ランダム性のある行列と固有ベクトルの局在化について

全文

(1)Vol.2016-HPC-154 No.7 2016/4/25. 情報処理学会研究報告 IPSJ SIG Technical Report. ランダム性のある行列と固有ベクトルの局在化について村上弘1,a). 概要：ランダム性を持つ隣接相互作用から導かれる実対称 3 重対角行列の固有ベクトルに生じる局在化現象について実験と考察をしてみる．キーワード：固有ベクトル, 局在化, ランダム行列. On Localizations of Eigenvectors of a Matrix with Randomness Hiroshi Murakami1,a). Abstract: We try to make some experiments and considerations on the localization phenomena of eigenvectors of a real symmetric tridiagonal matrix which is derived from interactions between neighbor sites with randomness. Keywords: eigenvector, localization, random matrix. 1. はじめに低次元の空間内に離散点が分布していて，隣接（近接）. を行列の添字にすると，相互作用を表わす行列 A は N 次の実対称 3 重対角形になる．そうして主対角要素 αj = aj,j と副対角要素 βj = aj+1,j = aj,j+1 がランダム性を持つも. する点の間にだけ相互作用が働くとする．簡単のため相互. のとする．行列 A の N 個の固有対（すべて実にとれる）. 作用は作用反作用的であるとする．各離散点につけた番号. を (λ(p) , v(p) )，p=1, 2, . . ., N とする．固有ベクトルは 2 乗. を添字とする実対称行列で系全体の相互作用を表現するも. ノルムが 1 と正規化されているとする．固有ベクトルが局. のを考える．そのとき相互作用の強さにランダム性があっ. 在化していれば，ベクトルの要素の相対的な強度は，添字. て，系の規模が十分大きくなるとき対応する行列の固有ベ. の値がある幅の狭い区間に含まれるときだけ大きくて，添. クトルは局在化する傾向を持つ．ここでベクトルの局在化. 字の値がその区間から離れると急減少する．. とは，元の空間では距離が近い狭い範囲の離散点の集団に対応する比較的少ない個数のベクトルの要素だけが強い値を持ち，その範囲から離れた離散点に対応するベクトルの要素は値が急減少していることとする．今回は系が 1 次元の場合に限って，この隣接ネットワークに対するランダム行列の固有ベクトルの局在化について. 1.1 ベクトルの「中心」と「半径」，局在区間の幅固有ベクトルの局在化の状況を調べるために，ベクトルの要素の値の分布の中心位置の指標として，（いま固有ベクトルは正規化されていて. 実数であるとして，離散点に座標の順に番号を付けてそれ 1. a). 首都大学東京・数理情報科学専攻 Department of Mathematics and Information Sciences, Tokyo Metropolitan University [email protected]. ⓒ 2016 Information Processing Society of Japan. j=1. vj 2 = 1 なので）要素の. 値の 2 乗 wj = vj 2 を重みとする添字の値 j の平均値. 実験と若干の考察を行なう．いま離散点が N 個あり，各点はその左右の点とだけ相互作用を持つとする．相互作用は. N. μ=. N . j wj. j=1. をとる．それをここではベクトルの要素の 2 乗の分布の「中心」，あるいは単に「中心」（center）と呼ぶことにする．またベクトルの要素の値の分布の広がりの大きさを与える. 1.

(2) Vol.2016-HPC-154 No.7 2016/4/25. 情報処理学会研究報告 IPSJ SIG Technical Report. 指標として，同じ重み wj による「中心」からの添字の値. 心」をとり，縦軸に固有ベクトルの「半径」をとって. の分散の値. プロットしたものである．. σ2 =. N . • 最下段のグラフは，横軸に固有値の昇順の順位をと. (j − μ)2 wj. り，縦軸に固有ベクトルの「局在区間の幅」をとって. j=1. プロットしたものである．. をとり，それの平方根である標準偏差 σ を，ここではベク. 固有ベクトルの局在区間の幅（要素の分布の幅）は，固有値. トルの要素分布の「半径」，あるいは単に「半径」（radius）. の上限と下限の付近で非常に狭いが，固有値分布の中央付近. と呼ぶことにする．. では広くなっている．その幅の最大値は，N =1, 000 のとき. 注：局在化の様子を調べるのには，重みとしてたとえば要素の絶対値の相対比 wj = |vj |/ 2. N. =1. |v | を（要素の値. 1, 000 程度で，N =3, 000 のとき 1, 200 程度で，N =10, 000 のとき 1, 200 程度で，N =30, 000 のとき 1, 300 程度である．. の 2 乗である重み wj = vj のかわりに）用いてもよくて，. この傾向が続くならば，N が大きくなると，N に比べて局. どちらでも結果の傾向は同様になる．. 在区間の幅が相対的に狭くなっていくと思われる．. 1 次元空間の離散化で得られた N 次のベクトル v の局. N =1, 000，N =3, 000，N =10, 000，N =30, 000 のそれぞ. 在区間は，ある小さい正の値を閾値とするとき，|vj | > . れの場合について固有値の下端側から 6 個のベクトルにつ. を満たす添字 j をすべて含む最小の閉区間のこととする．. いて，横軸に要素の添字 j をとり，縦軸には要素の大きさ. そうして「局在区間の幅」を局在区間に含まれる添字の値. |vj | の対数をとってプロットしたグラフを図 25 に示す．. の個数（添字の最大値から最小値を引いて 1 を加えた値）. 固有ベクトルの要素の値の分布が非常に狭い幅の区間に局. のことであるとする．局在区間およびその「幅」は閾値 . 在化していることが見てとれる．. −6. に依存して決まる．以下の実験の中では閾値の値を 10 に設定している．. 2. ランダムな実対称 3 重対角行列の実験例 N 次の実対称 3 重対角行列 A が要素の値にランダム性. N =30, 000 の場合について，固有値の昇順で第 10, 001 番から第 10, 006 のベクトルについて，横軸に要素の添字 j をとり，縦軸には要素の大きさ |vj | の対数をとってプロットしたグラフを図 31 に示す．固有ベクトルの要素の値の分布が狭い幅の区間に局在化していることが見てとれる．. を持つ場合の例について，数値実験をしてみた（3 重対角行列の固有対をすべて求めるのには，Lapack の倍精度ルーチン DSTEQR でインテル社の Math Kernel ライブラリにも. 2.2 主対角要素が零で副対角要素がランダムの場合いま {rj } を区間 [−1, 1] 上の一様分布乱数列として，. 含まれているものを用いた．これは固有値を QR 反復法を. 実対称 3 重対角行列 A を主対角要素の値はすべて一. 用いて解いている．）. 定値である零に設定し，副対角要素はランダムな値. 2.1 主対角要素がランダムで副対角要素が一定の場合. 定した．. aj+1,j = aj,j+1 = −1 + (1/2)rj ，j=1, 2, . . ., N − 1 に設いま {rj } を区間 [−1, 1] 上の一様分布乱数列として，行列 A は実対称 3 重対角行列で，主対角要素をランダムな値. 次数 N が 1, 000，3, 000，10, 000，30, 000 の各場合について，それぞれ同じ乱数の列を用いて行列要素を生成して，. aj,j = 2 + rj ，j=1, 2, . . ., N と設定し，副対角要素の値は. その固有対をすべて求めて，固有ベクトルの要素の（2 乗. 一定の値 aj+1,j = aj,j+1 = −1，j=1, 2, . . ., N − 1 に設定. の）値の分布を調べた．この場合も上と同様に結果の例を. した．. それぞれ 4 段に重ねたグラフで次数 N の各場合について，. 次数 N が 1, 000，3, 000，10, 000，30, 000 の各場合につ. 図 5，図 6，図 7，図 8 に示している．. いて，それぞれ同じ乱数の列を用いて行列要素を生成して，. この例では，行列の性質（対角要素が零の実対称 3 重対. その固有対をすべて求め，固有ベクトルの要素の（2 乗の）. 角行列）から固有値は必ず正負に対称に現れる（λ が固有. 値の分布を調べた．次数 N の各場合について，結果の例. 値なら −λ も固有値である）．固有ベクトルの局在区間の幅. を図 1，図 2，図 3，図 4 に，それぞれ 4 段に重ねたグラ. （要素の分布の幅）は，固有値の上限下限付近で非常に小さ. フで示している．. • 最上段のグラフは，横軸に固有値の昇順の順位をとり，縦軸に固有ベクトルの「半径」をとってプロットしたものである．. • 上から 2 段目のグラフは，横軸に固有値の値をとり，. いが，固有値分布の中央付近の狭い範囲では（固有値が零の付近）では N を増加させても広いままである．その幅の最大値は，N =1, 000 のとき 1, 000 程度で，N =3, 000 のときほぼ 3, 000 程度で，N =10, 000 のとき 4, 200 程度で，. N =30, 000 のとき 11, 000 程度である．固有値分布の中央. 縦軸に固有ベクトルの「半径」をとってプロットした. 付近以外では，局在区間の幅は N との相対比が減少して. ものである．. いく傾向を持っている．. • 上から 3 段目のグラフは，横軸に固有ベクトルの「中 ⓒ 2016 Information Processing Society of Japan. N =1, 000，N =3, 000，N =10, 000，N =30, 000 のそれぞ 2.

(3) Vol.2016-HPC-154 No.7 2016/4/25. 情報処理学会研究報告 IPSJ SIG Technical Report. れの場合について固有値の下端側から 6 個のベクトルにつ. 対して（正値の）バネ定数 kj+1 を持つバネにより隣り合. いて，横軸に要素の添字 j をとり，縦軸には要素の大きさ. う質点 Pj と Pj+1 の間が連結されているとする．各質点の. |vj | の対数をとってプロットしたグラフを図 26 に示す．. 平衡位置からの変位を xj ，j=1, 2, . . ., N とする．仮想的な. 固有ベクトルの要素の値の分布が非常に狭い幅の区間に局. 質点は固定されていて変位 x0 と xN +1 は常に零とする．. 在化していることが見てとれる．. N =30, 000 の場合について，固有値の昇順で第 10, 001 番から第 10, 006 のベクトルについて，横軸に要素の添字 j をとり，縦軸には要素の大きさ |vj | の対数をとってプロットしたグラフを図 32 に示す．固有ベクトルの要素の値の分布が狭い幅の区間に局在化していることが見てとれる．. 2.3 主対角要素と副対角要素がすべてランダムの場合いま {rj } と {sj } をそれぞれ区間 [−1, 1] 上の独立な一様分布乱数として，実対称 3 重対角行列 A を，主対角要. すると，これら N 個の質点の運動方程式は，. −mj. d2 xj = −kj xj−1 +(kj +kj+1 )xj −kj+1 xj+1 , j=1, 2, . . ., N dx2. となる（ただし上式で j = 1 のときは x0 = 0 で，j = N のときは xN +1 = 0 である）．いま M を対角行列でその第 j 番目の対角要素は mj であるとし，K を対称 3 重対角行列でその第 j 番目の対角要素は αj = kj + kj+1 ，j=1, 2, . . ., N で，第 j 行目の下副対角要素は βj = −kj+1 ，j=1, 2, . . ., N − 1 であるとする（K は正定値行列である）．. ⎡. 素をランダムな値 aj,j = 2 rj ，j=1, 2, . . ., N に設定し，副対角要素もランダムな値 aj+1,j = aj,j+1 = −(1 + sj )，. α1. ⎢ ⎢ β1 ⎢ ⎢ K=⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣. j=1, 2, . . ., N − 1 に設定した．次数 N が 1, 000，3, 000，10, 000，30, 000 の各場合について，それぞれ同じ乱数の列を用いて行列要素を生成して，その固有対をすべて求めて，固有ベクトルの要素の（2 乗. ⎤. β1 α2. β2. β2. α3 .. .. ... .. ... .. βN −1. βN −1. の）値の分布を調べた．この場合も上と同様に結果の例を. ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦. αN. それぞれ 4 段に重ねたグラフで次数 N の各場合について，. するとこのバネ連成系の運動方程式（常微分方程式）は，. 図 9，図 10，図 11，図 12 に示している．. 行列形で. 固有ベクトルの局在区間の幅（要素の分布の幅）は固有値分布の両端付近では狭くなる傾向を示す．その幅の最大値は，N =1, 000 のとき 80 程度，N =3, 000 のとき 80 程度，. N =10, 000 のとき 100 程度，N =30, 000 のとき 110 程度，とほぼ一定の値を示している．このため，局在区間の幅の. N に対する比は減少し，固有ベクトルはどれも局在性が著しい．. M. d2 x = −Kx dt2. と書ける．さらにいま y = M 1/2 x，A = M −1/2 KM −1/2 とおくと，A は正定値対称 3 重対角行列で第 j 番目の対角 √ 要素は αj /mj ，第 j 列目の下副対角要素は βj / mj mj+1 となる．そうして y についての常微分方程式は. れの場合について固有値の下端側から 6 個のベクトルにつ. d2 y = −Ay dt2. いて，横軸に要素の添字 j をとり，縦軸には要素の大きさ. となる．行列 A の固有対を (λ(q) , v(q) ) とすると，固有値は. |vj | の対数をとってプロットしたグラフを図 27 に示す．. すべて正の実数で，y の常微分方程式の一般解は c(q) ，φ(q). 固有ベクトルの要素の値の分布が非常に狭い幅の区間に局. を任意の実定数として，. N =1, 000，N =3, 000，N =10, 000，N =30, 000 のそれぞ. 在化していることが見てとれる．. N =30, 000 の場合について，固有値の昇順で第 10, 001. y=. トしたグラフを図 33 に示す．固有ベクトルの要素の値の. c(q) cos (λ(q) )1/2 t + φ(q) v(q). q=1. 番から第 10, 006 のベクトルについて，横軸に要素の添字 j をとり，縦軸には要素の大きさ |vj | の対数をとってプロッ. N . と書ける．バネ定数および質点の質量の分布をそれぞれ与えて行列. 分布が非常に狭い幅の区間に局在化していることが見てと. A を作り，その固有対を数値的にすべて求めて，固有ベク. れる．. トルの局在化の様子を実験で調べてみた．. 3. ランダム性を持たせた連成系の実験例. 3.1 実験：バネ定数がランダムで質量が一定の場合の例. いま直線上に順に N 個の質量 mj の質点 Pj ，j=1, 2, . . ., N. いま {rj } を区間 [−1, 1] 上の一様分布乱数列として，バ. があり，さらに固定されていて動かない仮想的な質点 P0. ネ定数をランダムな値 kj = 1 + (1/2)rj ，j=1, 2, . . ., N + 1. と PN +1 がそれぞれ P0 は P1 の前に，PN +1 は PN の後に. とし，質量は一定の値 mj = 1，j=1, 2, . . ., N とした．. あると考える．仮想的な質点も含めて，j=0, 1, 2, . . ., N に ⓒ 2016 Information Processing Society of Japan. その場合の連成系の行列 A は（正定値の）実対称 3 重対. 3.

(4) Vol.2016-HPC-154 No.7 2016/4/25. 情報処理学会研究報告 IPSJ SIG Technical Report. 角行列で，対角要素は aj,j = kj + kj+1 ，j=1, 2, . . ., N で，. 在区間の幅」も大きくて，次数 N を大きくしても局在化が. 副対角要素は aj+1,j = aj,j+1 = −kj+1 ，j=1, 2, . . ., N − 1. まったく起きていないが，例えば固有値が 2 以上のところ. となる．. では固有値が大きくなるにつれて「半径」も「幅」も減少. 次数 N が 1, 000，3, 000，10, 000，30, 000 の各場合について，それぞれ同じ乱数の列を用いて行列要素を生成して，. していて固有ベクトルの局在性が高くなっていくことがわかる．. その固有対をすべて求めて，固有ベクトルの要素の（2 乗. N =1, 000，N =3, 000，N =10, 000，N =30, 000 のそれぞ. の）値の分布を調べた．この場合も前と同様に結果の例を. れの場合について固有値の下端側から 6 個のベクトルにつ. それぞれ 4 段に重ねたグラフで次数 N の各場合について，. いて，横軸に要素の添字 j をとり，縦軸には要素の大きさ. 図 13，図 14，図 15，図 16 に示している．. |vj | の対数をとってプロットしたグラフを図 29 に示す．. 問題の性質から固有値は必ず正であり，グラフからは固. 固有ベクトルの要素の値の分布が局在化しておらず，ほぼ. 有値の範囲は 0 から 5.5 ぐらいの範囲にあることがわかる．. 1 次元ラプラシアンの固有関数のように広がっていること. 固有値が下端付近では，固有ベクトルの要素の分布の「半. がみてとれる．. 径」も「局在区間の幅」も大きくて，次数 N を大きくして. N =30, 000 の場合について，固有値の昇順で第 10, 001. も局在化がまったく起きていないが，例えば固有値が 2 以. 番から第 10, 006 のベクトルについて，横軸に要素の添字 j. 上のところでは，固有値が大きくなるにつれて「半径」も. をとり，縦軸には要素の大きさ |vj | の対数をとってプロッ. 「幅」も減少していて固有ベクトルの局在性が高くなって. トしたグラフを図 35 に示す．固有ベクトルの要素の値の. いくことがわかる．. N =1, 000，N =3, 000，N =10, 000，N =30, 000 のそれぞ. 分布が比較的幅のある区間に局在化していることが見てとれる．. れの場合について固有値の下端側から 6 個のベクトルについて，横軸に要素の添字 j をとり，縦軸には要素の大きさ. |vj | の対数をとってプロットしたグラフを図 28 に示す．. 3.3 実験：バネ定数も質量もランダムな場合の例いま {rj } と {sj } をそれぞれ区間 [−1, 1] 上の独立な. 固有ベクトルの要素の値の分布が局在化しておらず，ほぼ. 一様分布乱数列として，バネ定数をランダムな値 kj =. 1 次元ラプラシアンの固有関数のように広がっていること. 1 + (1/2)rj ，j=1, 2, . . ., N + 1 とし，質量もランダムな値. がみてとれる．. mj = 1 + (1/2)sj ，j=1, 2, . . ., N とした．. N =30, 000 の場合について，固有値の昇順で第 10, 001. その場合の連成系の行列 A は（正定値な）実対称 3 重対角. をとり，縦軸には要素の大きさ |vj | の対数をとってプロッ. 行列で，対角要素は aj,j = (kj +kj+1 )/mj ，j=1, 2, . . ., N と √ なり，副対角要素は aj+1,j = aj,j+1 = −kj+1 / mj mj+1 ，. トしたグラフを図 34 に示す．固有ベクトルの要素の値の. j=1, 2, . . ., N − 1 となる．. 番から第 10, 006 のベクトルについて，横軸に要素の添字 j. 分布が比較的狭い幅の区間に局在化していることが見てとれる．. 次数 N が 1, 000，3, 000，10, 000，30, 000 の各場合について，それぞれ同じ乱数の列を用いて行列要素を生成して，その固有対をすべて求めて，固有ベクトルの要素の（2 乗. 3.2 実験：質量がランダムでバネ定数が一定の場合の例いま {rj } を区間 [−1, 1] 上の一様分布乱数列として，質量をランダムな値 mj = 1 + (1/2)rj ，j=1, 2, . . ., N とし，バネ乗数は一定の値 kj = 1，j=1, 2, . . ., N + 1 とした．. の）値の分布を調べた．この場合も前と同様に結果の例をそれぞれ 4 段に重ねたグラフで次数 N の各場合について，図 21，図 22，図 23，図 24 に示している．グラフからは固有値の範囲は 0 から 9 の範囲にあるこ. その場合の連成系の行列 A は（正定値の）実対称 3 重. とがわかる．固有値が下端付近では，固有ベクトルの要素. 対角行列で，対角要素は aj,j = 2/mj ，j=1, 2, . . ., N と √ なり，副対角要素は aj+1,j = aj,j+1 = −1/ mj mj+1 ，. の分布の「半径」も「局在区間の幅」も大きくて，次数 N. j=1, 2, . . ., N − 1 となる．. 固有値が 2 以上のところでは固有値が大きくなるにつれて. 次数 N が 1, 000，3, 000，10, 000，30, 000 の各場合について，それぞれ同じ乱数の列を用いて行列要素を生成して，. を大きくしても局在化がまったく起きていないが，例えば「半径」も「幅」も減少していて固有ベクトルの局在性が高くなっていくことがわかる．. その固有対をすべて求めて，固有ベクトルの要素の（2 乗. N =1, 000，N =3, 000，N =10, 000，N =30, 000 のそれぞ. の）値の分布を調べた．この場合も前と同様に結果の例を. れの場合について固有値の下端側から 6 個のベクトルにつ. それぞれ 4 段に重ねたグラフで次数 N の各場合について，. いて，横軸に要素の添字 j をとり，縦軸には要素の大きさ. 図 17，図 18，図 19，図 20 に示している．. |vj | の対数をとってプロットしたグラフを図 30 に示す．. 問題の性質から固有値は必ず正で，グラフからは固有値. 固有ベクトルの要素の値の分布が局在化しておらず，ほぼ. の範囲は 0 から 7 の範囲にあることがわかる．固有値が下. 1 次元ラプラシアンの固有関数のように広がっていること. 端付近では，固有ベクトルの要素の分布の「半径」も「局. がみてとれる．. ⓒ 2016 Information Processing Society of Japan. 4.

(5) Vol.2016-HPC-154 No.7 2016/4/25. 情報処理学会研究報告 IPSJ SIG Technical Report. N =30, 000 の場合について，固有値の昇順で第 10, 001. と近似できて，番号 p の異なる m 通りの計算は並列に行. 番から第 10, 006 のベクトルについて，横軸に要素の添字 j. なえる（このやり方で m 個の係数をすべて求める演算量. をとり，縦軸には要素の大きさ |vj | の対数をとってプロッ. は，積和の回数が各区間の幅の和. トしたグラフを図 36 に示す．固有ベクトルの要素の値の分布が幅の狭い区間に局在化していることが見てとれる．. 4. 局在化している固有ベクトルによる展開いま固有ベクトル v 比べて狭い区間 I. (p). (p). が局在化していて，区間 [1, N ] に. に含まれる添字を持つ要素だけが無視. できない大きさを持つとする．そのとき区間 I (p) を固有. m. p=1 |I (p). このとき，ある第 p 番目の局在区間 I. (p). | になる）．. が他の m − 1 個. の固有ベクトルの局在区間と重なりがなければ，c(p) の近似値の計算は更に簡略化できる．実際に x が m 個の固有ベクトルの線形結合であるならば，. x = c(1) v(1) + c(2) v(2) + · · · + c(m) v(m) であるが，いま添字 j が第 p 番目の固有ベクトルの局在区. ベクトル v(p) の局在区間（空間が多次元ならば局在領域）. 間 I (p) に含まれるならば，他の固有ベクトルの局在区間は. と呼ぶことにする．規格化された固有ベクトルの局在区間. その添字 j を含まないので，近似として. は，要素の値の大きさを無視する閾値に依存する（要素の (p). xj ≈ c(p) vj. 値の大きさは局在区間の外部では閾値以下になる）．固有ベクトルの 2 乗ノルムが 1 に正規化されていれば，与えられたベクトル x の固有ベクトル展開. x=. N . が成り立つとすれば， (p). (p). c. v. c(p) ≈ xj /vj. (p). p=1. により，展開係数 c(p) の近似値を除算 1 回で計算できる．. に於いて，固有ベクトルの正規直交性により展開係数は内. ただしなるべく良い近似が得られるように，添字 j = j (p). 積を用いて. として |vj | の値を最大にするものを選ぶ．各固有ベクト. (p). c(p) = (v(p) , x) =. N . ルについて，そのような良い添字を調べて準備しておくこ. (p). vj xj. とができる．m 個の固有ベクトルの局在区間がどれも互い. j=1. と計算できる．そのとき固有ベクトル v. に重なりを持たなければ，m 個の展開係数を求めるための (p). が局在化して. いれば，内積計算で積和を計算する添字 j の範囲を全区間. [1, N ] から固有ベクトル v c(p) ≈. (p). の局在区間 I. . (p). に置き換えて. (p). vj xj. j∈I (p). この近似法による演算量は除算 m 回となる．（これは連立 1 次方程式の係数行列の対角要素が優越的な場合の対角近似である．また，このようにして係数の近似値を得た後で，一種の残差反復で近似の改良を行なうことが考えられる．）局在区間に重なりのある固有ベクトルの組が存在する場. と近似ができる．この近似を採用すると，局在区間の幅. |I (p) | （区間に入る添字の個数）が小さければ，積和の回数が減って演算量が減らせるし，さらに固有ベクトル v(p) は添字が局在区間に入る要素だけを保持すれば良いので，作業に必要な記憶量も削減できる．. 4.1 ベクトルが疎な固有ベクトル展開を持つ場合与えられたベクトル x が少数 m 個（m N ）の既知の固有ベクトルを用いてそれらの線形結合として表わされる場合について考えてみる（数学的には近似をしなくても，. m 個の線形結合係数に対する連立 1 次方程式を解けば線形結合の係数を求められるが，計算量が一般的には O(m3 ) となるので，より効率の良い計算方法を求めたい．）. 合についての処理の考察は省略する．注：異なる固有ベクトルの局在区間は一般には重なりを持ちうる（もしも N 個の固有ベクトルについて，どの相異なる 2 つのベクトルにも局在区間に重なりがないとすると，それらの局在区間の幅は 1 以上だからすべての局在区間の幅は 1 になるが，それは一般的な状況ではない）．しかし N に比べて極めて少数である m 個の固有ベクトルを選んだときに，それらの局在区間の幅がどれも N に比べて極めて小さければ，それら m 個のうちの相異なる 2 つの固有ベクトルの局在区間が重なりを持つことは稀であろうと思われる．m 個の固有ベクトルが具体的に与えられれば，それらの間の局在区間の重なり合いの状況は容易に調べられる．. それら m 個の特定の固有ベクトルを（固有対の番号を付け替えて）v(1) , v(2) , . . . , v(m) とする．そのとき固有ベ (p). クトルの展開係数 c. ，p=1, 2, . . ., m は. . 5. おわりに 3 重対角行列の要素にランダム性を持たせた場合の固有. (p) vj xj. 値の要素の値の分布について，局在化の傾向をいくつかの. ⓒ 2016 Information Processing Society of Japan. 5. c(p) ≈. j∈I (p). 例について実験してみた（乱数性を入れた実験は，乱数の.

(6) 情報処理学会研究報告 IPSJ SIG Technical Report. Vol.2016-HPC-154 No.7 2016/4/25. 列に依って得られる結果は異なる）．バネによる連成系の振動を表わす三重対角行列は，下端付近の固有値に対する固有ベクトルが局在化しないことが実験により分かった．. ⓒ 2016 Information Processing Society of Japan. 6.

(7) Vol.2016-HPC-154 No.7 2016/4/25. 情報処理学会研究報告 IPSJ SIG Technical Report 80. 90. 70. 80 70. RADIUS OF EIGVEC. RADIUS OF EIGVEC. 60 50 40 30 20. 50 40 30 20. 10 0. 60. 10. 0. 100. 200. 300. 400. 500. 600. 700. 800. 900. 0. 1000. 0. 500. -1. 0. RANK OF EIGVAL 80. 90. 70. 80. RADIUS OF EIGVEC. RADIUS OF EIGVEC. 50 40 30 20. 4. 5. 2500. 3000. 2500. 3000. 60 50 40 30. 10. -1. 0. 1. 2. 3. 4. 0. 5. 1. 2. EIGVAL. 3. EIGVAL. 80. 90. 70. 80 70. RADIUS OF EIGVEC. 60. RADIUS OF EIGVEC. 3000. 20. 10. 50 40 30 20. 60 50 40 30 20. 10 0. 2500. 70. 60. 0. 1000 1500 2000 RANK OF EIGVAL. 10. 0. 100. 200. 300. 400. 500. 600. 700. 800. 900. 0. 1000. 0. 500. CENTER OF EIGVEC. 1000 1500 2000 CENTER OF EIGVEC. 1200. 1000 900. 1000. WIDTH OF LOCALIZATION. WIDTH OF LOCALIZATION. 800 700 600 500 400 300 200. 800. 600. 400. 200. 100 0. 図 1. 0. 100. 200. 300. 400 500 600 700 RANK OF EIGVAL. 800. 900. 対称 3 重対角行列（主対角がランダムで副対角は一定) （N =1, 000）. ⓒ 2016 Information Processing Society of Japan. 0. 1000. 0. 500. 1000. 1500. 2000. RANK OF EIGVAL. 図 2. 対称 3 重対角行列（主対角がランダムで副対角は一定) （N =3, 000）. 7.

(8) Vol.2016-HPC-154 No.7 2016/4/25. 情報処理学会研究報告 IPSJ SIG Technical Report 120. 160 140. 100. RADIUS OF EIGVEC. RADIUS OF EIGVEC. 120. 80. 60. 40. 100 80 60 40. 20. 0. 20. 0. 0. 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000. 0. 5000. -1. 0. RANK OF EIGVAL 120. 10000 15000 20000 RANK OF EIGVAL. 25000. 30000. 4. 5. 25000. 30000. 25000. 30000. 160 140. 100. RADIUS OF EIGVEC. RADIUS OF EIGVEC. 120. 80. 60. 40. 100 80 60 40. 20. 0. 20. -1. 0. 1. 2. 3. 4. 0. 5. 1. 2. EIGVAL. 3. EIGVAL. 120. 160 140. 100. RADIUS OF EIGVEC. RADIUS OF EIGVEC. 120. 80. 60. 40. 100 80 60 40. 20. 0. 20. 0. 0. 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000. 0. 5000. CENTER OF EIGVEC 1400. 1200. 1200. WIDTH OF LOCALIZATION. WIDTH OF LOCALIZATION. 1000. 800. 600. 400. 200. 0. 図 3. 10000 15000 20000 CENTER OF EIGVEC. 1000 800 600 400 200. 0. 0. 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000 RANK OF EIGVAL. 対称 3 重対角行列（主対角がランダムで副対角は一定) （N =10, 000）. ⓒ 2016 Information Processing Society of Japan. 0. 5000. 10000. 15000. 20000. RANK OF EIGVAL. 図 4. 対称 3 重対角行列（主対角がランダムで副対角は一定) （N =30, 000）. 8.

(9) Vol.2016-HPC-154 No.7 2016/4/25. 情報処理学会研究報告 IPSJ SIG Technical Report 120. 800 700. 100. RADIUS OF EIGVEC. RADIUS OF EIGVEC. 600. 80. 60. 40. 500 400 300 200. 20. 0. 100. 0. 100. 200. 300. 400. 500. 600. 700. 800. 900. 0. 1000. 0. 500. -3. -2. RANK OF EIGVAL 120. 1000 1500 2000 RANK OF EIGVAL. 2500. 3000. 2. 3. 2500. 3000. 2500. 3000. 800 700. 100. RADIUS OF EIGVEC. RADIUS OF EIGVEC. 600. 80. 60. 40. 500 400 300 200. 20. 0. 100. -3. -2. -1. 0. 1. 2. 0. 3. -1. 0. EIGVAL. 1. EIGVAL. 120. 800 700. 100. RADIUS OF EIGVEC. RADIUS OF EIGVEC. 600. 80. 60. 40. 500 400 300 200. 20. 0. 100. 0. 100. 200. 300. 400. 500. 600. 700. 800. 900. 0. 1000. 0. 500. CENTER OF EIGVEC. 1000 1500 2000 CENTER OF EIGVEC. 3000. 1000 900. 2500. WIDTH OF LOCALIZATION. WIDTH OF LOCALIZATION. 800 700 600 500 400 300 200. 2000. 1500. 1000. 500. 100 0. 図5. 0. 100. 200. 300. 400 500 600 700 RANK OF EIGVAL. 800. 900. 対称 3 重対角行列（主対角が零で副対角はランダム）（N =1, 000）. ⓒ 2016 Information Processing Society of Japan. 0. 1000. 0. 500. 1000. 1500. 2000. RANK OF EIGVAL. 図6. 対称 3 重対角行列（主対角が零で副対角はランダム）（N =3, 000）. 9.

(10) Vol.2016-HPC-154 No.7 2016/4/25. 情報処理学会研究報告 IPSJ SIG Technical Report 800. 1400. 700. 1200. RADIUS OF EIGVEC. RADIUS OF EIGVEC. 600 500 400 300 200. 800 600 400 200. 100 0. 1000. 0. 0. 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000. 0. 5000. -3. -2. RANK OF EIGVAL 800. 1400. 700. 1200. RADIUS OF EIGVEC. RADIUS OF EIGVEC. 600 500 400 300 200. -3. -2. -1. 0. 1. 2. 2. 3. 25000. 30000. 25000. 30000. 800 600 400. 0. 3. -1. 0. 800. 1400. 700. 1200. RADIUS OF EIGVEC. 500 400 300. 1. EIGVAL. 600. RADIUS OF EIGVEC. 30000. 1000. EIGVAL. 200. 1000 800 600 400 200. 100 0. 25000. 200. 100 0. 10000 15000 20000 RANK OF EIGVAL. 0. 0. 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000. 0. 5000. CENTER OF EIGVEC. 10000 15000 20000 CENTER OF EIGVEC. 12000. 4500 4000. 10000. WIDTH OF LOCALIZATION. WIDTH OF LOCALIZATION. 3500 3000 2500 2000 1500 1000. 8000. 6000. 4000. 2000. 500 0. 図 7. 0. 0. 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000 RANK OF EIGVAL. 対称 3 重対角行列（主対角が零で副対角はランダム）（N =10, 000）. ⓒ 2016 Information Processing Society of Japan. 0. 5000. 10000. 15000. 20000. RANK OF EIGVAL. 図 8. 対称 3 重対角行列（主対角が零で副対角はランダム）（N =30, 000）. 10.

(11) Vol.2016-HPC-154 No.7 2016/4/25. 情報処理学会研究報告 IPSJ SIG Technical Report 7. 10 9. 6. RADIUS OF EIGVEC. RADIUS OF EIGVEC. 8. 5 4 3 2. 7 6 5 4 3 2. 1 0. 1. 0. 100. 200. 300. 400. 500. 600. 700. 800. 900. 0. 1000. 0. 500. RANK OF EIGVAL 7. 1000 1500 2000 RANK OF EIGVAL. 2500. 3000. 10 9. 6. RADIUS OF EIGVEC. RADIUS OF EIGVEC. 8. 5 4 3 2. 7 6 5 4 3 2. 1. 1. 0 -1.5. -1. -0.5. 0. 0.5. 1. 1.5. 2. 2.5. 3. 0 -1.5. 3.5. -1. -0.5. 0. 0.5. EIGVAL. 1. 1.5. 2. 2.5. 3. 3.5. EIGVAL. 7. 10 9. 6. RADIUS OF EIGVEC. RADIUS OF EIGVEC. 8. 5 4 3 2. 7 6 5 4 3 2. 1 0. 1. 0. 100. 200. 300. 400. 500. 600. 700. 800. 900. 0. 1000. 0. 500. 1000 1500 2000 CENTER OF EIGVEC. 2500. 3000. 0. 500. 1000. 2500. 3000. 90. 90. 80. 80. 70. 70. WIDTH OF LOCALIZATION. WIDTH OF LOCALIZATION. CENTER OF EIGVEC. 60 50 40 30. 図 9. 50 40 30 20. 20 10. 60. 0. 100. 200. 300. 400 500 600 RANK OF EIGVAL. 700. 800. 900. 1000. 対称 3 重対角行列（全ての要素がランダム）（N =1, 000）. ⓒ 2016 Information Processing Society of Japan. 10. 1500. 2000. RANK OF EIGVAL. 図 10 対称 3 重対角行列（全ての要素がランダム）（N =3, 000）. 11.

(12) Vol.2016-HPC-154 No.7 2016/4/25. 情報処理学会研究報告 IPSJ SIG Technical Report 10. 16. 9. 14. 8. RADIUS OF EIGVEC. RADIUS OF EIGVEC. 12. 7 6 5 4 3. 10 8 6 4. 2 2. 1 0. 0. 0. 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000. 0. 5000. RANK OF EIGVAL 10. 10000 15000 20000 RANK OF EIGVAL. 25000. 30000. 16. 9. 14. 8. RADIUS OF EIGVEC. RADIUS OF EIGVEC. 12. 7 6 5 4 3. 10 8 6 4. 2 2. 1 0 -1.5. -1. -0.5. 0. 0.5. 1. 1.5. 2. 2.5. 3. 0 -1.5. 3.5. -1. -0.5. 0. 0.5. EIGVAL. 1. 1.5. 2. 2.5. 3. 3.5. EIGVAL. 10. 16. 9. 14. 8. RADIUS OF EIGVEC. RADIUS OF EIGVEC. 12. 7 6 5 4 3. 10 8 6 4. 2 2. 1 0. 0. 0. 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000. 0. 5000. CENTER OF EIGVEC. 10000 15000 20000 CENTER OF EIGVEC. 25000. 30000. 25000. 30000. 120. 100 90. 100. WIDTH OF LOCALIZATION. WIDTH OF LOCALIZATION. 80 70 60 50 40 30 20. 80. 60. 40. 20. 10 0. 0. 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000 RANK OF EIGVAL. 図 11 対称 3 重対角行列（全ての要素がランダム）（N =10, 000）. ⓒ 2016 Information Processing Society of Japan. 0. 0. 5000. 10000. 15000. 20000. RANK OF EIGVAL. 図 12 対称 3 重対角行列（全ての要素がランダム）（N =30, 000）. 12.

(13) Vol.2016-HPC-154 No.7 2016/4/25. 情報処理学会研究報告 IPSJ SIG Technical Report 350. 1000 900. 300. RADIUS OF EIGVEC. RADIUS OF EIGVEC. 800. 250 200 150 100. 700 600 500 400 300 200. 50 0. 100. 0. 100. 200. 300. 400. 500. 600. 700. 800. 900. 0. 1000. 0. 500. 0. 1. RANK OF EIGVAL 350. 1000 1500 2000 RANK OF EIGVAL. 2500. 3000. 5. 6. 1000 900. 300. RADIUS OF EIGVEC. RADIUS OF EIGVEC. 800. 250 200 150 100. 700 600 500 400 300 200. 50 0. 100. 0. 1. 2. 3. 4. 5. 0. 6. 2. 3. EIGVAL. 4. EIGVAL. 350. 1000 900. 300. RADIUS OF EIGVEC. RADIUS OF EIGVEC. 800. 250 200 150 100. 700 600 500 400 300 200. 50 0. 100. 0. 100. 200. 300. 400. 500. 600. 700. 800. 900. 0. 1000. 0. 500. 1000 1500 2000 CENTER OF EIGVEC. 2500. 3000. 0. 500. 1000. 2500. 3000. CENTER OF EIGVEC 3000. 1000 900. 2500. WIDTH OF LOCALIZATION. WIDTH OF LOCALIZATION. 800 700 600 500 400 300 200. 2000. 1500. 1000. 500. 100 0. 0. 100. 200. 300. 400 500 600 700 RANK OF EIGVAL. 800. 900. 1000. 図 13 連成系（バネ定数がランダムで質量は一定）（N =1, 000）. ⓒ 2016 Information Processing Society of Japan. 0. 1500. 2000. RANK OF EIGVAL. 図 14 連成系（バネ定数がランダムで質量は一定）（N =3, 000）. 13.

(14) Vol.2016-HPC-154 No.7 2016/4/25. 情報処理学会研究報告 IPSJ SIG Technical Report 4000. 12000. 3500. 10000. RADIUS OF EIGVEC. RADIUS OF EIGVEC. 3000 2500 2000 1500. 8000. 6000. 4000. 1000 2000. 500 0. 0. 0. 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000. 0. 5000. 0. 1. RANK OF EIGVAL 4000. 10000 15000 20000 RANK OF EIGVAL. 25000. 30000. 5. 6. 12000. 3500. 10000. RADIUS OF EIGVEC. RADIUS OF EIGVEC. 3000 2500 2000 1500. 8000. 6000. 4000. 1000 2000. 500 0. 0. 1. 2. 3. 4. 5. 0. 6. 2. 3. EIGVAL. 4. EIGVAL. 4000. 12000. 3500. 10000. RADIUS OF EIGVEC. RADIUS OF EIGVEC. 3000 2500 2000 1500. 8000. 6000. 4000. 1000 2000. 500 0. 0. 0. 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000. 0. 5000. 10000 15000 20000 CENTER OF EIGVEC. 25000. 30000. 0. 5000. 10000. 25000. 30000. CENTER OF EIGVEC 30000. 10000 9000. 25000. WIDTH OF LOCALIZATION. WIDTH OF LOCALIZATION. 8000 7000 6000 5000 4000 3000 2000. 20000. 15000. 10000. 5000. 1000 0. 0. 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000 RANK OF EIGVAL. 図 15 連成系（バネ定数がランダムで質量は一定）（N =10, 000）. ⓒ 2016 Information Processing Society of Japan. 0. 15000. 20000. RANK OF EIGVAL. 図 16 連成系（バネ定数がランダムで質量は一定）（N =30, 000）. 14.

(15) Vol.2016-HPC-154 No.7 2016/4/25. 情報処理学会研究報告 IPSJ SIG Technical Report 400. 1200. 350. 1000. RADIUS OF EIGVEC. RADIUS OF EIGVEC. 300 250 200 150. 800. 600. 400. 100 200. 50 0. 0. 100. 200. 300. 400. 500. 600. 700. 800. 900. 0. 1000. 0. 500. 0. 1. 1000 1500 2000 RANK OF EIGVAL. RANK OF EIGVAL 400. 2500. 3000. 1200. 350. 1000. RADIUS OF EIGVEC. RADIUS OF EIGVEC. 300 250 200 150. 800. 600. 400. 100 200. 50 0. 0. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 0. 7. 2. 3. EIGVAL. 4. 5. 6. 7. EIGVAL. 400. 1200. 350. 1000. RADIUS OF EIGVEC. RADIUS OF EIGVEC. 300 250 200 150. 800. 600. 400. 100 200. 50 0. 0. 100. 200. 300. 400. 500. 600. 700. 800. 900. 0. 1000. 0. 500. 1000 1500 2000 CENTER OF EIGVEC. 2500. 3000. 0. 500. 1000. 2500. 3000. CENTER OF EIGVEC 3000. 1000 900. 2500. WIDTH OF LOCALIZATION. WIDTH OF LOCALIZATION. 800 700 600 500 400 300 200. 2000. 1500. 1000. 500. 100 0. 0. 100. 200. 300. 400 500 600 700 RANK OF EIGVAL. 800. 900. 1000. 図 17 連成系（バネ定数が一定で質量はランダム）（N =1, 000）. ⓒ 2016 Information Processing Society of Japan. 0. 1500. 2000. RANK OF EIGVAL. 図 18 連成系（バネ定数が一定で質量はランダム）（N =3, 000）. 15.

(16) Vol.2016-HPC-154 No.7 2016/4/25. 情報処理学会研究報告 IPSJ SIG Technical Report 3500. 12000. 10000. 2500. RADIUS OF EIGVEC. RADIUS OF EIGVEC. 3000. 2000 1500 1000. 6000. 4000. 2000. 500 0. 8000. 0. 0. 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000. 0. 5000. 10000 15000 20000 RANK OF EIGVAL. 0. 1. 2. RANK OF EIGVAL 3500. RADIUS OF EIGVEC. RADIUS OF EIGVEC. 10000. 2500 2000 1500 1000. 8000. 6000. 4000. 2000. 500. 0. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 0. 7. 3. EIGVAL. 5. 6. 7. 12000. 3000. 10000. 2500. RADIUS OF EIGVEC. RADIUS OF EIGVEC. 4. EIGVAL. 3500. 2000 1500 1000. 8000. 6000. 4000. 2000. 500 0. 30000. 12000. 3000. 0. 25000. 0. 0. 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000. 0. 5000. 10000 15000 20000 CENTER OF EIGVEC. 25000. 30000. 0. 5000. 10000. 25000. 30000. CENTER OF EIGVEC 30000. 10000 9000. 25000. WIDTH OF LOCALIZATION. WIDTH OF LOCALIZATION. 8000 7000 6000 5000 4000 3000 2000. 20000. 15000. 10000. 5000. 1000 0. 0. 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000 RANK OF EIGVAL. 図 19 連成系（バネ定数が一定で質量はランダム）（N =10, 000）. ⓒ 2016 Information Processing Society of Japan. 0. 15000. 20000. RANK OF EIGVAL. 図 20 連成系（バネ定数が一定で質量はランダム）（N =30, 000）. 16.

(17) Vol.2016-HPC-154 No.7 2016/4/25. 情報処理学会研究報告 IPSJ SIG Technical Report 350. 1200. 1000. 250. RADIUS OF EIGVEC. RADIUS OF EIGVEC. 300. 200 150 100. 600. 400. 200. 50 0. 800. 0. 100. 200. 300. 400. 500. 600. 700. 800. 900. 0. 1000. 0. 500. 1000 1500 2000 RANK OF EIGVAL. RANK OF EIGVAL 350. RADIUS OF EIGVEC. RADIUS OF EIGVEC. 1000. 250 200 150 100. 800. 600. 400. 200. 50. 0. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 0. 9. 0. 1. 2. 3. 4. EIGVAL. 6. 7. 8. 9. 1200. 300. 1000. 250. RADIUS OF EIGVEC. RADIUS OF EIGVEC. 5. EIGVAL. 350. 200 150 100. 800. 600. 400. 200. 50 0. 3000. 1200. 300. 0. 2500. 0. 100. 200. 300. 400. 500. 600. 700. 800. 900. 0. 1000. 0. 500. 1000 1500 2000 CENTER OF EIGVEC. 2500. 3000. 0. 500. 1000. 2500. 3000. CENTER OF EIGVEC 3000. 1000 900. 2500. WIDTH OF LOCALIZATION. WIDTH OF LOCALIZATION. 800 700 600 500 400 300 200. 2000. 1500. 1000. 500. 100 0. 0. 100. 200. 300. 400 500 600 700 RANK OF EIGVAL. 800. 900. 1000. 図 21 連成系（質量もバネ定数もランダム）（N =1, 000）. ⓒ 2016 Information Processing Society of Japan. 0. 1500. 2000. RANK OF EIGVAL. 図 22 連成系（質量もバネ定数もランダム）（N =3, 000）. 17.

(18) Vol.2016-HPC-154 No.7 2016/4/25. 情報処理学会研究報告 IPSJ SIG Technical Report 4000. 12000. 3500. 10000. RADIUS OF EIGVEC. RADIUS OF EIGVEC. 3000 2500 2000 1500. 8000. 6000. 4000. 1000 2000. 500 0. 0. 0. 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000. 0. 5000. 10000 15000 20000 RANK OF EIGVAL. RANK OF EIGVAL 4000. 25000. 30000. 12000. 3500. 10000. RADIUS OF EIGVEC. RADIUS OF EIGVEC. 3000 2500 2000 1500. 8000. 6000. 4000. 1000 2000. 500 0. 0. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 0. 9. 0. 1. 2. 3. 4. EIGVAL. 5. 6. 7. 8. 9. EIGVAL. 4000. 12000. 3500. 10000. RADIUS OF EIGVEC. RADIUS OF EIGVEC. 3000 2500 2000 1500. 8000. 6000. 4000. 1000 2000. 500 0. 0. 0. 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000. 0. 5000. 10000 15000 20000 CENTER OF EIGVEC. 25000. 30000. 0. 5000. 10000. 25000. 30000. CENTER OF EIGVEC 30000. 10000 9000. 25000. WIDTH OF LOCALIZATION. WIDTH OF LOCALIZATION. 8000 7000 6000 5000 4000 3000 2000. 20000. 15000. 10000. 5000. 1000 0. 0. 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000 RANK OF EIGVAL. 図 23 連成系（質量もバネ定数もランダム）（N =10, 000）. ⓒ 2016 Information Processing Society of Japan. 0. 15000. 20000. RANK OF EIGVAL. 図 24 連成系（質量もバネ定数もランダム）（N =30, 000）. 18.

(19) Vol.2016-HPC-154 No.7 2016/4/25. 情報処理学会研究報告 IPSJ SIG Technical Report vec1 vec2 vec3 vec4 vec5 vec6. -2. -4. -6. vec1 vec2 vec3 vec4 vec5 vec6. 0. Log10 | Vj |. Log10 | Vj |. 0. -2. -4. 0. 100. 200. 300. 400. 500. 600. 700. 800. -6. 900. 0. j vec1 vec2 vec3 vec4 vec5 vec6. -2. -4. -6. vec1 vec2 vec3 vec4 vec5 vec6. 0. Log10 | Vj |. Log10 | Vj |. 0. 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 j. -2. -4. 0. 500. 1000. 1500. 2000. 2500. -6. 3000. 0. 500. 1000. j vec1 vec2 vec3 vec4 vec5 vec6. 3000. vec1 vec2 vec3 vec4 vec5 vec6. -2. -4. -4. 0. -6. 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 900010000. 0. j vec1 vec2 vec3 vec4 vec5 vec6. 0. -2. 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 900010000 j vec1 vec2 vec3 vec4 vec5 vec6. 0. Log10 | Vj |. Log10 | Vj |. 2500. 0. Log10 | Vj |. Log10 | Vj |. -2. -2. -4. -4. -6. 2000. j. 0. -6. 1500. 0. 5000. 10000. 15000 j. 20000. 25000. 30000. 図 25 対称 3 重対角行列（主対角がランダムで副対角は一定) 上から N =1, 000，N =3, 000，N =10, 000，N =30, 000. ⓒ 2016 Information Processing Society of Japan. -6. 0. 5000. 10000. 15000. 20000. 25000. 30000. j. 図 26 対称 3 重対角行列（主対角が零で副対角はランダム）上から N =1, 000，N =3, 000，N =10, 000，N =30, 000. 19.

(20) Vol.2016-HPC-154 No.7 2016/4/25. 情報処理学会研究報告 IPSJ SIG Technical Report vec1 vec2 vec3 vec4 vec5 vec6. -2. -4. -6. vec1 vec2 vec3 vec4 vec5 vec6. 0. Log10 | Vj |. Log10 | Vj |. 0. -2. -4. 0. 100. 200. 300. 400. 500. 600. 700. 800. -6. 900. 0. 200. 400. 600. j vec1 vec2 vec3 vec4 vec5 vec6. -2. -4. vec1 vec2 vec3 vec4 vec5 vec6. -2. -4. 0. 500. 1000. 1500. 2000. 2500. -6. 3000. 0. 500. 1000. 1500. j vec1 vec2 vec3 vec4 vec5 vec6. 3000. vec1 vec2 vec3 vec4 vec5 vec6. -2. -4. -4. 0. -6. 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000. 0. 2000. 4000. 6000. 8000. 10000. j. j vec1 vec2 vec3 vec4 vec5 vec6. 0. -2. vec1 vec2 vec3 vec4 vec5 vec6. 0. Log10 | Vj |. Log10 | Vj |. 2500. 0. Log10 | Vj |. Log10 | Vj |. -2. -2. -4. -4. -6. 2000. j. 0. -6. 1000. 0. Log10 | Vj |. Log10 | Vj |. 0. -6. 800. j. 0. 5000. 10000. 15000. 20000. 25000. j. 図 27 対称 3 重対角行列（全ての要素がランダム）上から N =1, 000，N =3, 000，N =10, 000，N =30, 000. ⓒ 2016 Information Processing Society of Japan. -6. 0. 5000. 10000. 15000. 20000. 25000. 30000. j. 図 28 連成系（バネ定数がランダムで質量は一定）上から N =1, 000，N =3, 000，N =10, 000，N =30, 000. 20.

(21) Vol.2016-HPC-154 No.7 2016/4/25. 情報処理学会研究報告 IPSJ SIG Technical Report vec1 vec2 vec3 vec4 vec5 vec6. -2. -4. -6. vec1 vec2 vec3 vec4 vec5 vec6. 0. Log10 | Vj |. Log10 | Vj |. 0. -2. -4. 0. 200. 400. 600. 800. -6. 1000. 0. 200. 400. 600. j vec1 vec2 vec3 vec4 vec5 vec6. -2. -4. vec1 vec2 vec3 vec4 vec5 vec6. -2. -4. 0. 500. 1000. 1500. 2000. 2500. -6. 3000. 0. 500. 1000. 1500. j vec1 vec2 vec3 vec4 vec5 vec6. 3000. vec1 vec2 vec3 vec4 vec5 vec6. -2. -4. -4. 0. 2000. 4000. 6000. 8000. -6. 10000. 0. 2000. 4000. 6000. 8000. 10000. j. j vec1 vec2 vec3 vec4 vec5 vec6. 0. -2. vec1 vec2 vec3 vec4 vec5 vec6. 0. Log10 | Vj |. Log10 | Vj |. 2500. 0. Log10 | Vj |. Log10 | Vj |. -2. -2. -4. -4. -6. 2000. j. 0. -6. 1000. 0. Log10 | Vj |. Log10 | Vj |. 0. -6. 800. j. 0. 5000. 10000. 15000 j. 20000. 25000. 30000. 図 29 連成系（バネ定数が一定で質量はランダム）上から N =1, 000，N =3, 000，N =10, 000，N =30, 000. ⓒ 2016 Information Processing Society of Japan. -6. 0. 5000. 10000. 15000. 20000. 25000. 30000. j. 図 30 連成系（質量もバネ定数もランダム）上から N =1, 000，N =3, 000，N =10, 000，N =30, 000. 21.

(22) Vol.2016-HPC-154 No.7 2016/4/25. 情報処理学会研究報告 IPSJ SIG Technical Report vec10001 vec10002 vec10003 vec10004 vec10005 vec10006. -2. -4. -6. vec10001 vec10002 vec10003 vec10004 vec10005 vec10006. 0. Log10 | Vj |. Log10 | Vj |. 0. -2. -4. 0. 5000. -6. 10000 15000 20000 25000 30000. 0. 5000. j. 図 31 対称 3 重対角行列（主対角がランダムで副対角は一定）. 図 34 連成系（バネ定数がランダムで質量は一定）. N =30, 000 で 10, 001 番から 10, 006 番の固有ベクトル. -2. -4. -6. vec10001 vec10002 vec10003 vec10004 vec10005 vec10006. 0. Log10 | Vj |. Log10 | Vj |. N =30, 000 で 10, 001 番から 10, 006 番の固有ベクトル. vec10001 vec10002 vec10003 vec10004 vec10005 vec10006. 0. -2. -4. 0. 5000. -6. 10000 15000 20000 25000 30000. 0. j. 図 32 対称 3 重対角行列（主対角が零で副対角はランダム）. N =30, 000 で 10, 001 番から 10, 006 番の固有ベクトル. vec10001 vec10002 vec10003 vec10004 vec10005 vec10006. -2. vec10001 vec10002 vec10003 vec10004 vec10005 vec10006. 0. Log10 | Vj |. Log10 | Vj |. 0. 2000 4000 6000 8000 10000120001400016000 j. 図 35 連成系（バネ定数が一定で質量はランダム）. N =30, 000 で 10, 001 番から 10, 006 番の固有ベクトル. -2. -4. -4. -6. 10000 15000 20000 25000 30000 j. 0. 5000. 10000 15000 20000 25000 30000 j. 図 33 対称 3 重対角行列（全ての要素がランダム）. N =30, 000 で 10, 001 番から 10, 006 番の固有ベクトル. ⓒ 2016 Information Processing Society of Japan. -6. 0. 5000. 10000 15000 20000 25000 30000 j. 図 36 連成系（質量もバネ定数もランダム）. N =30, 000 で 10, 001 番から 10, 006 番の固有ベクトル. 22.

(23)