卒業論文
土星のロッシュ限界およびその運動
はじめに
本論文はロッシュ限界についての理解を深めていく。太陽系の惑星の中でもかなり特異的な土 星を取り上げることでフランスの物理学者エドゥアール＝ロッシュが導き出したロッシュ限界につ いて考察をしていく。国立天文台で公開されている画像を解析して、理科年表から既知の値と比べ る。ケプラーの第３法則が成り立つことを確認したら出したらロッシュ限界の導出をする。これ らを２章立てで画像を交えながら論じていく。１章では土星の物理量、また画像の解析を中心に、 ２章ではロッシュ限界の導出、また１章で求めた近似値が正しいかどうか確認する。それらを踏 まえて考察をする。ロッシュ限界についての理解を深めることで土星の美しいリングの起源につ いて論理的に考えていくことで土星の特徴をより深く知ることを目的とした。目次
１章
1 土星の特徴 1.1 土星とは 1.2 土星の物理量 1.3 土星の衛星 2 解析 2.1 国立天文台の画像を用いて衛星の公転半径、および運動を求める 2.2 実寸距離を測る 2.3 近似値に補正をかける 2.4 ケプラーの第３法則 2.5 速度を求める２章
３導出 2-1.1 土星のロッシュ限界を求める 2-1.2 ロッシュ限界を確認する考察
参考文献
謝辞
1.1 土星とは 太陽からの距離が地球の 10 倍、直径も地球の 10 倍あり、太陽系では木星に次いで 2 番目に大 きな惑星である。木星型惑星に属し、太陽に近いほうから 6 番目の惑星である。水素やヘリウム のガスを主成分としているガス惑星でもある。 土星の内部構造は木星と似ていて、中心に岩石質 の核があり、その上に氷の層、そしてその上に液体金属水素とヘリウムの層といった形で階層ご とに異なる物質が存在している。また内部はとても高温であり、核では 12000(K) に達し太陽か ら受けるエネルギーよりも多くのエネルギーを外に放出している。 1.2 土星の物理量 1.3 土星の衛星 土星の特徴の一つとして衛星が多いことも挙げられる。それは数にして60を超える。その中でも 代表的な４つを紹介する。 ミマス 土星の主要衛星の中で最も小さい。密度が低く、氷と岩石でできていると考えられている。 エンケラドス 氷で覆われている衛星。間欠泉のようなものがあり、地下には海があると考えられている。 テティス ほとんど氷でできていると考えられている。衛星の中で５番目に大きい。 ディオネ 酸素イオンが検出されたりしたので薄い大気があると考えられている。 太陽からの平均距離 9.55491 (AU) 平均公転半径 1,426,725,400 (km) 公転周期 29.46 (年) 赤道面での直径 120,536 (km) 表面積 4.38•10^10 (km^2) 質量 5.69•10^26 (kg) 体積 827兆 (km^3) 自転周期 (赤道面) 10時間13分59秒 自転周期 (極) 10時間39分25秒 平均密度 0.70 (g/cm^3)
2.1 国立天文台の画像を用いて衛星の公転半径、および運動を求める
https://www.nao.ac.jp/contents/astro/gallery /SolSys/Saturn/sat70822.jpg この画像からは土星のリングと衛星が確認できる。
2.2 実寸距離を測る 実際に図るより細かくはかれると判断したため、各衛星までのpx数を解像度でかけてmm単位で 出した。中心は土星の直径の２本を結んだ点とした。実際に測った数値と理科年表に乗っている 数値を表にした。 理科年表より周期の引用 土星の半径とリングの実寸距離、また既知の値 土星からの実寸距離 S1 ミマス 60.07mm S2 エンケラドス 78.04mm S3 テティス 96.56mm S4 ディオネ 90.40mm 半径（実寸） 半径（引用） 土星 19mm 60258km リング（内側） 27mm 66900km リング（外側） 44.09mm 175000km
2.3 近似値に補正をかける 既知の値と照らし合わせることで衛星の半径を導き出すことができる。またこの画像の土星は傾 いていることから、オレンジ色の点で示した距離と、先ほど測った実寸距離と相似して各衛星の 近似値を導き出す。また表には周期の値も記載した。（理科年表より引用） 既知の値と比べてもS4のディオネ以外は近い値が出た。これらがケプラー の第３法則に則ってい るかグラフにして表してみる。 実寸距離 軌道長半径(km) 軌道長半径(既知) 周期(日)(既知) S1 ミマス 60.67mm 188073 185404 0.9424 S2 エンケラドス 78.04mm 234881 238020 1.3702 S3 テティス 96.56mm 299923 294619 1.8878 S4 ディオネ 90.40mm 327412 377400 2.7369
2.4 上記の表をグラフ化した。どれも数値的には調和が取れ、ケプラーの第３法則に則っている と言える。 ケプラー の第３法則 軌道長半径 0E+00 1E+16 2E+16 3E+16 4E+16 周期 0.888 1.877 3.564 7.491 6.652E+15 1.296E+16 2.698E+16 3.51E+16
2.5 速度を求める 軌道長半径が求められたので、周期で割って各衛星の速度を求める。 運動方程式を立てる。 左辺の加速度aは等速円運動の向心加速度v^2/r であり、 v^2/h である。 右辺のFは主星と衛星間の万有引力GMm/r^2 のことであり、すなわちGMm/h^2 である。 これを速度vを求めるために整理すると となる。 Gに重力定数、Mに土星の質量、hに軌道長半径を代入する。各衛星の速度を表にした。 近い衛星ほど速度が速く、遠い衛星ほどおそいことが確認できた。 軌道長半径(km) 秒速(km/s) S1 ミマス 188073 44.8 S2 エンケラドゥス 234881 40.2 S3 テティス 299923 35.6 S4 ディオネ 327412 34.0
2-1.1 土星のロッシュ限界を求める。 ロッシュ限界を求める前に潮汐力の導出をする 潮汐力とは 他の天体から受ける引力、すなわち重力場の影響によるものである。重力場の強さは重力の発 生源の質量とその質量中心からの距離で決定されるため、距離が違うとそれぞれで引力の強さで 差が出てくる。これが惑星や衛星を歪める原因となり、耐えきれなくなった時にそれらは破壊さ れてしまう。 潮汐力の導出 Gを万有引力定数として天体Aが天体Bの表面に及ぼす力をFaとすると 天体Bの中心に及ぼす引力をF０とすると 潮汐力の大きさはFa-F0なので ⑴を変形して ここで
M
R
m
r
一般にx<<1 （xが非常に小さい、１と比べて無視できる）時は (nはマイナスでも良い、x^2以上の項は無視する) つまり であるので (r<<R)だから よって よって (-1/R^2=R^-2) よって潮汐力の式は となる ロッシュ限界とは 惑星や衛星が破壊されずにその主星に近付ける限界の距離のことをいう。それ以上内側に近づ いてしまうと惑星や衛星は破壊されてしまう。フランスの地球物理学者のエドゥアール＝ロッシュ が1848年に理論的に打ち出し、この名が付いた。ロッシュ限界はまた潮汐半径とも呼ばれる。 ロッシュ限界は主星からの潮汐力＝衛星自身の重力で求めることができる G 万有引力定数 M 主星の質量 m 衛星の質量 r2 衛星の半径 R 主星と衛星間の距離 1 + xn= 1 + n x (1 − x)−2 = 1 + 2x
主星の密度をρ１、主星の半径をr１、衛星の密度をρ２とすると となる ここで⑶、⑷式を⑵に代入し計算すると エドゥアール＝ロッシュが導き出した近似値を用いると R ロッシュ限界 ρ1 主星（土星）の密度 ρ2 衛星の密度 r1 主星（土星）の半径 ロッシュ限界の算出 ⑹式に値を代入していく 土星の密度 ρ1=0.70(g/cm^3) 氷の密度 ρ2=0.92(g/cm^3) 土星の半径 r1=6.03*10^4(km) 以上によりロッシュ限界は
R=
1.4*10^5
(km)
となる ⑹2-1.2 ロッシュ限界の近似値を導出できたので画像に1.4*10^5(km)の部分に赤線を引いてみる。
この画像からわかることは各衛星は土星のロッシュ限界の外側を回っており、リングは内側にき ているということである。つまり、土星のリングはロッシュ限界の内側に入り込んだ衛星の残骸 である可能性が高いと言える。
考察
国立天文台の画像から読み取れることは、ロッシュ限界が各衛星の内側に存在していることか らそこの内側に入り込んだ衛星は潮汐力によって破壊されてしまうことがわかる。また土星のリ ングの主成分が氷の粒であることから、土星のロッシュ限界の内側に氷が主成分の衛星が入りこ み、砕かれて現在の土星のリングになったと考えられる。各衛星はロッシュ限界より外側にあり、 遠心力と重力の釣り合いで公転をしている。また各衛星は近い順から周期が早く、それを確認す ることもできた。土星の現在の姿にまでなったプロセスは考察できたが、土星のリングには未だ に不明な点が多い。これからの土星探査の結果に注目していきたい。参考文献
国立天文台 ギャラリーページ
謝辞
本論文の製作にあたってご協力してくださった天文学研究室の小野寺先生、日比野先生、井上 先生には多大なるご迷惑をおかけいたしました。最後まで見守ってくださりありがとうございま した。 特に井上先生には本論文の監督をしてくださったこともあり、形にすることができまし た。データの収集や、計算の添削ありがとうございました。
