(1)2013年6月4日配布 2013年6月11日提出 2013年6月18日返却 1

2013年6月4日配布 2013年6月11日提出 2013年6月18日返却

1. 形式的べき級数環 R[[x]] において、(1 +x)y= 1 をみたす y ∈R[[x]] を求めよ。

y =

!∞ n=0

(−1)ⁿxⁿ とすると

(1 +x)y= (1 +x)

!∞ n=0

(−1)ⁿxⁿ

=

!∞ n=0

(−1)ⁿxⁿ+

!∞ n=0

(−1)ⁿxⁿ⁺¹

= 1 +

!∞ n=1

(−1)ⁿxⁿ+

!∞ n=1

(−1)ⁿ⁻¹xⁿ

= 1.

2. 形式的べき級数環 R[[x]] において、

1 + 2x+ 3x² 1 +x における x³ の係数を求めよ。

1 + 2x+ 3x²

1 +x = (1 + 2x+ 3x²)(1 +x)⁻¹

= (1 + 2x+ 3x²)

!∞ n=0

(−1)ⁿxⁿ

= (1 + 2x+ 3x²)(1−x+x²−x³+· · ·)

= 1 +x+ 2x²−2x³+· · · . よって −2.