評価点の統計的信頼限界について
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(2) . １巻 第１. 第 １号. Ａ. 北海道学芸大学紀要 （第二部）. 昭和３５年８月. 評価点の統計的信頼限界について 垣. 谷. 正. 道. 北海道学芸大学釧路分校数学教室. ｉ ｉｍｉ ｆ ｔｓ ｏ Ｓｅ ｉｄｏ Ｔａｎｉｇａｋｉ： ｏｎ ｓｔａｔｉｓｔ ｃａｌ ｃｏｎ６ｄｅｎｃｅ ｌ ｉｏｎ－ ｎ 〔 ｌｅａｓｕｒｅ ｅｖａｌｕａｔ ．. 払. １ 」 閥. 書. き. 教育統計においては， テストの信頼性をあらわすのに， 通常， 再 テスト法， 平行形式の テ ス ト （同価 テ ス ト） に よ る 方 法， 折 半 法， Ｋｕｄｅｒ Ｒｉｃｈａｒｄｓｏｎ の 方 法， ｆｏｏｔｒｕｌｅ の 方 法， 分 散 分 折 に. ｌ ｉｋｓｅｎ よ る 方 法 等 が 用 い ら れ て い る． そ して， テ ス ト の 評 価 点 の 誤 差 に つ い て は， 例 え ば， Ｇｕｌ. がテストによって得られた， ある個人の評価点からその人の真の評価点の合理的限界 （統計的信 頼限界ではない） を推定する公式を与えている． この小論では， 真のテスト評価点の代りに真の. 学力評価点， 合理的限界の代りに 信頼限界を取り上げ， 真の学力評価点とは何か， またこの評価 ｌ ｉｋｓｅｎ 等とは全く別の立場から， 推計学的にいささか考 え 点 を 如 何 に 推 定 す る か に つ い て， Ｇｕｌ て み た い と 思 う，. 学力評価等質空間９における推定 評価にあたっては， その目標に従って充分な 妥当性を有するテスト問題の集合が考 えられる． これを学力評価空間と呼ぶこととする， しかし， この評価空間は等質， または， 等質と考えられ るテスト問題に分解出来る場合と， そうではない場合と がある． 前者を， とくに， 学力評価 等質 空間， 後者を通常 空間と呼び， それぞれ， ９ ， 刀 であらわす， こ る， 学力の推定について考える． 分解された， すべ ての等質なテスト問題を，. では， まず， 等質空間におけ. ・ ．…． ． ． （均 （喜一ヱ，２，．…． ，７）. とすれ ば， 身 は次の如くあらわされる．. “ 一室の１ （ ２ ，り ，… … … … ，の. さらに， 被験者 Ａ の学力 Ｓ ， 評価のために用意されたテスト問題 ｒ は，．それぞれ， ９ の部分空間 ｓ －１（ ， り 冴 … …， リー ｑ ｇ ｂ（ ，（ ７ ７ 一｛のれ の，“ － … …，の一 ， で あ ら わ さ れ る， こ. に， ． ．… …． （栂 （メーヱ，２ ， ，ｓ）. は被験者 ゑ によって正解される 身 の要素である， さ て， こ の と き，. Ｐ（ｓｎｇ）＝ ｒ ，. Ｐ（ｓｎｒ）一斉カ.
(3) . 谷. 垣. 正. 道. と定め， かつ学力評価函数と して， （Ｓｎｒ）－ ＣＰ（Ｓｎｒ） 鼠（Ｓｎ“）＝ ＣＰ〔Ｓｎｇ） 。 ，互 を導入すれば，. β （Ｓｎ材）： Ｃ 点満点と しての真の学力評価点 １ 風，（Ｓｎ２ ）： Ｃ 点満点と しての学力テスト評価点. と 見 な す こ と が 出 来 る． 従 っ て， テ ス ト 問 題 ｒ を， あ ら か じめ， 評 価 空 間 身 か ら， そ の 要 素 のｒ ｚ. Ｚ （ズ＝１ ） を無作意に抽出して構成 しておけば， 学力評価点の標本 値と してのテスト評価 ，２ ， … …，. １ ） の得られる確率分布は， 言うまでもなく， 次によって与えられ る． 点 Ｅ（Ｓｎ７ １ ） ｓ と γ－ｓ が Ｚ に く ら べ て， あ ま り 大 き く な い と き は， （. （以たりバリ. なる， 超幾何分布．. ２ １ ｓ と γ－ｓ と が Ｚ にく らべて， 充分大きければ， ｔ. ん の ｐ槌 ｎｇ源 －ｐ 御 ｇｙ－ なる二項分布． 圏 Ｚ が充分に大きければ （ ＺＰ（Ｓｎｇ）≧５）， 正規分布． ～（ ヱーＰ（ｓｎｇ））） （ ７ るＰ（ｓｎ“｝ 九Ｆ （ｓｎ“） よ っ て， テ ス ト 問 題 ｒ を “ から無作意に構成することにより， 以上の分布函数を用いて， 学力. １ ） から， 真の学力点 Ｅ （Ｓｎ”） を， 必要な信頼度のとに， 区間推定するこ 点の標本値 Ｅ （Ｓｎ７ と が出来る．. 学力評価通常空間 互 における推定 学力評価空間を構成するテスト問題が， 必ずしも， 等質と見倣す ことの出来な い 場 合 を 考 え. る． こ の と き， こ れ ら の テ ス ト 問 題 を 冗 γ） で あ ら わ して， を （メキ１ ，… …， 〃 －１汀 ， ， 燭，… … …，オー と す る．. これらのすべての問題 僑 を被験者 Ａ に （仮定的に） 課 してテストを行い， 得られるすべての. 評価点を，. ・ ２ 互（ガ．） （Ｚ‐ ‐ヱ ， ，… … …，７）. とすれば， これらの評価点は， その平均値，. 風（だ）. ！ ＆（馬）／ｒ. . のまわりに正規分布をするものと見倣すことが出来る． －－ 逆に言えを ， 正規分布するように， ＆， ） を 決 定 す る． （＃ さ て， この と き， 上 の 平 均 値 互 （冗） をその被験者 Ａ の真の学力 評価 － 点 Ｅ （Ｓｎ刀） と定義すれば， これは次のように推定される． す な わ ち， テ ス ト に 問 題 ｒ を， 刀 から無作意に抽出 して構成 し， ｒー圭ぁも 汀ｒみ… … … ＃れ１ ，. 一 １０ 『.
(4) . 評価点の統計的信頼限界について とする． これを被験者 ゑ に与えて， 方 メーヱ も（ぁぢ ） ，（ ，２ ，… … …，云） を求め， その平均値， む 風 （ガデ ）蝋 ！Ｅ （汀ｒ ）／ ， . と不偏分散， が （ガｒ ）－ Ｘ ｉ尻（物≠ む－ヱ） ）一風 （ガリ ル（ ． ｉ；１. に， Ｚ 分布を用いて， 真の学力評価点，. ＆（Ｓｎ〃）一風（ 冗 ）－三 風（ガ ）／ ｒ ， . を区間推定することが出来る． 〃 における層別化テスト 学力評価通常空間 刀 が， 〃１ ，… … …’〃れ ， 〃２ ’… … … 等の層に， 層別化される場合を考える， こ れ は， 例 え ば，. １ ） 単元別， に 〃 回のテストを行い， その結果を総合して学力を評価する 場合． （ ２ ） テ ス ト 問 題 ガｇ の難易に従って， 刀 を層化する場合． （. 等に見られる が， 刀 を構成する要素の個数を γ ， 蕉 を構成する要素の個数を ” とすれば， ， ， ｒ淋７ １＋７ ２＋ … … … ＋ｒ れ. で・， 力）‘. ″－ーオあ ゐ …，… …， ， ， ，“，１ 燭 －ー力 ｚ ｌ ≠－ ， 燭２ ，… … … …，汀 （三一ヱ， ２， … … … … …，７ る）. とあらわされる． そして， この空間 刀 における評価の構造は次の ようになる． すなわち， １ ） 学力評価空間 ″ における被験者 ゑ の真の学力評価点を， Ｅり （ （Ｓｎ刀）， 部分評価空間 互１ における真の学力評価点を， βも（Ｓｎ馬） で示せば， Ｅ （Ｓｎ／ ７）－１ を乱（Ｓｎ足）／ ｒ . なる関係 が成立する ） の 分布 の 標 準 偏 差 を の で あ ら わ す も ２ ） こ ＞ に， 刀ｆ に お け る， βも廓“） （ゾ＝１ γ （ ・ ｚ ．２ ， … …， の と す る．. このとき， 層別化無作意抽出によって， 広ご から ご ・ 個の問題を抽出して， ｒ ≠一 応 ル灯り ２… … … …，汀ザー （多‐ヱ， ２ ．… … …，九） ． ， …．. － １１ 」.
(5) . 垣. 谷. 正. 道. を構成 し， さらに， １ ）， に よ っ を 形 作 る． こ の よ う に す れ ば， こ の テ ス ト ｒ によって得られる標本 評価点 Ｅ （Ｓｎ７. て得られる標本評価点 Ｅ （Ｓｎ ）， れ によって得られる標本 評価点 Ｅり（Ｓｎ ｒｏ の 間 に は， ≠ ）／ ＆（ｓｎｒ）＝〆轟Ｅ（ｓｎｒｆ . （汐一ね＋ら 十 … … … ＋ も）. ＆（ｓｎｒ ）た， ）－ ヱ ＆（灯りな ｇ ー た泌１. １ ） が被験者 ゑ の 刀 における真の学力評価点 β （Ｓｎ刀） の推定値と が成立 し， この β （ｓｎ７ な る． そ して， こ の と き の β．（Ｓｎ ｒ） の 分 散 は，. ２１ ｓ一（ヱ／ｒ）. ′姦） Ｋｒｒ乙 ）／＠ －ヱ）Ｋぴ ー. . で与えられる． さらに， 広 において， １つの問題をテス トする場合の所要経費， あるいは， 所要解答時間， ま たは， 所要採点時間を， 錆 であらわせば， その総所要数 Ｃ は， Ｃニカ ｃ ｃ Ｃ ユ ｌ十乙 ２ ２＋ … … … ＋ もむ ７ る で 与 え ら れ， こ の Ｃ を一定に して， 分散 Ｓ を最小にする， あ ら………，た は， 上式と， . ． ユ. ／ １ ｃｌ. . . α ２ ． ，／. ４も. ． ／ ‐ １ ｃ％. ． 物. か ら 求 め ら れ る． と く に， Ｃ・＝Ｃ２＝ … … … … ＝Ｃ％ ならば， 上式は， む ７ １ ０Ｉ. ら ‐ ７ ２ び２. ，．”， ・ ．．”，， ＝，．・，. らも ｒ ク る ０％. ま た， Ｃ．＝Ｃ２… … … ＝Ｃれ か つ の＝ぴ ２＝ … … … ＝のも な ら ば， ら. ら. . . ● ．． 一 ．”． ． ． ， ．. ら . と な る こ と は 言 うま で も な い．. ” における層別化テスト 学力評価等質空間， “ －１（ ・…・… …・ り ． ，リー ， の２ ，. ａ －１のれ，（ ・ ・…，の孝一 ひね ，…・ （メニヱ，２ み） ，… … … …，７ な る “ 個の層に層化されているとき， この各から， それぞれ， あ れ………， た 個の要素を抽出 一 １２ 一.
(6) . 評価点の統計的信頼限界について して， ｒ ．…．のりぢｄ ｆ＝１のり， ， のり，… …， ｒ－ｉ質 髭 …． ・…・ ・ ・… … 臨ま ， ， ・. を構成する， これを被験者 Ａ に与えてテストを行い， ÷ ＊ （ｓｎ２ ）ーねた宅 雀 （宏一ヱ， ２，… … … …，九）. が得られたとすれる ， Ｐ（Ｓｎｒ）－ Ｘ ｒ ．Ｆ（Ｓｎ鴛）／ｒ ．ご１. （ｒ－ｒ ，十 を ＋ … … … … … ＋ 傷）. Ｐ（ｓｎｇ）－ １ ｒ （ｓｎｇ〆 ）／ ｒ 多ニー. １ の 推 定 値 と な る． そ して， Ｐ（Ｓｎ７ ） の 分散 は，. ２ｘｒａ ２む） ｓ＝（ヱ／ ｒ） ｚｌ（を一むり／＠ －ヱ）ま（の／ ご で与 え ら れ る． 但 し， ぴ ｚ は ｇＩ における Ｐ（のり） の分布の標準偏 差で， 充分大き な 鈴 に対し. て，. α′一Ｐ（ｓｎｇ） ”一Ｐ（ｓｎｇ）ま／を で与えられる， “ における応用例. ２ 位数の加え算を応用例と して取上げる． このとき評価空間 “ は総数８１ ００題の２位数の加え. 算を要素と して構成される． いま， この評価空間から無 作意に要素をＺ個 抽出して， テスト問題 ｒ を作る． －－実際には， 抽出するかわりに， 乱数表を使って 云 個の加え算を作ればよい －－ ． １ これを被験者に与 えてテストを行い， そのうち た 個を正解したとする ならば， 互 （ｓｎ７ ） の信 頼区間とその区間の長さは次によって与えられる． こ に， Ｃ＝１００と す る． １ ） ゐ ／ ３ のとき， （＆（Ｓｎｒ） ＝３３） （ ９ ５ ％. 信. 頼. 区. 間. ９ ９ ％. 区間の長さ. 信. 頼. 区. １０. ７ ハＪ ６５. ５８. ４. ２０. １ ２ ～ 講. ４２. ８ ハ Ｊ ６１. ３０. １５ トＪ ５０. ３５. １２ ハＪ ５５. ５０. １８ ～ ４４. ２６. １５ （Ｊ ４９. １００. ２１ ハＪ ４０. １９. １９ （Ｊ ４３. 一 １３ 一. ～ ７４. 間. 区間の長さ ７ ０ ５３ 僻 緯 終.
(7) . 垣. 谷. 正. 道. ２ のとき， （＆（Ｓｎｒ） ；５０） １ 々＝Ｚ （ ２ ／ ７４. １０. １９ ト Ｊ ８１. ６２. １３ トＪ ８７. ２０. ２７ ハＪ ７３. ４６. ３１ （ Ｊ ９２. ６１. ３０. ３１ ハＪ ６９. ３８. ２６ ＾Ｊ ７４. ４８. ５０. ３６ ハＪ ６４. ２８. ３１ トＪ ６９. ３８. １００. ４０ ハＪ ６０. ２０. ３７ ＾ Ｊ ６３. ２６. Ｊ ９６. ７０. ｒ ）＝ Ｚ ３のとき， ぼり態ｎ２ ＝６７） 陽｝ た＝２ ／ １０. ３５ トＪ ９３. ５８. ２６. ２０. ４１ ＾Ｊ ８５. ４４. ３４ ハＪ ８９. ５５. ３０. ４７ トＪ ８３. ３６. ４２ ト｝ ８６. ４４. ・. ５０. ５２ トＪ ７９. ２７. ４７ トＪ ８２. ３５. １００. ５７ トＪ ７６. １９. ５４ （Ｊ ７９. ２５. ６４. Ｚ斌 ｓｎ の ＝ ；８０） ） をコ４％ のとき， （ 柊 １ ０. ４４. Ｊ ９７. ５３. ３５ ＾Ｊ ９９. ２０. ５６ トＪ ９４. ３８. ４９ トＪ ９６. ４７. ３０. ６１. Ｊ ９２. ３１. ５６ トＪ ９４. ３８. ６６. Ｊ ９０. ２４. ６２ ＾Ｊ ９２. ３０. ７１ ハＪ ８７. １６. ６８ （Ｊ ８９. ２１. ５０ １００. 刀 における応用例 算数における， ある種の女章題の一群を応用例と して取る． 女章題を等質の要素に分解するこ とは， 極めて困難である． 従って， この場合の一群の文章題は， 学力評価通常空間 刀 を形作る． いま， この刀から無作意抽出して，. ｒ鯖１粥れ ｍ冗 … … …，ｍ 〆 ， ，. を得， これを被験者 Ａ に与 えて， ’ ） ＼ き（ｍ７ ５０ ｔ 度 ＼＼ 数. １０ ２０ ３０. 弄 万 万. ６０. ７０. ６５. ８０. ７５. １. ２. イ ー. ２. １. ４. ２. ４. （ ｚ ”. ４. ２. ６. ３. ６. ＾ ３. ６. ３. １. ２. ２ ３. ３通りの評価点 が得られたとする． これから， 次の平均， 不偏分散が 得られる， ｒの （ｓｎＴ） ；Ｅヱ ，（ｎ. Ｕ２（ｍＴ ）. １０. ７０. ２０. ７０. ８，７７ ６．５８. ３０. ７０. ｔ. ９０. ４．３１. 従って， これに 去 分布を適用 して， 次の信頼区間が得られる． 一 １４ 一. Ｕ （ｍＴ ） ぞ ，. ２ ，９６１ ２ ，５６５ ２ ，０７６.
(8) . 評価点の統計的信頼限界について ９ ５ ％. 信. 頼. 区. 間. ｌｏ. ６３ ．３１ （Ｊ ７６ ．６９. ２０. ６４ ．６４ ハＪ ７５ ．３６. ３０. ６５ ー ７４．２６ ．７４ ハ. ９ ９ ％. 区間の長さ. 信. １３．３８ １０．７２. 頼. 区. 間. ６０．３８ ハ Ｊ ７９ ．６２ ６２，６６ ハ ・ ７７ ．３４ ６４ ７ ７ ２ ５ ト Ｊ ．７３ ．. ８．５１. 区間の長さ １９．２４ １４．６８. １１ ．４６. “ における層別化テスト応用例 ８１００題 の ２位数の加え算からなる評価空間 ９ を取る． いま， これを次の如く層別化する． “ ： メニγ１十 “ ＋γ３＋ “ 二８１００ ｇ・： 繰 り 上 り の な い 場 合. γ・＝１９８０. ”２： １ 位 に の み 繰 り 上 り の あ る 場 合 ９３： １０位 に の み 繰 り 上 り の あ る 場 合. γ２＝１２６０ γ３＝２４７５. “４： １ 位， １０位 と も に 繰 り 上 り の あ る 場 合. γ鼻＝２３８５. ００分の１で比例抽出し， これらから， 抽出率１. 云 １一２０ ， を＝２５ ’ ん＝２４ ， ね＝１３ 古＝ ×お デコ８２ 壱＝．. なる個数のテスト問題をとる． これを被験者 ゑ に課 して， た ＝９ １ニー６ ３ニー３， ね＝ ， 』 鯖８ ，比. たー エ た ，＝４６ . を得たとする． すなわち， Ｐ（ｓｎ ）－な／ムー１６／２０一○ ８０ ． Ｐ（ｓｎ ）一あぬ ー ８／１３一○ ６２ ． Ｐ（ｓｎ７ も）－島 ／島一１３／２５一〇 ５２ ・ ３. Ｐ（ｓｎ７ １ ）一馬 ４た. 一 ９／２４一０．３８. が得られたとすれば， Ｘ をＰ. . ｎｒ ）／ｒー０ ５６ ． 愛. が， Ｐ（ｓｎ厨） の推定値となる． そして， このときの分散は， Ｓ；０ ０００１２９ ． ，. ｙ に０ ０１１４ ．. ２ ） の信頼区間は， 従って， Ｐ（ＳｎＪ ９５％. ５３８， ０ ５８２） （０ ， ．. ９９％. ５３１， ０ ５８９） （０ ． ，. よ っ て， β （Ｓｎ“） の信頼区間は， ５「 一１.
(9) . 垣▲. ，谷. 正. 道. ９５％. ２） ８， ５８ （５３ ． ，. ９９％. ９） １， ５８ （５３ ． ．. と 求 ま る． 献. 女. ｌ ｉｋｓｅｎ Ｉ Ｔｅｓ ｌ ｔ １ ） Ｇｕｌ ａ ｓ ｅｙ ｌ９５０ （Ｐ，４８‐５８， Ｐ．７４‐８７） ， Ｈ．； Ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ Ｍｅｎｔ ． Ｎｅｗ Ｙｏｒｋ： ｊｏｈｎ Ｗｉ ９ ５９ ２） 谷垣正道 ： 学力評価規準決定のための統計的考察， 〔１〕， 〔韮〕 北海道学芸大学紀要，１ ，. 【 １６ 「.
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