On the Galois theory of the lemniscate, after an article by Cox and Hyde

(1)

Lemniscate

^の

Galois

^{理論について，}

Cox

^と

Hyde

^{の論説による}

On the Galois theory of the lemniscate, after an article by Cox and Hyde

数学専攻田代卓真

Takuma TASHIRO

はじめに

本論文は，

David Cox, Trevor Hyde, The Galois theory for the lemniscates, Journal of Number

Theory 135 (2014)

に基づく総合報告である．論文は７節からなるが，第５節以降で

Cox-Hyde

^の

論説を基にしてレムニスケート曲線の等分多項式を論述した．一方，その前段階として，第１節では第２節以降で必要な

Galois

理論の事項を，第２節では円分多項式と円分体について，第３節では

Chebyshev

多項式について，第４節では

Gauss

の整数環について基本事項をまとめた．第５節から

が本論であり，第５節ではレムニスケート函数について，第６節ではレムニスケート函数の等分多項式について，第７節では

lemnatonic polynomial

^{について論述した．}

1. Galois

理論

記号

1.1. K/k

を代数的拡大とする．体

K

^{の自己同型で}

k

の元を動かさないものを，

K

^の

k

^上の自己同型といい

Aut k (K)

^{と書く．体}

K

^の

k

^{自己同型の全体を}

Gal(K/k)

^で表す．

Gal(K/k)

^は写像の合成に関して群となる．

定義

1.2. K

^{を体とし，}

G

^を

k

^{の自己同型群}

Aut k (K)

の部分群とする．このとき，

G

^{のすべての元} で固定される

K

^{の元全体の集合を}

K ^G

^{と書き表す．すなわち}

K ^G = { x ∈ K ;

^すべての

σ ∈ G

^について

σ(x) = x

^{が成り立つ}

}

であり，

K ^G

^は

G

^{の固定体という．}

命題

1.3.

^固定体

K ^G

^は

K

^{の部分体である．}

定理

1.4. (Galois

^{理論の基本定理}

) K/k

^{を体の有限}

Galois

拡大とする．このとき，対応

L 7→

Gal(K/L)

^は

K/k

^{の部分拡大と}

Gal(K/k)

の部分群の一対一対応を与える．逆対応は

H 7→ K ^H

^によって与えられる．さらに，

L/k

^が

Galois

^拡大

⇔ Gal(K/L)

^が

Gal(K/k)

^{の正規部分群．このと} き，

Gal(L/k)

^は剰余群

Gal(K/k)/Gal(K/L)

^に同型．

2.

円分多項式と円分体

定義

2.1. (

^{円分多項式}

) n

^{を正の整数とし，}

ζ = e ^2πi/n = cos 2π

n + i sin 2π

n

^とする．

Φ n (t) = ∏

1≤k≤n

(k, n)=1

(t − ζ ^k )

と定義する．したがって，

deg Φ n (t) = φ(n)

^．

1

(2)

定理

2.2. n

を正の整数とする．このとき，

t ⁿ − 1 = ∏

d | n

Φ d (t)

が成り立つ．

定理

2.3. n

を正の整数とする．このとき，円分多項式

Φ n (t)

^は

Q [t]

^{において既約である．}

Q (ζ n )

^は

n

次円分体という．円分多項式や円分体の「円分」という名称は，

1, ζ, ζ ² , . . . , ζ ⁿ ⁻ ¹

^が

Gauss

^{平面において正}

n

角形の頂点をなすことに由来している．

定理

2.4. n

^を整数

≥ 3

^とし，

ζ = e ^2πi/n

とおく．このとき，対応

σ 7→ i(σ)

^{は群の同型}

i : Gal( Q (ζ )/ Q ) → ^∼ ( Z /n Z ) ^×

^{を与える．}

3. Chebyshev

多項式

定理

3.1. (

^第一種

Chebyshev

^多項式

) n

^を整数

≥ 0

^{とする．このとき，}

T n (cos θ) = cos nθ

^が成立するような

T n (t) ∈ Z [t]

が唯一つ存在する．さらに，各

n ≥ 2

^に対して

T n (t) = 2tT n − 1 (t) − T n − 2 (t)

が成立する．

命題

3.2. n

を正の整数とする．このとき，

T n (t) = 2 ⁿ ⁻ ¹

∏ n k=1

(

t − cos 2k − 1 2n π

)

が成り立つ．

系

3.3. n

を正の奇数とする．このとき，

T n (t) = 2 ⁿ ⁻ ¹

n ∏ − 1 k=0

(

t − sin 2kπ n

)

が成り立つ．

4. Gauss

の整数環

定義

4.1. C

^の部分環

Z [ √

− 1] = { a + b √

− 1 ; a, b ∈ Z}

^を

Gauss

の整数環という．

α ¯ = a − bi

を

α

の複素共役という．共役との積をノルムといい

Nr = α α ¯

^{と書き表す．}

Gauss

の整数に対して整除の定理が成立するので，

Z[ √

−1]

^{のイデアルはすべて}

(α)

^{の形をしてい} ること，

Z [ √

− 1]

において素因数分解の定理が成立することが従う．

定理

4.2. p

^{を素数とする．}

Gauss

^{素数には以下の}

3

^{つがある．}

(1) π = 1 + i.

^つまり，

Norm

^が

2

^{であるもの．}

(2) p ≡ 1 mod 4

^なら，

π ∈ Z[ √

−1]

^{が存在して}

Nr(π) = p

^{となる．このとき，}

π, π

^は

Z[ √

−1]

^における素数で

(p) = (π)(π), (π) ̸ = (π)

^．

(3) p ≡ 3 mod 4

^なら，

p

^は

Z [ √

− 1]

^{における素数．}

2

(3)

定義

4.3. α ∈ Z[ √

−1]

^とする．

α ≡ 1 mod 2(1 + i)

^のとき，

α

^{は準素であるという．}

5. Lemniscate

^函数

定義

5.1.

^極方程式

r ² = cos 2θ

により定義された曲線をレムニスケート

lemniscate

^という．

s =

∫ φ(s) 0

√ dr

1 − r ⁴ ( − ϖ

2 ≤ s ≤ ϖ 2 )

によって

s = s(ρ)

^の逆函数

ρ = φ(s)

^{が定義される．}

命題

5.2. (

^加法定理

)

^{任意の実数}

x, y

^に対して

φ(x + y) = φ ^′ (x)φ(y) + φ(x)φ ^′ (y) 1 + φ(x) ² φ(y) ²

が成り立つ．

命題

5.3.

^{以下が成立する．}

(1) φ(iz) = iφ(z) (2) φ ^′ (iz) = φ ^′ (z) (3) φ ^′ (z) ² = 1 − φ(z) ⁴

(4) (

^加法公式

) φ(z + w) = φ(z)φ ^′ (w) + φ ^′ (z)φ(w) 1 + φ(z) ² φ(w) ²

定理

5.4. φ(z)

^は

L = Z (1 − i)ϖ + Z (1 + i)ϖ

を周期に持つ楕円函数で，

0, ϖ

^で

1

^{位の零点を，}

(1 − i)ϖ/2, (1 + i)ϖ/2

^で

1

^{位の極を持つ．}

定理

5.5. ν ∈ Z [ √

− 1]

とする．このとき，互いに素な

P ν (t), Q ν (t) ∈ Z [ √

− 1][t]

^{が存在して}

φ(νz) =

 

 



 

 

φ(z) P ν (φ(z) ⁴ )

Q ν (φ(z) ⁴ ) (ν

^が奇数

) φ(z) P ν (φ(z) ⁴ )

Q ν (φ(z) ⁴ ) φ ^′ (z) (ν

^が偶数

)

が成立する．さらに，

P ν (t), Q ν (t)

^{は互いに素で，}

Q ν (0) = 1

^{となるように取れる．}

補題

5.6. ν ∈ Z [ √

− 1]

^{を準素元，}

S

^を

Z [ √

− 1]/(ν) − { 0 }

^の

Z [ √

− 1]

における完全代表系とし，

λ = (1 + i)ϖ

^{とおく．このとき，}

φ(νz) = φ(z) ∏

α ∈ S

φ ( z − α

ν λ )

が成立する．

系

5.7. ν ∈ Z[ √

−1]

^{を準素元とし，}

A

^を

ν

^{を法とする}

1/4

剰余系とする．このとき，

φ(νz) = φ(z) ∏

α ∈ A

φ(z) ⁴ − φ ( α ν λ ) ⁴ 1 − φ(z) ⁴ φ ( α

ν λ ) ⁴

3

(4)

が成立する．

6. Lemniscate

^{函数の等分多項式}

定義

6.1. ν ∈ O

λ = (1 + i)ϖ

^{とする．このとき，}

Λ ν (t) = ∏

[α] ∈ ( O /ν O )

^×

(

t − φ ( α ν λ ))

を

ν-th lemnatomic polynomial

^という．

補題

6.2. Λ ν (t)

を上記のとおりとする．このとき，

Λ ν (t) ∈ O [t]

^は次数

| ( O /ν O ) ^× |

^の主係数

1

^の多項式である．

命題

6.3. ν ∈ O

tP ν (t ⁴ )

^を

ν

等分多項式とする．このとき，

tP ν (t ⁴ ) = ∏

γ | ν

Λ γ (t)

が成立する．

7. Lemniscate

^函数の

Galois

^理論

定理

7.1. π ∈ Z[ √

−1]

^{を準素な既約元とし，}

P π (t) = t ^d + a 1 t ^d ⁻ ¹ + . . . + a d − 1 t + a d (a 1 , a 2 , . . . , a d ∈ Z [ √

− 1])

とおく．このとき，

a 1 , a 2 , . . . , a d

は

π

^{で割り切れる．特に，}

a d = π

^．

定理

7.2. ν ∈ O

^{が準素ならば，}

Λ ν (t)

^は

K

^{上既約である．}

系

7.3. ν ∈ O

λ = (1 + i)ϖ

^{とする．任意の}

σ ∈ Gal(K ν /K)

^{に対して，}

σ (

φ ( λ ν

)) = φ (

α λ ν

)

となる

[α] ∈ (O/νO) ^×

が唯一つ存在する．さらに，写像

σ 7→ [α]

^は同型

Gal(K ν /K) → ^∼ ( O /ν O ) ^×

を定義する．

参考文献

[1] David Cox, Trevor Hyde, The Galois theory for the lemniscates, Journal of Number Theory 135 (2014)43–59

[2] David Cox, Galois Theory, 2nd edition, Wiley (2012) [3]

中島匠一，代数方程式とガロア理論，共立出版

(2006)

[4]

高木貞二，近世数学史談数学雑談第７版，共立出版

(2007) [5]

高瀬正仁，ガウスの数学日記，日本評論社

(2013)

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On the Galois theory of the lemniscate, after an article by Cox and Hyde

Lemniscate

Galois

Cox

Hyde