問 題 冊 子 ( 1

⑫  C  ²⁰¹⁹

^{年 度 数 学}

問 題 冊 子 ( 1

ページ)

;

主 意 事 項

( 1 )   試験開始の合図があるまで，この問題冊子の中を見ないこと。

(2) 

試験中に問題冊子の印刷不鮮明，ページの落丁・乱丁および、解答用紙の汚れ等に気付いた場合は，手を挙げて監督者に申し出 ること。

(3)

解答は別に配付する解答用紙の該当欄に正しく記入すること。裏面には解答を書かないこと。また，解答に関係のない語句・

記号・落書き等は解答用紙に書かないこと。

(4)

解答用紙上部に印刷しである受験系統コード，受験番号，氏名(カタカナ)を確認し，氏名欄に氏名(漢字)を記入すること。

もし，印刷に間違いがあった場合は，手を挙げて監督者に申し出ること。

(5) 

受験する系統により問題が異なるので，指定されたページの問題を解答すること。

受 験 系 統 問 題

理学・工学系統

ページ

医療・保健系統(医学部医学科受験者用)

ページ

<>1120(882‑‑165) 

理学・工学系統

[1 

] 次 の 仁 二 コ を う め よ

答は解答用紙の誕欄に記入せよ

(i)

実数

，

，

は主:三

をみたしているとする

を最も簡単な整数比

一、 I X2  '112  Z2 

で表すと

(り￨である。さらに一一一十ーとー十一一一=

し一二‑‑.J ‑ ‑ ‑‑ ‑ ̲.  2y ‑Z . 2z ‑x . 2x ‑Y 

が 成 り 立 つ と き ， 山 の 値 を 求 め る と ( 山

である。

(ii)

方程式

で定まる直線を

^とする。

^点

^， 

^， 

^， 

^， 

^， 

^， 

^， 

を頂点とする四角形

が 共 有 点 的 つ

の値の範囲は

である。また，

f

が四角形

の面積を

等分するとき，

の値は

である。

v 、 ￨

(iii)  252

のすべての正の約数の平均を

分散を

とするとき，一=川

川 で あ り ， 中 央

一 一 一 一 」

値 は 巴 日 で あ る 。

[11]

次 の 仁 つ を う め よ

答は解答用紙の鉛欄に記入せよ。

(i)

空間の

点

，

，

， 

，

を通る直線を

とする

^と

^{平面の交点の座標は}

1  (1)  ¹

である。また ，

上の点で原点

との距離が最小である点の座標は

である。

(ii)

ム

，

，

，

，

とする

およ

、/つ r‑:‑一一十一寸

び

=ユニが成り立っているとき ，

である。また辺

の長 さが

のとき，ムABC の面積は

である。

[111]  (記述問題)

刷工会

^{とし，曲線ド}

を C とおく。このとき，次の間い時えよ。

(i)  C

上の点

，

における接線 tの方程式を求めよ。

(ii)

曲線

， 直線 Eおよび直線

ーで固まれた部分を

軸のまわりに回転してできる回転

体の体積を求めよ。

‑ 1 ‑ _{く>M20 (882‑166)} 

医療・保健系統(医学部医学科受験者用)

[1 

] 次 の 亡 コ を う め よ 。 答 は 解 答 用 紙 の 挺 欄 に 記 入 せ よ 。

( ω i )  

揃桁の伺自然鰍数

幻矧

側

には含ま制れる獄素因轍数で←一番猷大きむしい、数蜘は

ヨ 山 ^{である。 ま 枇 た ，}

そ初の数紡をれ

鴻進数舵で表討すと I

I  である。

(ii)  n

人の得点

，

， . .

，

の平均を

，分散を

とするとき，得点

，

の

偏差値

はむ

によって計算されるon=3 として，

人の得点が町

， Y I V  

X2 = 80

， 

は

以上

以下の整数)のとき，

点の人の偏差値

を

で表す と い I 

I であり，その偏差値の最小値は区日である。

例 数 列 川 ま

ト「

^{山 ， .  .  .  )をみたすとする}

^こ

のとき{川の一般項は I

I である。また，初項から第

項までの総和

は

I 

I である。

[11]

次 の 仁 コ を う め よ

答は解答用紙の鎚欄に記入せよ。

(i)  f(x) = sin2x ‑4sinx (0

壬

壬

とする

とおくとき

を

の式で表すと

日

^{である。また，f}

の 最 小 値 は 区 日 で あ る 。

伊)楕円

千 + 〆

^上の点

吋 ) に お け る 接 線 加 と す る 。 こ の と き

司 直 な

こ垂直な

C

の接線で固まれる長方形の面積は I

I である。

[111]  ^{(記述問題)}

k を整数とする。関数

について次の間いに答えよ。ただし

は自然対数 の底とする。

(i)  Y = f(x)

が極値をもたないような

の最大値を求めよ。

(ii)  k

が

の条件をみたす最大値のとき ，

のグラフと

， 

と

軸で固まれ た部分の面積を求めよ。

‑ 2 ‑ <> M20 (882‑167) 

⑫  C  ²⁰¹⁹

^{年度 数 学}

問 題 冊 子 ( 1

ページ)

注 意 事

頁

( 1 )   試験開始の合図があるまで，この問題冊子の中を見ないこと。

(2) 

試験中に問題冊子の印刷不鮮明，ページの落丁・乱丁および、解答用紙の汚れ等に気付いた場合は，手を挙げて監督者に申し出 ること。

がいとう

(3)

解答は別に配付する解答用紙の該当欄に正しく記入すること。裏面には解答を書かないこと。また，解答に関係のない語句・

記号・落書き等は解答用紙に書かないこと。

(4)

解答用紙上部に印刷しである受験学部・学科コード，受験番号，氏名(カタカナ)を確認し，氏名欄に氏名(漢字)を記入すること。

もし，印刷に間違いがあった場合は，手を挙げて監督者に申し出ること。

(5) 

受験する学部により問題が異なるので，指定されたページの問題を解答すること。

受験学部 問 題 理学部 1ページ 薬学部

ページ

く>M21(882‑168) 

理学部

[1 

] 次 の 「 コ を う め よ 。 制 解 答 用 紙 の 部 欄 に 記 入 せ よ 。

(ω

リ )

^不碍等式

句則

の 崎 棚 範 臨 匪 i 凶 け る U ニ(l

(ii)  1

から

までの数を

つずつ書いた

枚のカードから

枚のカードを

頃にヲ￨く

ただ し，引いたカードはもとに戻さないものとする。このとき 1 枚目のカードに書かれた数 字が偶数である事象を

とし，

枚のカードに書かれた数字の最大値が

である事象を

とすると，事象

の確率

は 日 目 で あ り ， 条 件 付 き 確 率 九

は I

I 

である。

(

註

不 等 式 加

< 

をみたわの値の範囲は I

I である。また，集合

，

を

< 

壬

，

) 2

とするとき

となるような

の値 の 範 囲 は 区 日 で あ る 。

[11]

次の仁ゴをうめよ。答は解答用紙の挺欄に記入せよ。

(i)

ム

において，日=才

吉=ずとする。￨才

ヲ ￨ ず

で，ベクトル才

す 一 山 1 垂直であるとき，れずのなす角を

とすると∞

の 値 は 区 山 で あ る。このときムOAB に外接する円の面積は I

I である。

(ii)

正の整数

に対して

壬

をみたす

以上の整数民

の組

，

の個数を

を用いて 表すと I

I である

ま た ， 正 の 整 数 川 こ 対 し て 川 十 三 日 み た す

以上の 整 数 山 の 組 ( 山 ) の 個 腕 流 用 い て 表 す と I

I である。

[111]  (記述問題)

/ π ¥  

関数 f

( 0 三

三一)について，次の間いに答えよ。ただし

は自然対数の

¥ 一 一

底である。

(i)  f(x)

の最大値と最小値を求めよ。

(ii)

曲線 υ

と

軸で固まれた部分の面積を求めよ。

く>M21(882‑169) 

薬学部

[1 ] 

次 の 「 ゴ を う め よ

答は解答用紙の議室欄に記入せよ。

(i)

不等式

+ 

壬

を み た れ の 値 の 範 囲 は 巳 日 で あ る 。 こ の

の 範 囲 附 け る

+ 

の 最 小 値 は 巨 石 で あ る 。

(ii)  1

から

までの数を

つずつ書いた

枚のカードから，

枚のカードを順にヲ l く。ただ し，ヲ￨いたカードはもとに戻さないものとする。このとき

枚目のカードに書かれた数 字が偶数である事象を

枚のカードに書かれた数字の最大値が

である事象を

とすると，事象

は I

I であり，条件付き確率九

は I

I 

である。

(iii)

不等式

< 

十 代 み た れ の 値 の 範 囲 は

^{である。また，集合}

^，

^を

A={xIO<x+α

歪

ぅ

I 

とするとき

となるような

の値 の 範 囲 は 巳 E ^である。

[11]

次 の 仁 コ を う め よ

答は解答用紙の能欄に記入せよ

(i)

ム

において，試 =d ' ， 話

とする。￨才

で，ベクトル寸+ず，

す 一 山

1 垂直であるとき，れずのなす角を

とすると∞

の値は I (1)  I であ る。このときム

に 外 接 す る 円 の 面 積 は 日 日 で あ る 。

(ii)

正の整数

に対して

壬

をみたす

以上の整数

，

の組

ぅ

の個数を

を用いて 表すと I

I で あ る 。 ま た ， 正 の 整 数 川 こ 対 し て 日 + 引 を み た す

以上の 整 数 山 の 組 ( 川 ぅ 岬 腕 流 用 い て 表 す と

^である。

[111]  (記述問題)

f(x) 

= が +

+ 

とし，曲線

を

とする。

このとき，次の間いに答えよ。

(i)

曲線

，

における接線の方程式を求めよ。

(ii)

点(

，

から曲線

ヘ異なる

本の接線が引けるような定数

の値の範囲を求めよ。

‑ 2 ‑ OM21 (882‑170) 

⑫ 

C 

^{年 度} 数 学

問 題 冊 子

ページ)

;

主 ^{畠 思} 事

頁

( 1 )   試験開始の合図があるまで，この問題冊子の中を見ないこと。

(2) 

試験中に問題冊子の印刷不鮮明，ページの落丁・乱丁および解答用紙の汚れ等に気付いた場合は，手を挙げて監督者に申し出 ること。

がいとう

(3) 

解答は別に配付する解答用紙の該当欄に正しく記入すること。裏面には解答を書かないこと。また，解答に関係のない語句・

記号・落書き等は解答用紙に書かないこと。

(4)

解答用紙上部に印刷しである受験学部・学科コード，受験番号，氏名(カタカナ)を確認し，氏名欄に氏名(漢字)を記入すること。

もし，印刷に間違いがあった場合は，手を挙げて監督者に申し出ること。

(5) 

受験する学部・学科により問題が異なるので，指定されたページの問題を解答すること。

受験学部・学科 問 題

理学部(物理科学科，化学科) 1 ページ 理学部(社会数理・情報インスァイアユー卜)

ページ

く>M22(882‑171) 

物理科学科，化学科

[1 

] 次 の 仁 コ を う め よ 。 答 は 解 答 用 紙 の 嗣 こ 記 入 せ よ 。

(i)  X3 ‑ 2 =α十 b(x‑1) 

+ 

+ 

+ 

+ 

が

についての恒等式に なるとき， (川

刀 で あ る 。 ま た

の

次式を

とする

z

の 4次式

が

日 割 り 切 れ る と き ，d=  I  (2)  I である。

(ii)

赤玉

個，青玉

個が入っている袋から，

個の玉を同時に取り出すとき，少なくとも

個 は赤玉である確率は

^である

また赤玉と青玉を両方取り出す確率は巨日 である。

( i i i )  

点

，

， 

， 

，のう

を通る円の方程式を求めると I

I であり，

原点を通る直線

とこの円が共有点をもっ

の値の範囲は I

I である。

[11]

次の仁コをうめよ。答は解答用紙の挺欄に記入せよ。

(i)α1 = 4

， 

=

である

つの数列

， 

および

~みたしている。このとき，数列 {αn-bn} の一般項は αn ーい江田

であり，数列

の 一 般 項 は い I

I である。

(ii)

不等式

壬

をみたれの値の範囲は I

I である。

( y   loglO Y 

ま た ， 連 立 方 程 式 十 一 同

の解は， ( 川 ) = 区 日 で あ る 。

l x³ = y2 

[111]  ^{(記述問題)}

2

つの関数

と ば ←

について，次の間いに答えよ

ただし

臼寸

とする。

7 r ー 」

(i)  2

つの曲線

と

の

ーにおける父点の

座標を

とするとき，

2  sinα

の値を求めよ。

(ii)  2

つの曲線

と

とで固まれた部分の面積を求めよ。

く>M22 (882‑172) 

社会数理・情報インスティテュー卜

[1 

] 次 の 仁 二 を う め よ 。 答 は 解 答 用 紙 の 鉛 欄 に 記 入 せ よ

(i)  X3 ‑ 2 =α+ b(x ‑1) 

+ 

+ 

+ 

+ 

が

についての恒等式に なるとき，

^{である。また}

の

次式を f

+ 

+ 

とする

z

の

次 式 的

が的)で割り切れるとき ，d=1

である。

(ii)

赤玉

個，青玉

個が入っている袋から，

個の玉を同時に取り出すとき，少なくとも

個 は赤玉である確率は巳日である。また赤玉と誌を両方取り出す確率は

である。

(iii)  3

点

，

， 

， 

， 

， 引 を 通 る 円 の 方 程 式 を 求 め る と 巳 訂 で あ り ， 原点を通る直線

とこの円が共有点をもっ

の値の範囲は

である。

[11]

次 の 仁 コ を う め よ 。 答 は 解 答 用 紙 の 嗣 こ 記 入 せ よ 。

(i)α1 = 4

， 

である

つの数列

， 

および

1.tみたしている。このとき，数列

の一般項は

~つ

であり，数列

の 一 般 項 は い

である

(ω

註 吋

リ )

不 碍 等 鞘 制 式 副

凡

ま 杭 た ，

^{連立胡方程猷式} ( γ Z

Z ^の解は，

E ^である。

l x³ = ^y2 

[111]  ^{(記述問題)}

曲線

^と直線

について，次の間いに答えよ。

(i)  C

とtが

つの共有点を持つ

の値の範囲を求めよ。

(ii)  (i)

のとき ，Cと

とで固まれる

つの部分の面積の和が最小となる

の値を求めよ。

‑ 2 ‑ <>1122(882‑173) 

⑫ 

^{年度 数} 学

問 題 冊 子 ( 1 ペ ー ジ )

;

主 意 事 項

( 1 )   試験開始の合図があるまで，この問題冊子の中を見ないこと。

(2) 

試験中に問題冊子の印刷不鮮明，ページの落丁・乱丁および、解答用紙の汚れ等に気付いた場合は，手を挙げて監督者に申し出 ること。

がいとう

(3) 

解答は別に配付する解答用紙の該当欄に正しく記入すること。裏面には解答を書かないこと。また，解答に関係のない語句・

記号・落書き等は解答用紙に書かないこと。

(4)

解答用紙上部に印刷しである受験学部・学科コード，受験番号，氏名(カタカナ)を確認し，氏名欄に氏名(漢字)を記入すること。

もし，印刷に間違いがあった場合は，手を挙げて監督者に申し出ること。

<> M23 (882‑174) 

工学部

[1 ]次のにコをうめよ。答は解答用紙の錨欄に記入せよ。

(i)  3x ‑3‑^x = 4の と き ， い 叩 は

I

I

I

I

(ii)同素因数分解したときの素因数2の 個 数 は 巨 訂 で あ る 。 ま た ， 2133!を素因数分 解したときの素因数m 個 数 は 巨 日 で あ る 。

(iii ) 任 。 寸 の 範 囲 で ∞s30 + 2 cos 0 = 0をみたす0の値は

I

I

∞s 30 + 2 cos 0 

> 

I

I

[11]  次 の 「 二 コ を う め よo 答は解答用紙の議論に記入せよ。

(i)  iを虚数単位とし，自然数ηに対して一般項がαη=(1‑

V 3

I

I 

である。

(ii)  0 

< 

xy

I

ある。

[111]  (記述問題)

x^n‑1 

自然数ηに対してん(x)=一一ーとする。次の間いに答えよo

xn + ¹ 

ω^{積 分 ぬ =}

1

(ii)極限 limSnの値を求めよ。

く>M23(882‑175) 

⑫ 

C 

^年度 数 学

問 題 冊 子 ( 1 ペ ー ジ )

注 意 事 項

( 1 )   試験開始の合図があるまで，この問題冊子の中を見ないこと。

(2) 

試験中に問題冊子の印刷不鮮明，ページの落丁・乱丁および解答用紙の汚れ等に気付いた場合は，手を挙げて監督者に申し出 ること。

(3) 

解答は別に配付する解答用紙の該当欄に正しく記入すること。裏面には解答を書かないこと。また，解答に関係のない語句・

記号・落書き等は解答用紙に書かないこと。

( 4 ) 解答用紙上部に印刷しである受験学部・学科コード，受験番号，氏名(カタカナ)を確認し，氏名欄に氏名(漢字)を記入すること。

もし，印刷に間違いがあった場合は，手を挙げて監督者に申し出ること。

く)M24(882‑176)

工学部

[1 

] 次 の 仁 コ を う め よ 。 答 は 解 答 用 紙 の 嗣 こ 記 入 せ よ 。

(i) 

ム

において頂点

，

，

に向かい合う辺

，

，

の長さを，それぞれ

，

，

で表

し，ど

， ど とB ，

の大きさをそれぞれ

，

，

で表す。 一」こ=

=二

が成立する

とき，ム

の面積を

を用いて表すと I

I となる。また，

のとき，ム

の 外 接 円 の 半 径 は

I となる。

I  ^y 主

(ii)

連立不等式{ の表す領域を

とする。点

，y )が領域

を動く

1 

y 豆一

とき

の 最 大 値 は 日 E ^{であり ，}

^{の最小値は} I

I ^である。

(

日i)正 十 八 角 形 の 対 角 線 の 数 は 日 日 で あ る 。 ま た 正 十 八 角 形 の 頂 点 か ら 相 異 な る3

点を選んで三角形を作るとき，二等辺三角形となるような個数は I

I である。

[11]

次 の 仁 コ を う め よ

答は解答用紙の鎚欄に記入せよ

(i)

複素数

，

^，

を表す複素数平面上の点をそれぞれ

，

^， 

とする。ム

が 正三角形で，

，

，

が反時計まわりに並んでいるとき，にじ s‑

ニ

川 で あ る 。 こ のとき

れ

と す る い =

^である。

例 α向1= 4，  α向 叫n叶叫+刊1= t^{トα向an ‑一2} 

^叶+

い

μ とお以く。このとき，数列{九}の一般項は

^{である。これよ}

り，数列

の 一 般 項 は い 区 ι ^である。

[111]  ^{(記述問題)}

x>O

とする。

について，次の間いに答えよ。

ただし，対数は自然対数とする。

(i)  f(x) = 

0 となる

の値を求めよ。

(ii)  Y = f(x)

のグラフと

軸で固まれた部分の面積を求めよ。

‑ 1 ‑ <>1124(882‑177) 

⑧  C  ²⁰¹⁹

^{年度 数} 学

問 題 冊 子 ( 1 ‑

ページ)

;

主

事

( 1 )   試験開始の合図があるまで，この問題冊子の中を見ないこと。

I

頁

(2) 

試験中に問題冊子の印刷不鮮明，ページの落丁・乱丁および、解答用紙の汚れ等に気付いた場合は，手を挙げて監督者に申し出 ること。

カまいとう

(3) 

解答は別に配付する解答用紙の該当欄に正しく記入すること。裏面には解答を書かないこと。また，解答に関係のない語句・

記号・落書き等は解答用紙に書かないこと。

(4)

解答用紙上部に印刷しである受験学部・学科コード，受験番号，氏名(カタカナ)を確認し，氏名欄に氏名(漢字)を記入すること。

もし，印刷に間違いがあった場合は，手を挙げて監督者に申し出ること。

(5) 

受験する学部・学科により問題が異なるので，指定されたページの問題を解答すること。

受験学部・学科 問 題

同 ( 応 用 数 学 科 物 理 科 学 科 化 学 科 地 球 圏 科 学 科 )

ナノサイエンス・インスァイアユート

ページ 工学部

理学部(社会数理・情報インスァイアユー卜)

2

ページ 薬学部

く>M25 (882‑178) 

理学部(社会数理・情報インスティテュートを除く)，

工学部

[1 ] ^{次 の 仁}Jをうめよ口答は解答用紙の挺欄に記入せよ。

(i) ムABCにおいて， AB = 6， AC = 10，どA= 60⁰ とする。ムABCの外心を点Oとすると き ， A o 五 =I (1)  Iで あ り ， 話 = 品+t記とすると(ム← I(2)  Iである。

(ii)  x 

> 

f

め←)=吋一

引 仙 叩

(

出 附 叫

リ ) (肘

山 川 川 + 判 が

け 吋 吋

口 E

^{ー ん}

式におけるX15の係数は

I

I

[11]次 の 仁 三 を う め よo 答は解答用紙の鎚欄

l

(i)α

+s

また， (1 

+吋)

求 め る と 日E ^である。

(ii)  x2+(2+k)x+y2̲2ky‑k=0が表す曲線 Cは kの値をいろいろ変化させても定点を 通る。この定点をすべて求めると日目である。これらの定点のうち，点 (0，0)か

らの距離が最小の点を

P

C

P

( 0

0)

k

[111] 

^{(記述問題)}

ρ

ー ゾE

関数f(x)=乞どこついて，次の間いに答えよ。ただし eは自然対数の底とする。

(i)  f(x)の極値を求めよ。

(ii)曲線 y= f(x)と直線y=kが 2個の共有点を持つとき，定数 kのとりうる値の範囲を求 めよ。

‑ 1 ‑ _{く>M25 (882‑179)} 

理学部(社会数理・情報インスティテユート)，薬学部

] 次 の 仁 コ を う め よ

答は解答用紙の挺欄に記入せよ。

(i)

ム

において，

^， 

^{， ど}

^{とする。ム}

^{の外心を点}

^とすると

き，互

^{であり，瓦}

品

誌とすると(ム←

^である。

(ii)  x 

> 

と 川 日

叫

一 山 と す る

<

をみたわの範囲は I

I 

である

州

~

^{をみたすとき ，}

の最大値は I

I である。

(iii)  (α+b+C)^lO

の 展 開 式 附 け る の

の係数は I

I であり ，

句 展 開 式における

町 係 数 は I

I である。

[11] 

^{次 の 仁 二} 1 ^をうめよ

答は解答用紙の挺欄に記入せよ

(i)α

+s 寸 の と き

o :

= 区 山 で あ る 。

また，

+岡崎)

寸)

寸)

引の悦

求 め る と 日 目 で あ る 。

(ii)  x2 + (2 + k)x + y2 ‑2ky ‑k = 0

が表す曲線

は

の値をいろいろ変化させても定点を 通る。この定点をすべて求めると I

Iである。これらの定点のうち，点

，

らの距離が最小の点を Pとする。曲線 Cの点 Pにおける接線が点 (0，0)を通るときの k の値は I

I である。

[111]  ^{(記述問題)}

2  4 

3

次関数

が

=ーでそれぞれ極値をとる。このとき，次の

聞いに答えよ。

(i)

方程式

の解を求めよ。

3 

(ii)

曲線

を

軸方向に

，

軸方向に

だけ平行移動させた曲線

が

g( ‑x) = g(

りをみたし，さらに点

における接線が

であるとき，関数

の極大値，極小値を求めよ

‑ 2 ‑ _{く>M25(882‑180)}