Extreme points of dual spaces and Banach‐Stone type
theorems
筑波大学数理物質系数学域 川村 一宏 Kazuhiro Kawamura Institute of Mathematics University of Tsukuba kawamura@math.tsukuba.ac.jp1
序
本稿ではBanach‐Stone の定理のヴァリエーションとして,底空間のトポロジー との関係を考察した結果について報告する.Xをコンパクト Hausdorff 空間, EをBanach 空間とする.X上の E‐
値連続関数全体に supremum norm \Vert\cdot\Vert_{\infty} を入れた空間を C(X, E)で表す。特に C(X, \mathbb{C})=C(X)
とする。
定理1.1 (Banach‐Stone) X, Yをコンパクト Hausdorff 空間、 T : C(X)arrow C(Y) を複素線形同
型写像で \Vert\cdot\Vert_{\infty}に関して等長的であるものとする。このとき連続写像 \alpha: Yarrow \mathbb{T}=\{z\in \mathbb{C}||z|=1\}
と同相写像 \varphi : Yarrow Xが以下を満たすように存在する :
Tf(y)=\alpha(y)f(\varphi(y)) , f\in C(X), y\in Y.
上のような形の作用素を荷重 \alpha, シンボル \varphiの荷重合成作用素という。定理1.1の一つの証明は,双
対空間における単位球の端点集合を調べることでなされる ([5])。
定義1.2 Aを C(X, E) の複素線形部分空間, x\in X とする。 A上の Eに値を取る関数 \overline{\delta}_{x} : Aarrow E
を \delta_{x}(f)=f(x) で定義する。
(1) 有界線形汎関数 \xi: Aarrow \mathbb{C}で \Vert\xi\Vert=1 を満たすものが双対空間.A *
の単位球 B(A^{*})の端点 (extreme point) であるとは、
\xi=\frac{\alpha+\beta}{2}, \alpha, \beta\in A^{*}, \Vert\alpha\Vert, \Vert\beta\Vert\leq 1\Rightarrow\xi=\alpha=\beta
が成立することである。
(2) (cf. [2]) Aの Eに関する Choquet 境界を
Ch_{E}(A)= { x\in X|\xi\in ext (E^{*}) が存在して \xi 0\delta_{x}\in ext (A^{*})}
Ch_{\mathbb{C}}(A) は通常の AのChoquet 境界 Ch(A) と一致する.ここでは以下の設定を考える:
設定
\overline{p}X定. X, Y はコンパクト Hausdorff 空間, EはBanach 空間, A, B はそれぞれ C(X, E), C(Y, E)の
線形部分空間で以下を満たすとする:
(S1) A, Bは任意の定数値関数を含む.
(S2) 任意の u\in E と任意の x_{1}\neq x_{2}\in X に対し, f(x_{1})=u, f(x_{2})=0をみたす f\in Aが存在す
る. B についても同様.
上の条件 (SI),(S2) は部分空間 A, Bが連続関数を豊富に含むことを表している。 \mathcal{B}(E)で E上の有
界線形作用素全体に strong operator topology を入れた空間を表し, U(E)で E上の線形等長変換
全体のなす \mathcal{B}(E)の部分空間を表す。
問題1.3上の設定の下,線形全射等距離写像 T:Aarrow Bに対して,連続関数 V=(V_{y}):Ch_{E}(B)arrow
U(E) および同相写像 \varphi: Ch_{E}(B)arrow Ch_{E}(A) が,以下を満たす様に存在するか?
Tf(y)=V_{y}(f(\varphi(y))) y\in Ch(B).
本稿では上の形の作用素を 「一般荷重合成作用素」 と呼ぶ。 E=\mathbb{C}のとき、上の問いが肯定的で
あるような T, A, B に関する十分条件がいくつか知られている ([1], [4], [6], [11], [13] 等). 例えば:
定理1.4 ([11]) T, A, Bが次のいずれかを満たせば上の問いは肯定的である。
(1) Tが複素線形で,任意の異なる x_{1}, x_{2}\in X に対して f\in Aが |f(x_{1})|\neq|f(x_{2})| を満たすよう
取れる. B についても同様.
(2) Tが実線形で,任意の x\in X と x の任意の近傍 U, 任意の \epsilon>0 に対して, f\in A が
\Vert f\Vert_{\infty}=f(x)=1 かつ \Vert f|X\backslash U\Vert_{\infty}<\epsilon を満たすよう取れる. Bについても同様.
しかし上の問題は一般には否定的であることを示す例が、古清水三浦 高木高橋各氏によっ
て与えられた [11] 。
例1.5 \mathbb{T}上の一次関数のなす関数空間 A=\{az+b|a, b\in \mathbb{C}\} を考え、線形作用素 S: Aarrow Aを
S(az+b)=az+\overline{b}によって定義する。 S は実線形等長変換であるが一般荷重合成作用素でない.
さらに三浦氏は,一般荷重合成作用素でない実線形等長変換を許容する関数空間 AのChoquet
境界 Ch(A) は, T と同相な空間を含まなければならないことを示した ([12])。従ってXが円周の
コピーを含まない空間であるとき, C(X) の部分空間 Aが(SI)(S2) を満たせば、任意の実線形等
距離変換 S : Aarrow Aは一般荷重合成作用素である。この結果は A_{\grave{\ovalbox{\tt\small REJECT}}}B の仮定は最少に留めておく
代わりに,底空間のトポロジーを規定することでBanach‐Stone 型の定理を導くという意味で新し い。三浦氏と筆者は,[12] の議論をより詳しく行うことにより,いくつかの結果を得た ([10]). 本稿
2
Extreme point method と得られた結果
C(X, E)の部分空間 Aの双対空間.A * の単位球上の端点集合を ext
(A^{*})で表す.Banach 空間 E
に対する ext (E^{*}) も同様である.
Proposition 2.1写像
\Phi_{X,E} : ext (E^{*})\cross Xarrow A^{*}, \Phi_{X,E}(\xi, x)=\xi 0\delta_{x}, \xi\inext (E^{*}), x\in X
は単射で, A^{*} のwea k^{*} topology に関して連続である.
ここで \mathcal{E}_{X,E}={\rm Im}(\Phi_{X,E}) とおく.[3] からext (A^{*})\subset \mathcal{E}_{X,E} が成り立ち,従って
\Phi_{X,E}^{-1}
(ext (A^{*}) ) \subset ext (E^{*})\cross Ch_{E}(A)が成り立つ.そこで以下の条件を考える:
(ext)
\Phi_{X,E}^{-1}
(ext (A^{*}) ) =ext (E^{*})\cross Ch_{E}(A) .例2.2例えば以下のような場合に (ext) が満たされる. (i) E=\mathbb{C}.
(ii) Aが C(X)‐加群.
(iii) ((i) の拡張) EがHilbert 空間,単位球面 S(E) に推移的に作用する \Gamma\subset U(E)が存在して A
は \Gamma‐不変部分空間,即ち \gamma\in\Gamma, f\in A\Rightarrow\gamma\cdot f\in Aが成り立つ.
A, Bが(S1),(S2),(ext) を満たすとする。全射線形等長写像 T: Aarrow Bの双対写像 \tau* : B^{*}arrow A^{*}
がまた等長写像であることを用いて以下の可換図式を得る。
B^{*} arrow^{\tau*} A^{*}
\uparrow
\uparrow
ext (B^{*}) arrow^{\tau*} ext (A^{*})
\Phi_{Y\uparrow} \uparrow\Phi_{X}
ext (E^{*})\cross Ch_{E}(B)arrow^{\tau_{T}} ext (E^{*})\cross Ch_{E}(A)
同相写像 7_{T}=\Phi_{X}^{-1}\circ T^{*}\circ\Phi_{Y}を以下の様に表示する :
\tau_{T}(\eta, y)=(\alpha(\eta, y), \varphi(\eta, y)) , \eta\in ext(E^{*}) , y\in Ch_{E}B, (1)
定理2.3 ([8]) (1) y\in Ch_{E}(B) に対して V_{y}:Earrow Eを V_{y}(u)=Tc_{u}(y) , u\in E とおくと,写像 Ch_{E}(B)arrow \mathcal{B}(E) , y\mapsto V_{y} は連続で,かつ
V_{y}^{*}|ext(E^{*})=\alpha(\cdot, y).
(2) 任意の y\in Ch_{E}(B)に対して \varphi(\cdot, y) :ext (E^{*})arrow Ch_{E}(A)が定値写像とする. \varphi(y) :=\varphi(\cdot, y) とおくと, \varphiは連続全射でかつ
Tf(y)=V_{y}(f(\varphi(y))) , f\in A, y\in Ch_{E}(B).
(3) E がreflexive かつ E^{*}がstrictly convex とする.(2) の仮定が成り立つとき, V_{y}\in U(E)かつ
\varphi: Ch_{E}(B)arrow Ch_{E}(A)は同相写像である.
従って Eがreflexive, E^{*} がstrongly convex, A, Bが(S1), (S2), (ext) を満たすとするとき, T :
Aarrow Bが一般荷重合成作用素であるためには、任意の y\in Ch_{E}(B)に対して
(Stab) \varphi(\cdot, y) :ext (E^{*})arrow Ch_{E}(A) が定値写像
が成立すればよい.上の枠組みを用いて,以下のような[7] の類似を得る.
定理2.4 ([8]) Eはreflexive かつ E^{*} がstrongly con\tau) exとする. A, Bは (S1), (S2), (ext) を満た
し,さらに次が満たされるとする:
任意の x\in Ch_{E}(A) , 任意の xの開近傍 U, 任意の u\in Eに対して f\in Aが以下を満たすように
存在する :
\Vert f\Vert_{\infty}=\Vert u\Vert , f(x)=u, f|X\backslash U\equiv 0.
B についても同様.
このとき任意の全射線形 \Vert . \Vert_{\infty}‐等長写像 T : Aarrow B にたいして条件 (Stabb) が成り立ち、した
がって Tは一般荷重合成作用素である.
注上のタイプの定理を得るためには,値域の Banach 空間 Eに対して何らかの仮定を置かねばな
らない ([14]).
[8, 4節] において,底空間の位相次元に関わる Banach‐Stone 型定理を考察した。そこでの議論 をもう少し詳しく行って,以下の定理を得ることができる。
定理2.5 X, Yはコンパクト距離空間, Eは可分 Hilbert 空間, A\subset C(X, E), B\subset C(Y, E) は (Sl),
(S2), (ext) を満たす部分空間とし,更に Xの位相次元 \dim X は有限と仮定する.以下のいずれか
の条件が成り立つとき,任意の全射線形等長写像 T:Aarrow Bに対して (Stab) が成立し、従って T
は一般荷重合成作用素である。
(2) \dim_{\mathbb{R}}E\geq 3 かつ \dim_{\mathbb{R}}E\geq 2\dim X+1.
(3) \dim_{\mathbb{R}}E=\infty>\dimX.
T:Aarrow Bに対して (1) により定まる写像 \varphi : S(E^{*})\cross Ch_{E}(B)=ext(E^{*})\cross Ch_{E}(B)arrow Ch_{E}(A)
をとり,任意に固定した y\in Ch_{E}(B) に対して
\phi_{y} : S(E^{*})arrow Ch_{E}(B), \phi_{y}(\eta)=\varphi(\eta, y)\eta\in ext (E^{*})
とおく。条件 (Stab) は各 y\in Ch_{E}(A) に対して \phi_{y}が定値写像であることに他ならない。上の定理 の証明は,定値写像でない \phi_{y}の存在から導かれる条件を考察することでなされる。[8] 同様以下の
Hurewicz の定理を用いる.
定理2.6 (Hurewicz の定理)
f : Marrow Nを可分距離空間 M, Nの間の閉写像とするとき, M, Nの位相次元に対して以下が成り
立つ
\dim M\leq\dim N+\sup_{q\in N}\dim f^{-1}(q)
.\dim X=2_{j}\dim_{\mathbb{R}}E=3のとき,定理2.5の仮定は満たされないが,写像 \phi_{y} : S(E^{*})=S^{2}arrow Ch_{E}(A) を調べることによって,以下の定理を得る.
定理2.7 上と同じ記号の下,Xは2次元球面 射影平面のいずれをも含まないとする。このとき A\subset C(X, \mathbb{R}^{3}) , B\subset C(Y, \mathbb{R}^{3}) の間の任意の等距離写像 T: Aarrow Bは (Stab) を満たし、従って一般
荷重合成作用素である.
C(X, \mathbb{R}^{n}), n\geq 4, に対しても,コンパクト空間族 \mathcal{C}_{n} を定めて, A\subset C(X_{\ovalbox{\tt\small REJECT}}.\mathbb{R}^{n})_{\dot{\ovalbox{\tt\small REJECT}}}B\subset C(Y, \mathbb{R}^{n}) の間 の線形等長写像 T: Aarrow B に対し, X, Y は \mathcal{C}_{n} に属する空間のコピーを含まない \Rightarrow T は一般荷重合成作用素 が成り立つようにできる.一方で 例2.8 Xを2次元球面あるいは射影平面とする. C(X, \mathbb{R}^{3}) の線形部分空間 A と A上の等長写像 S: Aarrow Aで一般荷重合成作用素として表せないものが存在する。 例1.5の構成を四元数に対して行うことによって, C(S^{3}, \mathbb{R}^{4})の部分空間 A上の全射等距離写像 S : Aarrow Aで一般荷重合成作用素でないものを構成することができる ([9]).
参考文献
[1] J. Araujo and J.J. Font, Linear isometries between subspaces of continuous fuctions, Trans. Amer. Math. Soc. 349 (1997), 413‐428.
[2] H. Al‐Halees and R.J. Fleming, Extreme point methods and Banach‐Stone theorem, J. Aust. Math. Soc. 75 (2003), 125‐143.
[3] B. Browski and F. Dutsch, On some geoometríc properties of suns, J. Appr. Th. 10 (1974),
245‐267.
[4] M. Cambern, Isometries of certain Banach algebras, Studia Math. 25 (1964‐1965), 217‐225. [5] N. Dunford and J. Schwarz, Linear operators, vol.1, General Theory, Interscience, New York,
(1958)
[6] W. Holszynski, Continuous mappings induced by isometries of spaces of continuous functions, Studia Math. 26 (1966), 133‐136.
[7] M. Jerison, The space of bounded maps into Banach space, Ann. Math. 52 (1950), 309‐327. [8] K. Kawamura, Linear surjective isometries between vector‐valued function spaces, J.
Aust.Math. Soc.100 (2016), 349‐373.
[9] K. Kawamura, Banach Stone Theorem for quaternion‐valued continuous function spaces, Mediterranean J. Math. 13(2016), 4745‐4761.
[10] K. Kawamura and T. Miura, Real‐linear surjective isometries between function spaces, Top. Appl. 226 (2017), 66‐85.
[11] H. Koshimizu, T. Miura, H. Takagi and S.‐E. Takahasi, Real‐linear isometries between sub‐ spaces of continuous functions, J. Math. Anal. Appl. 413 (2014), 229‐241.
[12] T. Miura, Surjective isometríes between function spaces, Contemp. Math.645, 231‐239. [13] W. Novinger, Linear isometries of subspaces of spaces of continuous functions, Studia Math.
53 (1975), 273‐276.
[14] K. Sundaresan, Spaces of continuous functions into Banach spaces, Studia Math. 48 (1973),
15‐22.
