重力に対する厳密繰り込み群と宇宙論への応用

重力に対する厳密繰り込み群と宇宙論への応用

横山 大輔

東京工業大学  (University of Sussex)

2012.06.19 @ 中央大学

Contents

繰り込み群の ABC

繰り込み群の必要性 Wilson 流繰り込み群 汎関数繰り込み群法 重力に対する繰り込み群

古典重力と 1-loop での量子重力の流れ図 Quantum Einstein Gravity

重力と結合したスカラー場 宇宙論

インフレーション理論

RG 改良型宇宙論とインフレーション

繰り込み群の ABC

繰り込み群の必要性

Wilson 流繰り込み群

汎関数繰り込み群法

繰り込み群の必要性

電磁気学の例

そもそも繰り込み群って？？

-

電場

+ - -

+ -

+ - + -

+ -

+ - + -

+ -

量子効果

電場

− −

繰り込み群の必要性

電磁気学の例

そもそも繰り込み群って？？

+ - - + -

+ - + -

+ -

+ - + -

+ - + -

+ -

+ - + -

+ -

+ - + -

+ -

大きいスケールを考えると どんどん電場（電荷）が弱 くなって行く。

スケール dependence !!

Coupling constant ( 電荷 ) が 繰り込みを受けている。

= e

4

V (r ) =

r 1 + 4

e ^2mr

(mr ) ^3/2 + · · ·

繰り込み群の必要性

電磁気学の例

そもそも繰り込み群って？？

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

-6 -5 -4 -3 -2

V (r) =

r 1 + 4

e ^2mr

(mr) ^3/2 + · · ·

or

eff (k ² ) =

1 ₃ log _Am ^k

5 10 50 100 500 1000

1.00 1.05 1.10 1.15 1.20

繰り込み群の必要性

重力の場合

そもそも繰り込み群って？？

電荷（質量）が全部同符号

量子効果を考えると質量が 発散する !!

意味が分からない ！

+ + + + +

+ + + +

+ +

+ + + +

+ +

Wilson 流繰り込み群

Power counting

通常の繰り込み群

Counpling の mass 次元が繰り込み可能性と関係している。

Super-Renormalizable : Coupling が正の mass 次元を持つ       有限の数のファイマン図が発散

Renormalizable : Coupling が無次元

        全てのオーダーで有限の数の発散

Non-Renormalizable : Coupling が負の mass 次元 高いオーダーで振幅が発散

L = 1

2 ( _µ ) ² 1

2 m ^{2 2}

n=2

2n

(2n)! ²ⁿ S = L d ⁴ x

Wilson 流繰り込み群

Power counting for Gravity

通常の繰り込み群

Counpling の mass 次元が繰り込み可能性と関係している。

Super-Renormalizable : Coupling が正の mass 次元を持つ       有限の数のファイマン図が発散

Renormalizable : Coupling が無次元

        全てのオーダーで有限の数の発散

Non-Renormalizable : Coupling が負の mass 次元 高いオーダーで振幅が発散

S = g d ⁴ x 1

16 G (R + 2 ) + L ^matter

Wilson 流繰り込み群

Scalar theory の例

通常の繰り込み群

p k + p

k ^{V (p}

^{) =} ₂ ^{i d}

4

k (2 )

1

k

m

1

(k + p)

m

= 1

2

1 0

dx

0

d

k

(2 )

1

[k

x(1 x)p

+ m

i ]

ln

4

G

= i + ( i )

[iV (s) + iV (t) + iV (u)] i

→ Counter term を使って発散を打ち消す。

→ Callan-Symanzik eq. から β -function を求める。

( ) k

k = 3 ²

16 ² + O ( ³ ) (k ) =

1 (3 /16 ² ) log(k/M )

Wilson 流繰り込み群

Partial integration

Wilson’s Approach

Z = [ D ] exp d

x 1

2 (

)

+ 1

2 m

+

4!

[ D ] =

| k | <

d (k) Introduce new variables

ˆ(k ) = (k) for b | k | <

0 otherwise

Z = D D ˆ exp d

x 1

2 (

+

ˆ)

+ 1

2 m

( + ˆ)

+

4! ( + ˆ)

= D e

D ˆ exp d

x 1

2 (

ˆ)

+ 1

2 m

ˆ

+ 1

6

ˆ + 1

4

ˆ

+ 1

6 ˆ

+ 1

4! ˆ

Wilson 流繰り込み群

Theory space

Wilson’s Approach

m ² 1

4!

d ⁴ k

(2 ) ^{4 4}

= 4! 4

2

b |k|<

d

k (2 )

1 k

3

16

log 1 b

= 3 ²

16 ² log 1

b

Wilson 流繰り込み群

Coupling に対するスケール依存性を表す方程式

β -function と fixed point

(e) k

k e = e ³

12 ^{2 e 2 (k) =}

e ² ₀

1 (e ₀ /6 ² ) log(k/M )

= k ^d k k = dk ^d = d

d > 0 λ が k に従って大きくなる d < 0 λ が k に従って小さくなる

Consider

( ) ( )

fixed point

汎関数繰り込み群法

スケール依存する Action

Effective Action

S _k

S

( ) = 1

2 d

q ( q )R

(q

) (q)

W

[J ] = ln D exp S + S

+ J

R

0 for q

k

R

> 0 for q

k

0

R

(q

) = 4aq

e

1 e

0.5 1.0 1.5 2.0

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

q²/k²

2 4 6 8 10

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

q²/k²

˜ _k [ _cl ] = W _k [J ] J _cl

k [ _cl ] = ˜ _k [ _cl ] S _k [ _cl ]

R

(q

) = (k

q

) (1 q

k

)

汎関数繰り込み群法

スケール依存する Action とその β -function

Exact Renormaisation Group Equation

Wk[J] = ln D exp S + Sk + J

k[ _cl] = ˜_k[ _cl] Sk[ _cl] t

W

=

S

= 1

2 Tr

R

t k

[

] =

W

[J ]

S

[

] 1

2 Tr ( )

R

= 1

2 Tr

W

J J

R

= 1

2 Tr

˜

[

]

cl cl

1

t

R

S_k( ) = 1

2 d⁴q ( q)R_k(q²) (q)

Exact Renormalisation Group Equation

t k = 1

2 Tr ² ˜ _k

+ R _k

1

t R _k

k k =

log k t =

汎関数繰り込み群法

Scalar 場の例

早速使ってみよう

k ( ) = d ⁴ x 1

2 ² + V ( )

t k

= 1

2 Tr

˜

+ R

1

t

R

V ( ) =

n=0

2n 2n

t k

= 1

2 Tr

R

q

+ R

+

V = Vol

16

q

dq

R

q

+ R

+

V

= Vol

32

zdz

R

z + R

+ 2V + 4

V

2n = _{t 2n} = 2(n 2) _2n + k ^{2(n 2)} Vol

1 n!

n

( ² ) ^{n t k} ₌₀

2n = 1 n!

n V

( ² ) ⁿ ₌₀

汎関数繰り込み群法

Scalar 場の例

早速使ってみよう

t 2 t 4 t 6 t 8

...

=

2 6c 0 15c

2 28c · · ·

... 4 ...

2 4 6

... 8

c = 0.0058153

汎関数繰り込み群法

重力の場合 (Einstein-Hilbert truncation)

大本命

k ( ) = ˆ _k + S gauge fixing + S _ghost ˆ _k = 1

16 G _k d ⁴ x det g _µ [ R(g) + 2 _k ]

重力に対する繰り込み群

古典重力と 1-loop での量子重力の流れ図 Quantum Einstein Gravity

重力と結合したスカラー場

古典重力と 1-loop での量子重力の流れ図

古典重力

重力に対する繰り込み群

繰り込みスケール k を用いて無次元相互作用を以下のように定義する。

(k ) k ² _k g(k ) k ² G _k

これらを横軸、縦軸にとったとき古典重力は以下の flow diagram で表される。

古典重力と 1-loop での量子重力の流れ図

1-loop 重力

重力に対する繰り込み群

1-loop までの量子効果を含んだ β -function

これらを解くと次のような perturbed flow diagram を得る。

( , g )

= 2 + 12g

g

( , g )

g = 2g

矢印は RG スケール k が増加する時の RG flow の進む方向を表している。

古典重力と 1-loop での量子重力の流れ図

Coupling constants の振る舞い

重力に対する繰り込み群

先に見た perturbed β -function から重力相互作用と宇宙定数を求める。

t k = _t ( k ² ) = [ + 2 ]k ² = 12gk ² + O(g ² k ² )

t G _k = _t (gk ² ) = [ _g 2g ]k ² = 0 + O (g ² k ² )

k = ₀ + 3G ₀ k ⁴ [1 + O (G ₀ k ² )]

G _k = G ₀ 12G ₀ ² k ² [1 + O (G ₀ k ² )]

Quantum Einstein Gravity

β -function の導出

大本命 (Revisit)

k ( ) = ˆ _k + S gauge fixing + S _ghost ˆ _k = 1

16 G _k d ⁴ x det g _µ [ R(g) + 2 _k ]

g = _t g = 2g + k ²

Vol R ^{t k} _R=0

= _t = 4 + ^t g

g + 1 g

k ⁴

Vol ^{t k} _R=0

t k

= 1

2 Tr

˜

+ R

1

t

R

Quantum Einstein Gravity

β -function の導出

大本命 (Revisit)

k ( ) = ˆ _k + S gauge fixing + S _ghost ˆ _k = 1

16 G _k d ⁴ x det g _µ [ R(g) + 2 _k ]

( , g ) _t = 2 12g 24g 6g + (1 3 ) 4g (1 2 ) ²

g ( , g ) _t g = (2 + )g = 2g + 6g ²

g ( ¹ ₂ ) ²

Quantum Einstein Gravity

Fully quantum diagram

大本命 (Revisit)

矢印は RG スケール k が増加する時の RG flow の進む方向を表している。

図中の赤い線は η = 0 を表す曲線である。

Quantum Einstein Gravity

固定点周りの振る舞い

大本命 (Revisit)

UV 固定点の周りで重力相互作用は次のような簡単な式で表すことができる。

k = k ² G _k = k ² g

この UV 固定点は特定の高次の相互作用項を含んでいたり、

物質場を含んでいても失われないことが確かめられていて、

我々はこれを重力の普遍な性質と仮定し、次節の宇宙論への応用を行う。

ここで と g は固定点の座標を表している。

重力と結合したスカラー場

重力と結合したスカラー場を考える

インフレーションに必要なので

ˆ _k [g, ] = d ⁴ x g V ( ² ) F ( ² )R + 1

2 g ^µ _µ

V ( ) =

n=0

˜ _2n ²ⁿ F ( ² ) =

n=0

˜ _2n ²ⁿ

= ⁰

2 ₀ = 0.1703

g = 1

16 ₀ = 0.8466

このとき固定点は

R. Percacci and D. Perini, “Asymptotic safety of gravity coupled to matter”,

Phys. Rev. D68, 044018 (2003) [arXiv:hep-th/0304222]

宇宙論

インフレーション理論

RG 改良型宇宙論とインフレーション

インフレーション理論

Friedmann-Robertson-Walker (FRW) 計量

下準備

Scale factor ↑    ↑ Comoving coordinate

ds ² = dt ² + a(t) ² [ dr ²

1 Kr ² + r ² (d ² + sin ² d ² )]

Physical coordinate

x (t) = a(t) x

インフレーション理論

Einstein 方程式

Friedmann 方程式

流体方程式 加速度方程式

基本方程式

R _µ 1

2 g _µ R = 8 GT _µ g _µ

H ² a ˙ a

2

= 8 G 3

K

a ² + 3

˙ + 3H ( + p) = 0

¨ a

a = 4 G

3 ( + 3p) +

3

インフレーション理論

Particle Horizon

インフレーションを考える理由

r

= a(t)

dt a(t )

a(t) t

for matter

a(t) t

for radiation

インフレーション理論

Cosmic Microwave Background の相対誤差 （〜 μ K ）

観測結果を見てみる

WMAP による宇宙背景放射の相対誤差画像

インフレーション理論

典型的なインフレーションモデル ( 宇宙が指数関数的に広がるモデル )

観測と合わせるためには・・・

e-foldings 数というものを以下のように定義する。

a a ₀ e

^t

理論的に N = 50 e-foldings ほどが必要なことが知られている。

N = ln a _end

a _start

インフレーション理論

Slow roll インフレーション

インフレーションを与える様なモデル

Slow roll parameters

S = d ⁴ x g 1

2 g ^µ _µ V ( )

= 1

2 ˙ + V ( ) p = 1

2 ˙ V ( )

¨ + 3H ˙ + V ( ) = 0

( ) = 1

2 m

V ( ) V ( )

2

( ) = m

V ( ) V ( )

インフレーションが起こるための条件 : , 1

インフレーション理論

ポテンシャルが     で与えられるときの Slow roll 近似の例

Simple なインフレーションモデル

このとき Scale factor は以下のように与えられる。

V ( ) = 1

2m^{2 2}

i

2

3 m

m(t t

)

˙ 2

3 m

m

¨ 0

a(t) a ₀ exp m

m _p 6 (t t _i ) m ²

9 (t t _i ) ²

インフレーション理論

温度揺らぎ

そういえば観測のぶつぶつって・・・

これまでの議論で CMB が少なくとも観測可能範囲内ではほぼ一定（約３ K ）である 事が示せた。だが今度は逆に CMB の相対誤差を説明する必要がある。

実はこれもインフレーション理論で説明が可能で、宇宙初期にあった量子揺らぎが インフレーションによって引き伸ばされ、マクロな領域での温度揺らぎとなる。

量子揺らぎはスカラー場の揺らぎとして生成されるが、密度揺らぎは Scale factor に反比例して小さくなってしまうので、他のキャリアーを探さなければならない。

それが Curvature の揺らぎで、これは Horizon の外側では減衰しない事が知られて いる。その Curvature のスペクトルは次のように与えられることが知られている。

P _R (p) = H

˙

2 H

2

2

p=aH

インフレーション理論

スペクトルの計算公式

観測量の計算

いまのインフレーション理論では先のスペクトラムは次のように計算され、

P _R (p) = 1 2 m ² _p

H 2

2

= 1

12 ² m _p ⁶

V ³

V ² = 1

24 ² m _p ⁴ V

観測によってこの値はおよそ のオーダーである事が知られている。

また、このスペクトラムのスケール依存性は以下のように計算される。

10

n(p) 1 = d ln P _R

d ln k = m ² _p V V

d

d (3 ln V 2 ln V ) = 6 + 2

このスケール依存性も同様に観測からの制限があり、

という条件がある。

| n(p) 1 | < 0.2

インフレーション理論

スペクトルの計算公式

観測量の計算

同様に、重力波に対するスペクトラムとそのスケール依存性はそれぞれ次のように 求められる。

これらは未だに観測されていないが、将来の観測で確かめられると期待されている。

P _grav (p) = 2 m _p ²

H 2

2

p=aH

n _grav = d ln P _grav (p)

d ln p = 2

RG 改良型宇宙論とインフレーション

RG 改良型方程式

RG 改良型

同様に、重力波に対するスペクトラムとそのスケール依存性はそれぞれ次のように 求められる。

A. Bonanno and M. Reuter, “Cosmology of the Planck era from a renormalization froup for quantum gravity”, arXiv:hep-th/0106133v1 (2001).

˙ a a

2

= 8 G _k

3 + K

a ² + ^k 3

˙ + 3H (1 + w) = 0

G _k = G(k (t)) _k = (k(t))

˙ _k + 8 G ˙ _k = 0

RG 改良型宇宙論とインフレーション

RG 改良型方程式を解く

  RG 改良型 pure gravity

重力は固定点に支配されているとする。

これらの仮定をすると先の方程式が以下のように解ける。

k = /t, K = 0, w = 1/3,

a(t) = 4

9 g M

1/4

t (t) = 9

32 g

1 t ⁴ G(t) = 2

3 g t ² (t) = 3 2

1 t ²

インフレーションは起こっていない。

が発散するので全宇宙を通して因果関係が存在する。

物質は通常の物質が仮定されている（ここでは無質量粒子）

r

=

t=0

dt /a(t )

RG 改良型宇宙論とインフレーション

RG 改良型インフレーションモデル (1)

Scalar 場が入ったモデル

初期宇宙でスカラー場があったと仮定し、先の RG 改良型宇宙論を再考してみる。

ここでは当然スカラー場の質量の繰り込み群も考える。また、簡単のために自己相 互作用などの高次項は無視する。

RG スケールはハッブルパラメータに比例すると仮定する。

V ( ) = 1

2 m

(k)

=

2 k

k µ

2

k = H

ここで θ は０〜２の定数で、 α はある正定数であり、 μ は質量次元を持つ特徴的 なエネルギースケールである。これらの仮定から RG Friedmann 方程式は次のよう になる。

H

= 4 g

3 ( H

µ )

+

3

H

H ˜ = 4 g

3(1

)

2+1

˜

˜

RG 改良型宇宙論とインフレーション

RG 改良型インフレーションモデル (1)

Slow roll 近似

Slow roll 近似された場の方程式

より、スカラー場が時間の関数として次のように求められる。

˜˙ = V ˜ ( )

3 ˜ H =

3

˜

˜

µ _I + 2 2

2 + (µt)

2 22+

また、 Slow roll parameter は場の関数として次のように現される。

m ² _p 2

V V

2

= 1

(1 ² ₃ ) ˜

^{2+ 2}

1 ₃ ² N

RG 改良型宇宙論とインフレーション

RG 改良型インフレーションモデル (1)

Scale factor の発展

ハッブルパラメータはスカラー場と単純な関係で結ばれているので、同じく時間の関 数で表すことができる。そこから Scale factor を以下のように求めることができる。

a a

exp 2 +

2 ˜

= a

exp 2 +

2

+ 2 2

2 + (µt)

2 22

¨ a

a µ

˜

1 2

2 + ˜

インフレーションが起こっている。

十分大きな初期の場に対して         が大きくなり、

任意の広大な因果関係を得られる。

d

=

t=0

dt /a(t )

RG 改良型宇宙論とインフレーション

RG 改良型インフレーションモデル (1)

観測量の計算

今度のインフレーションモデルに対しても Curvature spectrum などが計算可能で、

以下の様に与えられる。

P

(q ) = 1 g

2

1

1

1

n(q) 1 = d ln P

d ln q = P

(q) = 4g

2

n

= d ln P

(q )

d ln q = 0

RG 改良型宇宙論とインフレーション

RG 改良型インフレーションモデル (2)

別な RG scale 依存性

今回は RG スケールが に依存していると仮定する。

k =

RG Friedmann 方程式は次のようになる。

H ² = 4 g

3 (

µ ) ² +

3 ^{2 2} 3 ^{2 2 2 2}

H ˜ = ˜

RG 改良型宇宙論とインフレーション

RG 改良型インフレーションモデル (2)

特殊な slow roll

Slow roll 近似された場の方程式

より、スカラー場が時間の関数として次のように求められる。

˜˙ = V ˜ ( )

3 ˜ H = ² (4 )

6 ˜ ²

˜ = _I + (1 ) ˜ t

今回の場合 Slow roll parameter が定数になってしまうので別の指標を用いる。

= 3

4

2 ˜ = 1

6

4 N + 1

RG 改良型宇宙論とインフレーション

RG 改良型インフレーションモデル (1)

Scale factor の発展方程式

ハッブルパラメータはスカラー場に比例するので、同じく時間の関数で表すことがで き、そこから Scale factor を以下のように求めることができる。

インフレーションが起こっている。

十分大きな初期の場に対して         が大きくなり、

任意の広大な因果関係を得られる。

d

=

t=0

dt /a(t )

a a _i exp 1 ˜

= a _i exp 1

I + (1 ) ˜ t

˜¨

a

a = ² ˜ ² 1 ˜

RG 改良型宇宙論とインフレーション

RG 改良型インフレーションモデル (2)

観測量の計算

今度のインフレーションモデルに対しても Curvature spectrum 等が計算可能で、以 下のように与えられる。

P R (q ) = 1 4 ²

(4 ) ² 36

2

3

1

2

n(q ) 1 = d ln P R

d ln q = (4 ) ² 4 g P _grav (q ) = 4g

3

n _grav = d ln P _grav (q )

d ln q = 0

RG 改良型宇宙論とインフレーション

スカラー場の存在下では場が大きい所でインフレーションが 起こる。

よって因果性問題や平坦性問題が解決される。

   では特異点が存在する。

観測量が に依存してしまう。

観測値を説明するためには小さな値の  や  が必要にな る。

Summary

Subsequent plan

< 1

g

GMFP での質量の符号が変わらない様な Truncation を探す。

FP の値が小さくなる様な action を探す。