II 理工学研究科

(1)

微分幾何学

数理物質科学研究科

微分幾何学 II

理工学研究科

微分幾何学 I

————–

Riemann 幾何学の基礎

田崎博之

2003年度

(2)

自然学類

微分幾何学

Differential Geometry

数理物質科学研究科

微分幾何学 II Differential Geometry II

理工学研究科

微分幾何学 I

Differential Geometry I 開講授業科目概要

リーマン多様体とその部分多様体に関する講義を行う。多様体の微分幾何学で必要になるテンソル代数と外積代数の準備の後、リーマン多様体とその部分多様体の計量、曲率、第二基本形式等の基本的概念を解説する。

(3)

第 1 章線形代数からの準備

1.1 _{テンソル代数}

定義 1.1.1 有限次元実ベクトル空間V に対して、V から実数Rへの線形写像の

全体をV^∗で表し、V の双対ベクトル空間と呼ぶ。V^∗はRの和と積から自然に定まる演算によってベクトル空間の構造を持つ。v ∈V に対して

v(f) = f(v) (f ∈V^∗)

によって、v : V^∗ →Rを定めると、v ∈ (V^∗)^∗とみなすことができ、この対応によって(V^∗)^∗とV を同一視することができる。δ_jⁱを

δⁱ_j =

( 1, i=j 0, i6=j

によって定める。V の基底{u₁, . . . , u_n}に対して、fⁱ(u_j) =δ_jⁱによって定まるV^∗ の元{fⁱ}はV^∗の基底になる。特にdimV^∗ = dimV となる。{fⁱ}を{u_j}の双対基底と呼ぶ。

定義 1.1.2 有限次元実ベクトル空間V に対して、

z }|p { V^∗× · · · ×V^∗×

z }|q { V × · · · ×V 上で定義されたp+q変数の実数値多重線形写像をV 上の(p, q)型テンソルと呼び、その全体をT^(p,q)(V)で表す。T^(p,q)(V)を(p, q)型テンソル空間と呼ぶ。T^(p,q)(V)は自然な加法とスカラー倍によって実ベクトル空間になる。T^(p,q)(V)の元AとT^(r,s)(V) の元Bに対して、

(A⊗B)(g¹, . . . , g^p+r, v₁, . . . , v_q+s)

= A(g¹, . . . , g^p, v₁, . . . , v_q)B(g^p+1, . . . , g^p+r, v_q+1, . . . , v_q+s) (g¹, . . . , g^p+r ∈V^∗, v1, . . . , vq+s ∈V)

によって写像

A⊗B :

z p+r}| { V^∗× · · · ×V^∗×

z q+s}| {

V × · · · ×V −→R

を定めると、A⊗BはV 上の(p+r, q+s)型テンソルになる。A⊗BをAとBのテンソル積と呼ぶ。T^(1,0)(V) = (V^∗)^∗ =V とみなし、T^(0,1)(V) = V^∗であること

(5)

に注意する。V の元u₁, . . . , u_pとV^∗の元f¹, . . . , f^qに対して、

(u₁⊗ · · · ⊗u_p⊗f¹⊗ · · · ⊗f^q)(g¹, . . . , g^p, v₁, . . . , v_q)

= g¹(u₁)· · ·g^p(u_p)f¹(v₁)· · ·f^q(v_q) (g¹, . . . , g^p ∈V^∗, v₁, . . . , v_q ∈V) によって写像

u₁⊗ · · · ⊗u_p⊗f¹⊗ · · · ⊗f^q :

z }|p { V^∗× · · · ×V^∗×

z }|q {

V × · · · ×V −→R は定まり、u1⊗ · · · ⊗up⊗f¹⊗ · · · ⊗f^qはV 上の(p, q)型テンソルになる。

命題 1.1.3 V を有限次元実ベクトル空間とすると、写像

T^(p,q)(V)×T^(r,s)(V) −→ T^(p+r,q+s)(V)

(A, B) 7−→ A⊗B

は双線形写像になり、写像 z }|p {

V × · · · ×V ×

z }|q {

V^∗ × · · · ×V^∗ −→ T^(p,q)(V)

(u₁, . . . , u_p, f¹, . . . , f^q) 7−→ u₁⊗ · · · ⊗u_p⊗f¹⊗ · · · ⊗f^q は多重線形写像になる。

証明定義1.1.2での定め方より、A⊗BはAとB に関して線形になる。した

がって、上の写像は双線形写像になる。また、u1⊗ · · · ⊗u_p⊗f¹⊗ · · · ⊗f^qはu_i とf^jに関して線形になる。したがって、上の写像は多重線形写像になる。

定義 1.1.4 有限次元実ベクトル空間V に対して、

T(V) = X∞ p,q=0

T^(p,q)(V)

とおく。ただし、T^(0,0)(V) =Rとしておく。定義1.1.2で定めた双線形写像 T^(p,q)(V)×T^(r,s)(V) −→ T^(p+r,q+s)(V)

(A, B) 7−→ A⊗B

を、T(V)×T(V)全体の双線形写像に拡張し、これを二項演算としてT(V)は代数になる。T(V)をV 上のテンソル代数と呼ぶ。

命題 1.1.5 V をn次元実ベクトル空間とする。u₁, . . . , u_nをV の基底とし、f¹, . . . , fⁿ をその双対基底とする。すると、

ui1 ⊗ · · · ⊗uip⊗f^j¹ ⊗ · · · ⊗f^j^q (1≤i1, . . . , ip, j1, . . . , jq ≤n)

はT^(p,q)(V)の基底になる。特に、T^(p,q)(V)の次元はn^p+qになる。

(6)

1.1. テンソル代数 3 証明まずu_i₁⊗ · · · ⊗u_i_p⊗f^j¹⊗ · · · ⊗f^j^q (1≤i₁, . . . , i_p, j₁, . . . , j_q ≤n)が線形独立になることを示す。

Xn

i1,...,ip=1 j1,...,jq=1

aⁱ_j¹^···ⁱ^p

1···jqu_i₁ ⊗ · · · ⊗u_i_p⊗f^j¹ ⊗ · · · ⊗f^j^q = 0 (aⁱ_j¹^···ⁱ^p

1···jq ∈R)

とする。1≤k₁, . . . , k_p, l₁, . . . , l_q ≤nとなるk₁, . . . , k_p, l₁, . . . , l_qをとり、

(f^k¹, . . . , f^k^p, u_l₁, . . . , u_l_q) を上の式に代入するとa^k_l¹^···^k^p

1···lq = 0となる。したがってu_i₁⊗· · ·⊗u_i_p⊗f^j¹⊗· · ·⊗f^j^q は線形独立である。

次にu_i₁ ⊗ · · · ⊗u_i_p⊗f^j¹ ⊗ · · · ⊗f^j^q (1≤ i₁, . . . , i_p, j₁, . . . , j_q ≤ n) はT^(p,q)(V) を生成することを示す。T^(p,q)(V)の元Aを任意に一つとる。V の元vに対して

v = Xn

j=1

f^j(v)uj

となり、V^∗の元gに対して

g = Xn

i=1

g(u_i)fⁱ

となるので、g¹, . . . , g^p ∈V^∗とv₁, . . . , v_q∈V に対して A(g¹, . . . , g^p, v₁, . . . , v_q)

= A



 Xn i1=1

g¹(ui1)fⁱ¹, . . . , Xn ip=1

g^p(uip)fⁱ^p, Xn j1=1

f^j¹(v1)uj1, . . . , Xn jq=1

f^j^q(vq)ujq





=

Xn

i1,...,ip=1 j1,...,jq=1

g¹(ui1)· · ·g^p(uip)f^j¹(v1)· · ·f^j^q(vq)A(fⁱ¹, . . . , fⁱ^p, uj1, . . . , ujq)

=

Xn

i1,...,ip=1 j1,...,jq=1

A(fⁱ¹, . . . , fⁱ^p, uj1, . . . , ujq)

×(u_i₁ ⊗ · · · ⊗u_i_p ⊗f^j¹ ⊗ · · · ⊗f^j^q)(g¹, . . . , g^p, v₁, . . . , v_q).

よって、

A= Xn

i1,...,ip=1 j1,...,jq=1

A(fⁱ¹, . . . , fⁱ^p, u_j₁, . . . , u_j_q)u_i₁ ⊗ · · · ⊗u_i_p⊗f^j¹ ⊗ · · · ⊗f^j^q

が成り立つ。したがってu_i₁ ⊗ · · · ⊗u_i_p⊗f^j¹ ⊗ · · · ⊗f^j^q はT^(p,q)(V)を生成する。

(7)

以上で

u_i₁ ⊗ · · · ⊗u_i_p⊗f^j¹ ⊗ · · · ⊗f^j^q (1≤i₁, . . . , i_p, j₁, . . . , j_q ≤n)

はT^(p,q)(V)の基底になることがわかった。このことから、T^(p,q)(V)の次元はn^p+q

になることもわかる。

定義 1.1.6 命題1.1.5の証明中にあるT^(p,q)V の元Aの基底による表示 A=

Xn

i1,...,ip=1 j1,...,jq=1

A(fⁱ¹, . . . , fⁱ^p, u_j₁, . . . , u_j_q)u_i₁ ⊗ · · · ⊗u_i_p ⊗f^j¹ ⊗ · · · ⊗f^j^q

をAの成分表示と呼び、A(fⁱ¹, . . . , fⁱ^p, u_j₁, . . . , u_j_q)をAの成分と呼ぶ。

注意 1.1.7 上の成分表示のように、和P

の後で同じ添え字が上下組になって現れ、添え字の動く範囲がわかっているときは、和の記号P

を省略する。例えば、

上の場合は

A=A(fⁱ¹, . . . , fⁱ^p, u_j₁, . . . , u_j_q)u_i₁ ⊗ · · · ⊗u_i_p⊗f^j¹ ⊗ · · · ⊗f^j^q

と書き表す。この表し方をEinsteinの規約という。考えている基底が定まっている場合には

Aⁱ_j¹^···ⁱ^p

1···jq =A(fⁱ¹, . . . , fⁱ^p, u_j₁, . . . , u_j_q) と書くことにする。このとき、Aの成分表示は

A =Aⁱ_j¹₁^···_···ⁱ_j^p_qui1 ⊗ · · · ⊗uip⊗f^j¹ ⊗ · · · ⊗f^j^q となる。さらに、A= (Aⁱ_j¹₁^···_···ⁱ_j^p_q)とも表す。

命題 1.1.8 V をn次元実ベクトル空間とする。u₁, . . . , u_nをV の基底とし、f¹, . . . , fⁿ をその双対基底とする。T^(p,q)(V)の元Aを

A =Aⁱ_j¹^···ⁱ^p

1···jqu_i₁ ⊗ · · · ⊗u_i_p⊗f^j¹ ⊗ · · · ⊗f^j^q

と成分表示する。V のもう一つの基底u¯₁, . . . ,u¯_nとその双対基底f¯¹, . . . ,f¯ⁿをとり、

A= ¯A^k_l¹^···^k^p

1···lq u¯_k₁ ⊗ · · · ⊗u¯_k_p⊗f¯^l¹ ⊗ · · · ⊗f¯^l^q

と成分表示する。u₁, . . . , u_nからu¯₁, . . . ,u¯_nへの基底の変換行列をg = (g_kⁱ)で表し、

その逆行列をg¯= (¯g_j^l)で表す。すなわち、

¯

u_k=g_kⁱu_i, g¯ⁱ_kg^k_j =δ_jⁱ. このとき、

A¯^k_l¹^···^k^p

1···lq =Aⁱ_j¹^···ⁱ^p

1···jqg¯_i^k¹

1 · · ·¯g_i^k^p

pg_l^j¹

1 · · ·g_l^j^q

q

が成り立つ。

(8)

1.1. テンソル代数 5 証明双対基底の間の変換行列をまず求めておく。

f¯^l =h^l_jf^j とおいておく。

δ^l_k= ¯f^l(¯uk) =h^l_jf^j(g_kⁱui) = h^l_jgⁱ_kf^j(ui) = h^l_jg_kⁱδ_i^j =h^l_igⁱ_k. したがって、h= (h^l_j)はgの逆行列に一致する。よって、

f¯^l = ¯g_j^lf^j.

¯

u_k=g_kⁱu_iの両辺にg¯^k_aをかけてkについて和をとると、

¯

g_a^ku¯_k = ¯g_a^kg_kⁱu_i =δ_aⁱu_i =u_a. f¯^l = ¯g^l_jf^jの両辺にg_l^bをかけてlについて和をとると、

g_l^bf¯^l =g_l^bg¯_j^lf^j =δ^b_jf^j =f^b. 以上より、

u_i = ¯g_i^ku¯_k, f^j =g_l^jf¯^l を得る。

V の基底と双対基底の変換行列を使って、Aの成分表示を計算する。

A = Aⁱ_j¹₁^···_···ⁱ_j^p_qu_i₁ ⊗ · · · ⊗u_i_p⊗f^j¹ ⊗ · · · ⊗f^j^q

= Aⁱ_j¹₁^···_···ⁱ_j^p_q¯g_i^k₁¹u¯k1 ⊗ · · · ⊗¯g_i^k_p^pu¯kp⊗g^j_l₁¹f¯^l¹ ⊗ · · · ⊗g_l^j_q^qf¯^l^q

= Aⁱ_j¹^···ⁱ^p

1···jq¯g_i^k¹

1 · · ·g¯^k_i^p

pg_l^j¹

1 · · ·g^j_l^q

qu¯_k₁ ⊗ · · · ⊗u¯_k_p⊗f¯^l¹ ⊗ · · · ⊗f¯^l^q. したがって、

A¯^k_l¹^···^k^p

1···lq =Aⁱ_j¹₁^···_···ⁱ_j^p_q¯g_i^k₁¹· · ·g¯_i^k_p^pg_l^j¹

1 · · ·g_l^j_q^q が成り立つ。

命題 1.1.9 V を有限次元実ベクトル空間とし、V の基底u₁, . . . , u_nとその双対基底 f¹, . . . , fⁿをとっておく。T^(p,q)(V)の元A = (Aⁱ_j¹₁^···_···ⁱ_j^p_q)とT^(r,s)(V)の元B = (B_l^k¹^···^k^r

1···ls ) のテンソル積A⊗Bの成分は、

(A⊗B)ⁱ_j¹^···ⁱ^p^k¹^···^k^r

1···jql1···ls =Aⁱ_j¹^···ⁱ^p

1···jqB_l^k¹^···^k^r

1···ls

で与えられる。

(9)

証明まず、

A = Aⁱ_j¹^···ⁱ^p

1···jqu_i₁ ⊗ · · · ⊗u_i_p⊗f^j¹ ⊗ · · · ⊗f^j^q B = B_l^k¹^···^k^r

1···ls u_k₁ ⊗ · · · ⊗u_k_r ⊗f^l¹ ⊗ · · · ⊗f^l^s

となっているので、命題1.1.3のテンソル積の双線形性に注意すると、

A⊗B

= (Aⁱ_j¹₁^···_···ⁱ_j^p_qui1 ⊗ · · · ⊗uip ⊗f^j¹ ⊗ · · · ⊗f^j^q)

⊗(B_l^k¹^···^k^r

1···ls u_k₁ ⊗ · · · ⊗u_k_r ⊗f^l¹ ⊗ · · · ⊗f^l^s)

= Aⁱ_j¹₁^···_···ⁱ_j^p_qB^k_l¹^···^k^r

1···ls u_i₁ ⊗ · · · ⊗u_i_p⊗u_k₁ ⊗ · · · ⊗u_k_r

⊗f^j¹ ⊗ · · · ⊗f^j^q ⊗f^l¹ ⊗ · · · ⊗f^l^s を得る。よって

(A⊗B)ⁱ_j¹^···ⁱ^p^k¹^···^k^r

1···jql1···ls =Aⁱ_j¹^···ⁱ^p

1···jqB_l^k¹^···^k^r

1···ls

が成り立つ。

定義 1.1.10 V を有限次元実ベクトル空間とし、基底u1, . . . , unとその双対基底 f¹, . . . , fⁿをとる。A∈T^(p,q)(V)とする。1≤r≤p, 1≤s ≤qとなるr, sをとり、

写像

C^(r,s)A:

p−1

z }| { V^∗ × · · · ×V^∗×

q−1

z }| { V × · · · ×V →R を

(C^(r,s)A)(g¹, . . . , g^p⁻¹, v1, . . . , vq−1)

= A(g¹, . . . , g^r⁻¹, fⁱ, g^r, . . . , g^p⁻¹, v₁, . . . , v_s₋₁, u_i, v_s, . . . , v_q₋₁)

によって定める。するとC^(r,s)A∈T^(p⁻^1,q⁻¹⁾(V)となる。C^(r,s)AをAの縮約と呼ぶ。

命題 1.1.11 定義1.1.10の縮約の定義は、V の基底のとり方に依存しない。また、

V の基底u₁, . . . , u_nとその双対基底f¹, . . . , fⁿに関する成分表示は (C^(r,s)A)ⁱ_j¹^···ⁱ^p⁻¹

1···jq−1 =Aⁱ_j¹^···ⁱ^r⁻¹ⁱⁱ^r^···ⁱ^p⁻¹

1···js−1ijs···jq−1

となる。

証明 u¯_k =gⁱ_ku_iによって基底を変換すると、命題1.1.8または、その証明中に示したことより、双対基底は、f¯^l = ¯g_j^lf^jによって変換される。よって

A(g¹, . . . , g^r⁻¹,f¯^k, g^r, . . . , g^p⁻¹, v₁, . . . , v_s₋₁,u¯_k, v_s, . . . , v_q₋₁)

= A(g¹, . . . , g^r⁻¹,g¯^k_jf^j, g^r, . . . , g^p⁻¹, v₁, . . . , v_s₋₁, g_kⁱu_i, v_s, . . . , v_q₋₁)

= ¯g_j^kgⁱ_kA(g¹, . . . , g^r⁻¹, f^j, g^r, . . . , g^p⁻¹, v₁, . . . , v_s₋₁, u_i, v_s, . . . , v_q₋₁)

= δ_jⁱA(g¹, . . . , g^r⁻¹, f^j, g^r, . . . , g^p⁻¹, v1, . . . , vs−1, ui, vs, . . . , vq−1)

= A(g¹, . . . , g^r−1, fⁱ, g^r, . . . , g^p−1, v₁, . . . , v_s₋₁, u_i, v_s, . . . , v_q₋₁).

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微分幾何学 II

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田崎博之

微分幾何学

Differential Geometry

微分幾何学 II Differential Geometry II

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Differential Geometry I 開講授業科目概要

目 次

第 1 章 線形代数からの準備

1.1 テンソル代数

目次

第 1 章線形代数からの準備

1.1 _{テンソル代数}