面積

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第五学年算数科学習指導案１．単元名面積２．指導観 ○ 本学年の児童は、これまでに、第４学年「面積」で長方形・正方形の面積の公式を使って求める学習、第５学年「垂直・平行と四角形」で直線の位置関係に着目して垂直・平行の関係を考える学習、「三角形と四角形の角」で三角形の内角の和をもとにして多角形の内角の和を求める学習をしてきている。そのため、公式を使って長方形や正方形の面積を求めたり、垂直・平行の関係を見つけたり、四角形の内角の和は三角形の内角の和の２倍であることを理解したりすることはできている。しかし、レディネステストの結果をみると、複合図形の面積を工夫して求めたり（５４／８４人）、垂直な直線をかいたり（５３／８４人）することは十分ではない。また、「かく」・「話す」活動においては、「語りはじめのことば」を使って自分の考えを順序よく表そうとする児童が増えてきているが、根拠をもとに自分の考えと友達の考えを交流し、相違点を見つけよりよい考えにまとめていくまでには至っていない。 ○ 本単元では、三角形、平行四辺形の面積の求め方を考えながら、面積の概念の理解を深めることを主なねらいとしている。そこで、三角形、平行四辺形の順序で学習を展開する。それは、多角形の面積がどんな多角形でもいくつかの三角形に区分して求められることから、三角形の面積をもとに四角形の面積の求め方をより関連づけて考えさせようとするものである。また、基本的な図形の面積の求め方を学習した後に公式を使っての関数的な見方、台形やひし形の面積の求め方などを発展的に学習させることで面積についての理解を深めることができる。既習の面積公式をもとに、三角形、平行四辺形の面積を工夫して求めたり、公式を作ったりする際に、根拠をもとに順序よく書いたり話したりする活動を取り入れる。このことは、筋道を立てて考え、その考えを説明できる力を育てることであり、数学的な考え方を養う上で意義深い。 ○ 本単元の指導に当たっては、三角形の面積をもとに四角形の面積の求め方をより関連づけて考えさせるような単元構成を仕組みたい。そこで、次のような手だてをとる。「もつ」段階では、まず、いろいろな形のカードを提示し、形の種類ごとに仲間分けをする。次に、長方形と三角形の広さ比べをし、面積を求められるものと求められないものに分けることで、いろいろな図形の面積を求めていこうという課題意識をもたせる。「つくる・ねりあう」段階では、操作活動を通して、三角形の面積が長方形の面積の半分になることを理解させ、公式に結びつける。このことは、四角形の面積を求める際のもとになるものである。四角形の面積は、長方形や三角形の面積の求め方を使えば求められそうだという見通しを持たせ、三角形に分割したり、長方形に等積変形したりして考えさせる。また、「語りはじめのことば」にそって、自分の考えた解決方法とその根拠をもとに順序よく書いたり、交流をさせたりする。「話す１」の活動では、自分の考えを明確にし、「話す２」の活動では、何をもとにしているか考えさせることで自分や友だちの考えの相違点をみつけ、よりよい考えにまとめていくようにさせたい。「生かす」段階では、公式を使っての関数的な見方や式の表す意味をよみとる力を養うようにする。最後に身の回りのいろいろなものの面積を求めることで、公式を使うよさを味わわせたい。３．単元の目標・評価規準関心・意欲・態度数学的な考え方表現・処理知識・理解既習の面積公式をもとに、三角形、平行四辺形の面積を求める公式を進んで見いだそうとする。既習の面積公式をもとに、三角形、平行四辺形の面積の求め方を考えることができる。面積を求める公式を使って、三角形、平行四辺形の面積を求めることができる。三角形、平行四辺形の面積の求め方を理解することができる。４．単元計画（全１３時間）

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段階時学習活動主な手だて評価規準もつ ① ・長方形や正方形の面積の求め方をふり返り、本単元 ○いろいろな形のカードを提示し、形の種類ごとに仲間分けをさせる。面積を求めら ○関図形の仲間わけを意欲的にし、図形の面積について関の学習計画を立てる。れるものと求められないものに分けることで、いろいろな図形の面積を求めていこうという課題意識を持たせる。心を持つことができる。つくる・ねりあう ① ・直角三角形の面積の求め方を考える。 ○方眼紙に描いた直角三角形に補助線を引いたり、分けたり移動したりして考えさせる。 ○表直角三角形の面積を求めることができる。 ① ・長方形や直角三角形の面積の求め方から、一般の三角形の面積の求め方を考える。 ○長方形や直角三角形の面積の求め方を使えば求められそうだという見通しを持たせ、それぞれの方法で考えさせる。 ○「語りはじめのことば」を使って、考えを整理したり、交流をしたりさせる。 ○考一般の三角形の面積の求め方を考えることができる。 ① ・三角形の面積の求め方を公式にまとめ、公式を使って三角形の面積を求める。 ○方眼紙に描いた三角形を準備し、どこの長さが分かればよいかを考えさせる。 ○必要な長さに色を付けることにより、底辺と高さを明確にさせる。 ○表○知三角形の面積の求め方の公式を理解し、三角形の面積を求めることができる。 ① ・三角形の面積の求め方をもとに、四角形の面積を求める。 ○四角形の内角の和を求める際に対角線を引いて三角形をもとにしたことを想起させ、四角形の面積も三角形の面積がもとになっていることに気づかせる。 ○考四角形を三角形に分割する考え方を用いて求積することができる。 ① 本時（ Ⅰ ）・三角形の面積の求め方や等積変形を使って、平行四辺形の面積の求め方を考え、説明する。 ☆「つくる・ねりあう」過程を重点とする ○長方形や三角形の面積の求め方を使えば求められそうだという見通しを持たせ、それぞれの方法で考えさせる。 ○「語りはじめのことば」を使って、考えを整理したり、交流をしたりさせる。 ○考平行四辺形の面積の求め方を考えることができる。 ① 本時（ Ⅱ ）・平行四辺形の面積の求め方を公式にまとめ、公式を使って平行四辺形の面積を求める。 ☆「生かす」過程を重点とする ○方眼紙に描いた平行四辺形を準備し、どこの長さが分かればよいかを考えさせる。 ○必要な長さに色を付けることにより、底辺と高さを明確にさせる。 ○表○知平行四辺形の面積の求め方の公式を理解し、平行四辺形の面積を求めることができる。 ① ・高さが外にある三角形や平行四辺形の面積も公式を使って求めることができることを確かめる。 ○鈍角三角形を底辺の長さが同じ鋭角三角形に変形させ、高さは変わらないことに気づかせる。 ○考○表高さが外にある三角形や平行四辺形について、公式を用いて求積することができる。 ① ・台形の面積の求め方を考える。 ○三角形や平行四辺形の面積の求め方をもとにして求積させる。 ○考○表台形の面積の求め方を考え、求めることができる。 ① ・ひし形の面積の求め方を考える。 ○三角形や長方形の面積の求め方をもとにして求積させる。 ○考○表ひし形の面積の求め方を考え、求めることができる。

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生かす ① ・底辺一定で高さが変化したり、高さが一定で底辺が変化したりする場合の面積の変化の様子を調べる。 ○高さと面積の変わり方、底辺と面積の変わり方を表にまとめ、一方が変わるともう一方がどのように変わるかという規則を見つけさせる。 ○考三角形の高さや底辺と面積の関係を考えることができる。 ① ・面積を求める式の形から、いろいろな求積の仕方がよみとれることをまとめる。 ○求積の仕方を示す図と結びつけ、式の一部が図形のどの数量と対応するかをつかませる。 ○考○表面積を求める式の形に着目し、式の表す意味をよみとることができる。 ① ・身の回りで、いろいろなところの面積を求める。 ○求めたい物の形から、適応する公式を選んだり、適応できる形に分けたりして求積させる。 ○関○表身の回りにあるいろいろなものの面積に興味を持ち、求めることができる。５．本時Ⅰ ６／１３：「つくる・ねりあう」過程を重点とする（１）主眼 ○ ２つの三角形に分割したり、長方形に等積変形したりする活動を通して、平行四辺形の面積の求め方を考えることができる。 ○ 平行四辺形の面積の求め方がわかり、解決方法とその根拠をもとにして説明することができる。めざす数学的な考え方：類推的な考え方（２）本時でめざす子どもの姿と主な手立て（３）準備教師：平行四辺形の図（提示用）、実物投影機、プロジェクター（１組）、電子ホワイトボード（３組）児童：平行四辺形の図、ワークシート、ヒントカードめざす子どもの姿 ○ 平行四辺形の図をもとに、対角線を書き込んで２つの三角形に分けたり、直線を引いて三角形や四角形に分けたり、分けた形を移動して長方形を作ったりして平行四辺形の面積の求め方を考えることができる。 ○ 「語りはじめのことば」にそって自分の考えを説明することができる。 ①「はじめに、平行四辺形に対角線を引いて、2 つの同じ三角形にしました。次に、三角形の面積の公式に当てはめて、８×５÷２で２０㎠になります。その三角形が２つなので、２０×２で４０㎠になります。だから、この平行四辺形の面積は、４０㎠になります。」 ②「はじめに、三角形の部分を切り取って、反対側につけて長方形にします。次に、長方形の面積の公式に当てはめて、５×８で４０㎠になります。だから、平行四辺形の面積は、４０㎠になります。」主な手立て〈着眼１〉・求め方を図に表すようにさせる。・「語りはじめのことば」を提示する。〈着眼２〉・「語りはじめのことば」にそって、解決方法とその根拠をもとに順序よく説明させる。 ①「対角線を引いて２つの三角形に分ける」 ②「三角形の部分を切り取って反対側にずらし、長方形にする」 ③「真ん中で分けてずらし、長方形にする」 ④「ない部分をつけ足して大きい長方形にする」 ⑤「２本の線を引いて三角形と長方形に分ける」平行四辺形の面積は、□㎠だと考えます。はじめに、○○（方法）でしました。次に、～～すると……になりました。だから、平行四辺形の面積は□㎠になります。

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（４）展開段階学習活動教師の支援と評価もつ１学習場面を知り、本時学習の課題をつかむ。 ○ これまでに、長方形・正方形・三角形の面積を求める公式を学習してきたことや前時の学習で、一般の四角形の面積は、対角線を引いて２つの三角形に分けて求めることができたことを想起させる。つくる２平行四辺形の面積の求め方を考える。（１）自分なりの方法を考え、面積を求める。【かく１】 ○ 解決への見通しを持たせるために、これまで学習してきたことを掲示しておき、既習の公式を使って求めることができないか助言する。 ○ 既習の公式を使うためにはどんな形にすればよいかを考えさせ、平行四辺形の図に線を書き込んだり、説明の言葉や式を書いたりすればよいことを助言する。

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め平行四辺形の面積の求め方を考えよう。 ○考平行四辺形の面積を求める方法を書くことができる。（ワークシート） ①対角線を引いて２つの三角形に分ける。８×５÷２＝２０２０×２＝４０４０㎠ ③真ん中で分けてずらし、長方形にする。５×８＝４０４０㎠ ②三角形の部分を切り取って反対側にずらし、長方形にする。５×８＝４０４０㎠ ④ない部分をつけ足して大きい長方形にする。５×１０＝５０２×５÷２＝５５０－５×２＝４０４０㎠ ⑤２本の線を引いて三角形と長方形に分ける。２×５÷２＝５５×２＝１０５×６＝３０１０＋３０＝４０４０㎠

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（２）求め方の説明の仕方を考える。【かく２】 ○ 自分の考えを人に分かりやすく伝えるための「語りはじめのことば」を掲示しておき、活用させる。 ○ 「語りはじめのことば」にそって、自分の考えた求め方を順序良く整理して、ワークシートに書くようにさせる。 ○ 書くことが苦手な児童には、ヒントカードを渡し、自分の求め方を書くようにさせる。 ○ 書き終わった児童には、わかりやすい説明になるように、文章を読み返したり、説明の練習をしたりさせる。 ①はじめに、対角線で2 つに分け、同じ三角形を２つ作りました。わけは、三角形の面積の公式が使えるからです。次に、三角形の面積は、８×５÷２で２０㎠になります。その三角形が２つあるので、２０×２で４０㎠になります。だから、平行四辺形の面積は、４０㎠になります。 ②はじめに、三角形の部分を切り取って、反対側にずらして長方形にします。わけは、長方形の公式が使えるからです。次に、長方形の面積は、５×８で４０㎠になります。だから、平行四辺形の面積は、４０㎠になります。 ③はじめに、平行四辺形の真ん中で分けて、反対側にずらし、長方形にします。わけは、長方形の公式が使えるからです。次に、長方形の面積は、５×８で４０㎠になります。だから、平行四辺形の面積は、４０㎠になります。 ④はじめに、外側に直線を引いて大きな長方形にします。大きな長方形からこの三角形の部分を引いたら平行四辺形の面積になります。次に、大きな長方形の面積は、５×１０で５０㎠になります。それから、この三角形の面積は、２×５÷２で５㎠になります。その三角形が２つあるので、５×２で１０㎠になります。最後に、長方形から三角形の面積をひくと、５０－１０で４０㎠になります。だから、平行四辺形の面積は、４０㎠になります。 ○考平行四辺形の面積の求め方を「語りはじめのことば」にそって、解決方法とその根拠をもとにして順序良く書くことができる。（ワークシート） ⑤はじめに、端に２本の直線をひいて２つの三角形と１つの長方形にしました。わけは、長方形と三角形の面積の公式が使えるからです。次に、三角形の面積を求めました。三角形の面積は、２×５÷２で５㎠になります。その三角形が２つあるので、５×２で１０㎠になります。それから、長方形の面積を求めました。長方形の面積は、５×６で３０㎠になります。最後に、三角形と四角形の面積をたすと、１０＋３０で４０㎠になります。（つくる）

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３お互いの考えを出し合い、求め方の交流をする。（１）少人数で話し合う。【話す１】・私の考え方は、わかりましたか。・○○にして求めたところがいいね。・なぜ△△になるのか、もう少し詳しく説明した方がいいよ。 ○ 少人数で説明し合い、考えた方法は正しいか、順序良く説明できたかなどを確かめさせる。 ○ 友達の助言をもとに、求め方の確かめや見直しをし、もっと分かりやすく説明できるよう書き直しや書き込みをさせる。ねりあう（２）全体で話し合う。【話す２】・□さんとわたしは、同じ求め方です。・☆さんと★さんは、長方形に変えて求めているところが同じです。・どの求め方でも、平行四辺形の面積は４０㎠です。・三角形に分けたり、長方形に直したりすると、面積を求めることができます。 ○ 自分や友達の考えで似ているところや違うところに目を向けさせ、どの考えも三角形や長方形など既習の公式を使って求めていることに気づかせる。４本時のまとめをする。 ○ 他の平行四辺形も三角形や四角形に変えられることを確かめ、一般化を図る。５次時学習の内容を知る。 ○平行四辺形も公式が作れるのではないかという疑問を持たせる。

○

ま平行四辺形の面積は、長方形や三角形の面積をもとにして求めることができる。ずらすと長方形になる対角線で分けると三角形になる

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５．本時Ⅱ ７／１３：「生かす」過程を重点とする（５）主眼 ○ 平行四辺形の面積の公式を使って、必要な長さを選んだり、測ったりして面積を求めることができる。 ○ 平行四辺形の面積の求め方を、底辺と高さの関係を明確にして説明することができる。めざす数学的な考え方：帰納的な考え方（６）本時でめざす子どもの姿と主な手立て（７）準備教師：平行四辺形の図（提示用）、実物投影機、プロジェクター児童：平行四辺形の図、ワークシート（８）展開段階学習活動教師の支援と評価もつ１前時学習を想起し、本時学習のめあてをつかむ。 ○ 長さを明記していない平行四辺形を提示し、どうしたら面積を求めることができるかを考えさせることにより、公式の必要性を感じさせる。 ○ 学習の足跡から、三角形に分けたり、長方形に変えたりすることで平行四辺形の面積が求められることを想起させる。 ○ 三角形や長方形をもとにして、底辺や高さに着目し、平行四辺形の面積を求める公式をまとめる。 ○ 平行四辺形の面積＝底辺×高さで求められることが分かる。 ○ 公式を使って、平行四辺形の面積を求めることができる。 ○ 平行四辺形の求め方をペアで説明する。「面積は、□です。その理由は、はじめに☆を底辺とします。次に、高さは底辺と垂直になるので★になります。だから、式は☆×★＝□で、面積は□です。」めざす子どもの姿主な手だて・前時までの学習の足跡をてがかりに、方眼紙に描いた平行四辺形のどこの長さが分かればよいかを考えさせることにより、底辺や高さに着目させ、公式に結びつけさせる。・底辺と高さに色を付けさせることで、２つの長さを明確にさせ、公式を使って面積を求めさせる。・身につけた考え方を生かすために、①必要な長さを選んで面積を求める問題、②必要な長さを測って面積を求める問題という順にさせる。・自分の考えを、根拠が分かるように説明させる。

○

め平行四辺形の面積の公式をつくって、面積を求めよう。

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つくる・ねりあう２平行四辺形のどこの長さが分かれば面積が求められるかを考える。（１）三角形をもとにした場合 ○ 平行四辺形の面積を求める方法をふり返らせる。 ○ 底辺と高さに色を付けさせることで、底辺と高さが垂直になっていることを確認させる。（２）長方形をもとにした場合３平行四辺形の面積を求める公式をまとめる。 ○ たてと横に色を付けさせることで、たてと横が垂直になっていることを確認させる。 ○ 三角形をもとにした場合と長方形をもとにした場合の共通点を見つけさせ、どちらも垂直になっている２つの長さが分かればよいことに気づかせる。 ○ 底辺や高さ（平行線の幅）の用語を知らせ、公式にまとめる。生かす４公式を使って、平行四辺形の面積を求める。（１）底辺と高さの長さを測り、公式を使って面積を求める。 ○ 底辺と高さに色を付けさせることで、２つの長さを明確にし、公式を使って面積を求めさせる。 ○表○知平行四辺形の面積の公式を使って求めることができる。（ワークシート）（２）求め方をペアで説明しあう。「面積は、□です。その理由は、はじめに、☆を底辺とします。次に、高さは底辺と垂直になるので★になります。だから、式は☆×★＝□で、面積は□です。」５本時学習をふり返り、次時学習について知る。 ○ 長さを明記していない問題については、必要な長さを測らせ、なぜその長さが必要なのか根拠をペアで説明しあうようにさせる。 ○ 公式を使うと、はやく、簡単に面積が求められ、便利だということを確認させる。 ○ 高さが外にある平行四辺形を提示し、公式が使えるかを考えさせ、次時につなげるようにする。前時学習からＡＢ _ＣＤ前時学習から平行四辺形の面積＝底辺×高さＡＢ _ＣＤずらす

○

ま底辺と高さが決まれば、公式を使って簡単に求められる。