非線形移流拡散方程式に対する 半群解の差分近似による構成
Construction of Semigroup Solutions to Nonlinear Convective Diffusion Equations by means of Finite-difference Approximations
数学専攻 須賀 啓子 SUGA Keiko
序論
次の非線形移流拡散方程式のCauchy問題(IV P)について考える.
∂u
∂t(x, t) = ∆ϕ(u) + XN
i=1
Fi(u)xi, x∈RN, t >0;
u(0, x) =u0(x)∈L1∩L∞, x∈RN. (IVP)
ここで,ϕとFi(i= 1,· · · , N)は次の条件(C1),(C2)を満たすとする.
(C1) ϕはR1上狭義増加,局所リプシッツ連続な関数でϕ(0) = 0.
(C2) FiはR1で定義された関数でFi(0) = 0かつ, (Fi(r)−Fi(s))2
|(r−s)(ϕ(r)−ϕ(s))| はR1の各有界区間でr, sに対して有界.
本論文では,次の差分近似によって(IV P)の半群解の構成について論じる.
(1.1)
1
h[u(t+h, x)−u(t, x)]
= XN
i=1
1
k2[Ti(k)−2I+Ti(−k)]ϕ(u(t, x)) + XN
i=1
1
2k[Ti(k)−Ti(−k)]Fi(u(t, x)), Ti(k)u(x) =u(x+kei), ei= (0,· · · ,0,1,i 0,· · ·,0), i= 1,· · ·, N.
Ch,mはL1(RN)上の作用素で,各m >0に対して安定性条件(S)の下で,次のように定義される.
Ch,mu=u+ XN
i=1
h
k2[Ti(k)−2I+Ti(−k)](ϕ(u) +ku) + XN
i=1
h
2k[Ti(k)−Ti(−k)]Fi(u).
(S) : h >0, N h+√
N2h2+ 2N Mmh≤k≤ 16 Nm2 ただしMm= sup
r,s∈Im
ϕ(r)−ϕ(s)
r−s , Nm= max
1≤i≤N sup
r,s∈Im
|Fi(r)−Fi(s)|
p(r−s)(ϕ(r)−ϕ(s)) である.
1
1 半群の構成
補題 1.1 ϕk(r) =ϕ(r) +krとおく.条件(C1),(C2),(S)の下で, r−2N h
k2ϕk(r), ϕk(r)±k
2Fi(r), (i= 1,· · · , N), はIm= [−m.m]上非減少である.
定義 1.1 Ch,mの定義域Dmを次のように定義する.
Dm={u∈L1(RN)∩L∞(RN)| kuk∞≤m}.
定理 1.2 Ah= 1
h(Ch−I) (h >0)に対して,次が成り立つ.ただしCh=Ch,mである.
(1) AhはDmにおける消散作用素.
(2) 十分小さなλ >0に対して,R(I−λAh)⊃Dm.
これより非線形半群の生成定理を使ってDm上の半群{Sh(t)|t≥0}が生成され,u∈Dmに対して Sh(t)u= lim
λ↓0(I−λAh)−[λt]u, in L1 という指数公式が成立する.
条件(S)の特別な場合として, (S)0: h >0, k=N h+√
N2h2+ 2N Mmhを定義する.
命題 1.3 十分小さなλ > 0を取って固定し, u ∈ Dmは与えられているとする. このとき条件 (C1),(C2),(S)0の下で次が成り立つ.
(1)
limh↓0(I−λAh)−1u=w, in L1.
(2) kwkp≤ kukp (p= 1,∞), ϕ(w)∈H1となるようなw∈Dmは, すべてのf ∈H1∩L∞に 対して
(1.2)
Z
RN
(
(w−u)f+λ XN
i=1
(ϕ(w)xi+Fi(w))fxi
) dx= 0
を満たす.
定義 1.2 作用素AをA= ∆ϕ+ XN
i=1
Fi(·)xiと定義する.すなわち
u∈D(A), Au=v∈L1 ⇐⇒
u∈L1∩L∞, ϕ(u)∈H1であり, すべてのf ∈H1∩L∞に対して Z
RN
{vf+ XN
i=1
(ϕ(u)xi+Fi(u))fxi}dx= 0.
命題 1.4 作用素Aは次の性質をもつ.
(1) 十分小さなλ >0に対して,R(I−λA)⊃L1∩L∞.
(2) AはL1における消散作用素で,(1.2)の解wに対して,(I−λA)−1u=w.
2
(3) AはL1∩L∞で稠密に定義されている.
定理 1.5 条件(C1),(C2),(S)0の下で,十分小さなλ >0に対して作用素Jλ= (I−λA)−1は次の 性質を持つ.
(1) Jλ:L1∩L∞→L1∩L∞はu∈L1∩L∞に対して
kJλukp≤ kukp, (p= 1,∞).
(2) u∈Dmに対して
limh↓0(I−λAh)−1u=Jλu in L1.
以上より主結果1,2,3が得られる.
定理 1.6 (主結果1) 十分小さなλ >0とu∈L1∩L∞に対して,半群{S(t)|t≥0}が生成され, 指数公式
S(t)u= lim
λ↓0(I−λA)−[λt]u, in L1. で与えられる.
定理 1.7 (主結果2,3)十分小さなλ >0に対して,半群{S(t)|t≥0}は次の性質を持つ.
(1) u∈Dmに対して,
S(t)u= lim
h↓0Sh(t)u, in L1 が成立する.この収束は[0,∞)の各有界区間上でで一様である.
(2) k=N h+√
N2h2+ 2N Mmhとする.u∈Dmに対して, S(t)u= lim
h↓0Ch[ht]
mu, in L1 が成立する.この収束は[0,∞)の各有界区間上で一様である.
2 解の存在
補題 2.1 u0∈L1∩L∞, t >0ととる.すべてのf ∈H1∩L∞に対して,u(t, x) = [S(t)u0](x)は 次の方程式を満たす.
Z
RN
{u(t, x)−u0(x)}f(x)dx+ XN
i=1
Z
RN
Z t
0
{ϕ(u(r, x))xi+Fi(u(r, x))}drf(x)xidx= 0 (∗)
この(∗)は解の存在と一意性を示す際,元になる式である.
この(∗)よりすべてのT >0と任意のf ∈C0∞(QT = (0, T)×RN)に対して Z T
0
Z
RN
uftdxdt= Z T
0
Z
RN
XN
i=1
(ϕ(u)xi+Fi(u))fxidxdt
が得られる.よって次の定理が得られる.
定理 2.2 u0∈L1∩L∞に対して,式(∗)の解u(t, x) = [S(t)u0](x)は(IV P)の超関数解になる.
3
3 解の一意性
命題 3.1 すべてのT >0に対して,u, vは
u, v∈L1(QT)∩L∞(QT), ϕ(u)xi, ϕ(v)xi∈L2(QT), (i= 1,· · ·, N), QT = (0, T)×RN であり,(∗)の解とする. このとき次が成り立つ.
(1) 任意のε >0に対して Z T
0
Z
RN
e−εt(u−v)(ϕ(u)−ϕ(v))dxdt≤ 1 2ε
XN
i=1
Z T
0
Z
RN
e−εt(Fi(u)−Fi(v))2dxdt.
(2) a.e. (t, x)∈QT 上で,u(t, x) =v(t, x).
以上,定理2.2と命題3.1 (2)より,u(t, x) = [S(t)u0](x)は(IV P)の一意な超関数解であるといえ る (主結果4).
4 数値計算
次の退化型方程式を取り扱う.
∂u
∂t +1 2
∂u2
∂x = 1 Re
∂2u3
∂x2 (Re:レイノルズ数) 初期値はsin 2πx, 区間[0,1]を128等分し,周期境界条件とする.
ここでレイノルズ数を400とし,次の1,2のスキームで計算し比較する.
1 移流項,拡散項ともに中心差分で差分近似した,人工粘性項を加えていない差分スキーム.
2 人工粘性項を加えた(1.1)の差分スキーム.
1の場合, 衝撃波が形成された後,解が減衰する際に数値振動が起こってしまう. しかし2の場合, 最後まで安定な計算結果が得られる.以上より,退化型方程式の場合,人工粘性項を加えた方が安定 に計算できるとわかる.
また,人工粘性項を加えた場合にはレイノルズ数をもっと大きくしても,計算は安定である.これよ り,人工粘性項の持つ役割の大きさが伺える.
参考文献
[1] H. Br´ezis and A. Pazy, Convergence and approximation of semigroups of nonlinear operators in Banach spaces, J. Funct. Anal., 9 (1972), 63-74.
[2] K. Okamoto and S. Oharu, Nonlinear evolution operators assosiated with nonlinear degen- erate parabolic equations, Adv, Math, Sci, Appl., 8 (1998), 581-629.
[3] M. Watanabe, An approach by difference to the porous medium equation with convection, HIROSHIMA MATH. J., 25 (1995), 623-645.
[4] 橋口 真宜, JavaによるBurgers方程式の数値計算(2002).
[5] 宮寺 功,非線形半群(紀伊国屋数学叢書),紀伊国屋書店(1977).
4
