− cos(η ′ 1− η′) + cos(−η + Ω − η′1)]. (2.9)

O(sin I, sin I1)4は、sin I, sin I1について 4 次以上の項である。よって、

∆2 = ∆2₀+ F2+O(sin I, sin I1)4, (2.10) ∆2₀ = [∆(0, 0)]2 = r₁2+ r2− 2r1r cos(η1′ − η′), (2.11) F2 = −2r1rf2(I, I1) (2.12) となり、 1 ∆ = 1 ∆0 [ 1 + F2 ∆2 0 +O(sin I, sin I1)4 ]−1/2 = 1 ∆0 − 1 2 F2 ∆3 0 +O(sin I, sin I1)4 = 1 ∆0 +r1rf2(I, I1) ∆3 0 +O(sin I, sin I1)4 (2.13) を得る。 ところで、 1 (1 + α2− 2αx)κ = ∞ ∑ n=0 C_n(κ)(x)αn (2.14) であり、 C_n(κ)(cos θ) = 1 [Γ(κ)]2 n ∑ r=0 Γ(κ + r)Γ(κ + n− r) r!(n− r)! cos[(2r− n)θ] ≡ n ∑ r=0 C_n,r(κ)cos[(2r− n)θ] (2.15) である。C(κ) n (x) は Gegenbauer 多項式である。r1 > r なので、 1 ∆0 = ∞ ∑ n=0 C_n(1/2)(cos(η₁′ − η′))1 r1 (_r r1 )n , (2.16) 1 ∆3 0 = ∞ ∑ n=0 C_n(3/2)(cos(η₁′ − η′))1 r3 1 (_r r1 )n (2.17)

となる。 • の無摂動値 x0に対する長時間平均を⟨•⟩0とする。fi(t) (i = 1, 2) が周期 Tiの周期関数で、 T1/T2が無理数のとき、 ⟨f1(t)f2(t)⟩0 =⟨f1(t)⟩0⟨f2(t)⟩0 である。今、 ⟨ ₁ ∆0 ⟩ 0 = ∞ ∑ n=0 ⟨ C_n(1/2)(cos(η′₁− η′))1 r1 (_r r1 )n⟩ 0 ≡ M(e, e1)≡ M(0, 0) + Ae2+ Bee1+ Ce21+· · · (2.18) と置く。ここで、e は離心率である。さて、 M (e, 0) = ∞ ∑ m=0 C_2m,m(1/2) ⟨₁ a1 (_r a1 )2m⟩ 0 ≡ ∞ ∑ m=0 Mm(e, 0), (2.19) Mm(e, 0) = Mm(0, 0) + Ame2+· · · (2.20) である。また、無摂動では、 r = a(1− e 2₎ 1 + e cos φ

= a(1− e cos φ − e2sin2φ +· · · ) (2.21)

である。まず Am, A を求める。そのために、無摂動では、

nt = u− eu sin u, r = a(1 − e cos u), n = 2π

τ (2.22) であることを使う。τ は周期である。よって、 1 τ ∫ τ 0 dt f (r(t)) = 1 2π ∫ 2π 0

du (1− e cos u)f(a(1 − e cos u)) (2.23) となる。よって、 Mm(e, 0) = ⟨₁ a1 ( _r a1 )2m⟩ 0 = α 2m a1 ( 1 + m(m +1 2 ) e2+O(e4) ) (2.24) となる。ここで、 α := a a1 (2.25) である。よって、 Am = α2m a1 m(m + 1 2 ) (2.26)

である。また、 A = ∞ ∑ m=1 C_2m,m(1/2)m(m + 1 2 )α2m a1 = 1 [Γ(1₂)]2 ∞ ∑ m=1 Γ(m + 1/2)Γ(m + 3/2) (m− 1)!m![Γ(1/2)]2 α2m a1 = 1 2a1 ∞ ∑ m=1 (1/2)m(3/2)m (m− 1)!m! α 2m = α 2 2a1 ∞ ∑ m=0 (1/2)m+1(3/2)m+1 (2)mm! α2m = 3α 2 8a1 ∞ ∑ m=0 (3/2)m(5/2)m (2)mm! α2m = 3α 2 8a1 F (₃ 2, 5 2, 2; α 2) _(2.27) である。ここで、 (x)0 := 1, (2.28) (x)m := m∏−1 r=0 (x + r) (2.29) であり、 F (a, b, c, z) := ∞ ∑ m=0 (a)m(b)m (c)mm! zm (2.30) は超幾何関数である。(x)m+1 = (x + 1)mx を用いた。今、 b(1)_3/2(α) := 3αF (₃ 2, 5 2, 2; α 2) _(2.31) とすると、 A = α 8a1 b(1)_3/2(α) (2.32) である。b(1) 3/2(α) はラプラス係数と呼ばれる。 次に B を求める。(2.21) より、 rn = an(1− en cos φ + O(e2)) (2.33) である。さて、 cos(η′₁− η′) = cos(ϖ1+ φ1− ϖ − φ) (2.34) である。これは、

cos(η′₁− η′) = cos(ϖ1− ϖ) cos(φ1− φ) − sin(ϖ1− ϖ) sin(φ1− φ)

= cos(ϖ1− ϖ)(cos φ1cos φ + sin φ1sin φ)

である。よって、 ⟨cos(η′ 1− η′) cos φ cos φ1⟩0 = 1 4cos(ϖ1− ϖ) (2.36) である。また、n を整数として、 ⟨cos n(η′ 1− η′) cos φ cos φ1⟩0 = (δn,1+ δn,−1) 1 4cos(ϖ1− ϖ) (2.37) である。ところで、無摂動では、 r2dφ dt = √ µa(1− e2_{) , τ = 2π} √ a3 µ (2.38) である。µ は太陽との相対質量である。よって、 1 τ ∫ τ 0 dt f (φ(t)) = 1 2πa2√₁− e2 ∫ 2π 0 dφ r2f (φ), (2.39) 1 τ1 ∫ τ 0 dt f (φ1(t)) = 1 2πa2 1 √ 1− e2 1 ∫ 2π 0 dφ1 r21f (φ1) (2.40) である。よって、 B = − ∞ ∑ m=1 2C_2m+1,m+1(1/2) (2m + 3)2mα 2m+1 a1 1 4cos(ϖ1− ϖ) = −2 cos(ϖ1− ϖ) α a1 ∞ ∑ m=1 C_2m+1,m+1(1/2) (m + 3 2 ) mα2m (2.41) である。ここで、 C_2m+1,m+1(1/2) = 1 [Γ(1/2)]2 Γ(1₂ + m + 1)Γ(1₂ + m) (m + 1)!m! , (2.42) C_2m+1,m+1(1/2) (m + 3 2 ) m = 1 [Γ(1/2)]2 Γ(m +5₂)Γ(m +1₂) (m + 1)!(m− 1)! = 3 4 (1₂)m(5₂)m (m + 1)!(m− 1)! (2.43) であり、 B = −3 2cos(ϖ1− ϖ) α3 a1 ∞ ∑ m=0 (1₂)m+1(5₂)m+1 2(3)mm! α2m = −15 16cos(ϖ1− ϖ) α3 a1 ∞ ∑ m=0 (3₂)m(7₂)m (3)mm! α2m = −15 16cos(ϖ1− ϖ) α3 a1 F (₃ 2, 7 2, 3; α 2) (2.44) となる。今、 b(2)_3/2(α) := 15 4 α 2 F (₃ 2, 7 2, 3; α 2) (2.45)

とすると、 B = − α 4a1 b(2)_3/2(α) cos(ϖ1− ϖ) (2.46) となる。b(2) 3/2(α) もラプラス係数と呼ばれる。ラプラス係数の一般形は (4.26) である。 C は求めても、ラグランジュの惑星方程式には効かないので、とばず。実は C = A である。 次に、 ⟨_r 1rf2(I, I1) ∆3 0 ⟩ 0 = D sin 2

I + D′sin2I1+ E sin I sin I1 (2.47)

と置き、D, D′_{, E を求める。e, e} 1, sin I, sin I1の 2 次まで求める近似では、 ⟨_r 1rf2(I, I1) ∆3 0 ⟩ 0 = a1a ⟨_f 2(I, I1) ∆3 0   e=e1=0 ⟩ 0 (2.48) である。よって、 D = α 4a1 ∞ ∑ n=0 αn ⟨

C_n(3/2)(cos(η₁′ − η′))[− cos(η₁′ − η′) + cos(−η + Ω − η₁′)] ⟩ 0 = − α 4a1 ∞ ∑ n=0 αn ⟨ C_n(3/2)(cos(η₁′ − η′)) cos(η′₁− η′) ⟩ 0 = − α 4a1 ∞ ∑ m=0 α2m+12C_2m+1,m(3/2) 1 2 (2.49) となる。ここで、 C_2m+1,m(3/2) = 1 [Γ(3 2)] 2 Γ(3₂ + m)Γ(3₂ + m + 1) m!(m + 1)! = 3 2 (3₂)m(5₂)m (2)mm! (2.50) なので、 D = 3α 2 8a1 F (₃ 2, 5 2, 2; α 2) = − α 8a1 b(1)_3/2(α) =−A (2.51) である。同様にして D′ _{= D となる。} E を求める： E = α a1 ∞ ∑ n=0 αn ⟨

C_n(3/2)(cos(η′₁− η′)) sin η1sin η

⟩

0

. (2.52)

ここで、

cos(η₁′ − η′) = cos(Ω1− Ω + η1− η)

= cos(Ω1− Ω) cos(η1− η) − sin(Ω1− Ω) sin(η1 − η)

= cos(Ω1− Ω)(cos η1cos η + sin η1sin η)

なので、

⟨

cos(η₁′ − η′) sin η1sin η

⟩

0

= 1

4cos(Ω1 − Ω), (2.54)

⟨

cos n(η₁′ − η′) sin η1sin η

⟩ 0 = 1 4(δn,1+ δn,−1) cos(Ω1− Ω) (2.55) である。よって、 E = α 2a1 cos(Ω1− Ω) ∞ ∑ m=0 α2m+1C_2m+1,n(3/2) = α 2a1 cos(Ω1− Ω) ∞ ∑ m=0 α2m+13 2 (3₂)m(5₂)m (2)mm! = 3α 2 4a1 cos(Ω1− Ω)F (₃ 2, 5 2, 2; α 2) = α 4a1 b(1)_3/2(α) cos(Ω1 − Ω) = 2A cos(Ω1− Ω) (2.56) である。 また、 −r1· r |r1|3 =−rf (I, I1) r2 1 =−rf (0, 0) r2 1 −rf2(I, I1) r2 1 +· · · (2.57) の永年部は 0 である。よって、R の永年部は、定数を落とすと、

⟨R⟩0 ≈ Gm1(Ae2+ Bee1+ Ce1+ D sin2I + D′sin2I1+ E sin I sin I1)

≈ Gm1(Ae2+ Bee1+ D sin2I + E sin I sin I1)

= Gm1

8a1

[

αb(1)_3/2(α){e2− sin2I + 2 sin I sin I1cos(Ω1− Ω)}

−2ee1αb (2) 3/2(α) cos(ϖ1− ϖ) ] (2.58) となる。_{≈ は (1.12) に効かない項を落とすという意味である。この結果は [2] と一致する。な} お、ϖ = ω + Ω であった。

Table 1: 水星の近日点移動 (1 次摂動) の大きさ /(秒角 / 世紀) 惑星 e1 = I = I1 = 0 I = I1 = 0 (3.5) 式 Newcomb Le Verrier 金星 280.21 279.43 278.19 276.38 280.6 地球 93.35 90.80 90.26 91.41 83.6 火星 2.37 2.34 2.42 2.48 2.6 木星 156.91 153.53 152.46 153.98 152.6 土星 7.53 7.52 7.47 7.31 7.2 天王星 0.14 0.14 0.14 0.14 0.1 海王星 0.04 0.04 0.04 0.04 合計 540.56 534.07 530.97 531.75 526.7

3

水星の近日点移動

今、 ⟨R⟩0 = Gm1 a1 ˜ R (3.1) と書くと、(1.12) は、 dδ1ϖ dt = m1 M nα [√_{1− e}2 e ∂ ˜R ∂e + tanI₂ √ 1− e2 ∂ ˜R ∂I ] (3.2) となる。ここで、x0を単に x と書いた。上式を得るのに、 n = √ GM a3 (3.3) より、 G n = n Ma 3 (3.4) であることを用いた。M は太陽質量である (正確には、太陽質量に水星の質量を足したもので ある)。(2.58) を代入して、 dδ1ϖ dt = m1 4Mn √ 1− e2_α2 [ b(1)_3/2(α)− e1 e b (2) 3/2(α) cos(ϖ1− ϖ) ] − m1 2M√1− e2nα 2_b(1) 3/2(α) cos I [ sin2 I 2 − 1 2tan I 2sin I1cos(Ω1− Ω) ] (3.5) を得る。ϖ = ω + Ω である。 Table 1 に水星の近日点移動 (1 次摂動) の大きさについての計算結果を示す。一番左が e1 = I = I1 = 0 とした近似である。左から 2 番目は I = I1 = 0 とした近似である。真ん中が (3.5) を 使った結果である。この 3 つには現在の数値を用いた。Newcomb の欄は S. Newcomb が 1895 年 に与えた値である [1]。Le Verrier の欄は Le Verrier が 1859 年に与えた値である [1]。Bretagnon の 1982 年の計算によると、惑星による影響の合計は 529.90 秒角 / 世紀である。

4

摂動関数の高次展開

摂動関数の高次展開については、[3, 4, 5] が詳しい。

4.1

[4]

の結果

Lubbock の 1835 年の論文 [4] によると、摂動関数の永年部は、e, e1, sin I, sin I1の 4 次まで、

⟨R⟩ = Gm1 a1 [₁ 2b (0) 1/2(α) + 1 8αb (1) 3/2(α){e 2

+ e2₁− sin2I− sin2I1+ 2 sin I sin I1cos(Ω1− Ω)}

−1 4αb (2) 3/2(α) cos(ϖ1− ϖ)ee1+ ˜R4 ] (4.1) となる。 ˜R4は 4 次の項で、以下で与えられる： ˜ R4 = g4e4+ g5e2e21+ g6e41+ g7(e2γ2+ e21γ 2 _{+ e}2_γ2 1 + e 2 1γ 2 1) + g8(γ4 + γ14) + g9γ2γ12 + cos(ϖ1− ϖ)[g11e3e1+ g12ee31+ g13ee1(γ2+ γ12)] + cos(Ω1− Ω)[g15γγ1(e2+ e12) + g16γγ1(γ2+ γ12)]

+ cos(2ϖ1− 2ϖ)g17e2e21 + cos(2ϖ− 2Ω)g18e2γ2+ cos(ϖ1+ ϖ− 2Ω)g19ee1γ2

+ cos(2ϖ1− 2Ω)g20e21γ 2 + cos(2ϖ− Ω1− Ω)g21e2γγ1 + cos(ϖ1− ϖ − Ω1 + Ω)g22ee1γγ1+ cos(ϖ1− ϖ + Ω1− Ω)g23ee1γγ1 + cos(ϖ1+ ϖ− Ω1− Ω)g24ee1γγ1+ cos(2ϖ1 − Ω1− Ω)g25e21γγ1 + cos(2ϖ− 2Ω1)g18e2γ12+ cos(ϖ1+ ϖ− 2Ω1)g19ee1γ12 + cos(2ϖ1− 2Ω1)˜g20e21γ 2 1 + cos(2Ω1− 2Ω)g26γ2γ12. (4.2) ここで、 γ = sin I , γ1 = sin I1 (4.3) であり、 g4 = 3 32α 3_b(1) 5/2− 3 128α 2_b(2) 5/2, (4.4) g5 = 9 32α 2_b(0) 5/2, (4.5) g6 = 3 32αb (1) 5/2− 3 128α 2_b(2) 5/2, (4.6) g7 = − 9 32α 2_b(0) 5/2, (4.7)

g8 = 3 16α 2 b(1)_5/2− 3 32α 2 b(2)_5/2, (4.8) g9 = 9 32α 2 b(0)_5/2+ 3 16α 2 b(2)_5/2, (4.9) g11 = − 15 32α 2_b(1) 5/2+ 3 16αb (2) 5/2, (4.10) g12 = − 15 32α 2_b(1) 5/2+ 3 16α 3_b(2) 5/2, (4.11) g13 = 15 32α 2_b(1) 5/2+ 3 32α 3_b(2) 5/2, (4.12) g15 = 9 16α 2_b(0) 5/2, (4.13) g16 = − 3 16α 2_b(0) 5/2, (4.14) g17 = 9 64α 2_b(2) 5/2, (4.15) g18 = 3 16αb (1) 5/2− 3 64α 2_b(2) 5/2, (4.16) g19 = − 9 32α 2_b(1) 5/2, (4.17) g20 = 3 16α 3_b(1) 5/2− 3 64α 2_b(2) 5/2, (4.18) g21 = − 3 8αb (1) 5/2+ 3 32α 2_b(2) 5/2, (4.19) g22 = − 9 16α 2_b(1) 5/2, (4.20) g23 = − 3 32α 2_b(1) 5/2− 33 32α 2_b(3) 5/2, (4.21) g24 = 9 16α 2_b(1) 5/2, (4.22) g25 = − 3 8α 2_b(0) 5/2+ 3 32α 2_b(2) 5/2, (4.23) g26 = 3 32α 2_b(0) 5/2, (4.24) ˜ g20 = 3 16α 2_b(1) 5/2− 3 64α 2_b(2) 5/2 (4.25) である。ただし、 b(k)_s (α) = 2fs,k k! α k_{F (s, s + k, k + 1; α}2_{), (4.26)} fs,k = s(s + 1)· · · (s + k − 1), fs,0= 1 (4.27) である。b(k)s (α) はラプラス係数と呼ばれる。

4.2

[3]

の結果

[3] の結果を引用する。摂動関数の永年部は、e, e1, sinI₂, sinI₂1 の 4 次まで、

⟨R⟩ = Gm1 a1 [₁ 2b (0) 1/2(α) + 1 8αb (1) 3/2(α){e 2_{+ e}2 1− 4 sin 2 I 2 − 4 sin 2 I1 2 + 8 sin I 2sin I1 2 cos(Ω1− Ω)} −1 4αb (2) 3/2(α) cos(ϖ1− ϖ)ee1+ ˜R′R ] (4.28)

となる。また、 ˜R₄′ は 4 次の効果で、ただし、 ˜R′₄は ˜R4で、sin I, sin I1を sinI₂, sinI₂1 に置き換

え、gkを fkに置き換えたものである (˜g20は f20に置き換える)： ˜ R4 = f4e4+ f5e2e21+ f6e41+ f7(e2s2+ e21s 2_{+ e}2_s2 1 + e 2 1s 2 1) + f8(s4+ s41) + f9s2s21 + cos(ϖ1− ϖ)[f11e3e1 + f12ee31+ f13ee1(s2+ s21)] + cos(Ω1 − Ω)[f15ss1(e2+ e12) + f16ss1(s2+ s21)]

+ cos(2ϖ1− 2ϖ)f17e2e21+ cos(2ϖ− 2Ω)f18e2s2+ cos(ϖ1+ ϖ− 2Ω)f19ee1s2

+ cos(2ϖ1− 2Ω)f20e21s 2 + cos(2ϖ− Ω1 − Ω)f21e2ss1 + cos(ϖ1− ϖ − Ω1+ Ω)f22ee1ss1+ cos(ϖ1− ϖ + Ω1− Ω)f23ee1ss1 + cos(ϖ1+ ϖ− Ω1− Ω)f24ee1ss1+ cos(2ϖ1 − Ω1− Ω)f25e21ss1 + cos(2ϖ− 2Ω1)f18e2s21 + cos(ϖ1+ ϖ− 2Ω1)f19ee1s21 + cos(2ϖ1− 2Ω1)f20e21s 2 1+ cos(2Ω1− 2Ω)f26s2s21. (4.29) ここで、 s := sinI 2, s1 := sin I1 2 (4.30) であり、fk(k = 4, 5,· · · , 9, 11, 12, 13, 15, 16, · · · , 26) は以下である： f4 = 1 128(4α 3_D3_{+ α}4_D4_)b(0) 1/2(α) (D := d dα), (4.31) f5 = 1 32(4αD + 14α 2_D2 _{+ 8α}3_D3_{+ α}4_D4_)b(0) 1/2(α), (4.32) f6 = 1 128(24αD + 36α 2_D2_{+ 12α}3_D3_{+ α}4_D4_)b(0) 1/2(α), (4.33) f7 = − α 8(2 + 4αD + α 2_D2_)b(1) 3/2(α), (4.34) f8 = 3 4α 2_b(0) 5/2(α) + 3 8α 2_b(2) 5/2(α), (4.35) f9 = 1 2αb (1) 3/2(α) + 15 4 α 2_b(0) 5/2(α) + 3 4α 2_b(2) 5/2(α), (4.36) f11 = − 1 32(4α 2_D2_{+ 6α}3_D3_{+ α}4_D4_)b(1) 1/2(α), (4.37) f12 = 1 32(4− 4αD − 22α 2_D2 _{− 10α}3_D3 _{− α}4_D4_)b(1) 1/2(α), (4.38) f13 = α 8(4αD + α 2_D2_)[b(0) 3/2(α) + b (2) 3/2(α)], (4.39) f15 = α 4(2 + 4αD + α 2 D2)b(1)_3/2(α), (4.40)

f16 =− 1 2αb (1) 3/2(α)− 3α 2_b(0) 5/2(α)− 3 2α 2_b(2) 5/2(α), (4.41) f17 = 1 64(12− 12αD + 6α 2_D2_{+ 8α}3_D3_{+ α}4_D4_)b(2) 1/2(α), (4.42) f18 = α 16(12 + 8αD + α 2_D2_)b(1) 3/2(α), (4.43) f19 =− α 8(4αD + α 2 D2)b(0)_3/2(α), (4.44) f20 = 1 16α 3 D2b(1)_3/2(α), (4.45) f21 =− α 8(12 + 8αD + α 2 D2)b(1)_3/2(α), (4.46) f22 =− α 4(4αD + α 2_D2_)b(0) 3/2(α), (4.47) f23 =− α 4(4αD + α 2_D2_)b(2) 3/2(α), (4.48) f24 = α 4(4αD + α 2_D2_)b(0) 3/2(α), (4.49) f25 =− 1 8α 3_D2_b(1) 3/2(α), (4.50) f26 = 1 2αb (1) 3/2(α) + 3 4α 2_b(0) 5/2(α) + 3 2α 2_b(2) 5/2(α). (4.51) ただし、D = d/dα である。また、 b(_s−k) := b(k)_s (4.52) とすると、 Db(k)_s = s(b(k_s+1−1)− 2αb(k)_s+1+ b(k+1)_s+1 ) (4.53) である。n≥ 2 のとき、 Dnb(k)_s = Dn−1s(b_s+1(k−1)− 2αb(k)_s+1+ b(k+1)_s+1 ) = s(Dn−1b(k_s+1−1)− 2αDn−1b(k)_s+1+ Dn−1b(k+1)_s+1 − 2(n − 1)Dn−2b(k)_s+1) (4.54) である。n = 2, 3, 4 として、 D2b(k)_s = s(Db(k_s+1−1)− 2αDb(k)_s+1+ Db(k+1)_s+1 − 2b(k)_s+1), (4.55) D3b(k)_s = s(D2b(k_s+1−1)− 2αD2b(k)_s+1+ D2b(k+1)_s+1 − 4Db(k)_s+1), (4.56) D4b(k)_s = s(D3b(k_s+1−1)− 2αD3b(k)_s+1+ D3b(k+1)_s+1 − 6D2b(k)_s+1) (4.57) を得る。

Table 2: 水星の近日点移動 (1 次摂動) の大きさ /(秒角 / 世紀) 惑星 (3.5) 式 (4.28) 式 (4.1) 式 フル 金星 278.19 273.83 274.02 272.06 地球 90.26 82.95 82.98 82.80 火星 2.54 2.38 2.36 2.37 木星 152.46 145.08 145.13 145.09 土星 7.47 7.13 7.13 7.13 天王星 0.14 0.13 0.13 0.13 海王星 0.04 0.04 0.04 0.04 合計 530.97 511.54 511.79 509.63 Table 3: 水星の離心率の 6 次以上の効果 /(秒角 / 世紀) 惑星 e6_{のみ e}6_{, e}8_{のみ e}6_{, e}8_{, e}10_のみ 金星 0.5567 0.5837 0.5851 地球 0.0187 0.0190 0.0190 火星 4.8×10−5 4.8×10−5 4.8×10−5 木星 1.5×10−5 1.5×10−5 1.5×10−5 土星 6.3×10−8 6.3×10−8 6.3×10−8 天王星 7.1 ×10−11 7.1 ×10−11 7.1 ×10−11 海王星 3.6 ×10−12 3.6 ×10−12 3.6 ×10−12 合計 0.5755 0.6028 0.6041 ところで、 ∆k := fk− 2εkgk (k̸= 8, 16), (4.58) εk =      0 for k = 4, 5, 6, 11, 12, 17 2 for k = 7, 13, 15, 18, 19,· · · , 25 4 for k = 9, 26 , (4.59) ∆8 := f8− [16g8+ 2g2] , g2 = 1 8αb (1) 3/2 (4.60) ∆16 := f16− [16g16− 2g14] , g14= 1 4αb (1) 3/2 (4.61) とすると、∆k = 0 となるはずである。しかし、k = 8, 13, 16, 17, 23, 25, 26 について ∆k ̸= 0 と なる。 さて、摂動関数の永年部は、 ˜ R = a1 1 (2π)2√₁− e2√₁− e2 1 ∫ 2π 0 dφ ∫ 2π 0 dφ1 (_r a )2(_r1 a1 )2 ₁ ∆ (4.62) である。(1.3) の第 2 項の永年部は 0 である。上式を用いた計算結果を Table 2 の「フル」の欄 に示した。 Table 3 には、水星の近日点移動における e6_{の項のみの効果 (左), e}6_{と e}8_{の項のみの効果 (真} ん中), e6_{と e}8_{と e}10_{の項のみの効果 (右) を載せた。この計算には (6.22) を用いた。}

4.3

e

4

の係数

e4_{の係数 c} 4を求める。それは、 ⟨ ₁ ∆0 ⟩ 0   e1=0 = M (e, 0) = M (0, 0) + Ae2+ c4e4+· · · (4.63) から求まる。(2.23) より、 Mm(e, 0) = ⟨ ₁ a1 ( _r a1 )2m⟩ 0 = α 2m a1 1 2π ∫ 2π 0 du (1− e cos u)2m+1 = α 2m a1 2m+1∑ k=0 2m+1Ck(−e)k 1 2π ∫ 2π 0 du cosku (4.64) である。公式 1 2π ∫ 2π 0 du cos2ku = (2k− 1)!! (2k)!! (k ≥ 1) (4.65) より、 Mm(e, 0) = α2m a1 +α 2m a1 m ∑ k=1 2m+1C2ke2k (2k− 1)!! (2k)!! = α 2m a1 +α 2m a1 m ∑ k=1 (2m + 1)! (2k)!(2m + 1− 2k)!e 2k(2k− 1)!! (2k)!! = α 2m a1 + Ame2+ c4,me4+· · · (4.66) となる。ここで、 c4,0 = c4,1, (4.67) c4,m = α2m a1 (2m + 1)! 4!(2m− 3)! 3!! 4!! = α2m a1 1 4(m + 1 2)m(m− 1 2)(m− 1) (m ≥ 2) (4.68) である。よって、 c4 = 1 4a1 ∞ ∑ m=2 α2mC_2m,m(1/2)(m +1 2)m(m− 1 2)(m− 1) (4.69) である。ここで、 C_2m,m(1/2)(m + 1)! (m− 3)! = 1 [Γ(1₂)]2 [Γ(1₂ + m)]2 (m!)2 (m + 1 2)m(m− 1 2)(m− 1) = 1 [Γ(1₂)]2 Γ(1₂ + m)Γ(m + 3₂) m!(m− 2)! (m− 1 2) = 1 [Γ(1₂)]2 [Γ(m +3₂)]2 m!(m− 2)! − 1 [Γ(1₂)]2 Γ(m +1₂)Γ(m + 3₂) m!(m− 2)! = 1 4 [(3₂)m]2 m!(m− 2)! − 1 2 (1₂)m(3₂)m m!(m− 2)! (4.70)

である。よって、 c4 = α4 4a1 ∞ ∑ m=0 α2m [₁ 4 [(3₂)m+2]2 (m + 2)!m!− 1 2 (1₂)m+2(3₂)m+2 (m + 2)!m! ] (4.71) である。ここで、 (3 2)m+2 = ( 7 2)m 15 4 , ( 1 2)m+2 = ( 5 2)m 3 4, (4.72) (m + 2)! = 2(3)m (4.73) なので、 c4 = α4 4a1 ∞ ∑ m=0 α2m [₁₅2 27 (7₂)m(7₂)m (3)mm! − 3· 15 26 (5₂)m(7₂)m (3)mm! ] = 45α 4 256a1 [₅ 2F ( 7 2, 7 2, 3, α 2_{)− F (}5 2, 7 2, 3, α 2₎] _(4.74) となる。これは (4.4) と一致する (数値的に確かめた)。

5

2

次摂動

以下、水星に注目する。

5.1

大きさの評価

さて、(1.13) は、 dδ1e dt = − √ 1− e2 0 n0a20 [ _e 1 +√1− e2 ∂R ∂ε + 1 e ∂R ∂ϖ ] x=x0 (5.1) であった。右辺のうち、第 2 項の、R が e に比例する部分 (eReと書く) からの寄与を考えると、 dδ1e dt = ˙e− √ 1− e2 0 n0a20 ∂Re ∂ϖ   x=x0 (5.2) を得る。ここで、 ˙e は定数 (永年項) である。また、 Re = Gm1 a1 [ _∑∞ j=−∞ fjcos(jn1t− [1 − j]nt − ϖ) +3α 2 cos(n1t− ϖ) − α 2 cos(n1t− 2nt + ϖ) ] , (5.3) fj = −jb (j) 1/2− αD 2 b (j) 1/2 (5.4) である [3]。よって、 − 1 n0a20 ∂Re ∂ϖ   x=x0 =−Gm1 n0a30 α [ _∑∞ j=−∞ fjsin(jn1t− [1 − j]nt − ϖ) +3α 2 sin(n1t− ϖ) + α 2 sin(n1t− 2nt + ϖ) ] =−2πm1 M T α [ _∑∞ j=−∞ fjsin(jn1t− [1 − j]nt − ϖ) +3α 2 sin(n1t− ϖ) + α 2 sin(n1t− 2nt + ϖ) ] (5.5) である。ここで、T は公転周期であり、 T2 a3 = 4π2 GM (5.6) を用いた。(5.5) で T は無摂動値 T0のことである。j =−1, 0, 1 だけを取り出すと、 − 1 n0a20 ∂Re ∂ϖ   x=x0 = −2πm1 M T α [

− f0sin(nt + ϖ)− f−1sin(n1t + 2nt + ϖ) + f1sin(n1t− ϖ)

+3α 2 sin(n1t− ϖ) + α 2sin(n1t− 2nt + ϖ) ] (5.7)

である。積分すると、 δ1e = ˙et + m1 M α [ − f0cos(nt + ϖ) + −f−1 n n1+ 2n cos(n1t + 2nt + ϖ) + n n1 f1cos(n1t− ϖ) +3α 2 n n1 cos(n1t− ϖ) + α 2 n n1− 2n cos(n1t− 2nt + ϖ) ] +· · ·

≡ ˙et +[δ0cos(nt + ϖ) + δ1cos(n1t + 2nt + ϖ) + δ2cos(n1t− ϖ)

+δ3cos(n1t− 2nt + ϖ) ] +· · · (5.8) となる。ここで、 δ0 = m1 M α2_D 2 b (0) 1/2, (5.9) δ1 = m1 M n n1+ 2n α ( − b(1) 1/2+ αD 2 b (1) 1/2 ) = −m1 M 1 T /T1+ 2 α ( b(1)_1/2−αD 2 b (1) 1/2 ) , (5.10) δ2 = − m1 M T1 T α ( b(1)_1/2− 3α 2 + αD 2 b (1) 1/2 ) , (5.11) δ3 = m1 M n n1− 2n α2 2 = −m1 M 1 2− T/T1 α2 2 (5.12) である。木星からの摂動で、 δ0 = 2.0× 10−7, (5.13) δ1 =−1.3 × 10−6, (5.14) δ2 =−1.4 × 10−6, (5.15) δ3 =−1.3 × 10−6 (5.16) である。よって、δ := max|δi| ∼ 10−6である。水星では e≈ 0.2 なので、 δ e ∼ 10 −5 _(5.17) である。よって、 ˙ ϖi := dδiϖ/dt の永年部の大きさ (i = 1, 2) (5.18) とすると、 ˙ ϖ2 ˙ ϖ1 = Aδ e = 10 −4_{から 10}−5_{程度 (5.19)} である。ここで、A はオーダー 1 の数である。

ところで、Bretagnon の 1982 年の計算によると、惑星による水星の dϖ/dt は 529.90 秒角 / 世紀である (これを ˙ϖBと書く)。一方、1 次摂動では、509.63 秒角 / 世紀であった (これを ˙ϖ1 と書く)。この差 ˙ ϖB− ˙ϖ1 = 20.27 秒角/世紀, (5.20) ˙ ϖB− ˙ϖ1 ˙ ϖ1 = 0.040 (5.21) は 2 次摂動では説明できないように思える。

5.2

一般論

R を一般に、 R = e∑ α cαenαcos(aαt + bαϖ + θα) + e ∑ β cβenβcos(bβϖ + θβ) (5.22) と書く。aα ̸= 0 とする。このとき、 − √ 1− e2 0 n0a20 1 e0 ∂R ∂ϖ   x=x0 = √ 1− e2 0 n0a20 [ ∑ α cαbαen0αsin(aαt + bαϖ + θα) + ∑ β cβbβe nβ 0 sin(bβϖ + θβ) ] (5.23) である。e の方程式を、 de dt = − √ 1− e2 na2 1 e ∂R ∂ϖ (5.24) と近似すると、 δ1e = − √ 1− e2 0 n0a20 [ ∑ α cαbα aα enα 0 cos(aαt + bαϖ + θα)− ∑ α cαbα aα enα 0 cos(bαϖ + θα) +t∑ β cβbβe nβ 0 sin(bβϖ + θβ) ] ≡ δ(1) 1 e + δ (2) 1 e + δ (3) 1 e (5.25) である。さて、ϖ の方程式を、 dϖ dt = √ 1− e2 na2_e ∂R ∂e (5.26) で近似すると、2 次摂動のうち δ1e からの寄与は、 dδ2ϖ dt = 1 n0a20 ∂R ∂e   x=x0 δ1e ∂ ∂e (√_{1− e}2 e ) e=e0 + √ 1− e2 0 n0a20e0 ∂2_R ∂e2   x=x0 δ1e ≡ δ(0) 2 ϖ + δ˙ (1) 2 ϖ˙ (5.27)

となる。ここで、 ∂R ∂e   x=x0 =∑ α cα(1 + nα)en0αcos(aαt + bαϖ + θα) + ∑ β cβ(1 + nβ)e nβ 0 cos(bβϖ + θβ) ≡ r(1) e + r (2) e (5.28) である。また、 ¯ δ₂(0)ϖ :=˙ 1 n0a20 ⟨∂R ∂e   x=x0 (δ₁(1)e + δ₁(2)e)⟩0 (5.29) とすると、 ¯ δ₂(0)ϖ =˙ 1 n0a20 ⟨r(1) e δ (1) 1 e⟩0+ 1 n0a20 r_e(2)δ₁(2)e (5.30) である。第 1 項は、 ⟨r(1) e δ (1) 1 e⟩0 = ∑ α,α′ cαcα′bα′ aα′ (1 + nα)e nα+nα′ 0 ⟨cos(aαt + bαϖ + θα) cos(aα′t + bα′ϖ + θα′)⟩0 (5.31) である。一般に、 ⟨cos(at + b) cos(ft + g)⟩0 = 1 2δa+f,0cos(b + g) + 1 2δa−f,0cos(b− g) (5.32) である。aα > 0 とすると、 ⟨r(1) e δ (1) 1 e⟩0 = ∑ α,α′ cαcα′bα′ aα (1 + nα)e nα+nα′ 0 1 2δaα−aα′,0cos[(bα− bα′)ϖ + (θα− θα′)] = 1 2 ∑ α c2 αbα aα (1 + nα)e2n0 α +1 2 ∑ α̸=α′ cαcα′bα′ aα (1 + nα)e nα+nα′ 0 δaα−aα′,0cos[(bα− bα′)ϖ + (θα− θα′)](5.33) を得る。

6

高次展開：考察

摂動関数の高次展開について考える。今、 F := −2r1r∆f, (6.1) ∆f := f (I, I1)− f(0, 0) = f2+ f4+· · · (6.2) と置く。f2nは sin I, sin I1の 2n 次である。このとき、 ∆2 = ∆2₀+ F (6.3) となり、 1 ∆ = 1 ∆0 [ 1 + F ∆2 0 ]_−1/2 = 1 ∆0 − 1 2 F ∆3 0 +3 8 F2 ∆5 0 +· · · = 1 ∆0 + r1r∆f ∆3 0 + 3 2 r2₁r2(∆f )2 ∆5 0 +· · · = 1 ∆0 + r1rf2 ∆3 0 +r1rf4 ∆3 0 +3 2 r2₁r2f₂2 ∆5 0 +· · · (6.4) となる。さて、 1 ∆s 0 = 1 rs 1 ∞ ∑ n=0 n ∑ k=−n cos k(η₁′ − η′)Cs,k,n (_r r1 )n (6.5) と置く。ここで、 Cs,k,n = { C_n,(n+k)/2(s/2) for (n + k)/2 = 0, 1,· · · , n 0 for その他 (6.6) である。また、 cos k(η′₁− η′) = 1 2[e ik(η′1−η′)_{+ e}−ik(η′1−η′)_] = 1 2[e

ik(ϖ1−ϖ)_eik(φ1−φ)_{+ e}−ik(ϖ1−ϖ)_e−ik(φ1−φ)_{] (6.7)}

である。 さて、 1 ∆ = ∞ ∑ i=0 (2i)! (i!)2 (₁ 2r1r∆f )i ₁ ∆2i+1₀ (6.8) である。 ρ := ∆0 e=e1=0 (6.9)

とすると、 1 ∆2i+1₀ = ∞ ∑ n=0 n ∑ l=0 nCl (r− a)l_(r 1− a1)n−l n! ∂n ∂al_∂an−l 1 1 ρ2i+1 = ∞ ∑ n=0 n ∑ l=0 nCl εl_εn−l 1 n! Dl,n−l 1 ρ2i+1, (6.10) ε := r− a a , (6.11) Dn,m := anam1 ∂n+m ∂an_∂am 1 (6.12) である。ここで、 1 ρ2i+1 = 1 2a2i+1₁ ∞ ∑ k=−∞ b(k) i+1₂(α) cos k(η ′ 1 − η′) , α = a a1 (6.13) である (これはラプラス係数の定義である)。よって、 1 ∆ = ∞ ∑ i=0 ∞ ∑ k=−∞ ∞ ∑ n=0 n ∑ l=0 (2i)! (i!)2 (₁ 2r1r∆f )i nCl εl_εn−l 1 n! cos k(η ′ 1− η′)Dl,n−l [ ₁ 2a2i+1₁ b (k) i+1₂(α) ] = ∞ ∑ i=0 ∞ ∑ k=−∞ ∞ ∑ n=0 n ∑ l=0 (2i)! (i!)2 (₁ 2r1r∆f )i nCl εlεn₁−l n! cos k(η ′ 1− η′)A (i,k) l,n−l(α, a1), (6.14) A(i,k)_nm (α, a1) := Dnm [ ₁ 2a2i+1₁ b (k) i+1₂(α) ] (6.15) となる。 上式より、 1 ∆   e1=I=I1=0 = ∞ ∑ k=−∞ ∞ ∑ n=0 εn n! cos k(η ′ 1− η′)A (0,k) n0 (α, a1), (6.16) A(0,k)_n0 (α, a1) = 1 2a1 an ∂ n ∂anb (k) 1 2 (α) = 1 2a1 αn d n dαnb (k) 1 2 (α) = 1 2a1 αnDnb(k)1 2 (α) (6.17) となる。よって、摂動関数の永年部の e2p_{の係数 c} 2pは、 c2p = 1 2a1 ∞ ∑ k=−∞ ∞ ∑ n=0 αnDnb(k)1 2 (α) [⟨_εn n! cos k(η ′ 1− η′) ⟩ 0 ] 2p = 1 2a1 ∞ ∑ n=0 αnDnb(0)1 2 (α)[⟨ε n_⟩ 0 n! ] 2p = 1 2a1 2p ∑ n=0 αnDnb(0)1 2 (α)[⟨ε n_⟩ 0 n! ] 2p (6.18)

となる。ここで、f (e) が e でマクローリン展開可能なとき、 f (e) = ∑ p=0 [f ]pep (6.19) という記号を用いた。(2.23) より、 ⟨εn_⟩ 0 = 1 2π ∫ 2π 0 du (1− e cos u) [ (1− e cos u) − 1 ]n = (−1)nen 1 2π ∫ 2π 0 du (cosnu− e cosn+1u) (6.20) である。よって、 [⟨εn⟩ 0 n! ] 2p = δn,2p (2p)! 1 2π ∫ 2π 0 du cos2pu + δn,2p−1 (2p− 1)! 1 2π ∫ 2π 0 du cos2pu = [_δ n,2p (2p)! + δn,2p−1 (2p− 1)! ]_{(2p− 1)!!} (2p)!! (p≥ 1) = δn,2p [(2p)!!]2 + δn,2p−1 (2p)!!(2p− 2)!! (6.21) となる。従って、 c2p = 1 2a1 [ ₁ [(2p)!!]2α 2p D2pb(0)1 2 (α) + 1 (2p)!!(2p− 2)!!α 2p−1 D2p−1b(0)1 2 (α) ] (6.22) を得る。特に、 c4 = 1 a1 1 128[α 4_D4_b(0) 1 2 (α) + 4α3D3b(0)1 2 (α)] (6.23) である。これは (4.31) と一致する。

A

高次展開：

Hansen

係数を使う方法

さて、t = t0で φ = 0 とし、 M := n(t− t0) = 2π t− t0 τ (A.1) とする。このとき、 (_r a )n eikφ = ∞ ∑ m=−∞

X_mn,k(e)eimM (A.2)

と置く。Xn,k m (e) は離心率 e の関数で、Hansen 係数と呼ばれる。このとき、 1 ∆s 0 = 1 as 1 ∞ ∑ n=0 n ∑ k=−n 1 2[e

ik(ϖ1−ϖ)_eik(φ1−φ)_{+ e}−ik(ϖ1−ϖ)_e−ik(φ1−φ)_]C s,k,nαn (_r a )n(_r1 a1 )_−n−s = 1 2as 1 ∞ ∑ n=0 n ∑ k=−n eik(ϖ1−ϖ)_C s,k,nαn ∞ ∑ m,m1=−∞ ei(mM +m1M1)_Xn,−k m (e)Xm−n−s,k1 (e1) + 1 2as 1 ∞ ∑ n=0 n ∑ k=−n e−ik(ϖ1−ϖ)_C s,k,nαn ∞ ∑ m,m1=−∞ ei(mM +m1M1)_Xn,k m (e)Xm−n−s,−k1 (e1) (A.3) である。上式の長時間平均は、 ⟨ ₁ ∆s 0 ⟩ 0 = 1 2as 1 ∞ ∑ n=0 n ∑ k=−n eik(ϖ1−ϖ)_C s,k,nαnX0n,−k(e)X0−n−s,k(e1) + 1 2as 1 ∞ ∑ n=0 n ∑ k=−n e−ik(ϖ1−ϖ)_C s,k,nαnX n,k 0 (e)X0−n−s,−k(e1) (A.4) である。ところで、

X_mn,k(e)∗ = X_−mn,−k(e) (A.5)

より、

X₀n,−k(e) = X₀n,k(e)∗ (A.6)

である。よって、 ⟨ ₁ ∆s 0 ⟩ 0 = 1 as 1 ∞ ∑ n=0 n ∑ k=−n ℜ[eik(ϖ1−ϖ)_C s,k,nαnX0n,−k(e)X0−n−s,k(e1) ] (A.7) となる。_{ℜ[Z] は Z の実部である。また、実は Hansen 係数は実数なので、} ⟨ ₁ ∆s 0 ⟩ 0 = 1 as 1 ∞ ∑ n=0 n ∑ k=−n cos k(ϖ1− ϖ)Cs,k,nαnX0n,k(e)X0−n−s,k(e1) = 1 as 1 [_∑∞ n=0 Cs,0,nαnX0n,0(e)X0−n−s,0(e1) +2 ∞ ∑ n=1 n ∑ k=1 cos k(ϖ1− ϖ)Cs,k,nαnX0n,k(e)X0−n−s,k(e1) ] (A.8)

となる。さて、s = 1 とし、 ⟨ ₁ ∆0 ⟩ 0 = M (e, e1) = ∞ ∑ p,p1=0 cp,p1e p_ep1 1 (A.9) と置く。f (e) が e でマクローリン展開可能なとき、 f (e) = ∑ p=0 [f ]pep (A.10) という記号を使うと、 cp,p1 = 1 a1 [_∑∞ n=0 Cs,0,nαn[X0n,0]p[X0−n−1,0]p1 +2 ∞ ∑ n=1 n ∑ k=1 cos k(ϖ1− ϖ)Cs,k,nαn[X0n,k]p[X0−n−1,k]p1 ] (A.11) となる。さて、上式で (つまり、n_{≥ k ≥ 0 のとき)、} X₀n,k(e) = [(n+1_∑−k)/2] l=0 κ+_n,k,lek+2l, (A.12) κ+_n,k,l = (−1)k(n + 1 + k)! (n + 1)! (n + 1− k)! l!(k + l)!(n + 1− k − 2l)! 1 2k+2l, (A.13) X₀−n−1,k(e1) = 1 (1− e2 1)n−1/2 ˜ X₀−n−1,k(e1), (A.14) ˜ X₀−n−1,k(e1) = [(n−1−k)/2]_∑ l=0 κ−_n,k,lek+2l₁ , (A.15) κ−_n,k,l = (n− 1)! l!(k + l)!(n− 1 − k − 2l)! 1 2k+2l (A.16) である [5]。よって、 [X₀n,k]p = { κ+_{n,k,(p−k)/2} for (p− k)/2 = 0, 1, · · · , [(n + 1 − k)/2] 0 for その他 (A.17) である。また、 [ ˜X₀−n−1,k]p1 = { κ−_n,k,(p 1−k)/2 for (p1− k)/2 = 0, 1, · · · , [(n − 1 − k)/2] 0 for その他 (A.18) であり、 [ ˜X₀−n−1,k]p1 = p1 ∑ q=0 [ ₁ (1− e2 1)n−1/2 ] q[ ˜X −n−1,k 0 ]p1−q = [p∑1/2] q=0 [ ₁ (1− e2 1)n−1/2 ] 2q [ ˜X₀−n−1,k]p1−2q (A.19)

である。これより、p + p1が奇数のとき cp,p1 = 0 となる。さて、p + p1 = 2N と置く。N = 0, 1, 2 に対して、p を与えたときに許される k の値を考える。k は、 (p− k)/2 = 0, 1, · · · , [(n + 1 − k)/2], (A.20) N − (p + k)/2 = 0, 1, · · · , [(n − 1 − k)/2] (A.21) を満たす。よって、 • p = 0 なら k = 0 のみが解である。 • p = 1 なら k = 1 のみが解である。 • p = 2 なら、k = 0, 2, · · · , 2N − 2 のみ (N = 1 なら k = 0 のみ, N = 2 なら k = 0, 2)。 • p = 3 なら、k = 1, 3, · · · , 2N − 3 のみ (N = 2 なら k = 1 のみ)。 • p = 4 なら、k = 0, 2, · · · , 2N − 4 のみ (N = 2 なら k = 0 のみ)。 である。よって、 c0,2N = 1 a1 ∞ ∑ n=0 C1,0,nαn[X0n,0]0[X0−n−1,0]2N, (A.22) c1,2N−1 = 2 cos(ϖ1− ϖ) a1 ∞ ∑ n=1 C1,1,nαn[X0n,1]1[X0−n−1,1]2N−1, (A.23) c2,0 = 1 a1 ∞ ∑ n=0 C1,0,nαn[X n,0 0 ]2[X0−n−1,0]0, (A.24) c2,2 = 1 a1 [_∑∞ n=0 C1,0,nαn[X0n,0]2[X0−n−1,0]2 +2 cos(2ϖ1− 2ϖ) ∞ ∑ n=1 C1,2,nαn[X0n,2]2[X0−n−1,2]2 ] , (A.25) c3,1 = 2 cos(ϖ1− ϖ) a1 ∞ ∑ n=1 C1,1,nαn[X0n,1]3[X0−n−1,1]1, (A.26) c4,0 = 1 a1 ∞ ∑ n=0 C1,0,nαn[X n,0 0 ]4[X0−n−1,0]0 (A.27) である。n についての和は偶数についてのみか、奇数についてのみとなる。 さて、摂動関数の sinu_{I sin}u1_I 1の係数は、以下のタイプの項の線形結合である： ds,w,l,l1 := (r1r)weilφeil1φ1 ∆s 0 = ∞ ∑ n=0 n ∑ k=−n 1 2[e

ik(ϖ1−ϖ)_ei(k+l1)φ1−i(k−l)φ_{+ e}−ik(ϖ1−ϖ)_e−i(k−l1)φ1+i(k+l)φ)_]C s,k,n rn+w r₁n+s−w = (aa1) w 2as 1 ∞ ∑ n=0 n ∑ k=−n ∞ ∑ m,m1=−∞ Cs,k,nαn[eik(ϖ1−ϖ)Xmn+w,−k+l(e)Xm−n−s+w,k+l1 1(e1) +e−ik(ϖ1−ϖ)_Xn+w,k+l m (e)Xm−n−s+w,−k+l1 1(e1)]. (A.28)

これの長時間平均は、 ⟨ds,w,l,l1⟩0 = (aa1)w 2as 1 ∞ ∑ n=0 n ∑ k=−n Cs,k,nαn[eik(ϖ1−ϖ)X0n+w,−k+l(e)X−n−s+w,k+l 1 0 (e1) +e−ik(ϖ1−ϖ)_Xn+w,k+l 0 (e)X−n−s+w,−k+l 1 0 (e1)] (A.29) である。Xn,k 0 = X n,−k 0 より、 ⟨ds,w,l,l1⟩0 = (aa1)w 2as 1 ∞ ∑ n=0 n ∑ k=−n Cs,k,nαn[eik(ϖ1−ϖ)X n+w,k−l 0 (e)X−n−s+w,k+l 1 0 (e1) +e−ik(ϖ1−ϖ)_Xn+w,k+l 0 (e)X−n−s+w,k−l 1 0 (e1)] (A.30) である。実際には、s = 1 + 2w の場合のみが現れる。よって、 dw,l,l1 := ⟨d1+2w,w,l,l1⟩0 = α w 2a1 ∞ ∑ n=0 n ∑ k=−n C2w+1,k,nαn[eik(ϖ1−ϖ)X0n+w,k−l(e)X−n−w−1,k+l 1 0 (e1) +e−ik(ϖ1−ϖ)_Xn+w,k+l 0 (e)X−n−w−1,k−l 1 0 (e1)] (A.31) と置く。

References

[1] 木下 宙『天体と軌道の力学』(東京大学出版会, 1998). [2] 井上 猛「天体力学入門講座 (8)」

http://perihelie.main.jp/contents/0508_icm8_tenkai.pdf

[3] K. M.Ellis and C. D.Murray, “The disturbing function in solar system dynamics”, Icarus,

147, 129 (2000).

[4] J. W. Lubbock, “On the Determination of the Terms in the Disturbing Function of the Fourth Order as Regards the Eccentricities and Inclinations Which Give Rise to Secular Inequalities”, Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 125, 57 (1835). [5] J. Laskar, G. Boue, “Explicit expansion of the three-body disturbing function for ar-bitrary eccentricities and inclinations”, Astronomy & Astrophysics, 522, A60 (2010). [arXiv:1008.2947]