色付きジョーンズ多項式

二橋絡み目の sl

₃

色付きジョーンズ多項式

湯淺 亘

(

東京工業大学

)^∗

概 要

Kuperberg [3]^{により定義された}A2web spaceを用いて、二橋結び目のsl3色 付きジョーンズ多項式を二通りの方法で計算する。一つはスケイン関係式か ら得られた公式を用いる方法で、もう一方はtrivalent graph^によってA₂web を表し、それらに関して得られた公式を用いる方法である。最後に応用例と して(2,2m)-トーラス絡み目に対するsl₃ 色付きジョーンズ多項式の極限を 求めることで得られる,^あるq-級数の恒等式を紹介する.

1. The A

2

bracket skein relations

この節では、

Kuperberg [3]

により与えられた

A₂bracket skein relations

と

A₂clasp

を紹 介する

.

まず、今回用いる記号の定義を行う

.

q-Pochhammer symbol

を次で定義する

.

(q;q)_k =

∏k l=1

(1−q^l).

今後,

(q;q)_k

を

(q)_k

と省略することもある.

k ≤ n

なる非負整数

k, n

に対して,

q-二項

係数を次で定義する

. (

n k

)

q

= (q;q)_n (q;q)_k(q;q)_n−k.

更に

, n₁+n₂+· · ·+n_m =n

を満たす非負整数

n₁, n₂, . . . , n_m

に対して

,q-

多項係数を 次で定義する

. (

n n₁, n₂, . . . , n_m

)

q

= (q)_n

(q)_n1(q)_n2· · ·(q)_nm. q-

整数を

[n] = ^q

n 2−q⁻ⁿ² q¹²−q⁻¹²

により定義し

,q-

整数による二項係数を

[_n

k

] = _[k]![n^[n]!_−k]!

により定 義する

.

ここで

,n, k

は

n ≥k

を満たす非負整数とし

,q-

整数の階乗を

[n]! =∏n

i=1[i]

に より定義する

.

向き付けられた絡み目図式に対して

,

次により

A₂

ブラケットを定める

. 定義1.1 (TheA₂ bracket).

• ⟨ ⟩

=q¹³

⟨ ⟩

−q⁻¹⁶

⟨ ⟩ ,

⟨ ⟩

=q⁻¹³

⟨ ⟩

−q¹⁶

⟨ ⟩ ,

• ⟨ ⟩

=

⟨ ⟩ +

⟨ ⟩ ,

• ⟨ ⟩

= [2]

⟨ ⟩ ,

2010 Mathematics Subject Classification: 57M25, 57M27 キーワード：colored Jones polynomial,2-bridge link

∗〒152-8551東京都目黒区大岡山2-12-1 H23 東京工業大学 大学院理工学研究科 数学専攻

e-mail:[email protected]

• ⟨

G⊔ ⟩

= [3]⟨G⟩.

上の関係式により

,S²

上の図式

D

の

A₂

ブラケット

⟨D⟩

は

f_D(q)⟨∅⟩

となり

,

得られ た多項式

f_D(q)

は

D

から得られる枠付き絡み目の不変量になっている

.

次に

,

本稿で計算する

sl₃

色付きジョーンズ多項式を定義するために重要な役割を果 たす

,A₂ clasp

を定義する

.

これは

, Kauffman

ブラケットにおける

Jones-Wenzl projector

に相当するものである

.

定義1.2. (TheA₂clasp of type(n,0)[3])

1 = ¹ ∈W₁⁺₊₁−

n =

⟨ n−1 1

⟩

−[n−1]

[n]

⟨

n−1 n−2 n−1

1 1

1 1 1

⟩

∈W_n⁺_+n−

定義1.3 (theA₂ clasp of type(n, m)[3, 4]).

⟨

m m

n

n ⟩

3

=

min∑{m,n} k=0

(−1)^k [_n

k

][_m

k

] [_n+m+1

k

]

⟨

m m

n n n−k

m−k

k k

⟩

3

2. 二橋絡み目の sl

₃

色付きジョーンズ多項式

二橋絡み目

[2a₁,2a₂, . . . ,2a_l]

の タイプ

(n,0)

の

sl₃

色付きジョーンズ多項式

J_(n,0)^sl3 ([2a₁,2a₂, . . . ,2a_l] ;q)

は次で定義される。

J_(n,0)^sl3 ([2a₁,2a₂, . . . ,2a_l] ;q) =











⟨

n n

2a1

2a2

2a3

2a4 · · ·· · · ^2al

⟩/⟨ _n ⟩

iflis odd,

⟨

n n

2a1

2a2

2a3

2a4 · · ·· · · ^2al

⟩/⟨ _n ⟩

iflis even

ここで

,a₁, a₂, . . . , a_l

は

0

でない整数とし

,

m =









· · ·

right-handedmhalf twists

ifm >0,

· · ·

left-handedmhalf twists

ifm <0,

とする

.

注意2.1.

今回は

blackboard framing

から得られる

framed link

の不変量として定義して

いる

.

定理2.2 (

スケイン関係式を用いた計算により得られた公式

[5]).

J_(n,0)^sl3 ([2a₁,2a₂, . . . ,2a_l] ;q)

=

l−1

∏

j=0

∑

0≤k^(j+1)

|^aj+1|^{≤···≤k(j+1)1 ≤Kj} (−1)

Kj−k^(j+1)

|^aj+1|q

εj+1(Kj−k^(j+1)

|^aj+1|⁾q^εj+1∑|^aj+1|

i=1 (k^(j+1)_i ²+2k^(j+1)_i )

× (q^εj+1)_Kj (q^εj+1)_k^(j+1)

|^aj+1|

( n

k^(j+1)₁ ^′, k₂^(j+1)′, . . . , k_|^(j+1)_a

j+1|

′, k^(j+1)_|a

j+1|

)

q^εj+1

×q^−(n−Kl) (1−qⁿ⁺¹)(1−qⁿ⁺²) (1−q^Kl+1)(1−q^Kl+2),

ここで

,εj+1 = _|^a_a^j+1

j+1|,K0 =n, Kj =n−k_|^(j)_a

j|

とし

, k₀^(j) =Kj, k^(j+1)_|a

i+1|

′ =k_i^(j)−k_i+1^(j)

とし て定義する

.

定理2.3 (trivalent graph

を用いた計算により得られた公式

[6]).

J_(n,0)^sl3 ([2a₁,2a₂, . . . ,2a_l] ;q)

= ∑

0≤i1,i2...il≤n

∆(i1,i1)

∆_(n,0)

θ(n,n,(i1,i1))

θ_{(n,n,(il,il))}q^{−23(n2+3n)(a1+a2+···+al)}q^{∑lk=1ak(i2k+ik)}

×

l−1

∏

k=1

{

n n (i_k+1, i_k+1) n n (ik, ik)

} ,

ここで

,

任意の非負整数

m, n

と

0 ≤ i, j ≤ n

を満たす任意の整数

i, j

に対して

,

∆_(m,n), θ(n, n,(i, i)), {

n n (j, j) n n (i, i)

}

は

,

次の

trivalent graph

で表される

A₂ web

であ

る

.

非負整数

n

と

0≤i ≤n

に対して

,

n

n

i

を

ⁿ

n n−i

i

i

により表される

A₂web

と したとき

,

• ∆(m, n) =

⟨

n m

⟩

3

,

• θ(n, n,(i, i)) =

⟨ _n

n i ⟩

3

,

• Tet [

n n (j, j) n n (i, i) ]

=

⟨ _n

n n

n i j

⟩

3

,

• {

n n (j, j) n n (i, i)

}

= Tet

[

n n (j, j) n n (i, i) ]

∆(j, j) θ(n, n,(j, j))² ,

により定義する

.

これらの

A₂web

の値は、以下のように具体的に求めることが出来る

. 補題2.4 ([6]). • ∆(i, j) = [i+1][j+1][i+j+2]

[2] ,

• θ(n, n,(i, i)) =∑_i

k=0(−1)^k [_kⁱ]² [²ⁱ⁺¹_k ]

∆(n,0)²

∆(n−i+k,0) = [ⁿ⁺ⁱ⁺²_2i+2]

[ⁿ_i]² ∆(i, i),

• Tet [

n n (j, j) n n (i, i) ]

=∑i

k=0(−1)^k[kⁱ]²[ⁿi−⁻k^j][^n+j+2i−k ]

[²ⁱ⁺¹k ][i−ⁿk]² θ(n, n,(j, j)).

3. (2, 2m)- トーラス絡み目に対する sl

3

色付きジョーンズ多項式の極限

Armond [1]

や

, Garoufalidis-Lê [2]

により

,

交代絡み目などの絡み目に対する

sl₂

色付き ジョーンズ多項式に対しては

,

その係数の安定性より

head

や

tail

といった極限が存在 することが知られている。特に

, (2, k)-

トーラス絡み目の

sl₂

色付きジョーンズ多項式 の二通りの表示を与え

,

それぞれの極限を求めることで

Rogers-Ramanujan identity

の一 般化である

Andrews-Gordon identity

という

q-

級数の恒等式を得ることができる

. k

が 奇数の時には

Ramanujan

のテータ関数

,k

が偶数の時には

Ramanujan

の

false

テータ関 数に対する

Andrews-Gordon identity

が得られる

.

今回は

(2,2m)-

トーラス絡み目に関し て前節で得られた二つの公式を用いて

, tail

にあたる

sl3

色付きジョーンズ多項式の極 限を考える

.

これにより得られた

q-

級数の恒等式は

, Ramanujan

の

false

テータ関数に

対する

Andrews-Gordon identity

の結び目理論における一般化となっている

.

まずは

,

ここでいう

q-

級数の極限というものを定義する

.

定義3.1.

変数

q

の形式的冪級数の族

{f_n(q)∈Z[[q]]|n≥1}

を考える

. f(q)∈Z[[q]]

が 存在して

,

任意の正整数

n

に対して

,f_n(q) = f(q)

が

Z[[q]]/qⁿ⁺¹Z[[q]]

で成り立つとき

, {f_n(q)}n

の極限が

f(q)

であるといい

, lim

n→∞f_n(q) =f(q)

と書く

.

以下

,m

は正の整数とする

.

(2,2m)-

トーラス絡み目の

sl3

色付きジョーンズ多項式は

J_(n,0)^sl3 ([2m] ;q)

により与え られる

.

この多項式の最低次数は

−^2m₃ (n²+ 3n) +n

となり

,q^{2m3 (n2+3n)−n}J_(n,0)^sl3 ([2m] ;q)

を考えることで

q-

多項式の族が得られる

.

定理

2.3

の表示より得られる族を

{Ψ^(m)n (q)}n

とし

,

定理

2.2

の表示より得られる族を

{G^(m)n (q)}n

とする

.

ここで

, Ψ^(m)_n (q) =

∑n i=0

q⁻²ⁱq^m(i2+2i) (1−qⁱ⁺¹)³(1 +qⁱ⁺¹) (1−q)(1−qⁿ⁺¹)(1−qⁿ⁺²),

G^(m)_n (q) = ∑

0≤km≤···≤k2≤k1≤n

q^−2kmq^{∑mj=1(k2i+2ki)} (q)²_n

(q)²_km(q)n−k1(q)k1−k2. . .(q)km−1−km

× (1−qⁿ⁺¹)(1−qⁿ⁺²) (1−q^n−km+1)(1−q^n−km+2),

である

.

上の式において

,(q)_n

は

q-Pochhammer symbol(q;q)_k =∏k

l=1(1−q^l)

を表すも のとする

.

注意3.2.

当然

,

同じ絡み目の不変量なので

Ψ^(m)n (q) = G^(m)n (q)

である

.

それぞれの極限を求めることで以下の恒等式が得られる.

定理3.3 (Thesl₃ Andrews-Gordon identity for the Ramanujan false theta function [6]).

∑∞ i=0

q⁻²ⁱq^m(i2+2i)(1−qⁱ⁺¹)³(1 +qⁱ⁺¹)

1−q = (q)_∞ ∑

0≤k_m≤···≤k₂≤k₁

q^−2kmq^{∑mj=1(k2i+2ki)} (q)²_k

m(q)_k1−k2. . .(q)_km−1−km.

参考文献

[1] Cody Armond, The head and tail conjecture for alternating knots, Algebr. Geom. Topol. 13 (2013), no. 5, 2809–2826. MR 3116304

[2] Stavros Garoufalidis and Thang T. Q. Lê, Nahm sums, stability and the colored Jones polynomial, Res. Math. Sci. 2 (2015), Art. 1, 55. MR 3375651

[3] Greg Kuperberg, Spiders for rank2Lie algebras, Comm. Math. Phys. 180 (1996), no. 1, 109–

151. MR 1403861

[4] Tomotada Ohtsuki and Shuji Yamada, QuantumSU(3)invariant of3-manifolds via linear skein theory, J. Knot Theory Ramifications 6 (1997), no. 3, 373–404. MR 1457194

[5] Wataru Yuasa, Thesl3colored Jones polynomials for2-bridge links, arXiv:1609.07289 (2016).

[6] , A q-series identity via the sl3 colored Jones polynomials for the (2,2m)-torus link, arXiv:1612.02144 (2016).