最小自乗法

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(1)Title. 最小自乗法. Author(s). 大場, 将寛. Citation. 北海道學藝大學紀要. 第二部, 5(1): 65-69. Issue Date. 1954-02. URL. http://s-ir.sap.hokkyodai.ac.jp/dspace/handle/123456789/5441. Rights. Hokkaido University of Education.

(2) . ・. 第５巻第１号．. 北海道学塾大学紀要. 最. 小. 自. 大. 場. 乗. ９年２月昭和２. ・. 法. 寛. 府. 北海道学整大学岩見沢分校数学教室. ＭａｓａｈｉＺｒｏｏＢ‘ ＼：Ｍｅｆｏｄｏｆ／ｅｑｓｚｓ？ｓｅｑ伽γ. 論. 序. 我々が普通用いている最小自乗法の原理とその結果が、統計学的見地から種々の方法で得られることを例を挙、げて説明を試みようとする，ものであります。筒、これを起草するに当って色々と有益な助言や批判を賜わった札幌分校の字喜多義昌助教授に謹んで舷に謝意を表する次第です。. さて、贋値である未知量は分らなくても常数と考え、個々の測定値は常数であるが、我々は寧ろ測定値全体を考えてこれを確率変数として把握し、贋値の最良の推定値を測定値の一次函数とＪして表わし、その中で最大の精密度. を有する函数を求める。即ち我々の立場では実際目前に得た観測について論ずるのではなく、一般的に出来るだけ多くの場合に、贋値に近いものを得られるような方法を求めるのである。従って誤差分布に於ては分散の小なるほど誤差が０の附近に集中して精密になうてゆくということを用いればよ. いことを知る。. 方. ，. 法. 員値の未知量＃・，寛，……，飴たを測定する代りに、此等の一次式である”個の函数・. （１）. ″ ？. タドヱのけ幻＋＆. （』１，２ｒ …，“； “≦ リ. . ・. を測定して２ ‘ ‘ を得たとし、（２）. . 為－エム ”，十鳶. （』１ “），，２ドー，７. 事ゴー. と考える時、この為が為の最良の推定値であるためには、即ちそのようにかと功を決定するには（３）. ｘ卿破る＝萌そ. （た＝１，一． “）（ＰＡ＝Ｅ），２，，’. の係件のもとに〆（為）を最小にすればよい。. 而る時員値＃」＝獅〔る）となることは明白である。説. 明. ＳＩ ‘ ‘ と置けばｅ‘ は誤差であるが、？．今鶴－ｙ‘ ＝６ ‘ を確率変数、袋を常数と考えるとｅバま確率変数となっＭ０てＭ（” 〔）－＝ｅ）＝財（” が我々の求める場合であるから ‘ ｙ ‘ ‘ ‘〕－〆 ↑ で叉その時は幻；△火対）が成立し、 ‐‐ ６５＊.

(3) . . 大. 場. 将. 寛. 成り立つから為遥か〆（２）からＭ㈲－劾ｚＭ＠＊励；. ｐ浮べ墓蝋一つ十. れ鎗功老（書かαふむ堪，これが恒等的に成立するためには. ；？今（ぬお）＝Ｐ，（”の；Ａとし、’ ，次の単位行列を β とすれば前者は下のように表わされるからＰＡ＝Ｅ. －. ；，ー（ーヨ誓）ＧＩそぎモｉＨキー）キ. 次に. ”二）＝のと置くと. ２の２となるから結局（３）（２）より〆（ズｊ）＝夏ぬれ，（４）の憐件のもとにこれを最小にすればよぃｏ、 . 而る時九・が決定して次に力も決まり、勘の最良の推定値又Ｊが必然的に求まる。 “≦“ ゆえ月の階数は “ ｚでなければならない。（４）；はＰｉｌが決定してからＤＪを求める時にだけ使う。ｉ王 ’ Ｓ２．ＬＡＧＲ＼ＮＧＥの未定係数法どして次の函数を考える。. ＦドルｉＥ吻２‐２を，. を’燃４一. 〆（Ｘｉ）を最小にするには馬を最小にすればよく. ａる２メ２ｘ＝のーみぬＦＯ . 故に，．. . 噛★ か溝声踊にん× ＝１. （但し僻” だ）き. これを（３）に代入するとスハが決まり従って力‘ が決定するのであるが、上の式を行列で書いてみれば. ）（者孝誓え妄言三日三（ｉＥ. ｄ２. 三. ）. １＝（Ａ※ＣＡ）－である，ＩＡ英ＣＡ－β となるから／つ従っ故にＰニイ蕊※Ｃとして之をＰＡ＝Ｅに代入してみると、／ＩＡ※Ｃでなければならない。てＰ＝（Ａ葵ＣＡ）－. これによってＰｉｇが決定し、（４）に代入して功も決まり、均の最良の堆定値又ｉが必然的に求まるｏ. Ｓ３．（４）を（２）に代入すれば為＝！姿寅雄－” ＆） . これをベクトルで書くと. “ ６６・.

(4) . 最. . 芯２ … ズ“ －. . 小. 自. 乗. 法. ′ ′ 、、十Ｐ ”ー一 α ーＩＡ２ …… ＰＩ “ ｉＰ均一 α２－Ｐ２２２ …… Ｐ２′ …… …… …… … ‘ … ′ ′ 十 ′ ′ 十 ′ ｐ２ムーぬ， ′ ｄｐ″ ，溜 ……姦“ ｚ. 、．ズ，、 . 」 ′ ′. 然るにＰ＝（Ａ※ＣＡ）‐ＩＡ美Ｃより（Ａ※ＣＡ）Ｐ＝．Ａ※Ｃ故 ′ ′ 十. （Ａ葵ＣＡ）. ※２ …. ＝・. ・ ” ２一ぬ …. Ａ※Ｃ. . . 此れを成分で表わして正規方程式を求めてみるのに、. Ａ美ＣＡ＝. ★. α ヱ α２ ‘ …… ”ばｔ. ｏ. ｏ …. ０. １０，，“”…… . α．， ′ ”” ″ ２； “ “ ．”．”－” ，４＝２ぴー. . ”“ きぴ ′. α ′ ；〃 ”′ ．．；－？ “ ．…．α . 従って. ｑ醐，. ｌ … ０ . ．・”－ α” ” ！２・“． ’ 〃. 忍. ．. ，αぬ・“”・α‘ ，． ”” ” ２．． ’ “ ，. １ ′ ′. 寄年＝る汰. ”≧ ーα β ′ ′. α ん２ノ. α “ 〃 ′. . をｇｇ. ・・ “ ・・・・・ｏ・・ふｏ・. ｉｇｉ. ・４′ ”回り ” ｚ. ｏｏ・・・１． ‐ｏ. 孝驚喜ｇｉ. 吾. 誓. Ｇ＝１ ’２ー艦）. ムｇゴ伽. ・・’ ．．・．・．．．．・．．・．．・．．・．．．．・ αＬ ” ′ ，，加〃 ”わ？， . を作り. 正規方程式を次のように書き表わすことが出来る。. 故に. ．. Ｇ’ 』１ ’２ー加）と置くｏ. ．臨、．，．，， α ，，吻．. ‘. ’. α川４つ２ …”．α” ′ ′. ・・，．．・．．・．．・・・．．・．．１．」 ′ ′・．・．．・・．．．・．．．・・・．．．・．．・．・．１・効き・…・ α ーｍ α２ｏｏ，ね７， ′ ′ ．．．，，，．”，，， . 従須. 吻. ４２ ′ ．１．．”．α鯵・．αー，ん ”・ーｌｑ－２ …… ”ー２、ーー４１ ′ “ び２. ” 』 ” －ぞ２２ｄ２ α １２. Ａ℃ ＝. ○，，，，，，，，，，，，ｏ. ，，，，伽のー伽，. ・、、１、：. ，. ．. ・，. 工ろばん＝吾誓＠－ガ，. . . 従ってこれを解いて最良の推定値が得られる。. 然るに実はこれは. １Ｉ＝物＝ … 「＝α ．び，の時は. －６７－. 、Ｆ.

(5) . . 大. 場. 将. 寛. Ｘ故に喜寿と『－－．）．こ暑（寡娠勾寛故をん署 α 幽－” ７）．，Ｇ書誓書 ★＠蛍差身＠‘－×α 山雷Ｆ証明－－２宣言＠－× 哨諏ぉＦｏＺ . . . . . . ーＧ；；もむ一ーー回（２ ‘ ‘ 一覧）』；（均一ヱの幻－なり９ . ノ. . し. を最小にする均の値として最良の推定値が求まる。 . －. －－＝ . 証明. . . ．Ｚ一. . ，．，，，，＠‘ －！ ”．山一の）” ！Ｆｏ（た＝１，ｍ），２， . “ ヱ同級くは相等しくない時はｄ … ＝ …－が悉吻噂 “ ．，，ヱ国. ブニー．. は. を最小にする尤ｉの値として最良の推定値が求まる。ａＧ . 故に. “ ｌｄ. . “ × 蓋－誓. 故に. ・. －－．. ● ’ ″. . 嫌）矩吾署（的－の）. 題. 例. ４ＡＢＣの各々の内角乙Ａ＝え，も乙β－為，‘Ｃ憲，ズ２；を測定して α ，β ，γ を得た時、其等から最良の推定角Ｘ１. ズ；；を求めよ。説. 明. リ３の推定値を、洋虞値の未知量キ鞠，寂，β ，γ を得た時、境，パ；は分らなくても常数と考え、此等を測定して α ・，；ｘｊ；１Ｘ差（とめ即ちＰその中で最大の精密度を有する函数表わし β ぉ１ α ，２ゴ＝，ｏ，；、，，γ の一次函数として. １）を求めればよい。，２，３義１，尤．す）を測定して仏 β Ｉ－ｉｇ，γ を得たのを，尤２，＊３電；＝〃－・. ｌｌ … ロー磁器審議鵬ｇｉま. を測定して “ ‘ ｚムドγ を得たとみる。・＝α ２＝β ，′ ，２今. ｘ・＝ＰＩＩ汀十角Ｉα十功２β十Ｐ. 一離れゆ回り十ゑ鄭，十ぬ－エＰｍｑ十ＰＩ . を洋・の最良の推定値とすれば、前述により均；ゑ１夕＋Ａエザー＋ぬ２ｙ２＋Ａ；が．（元一匁１一寛２）十ゑ＝ぬ．均十ｐ１１３２縫＋ゑ１. が成立すべきであるから即ち. （Ｐ）〆）境十露窺十角＝０ね＋（薮２一角“ ＩＩ－Ｐ・３－１．. 一６８－.

(6) ．. 最ヱ角膜沈＝６沈. 故に. 小. 乗ぞ法. 自. ーＰｕｑｔ－－Ｐ．. ・よキー. 乙ニー. ，. なる膝件の下に〆（拍）を最小にすればよい。・び（）＝ｄＧ‘ ）－ｏＧム）＝〃とみれば ” ，～２２ｑ十功３２２十（ＡＩ一１）諺（又，Ｅ十カ｝メー（３カメ－４変，十２）〆）＊（力）諺一｛力Ｉ．き十（ＰＩ．－１）ー２ａが（ｘ・） . ＝（６ゑ．－４）ポニｏ. ｛. ．十ｐ．２一如Ａｒｌ－－. ÷. Ａー. であるから. ぬ一十７ｒ. 故こ. ｘＦ. ÷α－＋β－－÷ “ ÷冗. 同様をこして. ス２. β－－ム三一α十三－－ーγ十一ト. 故に. ズ３＝７ｒ－又・一Ｘ２－. Ｉ. 」Ｉ. ２. １. Ｑ↓ γ ↓ “ “ －一一『 ‐ Ａ十 ÷ Ｔｒｌ十÷ ÷ です ÷“ ÷ ÷ です÷ ３【ド十÷. 義２）＝αα２）＝α０Ａ）－びとみればＣ＝β として行うこと｛により功‘ が直接に求まるので、・～．の方法ではｏｏｆ４）から変も求まって上と同じ結果が得られる。（．. Ｓ３．の方法では１の場合として行うと、上のヱ・，又２が直接に最も簡単に求まり従って又３も求まる。註最良の推定値は必ずしも贋値ではない。. 喜び）マ，ｑ２. び（め. 等となるから. Ｔ（ＴＨＥＢＹｃｌｍｍの不等式により，. Ｐ（ぽー一文 ‐メド ★ ＩＤ云Ｊｇ／３とすればＰＯＸ，－＊“ ＞／２。）＜ ★ ご－５Ｉ故に故に. Ｚ→閲. ＥＸＩ－ス鶴＞５〆２びとなることは少なく ×，一５，／２０三賞な≦×・十／２０が殆ど確実になる。にすれば虞値の範囲は更に確実となるのである。文. 荒．叉秀夫：河田龍夫：竹内端三：渡辺・孫一郎：. 献. １～２０１９４７行列及行列式東海書房，０・６１１４数理統計学概論２９～３７１９７～：，，．洋洋耐２２５～２３３４４業華房高等積分学三十版 ‐ ，１９１３１～１４３４６共立敵確率論再版，１９. －６９－. 、.

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