平成
23
年度卒業論文低次元のベキ零リー環の微分環
広島大学理学部数学科
B085763
藤丸拓也 指導教員 田丸博士 准教授平成
24
年2
月10
日目次
1
はじめに2
2
準備3
2.1
ステップ数の定義. . . . 3
2.2 3
次元ベキ零リー環の分類. . . . 3
2.3 4
次元ベキ零リー環の分類. . . . 4
2.4 5
次元ベキ零リー環の分類. . . . 4
3 3
次元ベキ零リー環の微分環6 4 4
次元ベキ零リー環の微分環9 4.1 2 -
ステップ4
次元ベキ零リー環の微分環. . . . 9
4.2 3 -
ステップ4
次元ベキ零リー環の微分環. . . . 10
5 5
次元ベキ零リー環の微分環12 5.1 2 -
ステップ5
次元ベキ零リー環の微分環. . . . 12
5.2 3 -
ステップ5
次元ベキ零リー環の微分環. . . . 18
5.3 4 -
ステップ5
次元ベキ零リー環の微分環. . . . 24
6 3
次元単純リー環の微分環28
7
終わりに30
1
はじめにこの論文はリー環の微分環がテーマである
.
リー環の微分環を求めるとそのリー環の自 己同型群がわかる.
リー環の自己同型群がわかると幾何的な応用ができることが知られて いる.
以下g
をリー環とする.
定義
1.1 D : g → g
がderivation
であるとは次の2
つを満たすこと: 1. [D(X), Y ] + [X, D(Y )] = D[X, Y ] ( ∀ X, Y ∈ g),
2. D
は線型写像.
定義
1.2 Der(g) := { D : g → g | D
はderivation }
を微分環という.
この論文では低次元のベキ零リー環の微分環を計算した.
定義
1.3 g
0= g
とおき, g
i= [g
i−1, g] (i = 1, 2, 3, . . .)
と帰納的に定義する. g
がベキ零 リー環であるとは次が成り立つこと: ∃ k ∈ N s.t. g
k= 0.
可換でないベキ零リー環は
, 3
次元ベキ零リー環1
つ, 4
次元ベキ零リー環2
つ, 5
次元ベ キ零リー環8
つに分類されている([2]).
この論文ではそれぞれの微分環を求めた. 3
次元 直交リー環, 3
次元特殊線型リー環の微分環も求めている.
結果を求めるにあたって
,
それぞれのリー環の基底を求め,
括弧積を定義し,
最後に表現 行列の形で表した.
命題
1.4 g
を3
次元ベキ零リー環とする.
括弧積が[e
1, e
2] = e
3,
その他が0
となるよう なg
の基底{ e
1, e
2, e
3}
をとると,
Der(g) =
a
11a
120 a
21a
220 a
31a
32a
11+ a
22
| a
11, a
12, a
21, a
22, a
31, a
32∈ R
.
2
準備2.1
ステップ数の定義定義
2.1 g
をベキ零リー環とする.
定義1.3
と同様にg
i をおく. g
がk -
ステップベキ 零リー環であるとは次を満たすこと: g
k= 0, g
k−1̸ = 0
2.2 3
次元ベキ零リー環の分類定理
2.2 ([2]) g
を可換でない3
次元ベキ零リー環とするならば, g
は基底{ e
1, e
2, e
3}
は 以下を満たすリー環と同型である.
1. [e
1, e
2] = e
3,
その他が0.
続いて
, 3
次元ベキ零リー環のステップ数を示す.
命題
2.3
定理2.2
と同様にg
をおく. g
は2 -
ステップベキ零リー環である. (
証明開始)
g
を3
次元リー環としてその基底を{ e
1, e
2, e
3}
とする. g
0= g
なので, g
0= span { e
1, e
2, e
3}
となる.
(claim, g
1=span { e
3} .)
∀ a, b ∈ g
0をとる.
∃ a
1, a
2, a
3, b
1, b
2, b
3∈ R s.t a = a
1e
1+ a
2e
2+ a
3e
3, b = b
1e
1+ b
2e
2+ b
3e
3.
[a, b] = [a
1e
1+ a
2e
2+ a
3e
3, b
1e
1+ b
2e
2+ b
3e
3]
= [a
1e
1+ a
2e
2+ a
3e
3, b
1e
1] + [a
1e
1+ a
2e
2+ a
3e
3, b
2e
2] + [a
1e
1+ a
2e
2+ a
3e
3, b
3e
3]
= [a
1e
1, b
1e
1] + [a
2e
2, b
1e
1] + [a
3e
3, b
1e
1] +[a
1e
1, b
2e
2] + [a
2e
2, b
2e
2] + [a
3e
3, b
2e
2] +[a
1e
1, b
3e
3] + [a
2e
2, b
3e
3] + [a
3e
3, b
3e
3]
= a
1b
1[e
1, e
1] + a
2b
1[e
2, e
1] + a
3b
1[e
3, e
1] +a
1b
2[e
1, e
2] + a
2b
2[e
2, e
2] + a
3b
2[e
3, e
2] +a
1b
3[e
1, e
3] + a
2b
3[e
2, e
3] + a
3b
3[e
3, e
3]
= 0 − a
2b
1e
3+ 0 + a
1b
2e
3+ 0 + 0 + 0 + 0 + 0
g
1= [g
0, g
0]
なので, g
1= span { e
3}
となる. (claim, g
2= 0.)
∀ c ∈ g
0, ∀ d ∈ g
1,
をとる.
∃ c
1, c
2, c
3, d
3∈ R s.t c = c
1e
1+ c
2e
2+ c
3e
3, d = d
3e
3.
[d, c] = [d
3e
3, c
1e
1+ c
2e
2+ c
3e
3]
= [d
3e
3, c
1e
1] + [d
3e
3, c
2e
2] + [d
3e
3, c
3e
3]
= d
3c
1[e
3, e
1] + d
3c
2[e
3, e
2] + d
3c
3[e
3, e
3]
= 0.
g
2= [g
1, g
0]
なので, g
2= 0.
(
証明終了)
2.3 4
次元ベキ零リー環の分類定理
2.4 ([2]) g
を可換でない4
次元ベキ零リー環とするならば, g
は基底{ e
1, e
2, e
3, e
4}
は以下のいずれかを満たすリー環と同型である.
1. [e
1, e
2] = e
4,
その他が0
の場合,
2. [e
1, e
2] = e
3, [e
1, e
3] = e
4,
その他が0
の場合.
続いて
, 4
次元ベキ零リー環のステップ数を示す.
証明は命題2.3
と同様に行えばよい ので省略する.
命題
2.5 g
を4
次元リー環とする. g
の括弧積が定理2.4
の1
の場合, g
は2 -
ステップ ベキ零リー環である.
命題
2.6 g
を4
次元リー環とする. g
の括弧積が定理2.4
の2
の場合, g
は3 -
ステップ ベキ零リー環である.
2.4 5
次元ベキ零リー環の分類定理
2.7 ([2]) g
を可換でない5
次元ベキ零リー環とするならば, g
は基底{ e
1, e
2, e
3,
e
4, e
5}
は以下のいずれかを満たすリー環と同型である.
2. [e
1, e
3] = e
5, [e
2, e
4] = e
5,
その他が0, 3. [e
1, e
2] = e
4, [e
1, e
3] = e
5,
その他が0, 4. [e
1, e
2] = e
4, [e
1, e
4] = e
5,
その他が0,
5. [e
1, e
2] = e
3, [e
1, e
3] = e
4, [e
2, e
3] = e
5,
その他が0, 6. [e
1, e
2] = e
4, [e
1, e
4] = e
5, [e
2, e
3] = e
5,
その他が0, 7. [e
1, e
2] = e
3, [e
1, e
3] = e
4, [e
1, e
4] = e
5,
その他が0,
8. [e
1, e
2] = e
3, [e
1, e
3] = e
4, [e
1, e
4] = e
5, [e
2, e
3] = e
5,
その他が0.
続いて
, 5
次元ベキ零リー環のステップ数を示す.
証明は命題2.3
と同様に行えばよい ので省略する.
命題
2.8 g
を5
次元リー環とする. g
の括弧積が定理2.7
の1, 2, 3
の場合, g
は2 -
ス テップベキ零リー環である.
命題
2.9 g
を5
次元リー環とする. g
の括弧積が定理2.7
の4, 5, 6
の場合, g
は3 -
ス テップベキ零リー環である.
命題
2.10 g
を5
次元リー環とする. g
の括弧積が定理2.7
の7, 8
の場合, g
は4 -
ステッ プベキ零リー環である.
3 3
次元ベキ零リー環の微分環命題
3.1 g
を3
次元ベキ零リー環とする.
括弧積が[e
1, e
2] = e
3,
その他が0
となるよう なg
の基底{ e
1, e
2, e
3}
をとると,
Der(g) =
a
11a
120 a
21a
220 a
31a
32a
11+ a
22
| a
ij∈ R
.
となり
Der(g)
は6
次元である. (
証明開始)
D(e
1) = a
11e
1+ a
21e
2+ a
31e
3, D(e
2) = a
12e
1+ a
22e
2+ a
32e
3,
D(e
3) = a
13e
1+ a
23e
2+ a
33e
3 とおく. (a
ij∈ R ) D
がDer(g)
に入るための必要十分条件は,
[D(e
1), e
2] + [e
1, D(e
2)] = D[e
1, e
2], [D(e
1), e
3] + [e
1, D(e
3)] = D[e
1, e
3],
[D(e
2), e
3] + [e
2, D(e
3)] = D[e
2, e
3]
の3
式を満たすこと.
[D(e
1), e
2] = [a
11e
1+ a
21e
2+ a
31e
3, e
2]
= [a
11e
1, e
2] + [a
21e
2, e
2] + [a
31e
3, e
2]
= a
11[e
1, e
2] + a
21[e
2, e
2] + a
31[e
3, e
2]
= a
11e
3+ O + O.
[e
1, D(e
2)] = [e
1, a
12e
1+ a
22e
2+ a
32e
3]
= [e
1, a
12e
1] + [e
1, a
22e
2] + [a
32e
1, e
3]
= a
12[e
1, e
1] + a
22[e
1, e
2] + a
32[e
1, e
3]
= O + a
22e
3+ O.
D[e
1, e
2] = D(e
3)
= a
13e
1+ a
23e
2+ a
33e
3.
[D(e
1), e
3] = [a
11e
1+ a
21e
2+ a
31e
3, e
3]
= [a
11e
1, e
3] + [a
21e
2, e
3] + [a
31e
3, e
3]
= a
11[e
1, e
3] + a
21[e
2, e
3] + a
31[e
3, e
3]
= +O + O + O.
[e
1, D(e
3)] = [e
1, a
13e
1+ a
23e
2+ a
33e
3]
= [e
1, a
13e
1] + [e
1, a
23e
2] + [a
33e
1, e
3]
= a
13[e
1, e
1] + a
23[e
1, e
2] + a
33[e
1, e
3]
= O + a
23e
3+ O.
D[e
1, e
3] = D(O)
= O.
[D(e
2), e
3] = [a
12e
1+ a
22e
2+ a
32e
3, e
3]
= [a
11e
1, e
2] + [a
21e
2, e
2] + [a
31e
3, e
2]
= a
12[e
1, e
3] + a
22[e
2, e
3] + a
32[e
3, e
3]
= O + O + O.
[e
2, D(e
3)] = [e
2, a
13e
1+ a
23e
2+ a
33e
3]
= [e
2, a
13e
1] + [e
2, a
23e
2] + [e
2, a
33e
3]
= a
13[e
2, e
1] + a
23[e
2, e
2] + a
33[e
2, e
3]
= − a
13e
3+ O + O.
D[e
2, e
3] = D(O)
= O.
(claim, (
左辺) ⊂ (
右辺).)
[D(e
1), e
2] + [e
1, D(e
2)] = D[e
1, e
2]
ならば(a
11+ a
22)e
3= a
13e
1+ a
23e
2+ a
33e
3.
{ e
1, e
2, e
3}
は基底なのでa
13= 0
かつa
23= 0
かつa
11+ a
22= a
33.
[D(e
1), e
3] + [e
1, D(e
3)] = D[e
1, e
3]
ならばa
23e
3= O.
{ e
1, e
2, e
3}
は基底なのでa
23= 0.
[D(e
2), e
3] + [e
2, D(e
3)] = D[e
2, e
3]
ならば− a
13e
3= O.
{ e
1, e
2, e
3}
は基底なのでa
13= 0.
(claim, (
左辺) ⊃ (
右辺).)
a
13= 0
かつa
23= 0
かつa
11+ a
22= a
33 ならば[D(e
1), e
2] + [e
1, D(e
2)] = D[e
1, e
2]
が成立する.
a
23= 0
ならば[D(e
1), e
3] + [e
1, D(e
3)] = D[e
1, e
3]
が成立する.
a
13= 0
ならば[D(e
2), e
3] + [e
2, D(e
3)] = D[e
2, e
3]
が成立する.
双線型より
, ∀ X, Y ∈ g
に対し, [D(X), Y ] + [X, D(Y )] = D[X, Y ]
が成立する.
(
証明終了)
4 4
次元ベキ零リー環の微分環4.1 2 -
ステップ4
次元ベキ零リー環の微分環命題
4.1 g
を4
次元ベキ零リー環とする.
括弧積が[e
1, e
2] = e
4,
その他が0
となるよう なg
の基底{ e
1, e
2, e
3, e
4}
をとると,
Der(g) =
a
11a
120 0
a
21a
220 0
a
31a
32a
330 a
41a
42a
432a
11+ a
22
| a
ij∈ R
となり
Der(g)
は10
次元である. (
証明開始)
D(e
1) = a
11e
1+ a
21e
2+ a
31e
3+ a
41e
4D(e
2) = a
12e
1+ a
22e
2+ a
32e
3+ a
42e
4D(e
3) = a
13e
1+ a
23e
2+ a
33e
3+ a
43e
4D(e
4) = a
14e
1+ a
24e
2+ a
34e
3+ a
44e
4 とおく. (a
ij∈ R )
[D(e
1), e
2] = a
11e
4. [e
1, D(e
2)] = a
22e
4.
D[e
1, e
2] = a
14e
1+ a
24e
2+ a
34e
3+ a
44e
4.
[D(e
1), e
3] = O.
[e
1, D(e
3)] = a
23e
4. D[e
1, e
3] = O.
[D(e
1), e
4] = O.
[e
1, D(e
4)] = a
24e
4.
D[e
1, e
4] = O.
[D(e
2), e
3] = O.
[e
2, D(e
3)] = − a
13e
4. D[e
2, e
3] = O.
[D(e
2), e
4] = O.
[e
2, D(e
4)] = − a
14e
4. D[e
2, e
4] = O.
[D(e
3), e
4] = O.
[e
3, D(e
4)] = O.
D[e
3, e
4] = O.
証明は同様なので省略する
. (
証明終了)
4.2 3 -
ステップ4
次元ベキ零リー環の微分環命題
4.2 g
を4
次元ベキ零リー環とする.
括弧積が[e
1, e
2] = e
3, [e
1, e
3] = e
4,
その他が0
となるようなg
の基底{ e
1, e
2, e
3, e
4}
をとると,
Der(g) =
a
110 0 0
a
21a
220 0
a
31a
32a
11+ a
220 a
41a
42a
322a
11+ a
22
| a
ij∈ R
となり
Der(g)
は7
次元である. (
証明開始)
D(e
1) = a
11e
1+ a
21e
2+ a
31e
3+ a
41e
4D(e
2) = a
12e
1+ a
22e
2+ a
32e
3+ a
42e
4D(e
3) = a
13e
1+ a
23e
2+ a
33e
3+ a
43e
4D(e
4) = a
14e
1+ a
24e
2+ a
34e
3+ a
44e
4 とおく. (a
ij∈ R )
D
がDer(g)
に入るための必要十分条件は,
[D(e
1), e
2] = a
11e
3.
[e
1, D(e
2)] = a
22e
3+ a
32e
4.
D[e
1, e
2] = a
13e
1+ a
23e
2+ a
33e
3+ a
43e
4.
[D(e
1), e
3] = a
11e
4.
[e
1, D(e
3)] = a
23e
3+ a
33e
4.
D[e
1, e
3] = a
14e
1+ a
24e
2+ a
34e
3+ a
44e
4.
[D(e
1), e
4] = O.
[e
1, D(e
4)] = a
24e
3+ a
34e
4. D[e
1, e
4] = O.
[D(e
2), e
3] = a
12e
4. [e
2, D(e
3)] = − a
13e
3.
D[e
2, e
3] = O.
[D(e
2), e
4] = O.
[e
2, D(e
4)] = − a
14e
3. D[e
2, e
4] = O.
[D(e
3), e
4] = O.
[e
3, D(e
4)] = − a
14e
4. D[e
3, e
4] = O.
証明は同様なので省略する
.
(
証明終了)
5 5
次元ベキ零リー環の微分環5.1 2 -
ステップ5
次元ベキ零リー環の微分環命題
5.1 g
を5
次元ベキ零リー環とする.
括弧積が[e
1, e
2] = e
5,
その他が0
となるよう なg
の基底{ e
1, e
2, e
3, e
4, e
5}
をとると,
Der(g) =
a
11a
120 0 0
a
21a
220 0 0
a
31a
32a
33a
340 a
41a
42a
43a
440 a
51a
52a
53a
54a
11+ a
22
| a
ij∈ R
となり
Der(g)
は16
次元である. (
証明開始)
D(e
1) = a
11e
1+ a
21e
2+ a
31e
3+ a
41e
4+ a
51e
5D(e
2) = a
12e
1+ a
22e
2+ a
32e
3+ a
42e
4+ a
52e
5D(e
3) = a
13e
1+ a
23e
2+ a
33e
3+ a
43e
4+ a
53e
5D(e
4) = a
14e
1+ a
24e
2+ a
34e
3+ a
44e
4+ a
54e
5D(e
5) = a
15e
1+ a
25e
2+ a
35e
3+ a
45e
4+ a
55e
5 とおく. (a
ij∈ R )
[D(e
1), e
2] = a
11e
5. [e
1, D(e
2)] = a
22e
5.
D[e
1, e
2] = a
15e
1+ a
25e
2+ a
35e
3+ a
45e
4+ a
55e
5.
[D(e
1), e
3] = O.
[e
1, D(e
3)] = a
23e
5. D[e
1, e
3] = O.
[D(e
1), e
4] = O.
[e
1, D(e
4)] = a
24e
5.
[D(e
1), e
5] = O.
[e
1, D(e
5)] = a
25e
5. D[e
1, e
5] = O.
[D(e
2), e
3] = O.
[e
2, D(e
3)] = − a
13e
5. D[e
2, e
3] = O.
[D(e
2), e
4] = O.
[e
2, D(e
4)] = − a
14e
5. D[e
2, e
4] = O.
[D(e
2), e
5] = O.
[e
2, D(e
5)] = − a
15e
5. D[e
2, e
5] = O.
[D(e
3), e
4] = O.
[e
3, D(e
4)] = O.
D[e
3, e
4] = O.
[D(e
3), e
5] = O.
[e
3, D(e
5)] = O.
D[e
3, e
5] = O.
[D(e
4), e
5] = O.
[e
4, D(e
5)] = O.
証明は同様なので省略する
. (
証明終了)
命題
5.2 g
を5
次元ベキ零リー環とする.
括弧積が[e
1, e
3] = e
5, [e
2, e
4] = e
5,
その他が0
となるようなg
の基底{ e
1, e
2, e
3, e
4, e
5}
をとると,
Der(g) =
a
11a
12a
13a
230
a
21a
22a
23a
240
a
31a
41a
33− a
210
a
41a
42a
12a
11− a
22+ a
330 a
51a
52a
53a
54a
11+ a
33
| a
ij∈ R
となり
Der(g)
は15
次元である. (
証明開始)
D(e
1) = a
11e
1+ a
21e
2+ a
31e
3+ a
41e
4+ a
51e
5D(e
2) = a
12e
1+ a
22e
2+ a
32e
3+ a
42e
4+ a
52e
5D(e
3) = a
13e
1+ a
23e
2+ a
33e
3+ a
43e
4+ a
53e
5D(e
4) = a
14e
1+ a
24e
2+ a
34e
3+ a
44e
4+ a
54e
5D(e
5) = a
15e
1+ a
25e
2+ a
35e
3+ a
45e
4+ a
55e
5 とおく. (a
ij∈ R )
[D(e
1), e
2] = − a
41e
5. [e
1, D(e
2)] = a
32e
5.
D[e
1, e
2] = O.
[D(e
1), e
3] = a
11e
5. [e
1, D(e
3)] = a
33e
5.
D[e
1, e
3] = a
15e
1+ a
25e
2+ a
35e
3+ a
45e
4+ a
55e
5.
[D(e
1), e
4] = a
21e
5. [e
1, D(e
4)] = a
34e
5.
D[e
1, e
4] = O.
[D(e
1), e
5] = O.
[e
1, D(e
5)] = a
35e
5. D[e
1, e
5] = O.
[D(e
2), e
3] = a
12e
5. [e
2, D(e
3)] = a
43e
5.
D[e
2, e
3] = O.
[D(e
2), e
4] = a
22e
5. [e
2, D(e
4)] = a
44e
5.
D[e
2, e
4] = a
15e
1+ a
25e
2+ a
35e
3+ a
45e
4+ a
55e
5.
[D(e
2), e
5] = O.
[e
2, D(e
5)] = a
45e
5. D[e
2, e
5] = O.
[D(e
3), e
4] = a
23e
5. [e
3, D(e
4)] = − a
14e
5.
D[e
3, e
4] = O.
[D(e
3), e
5] = O.
[e
3, D(e
5)] = − a
15e
5. D[e
3, e
5] = O.
[D(e
4), e
5] = O.
[e
4, D(e
5)] = − a
25e
5.
証明は同様なので省略する
. (
証明終了)
命題
5.3 g
を5
次元ベキ零リー環とする.
括弧積が[e
1, e
2] = e
4, [e
1, e
3] = e
5,
その他が0
となるようなg
の基底{ e
1, e
2, e
3, e
4, e
5}
をとると,
Der(g) =
a
110 0 0 0
a
21a
22a
230 0
a
31a
32a
330 0
a
41a
42a
43a
11+ a
22a
23a
51a
52a
53a
32a
11+ a
33
| a
ij∈ R
となり
Der(g)
は13
次元である. (
証明開始)
D(e
1) = a
11e
1+ a
21e
2+ a
31e
3+ a
41e
4+ a
51e
5D(e
2) = a
12e
1+ a
22e
2+ a
32e
3+ a
42e
4+ a
52e
5D(e
3) = a
13e
1+ a
23e
2+ a
33e
3+ a
43e
4+ a
53e
5D(e
4) = a
14e
1+ a
24e
2+ a
34e
3+ a
44e
4+ a
54e
5D(e
5) = a
15e
1+ a
25e
2+ a
35e
3+ a
45e
4+ a
55e
5 とおく. (a
ij∈ R )
[D(e
1), e
2] = a
11e
4.
[e
1, D(e
2)] = a
22e
4+ a
32e
5.
D[e
1, e
2] = a
14e
1+ a
24e
2+ a
34e
3+ a
44e
4+ a
54e
5.
[D(e
1), e
3] = a
11e
5.
[e
1, D(e
3)] = a
23e
4+ a
33e
5.
D[e
1, e
3] = a
15e
1+ a
25e
2+ a
35e
3+ a
45e
4+ a
55e
5.
[D(e
1), e
4] = O.
[e
1, D(e
4)] = a
24e
4+ a
34e
5.
D[e
1, e
4] = O.
[D(e
1), e
5] = O.
[e
1, D(e
5)] = a
25e
4+ a
35e
5. D[e
1, e
5] = O.
[D(e
2), e
3] = a
12e
5. [e
2, D(e
3)] = − a
13e
4.
D[e
2, e
3] = O.
[D(e
2), e
4] = O.
[e
2, D(e
4)] = − a
14e
4. D[e
2, e
4] = O.
[D(e
2), e
5] = O.
[e
2, D(e
5)] = − a
15e
4. D[e
2, e
5] = O.
[D(e
3), e
4] = O.
[e
3, D(e
4)] = − a
14e
5. D[e
3, e
4] = O.
[D(e
3), e
5] = O.
[e
3, D(e
5)] = − a
15e
5. D[e
3, e
5] = O.
[D(e
4), e
5] = O.
[e
4, D(e
5)] = O.
D[e
4, e
5] = O.
証明は同様なので省略する
.
5.2 3 -
ステップ5
次元ベキ零リー環の微分環命題
5.4 g
を5
次元ベキ零リー環とする.
括弧積が[e
1, e
2] = e
4, [e
1, e
4] = e
5,
その他が0
となるようなg
の基底{ e
1, e
2, e
3, e
4, e
5}
をとると,
Der(g) =
a
110 0 0 0
a
21a
220 0 0
a
31a
32a
330 0
a
41a
420 a
11+ a
220 a
51a
52a
53a
422a
11+ a
22
| a
ij∈ R
となり
Der(g)
は11
次元である. (
証明開始)
D(e
1) = a
11e
1+ a
21e
2+ a
31e
3+ a
41e
4+ a
51e
5D(e
2) = a
12e
1+ a
22e
2+ a
32e
3+ a
42e
4+ a
52e
5D(e
3) = a
13e
1+ a
23e
2+ a
33e
3+ a
43e
4+ a
53e
5D(e
4) = a
14e
1+ a
24e
2+ a
34e
3+ a
44e
4+ a
54e
5D(e
5) = a
15e
1+ a
25e
2+ a
35e
3+ a
45e
4+ a
55e
5 とおく. (a
ij∈ R )
[D(e
1), e
2] = a
11e
4.
[e
1, D(e
2)] = a
22e
4+ a
32e
5.
D[e
1, e
2] = a
14e
1+ a
24e
2+ a
34e
3+ a
44e
4+ a
54e
5.
[D(e
1), e
3] = O.
[e
1, D(e
3)] = a
23e
4+ a
43e
5. D[e
1, e
3] = O.
[D(e
1), e
4] = a
11e
5.
[e
1, D(e
4)] = a
24e
4+ a
44e
5.
D[e
1, e
4] = a
15e
1+ a
25e
2+ a
35e
3+ a
45e
4+ a
55e
5.
[D(e
1), e
5] = O.
[e
1, D(e
5)] = a
25e
4+ a
45e
5. D[e
1, e
5] = O.
[D(e
2), e
3] = O.
[e
2, D(e
3)] = − a
13e
4. D[e
2, e
3] = O.
[D(e
2), e
4] = a
12e
5. [e
2, D(e
4)] = − a
14e
4.
D[e
2, e
4] = O.
[D(e
2), e
5] = O.
[e
2, D(e
5)] = − a
15e
4. D[e
2, e
5] = O.
[D(e
3), e
4] = a
13e
5. [e
3, D(e
4)] = O.
D[e
3, e
4] = O.
[D(e
3), e
5] = O.
[e
3, D(e
5)] = O.
D[e
3, e
5] = O.
[D(e
4), e
5] = O.
[e
4, D(e
5)] = − a
15e
5.
証明は同様なので省略する
. (
証明終了)
命題
5.5 g
を5
次 元 リ ー 環 と し て そ の 基 底 を{ e
1, e
2, e
3, e
4, e
5}
と す る.
括 弧 積 が[e
1, e
2] = e
3, [e
1, e
3] = e
4, [e
2, e
3] = e
5,
その他が0
の場合Der(g) =
a
11a
120 0 0
a
21a
220 0 0
a
31a
32a
11+ a
220 0
a
41a
42a
322a
11+ a
22a
12a
51a
52− a
31a
21a
11+ 2a
22
| a
ij∈ R
となり
Der(g)
は10
次元である. (
証明開始)
D(e
1) = a
11e
1+ a
21e
2+ a
31e
3+ a
41e
4+ a
51e
5D(e
2) = a
12e
1+ a
22e
2+ a
32e
3+ a
42e
4+ a
52e
5D(e
3) = a
13e
1+ a
23e
2+ a
33e
3+ a
43e
4+ a
53e
5D(e
4) = a
14e
1+ a
24e
2+ a
34e
3+ a
44e
4+ a
54e
5D(e
5) = a
15e
1+ a
25e
2+ a
35e
3+ a
45e
4+ a
55e
5とおく.(a
ij∈ R )
[D(e
1), e
2] = a
11e
3+ O − a
31e
5. [e
1, D(e
2)] = a
22e
3+ a
32e
4.
D[e
1, e
2] = a
13e
1+ a
23e
2+ a
33e
3+ a
43e
4+ a
53e
5.
[D(e
1), e
3] = a
11e
4+ a
21e
5. [e
1, D(e
3)] = a
23e
3+ a
33e
4.
D[e
1, e
3] = a
14e
1+ a
24e
2+ a
34e
3+ a
44e
4+ a
54e
5.
[D(e
1), e
4] = O.
[e
1, D(e
4)] = a
24e
3+ a
34e
4.
D[e
1, e
4] = O.
[D(e
1), e
5] = O.
[e
1, D(e
5)] = a
25e
3+ a
35e
4. D[e
1, e
5] = O.
[D(e
2), e
3] = a
12e
4+ a
22e
5.
[e
2, D(e
3)] = − a
13e
3+ O + a
33e
5.
D[e
2, e
3] = a
15e
1+ a
25e
2+ a
35e
3+ a
45e
4+ a
55e
5.
[D(e
2), e
4] = O.
[e
2, D(e
4)] = − a
14e
3+ a
34e
5. D[e
2, e
4] = O.
[D(e
2), e
5] = O.
[e
2, D(e
5)] = − a
15e
3+ a
35e
5. D[e
2, e
5] = O.
[D(e
3), e
4] = O.
[e
3, D(e
4)] = − a
14e
4− a
24e
5. D[e
3, e
4] = O.
[D(e
3), e
5] = O.
[e
3, D(e
5)] = − a
15e
4− a
25e
5. D[e
3, e
5] = O.
[D(e
4), e
5] = O.
[e
4, D(e
5)] = O.
証明は同様なので省略する
. (
証明終了)
命題
5.6 g
を5
次 元 リ ー 環 と し て そ の 基 底 を{ e
1, e
2, e
3, e
4, e
5}
と す る.
括 弧 積 が[e
1, e
2] = e
4, [e
1, e
4] = e
5, [e
2, e
3] = e
5,
その他が0
の場合Der(g) =
a
110 0 0 0
a
21a
220 0 0
a
31a
322a
110 0
a
41a
42− a
21a
11+ a
220 a
51a
52a
53− a
31+ a
422a
11+ a
22
| a
ij∈ R
となり
