等質空間と対称空間改題 : 等質空間と形状空間

(1)

理工学研究科

微分幾何学 II

————–

等質空間と対称空間改題 : 等質空間と形状空間

田崎博之

2004

年度

(2)

数理物質科学研究科理工学研究科

微分幾何学 II Differential Geometry II

開講授業科目概要

微分幾何学の基本的な研究対象である等質空間と対称空間に関する講義を行う。

これらを論じるために必要なリー群とリー代数の基礎的事項の準備の後、等質空間と対称空間の微分幾何学的性質を解説する。

(3)

第 1 _章 Lie _群と Lie _環

1.1 Lie _群と Lie _環

定義 1.1.1 多様体Gが群構造を持ち、その群演算

G×G→G; (x, y)7→xy, G→G;x7→x⁻¹

がC^∞級写像になるとき、GをLie群と呼ぶ。(特にことわらないかぎり、群の単位元はeで表す。)

注意 1.1.2 定義1.1.1では、Lie群は可算開基を持つと仮定しなかったが、連結Lie 群は可算開基を持つことを後で示す(系1.2.2）。

例 1.1.3 V を有限次元実ベクトル空間とすると、V の正則線形変換の全体GL(V) はLie群になる。GL(Rⁿ)はGL(n,R)とも書く。GL(V)を一般線形群と呼ぶ。

証明 dimV = nとする。End(V) = {f : V →V|fは線形写像}とおく。V の基底をとり、End(V)の元にこの基底に関する表現行列を対応させれば、End(V)

とn²次元Euclid空間の間の微分同型写像になる。表現行列の成分がEnd(V)の座

標になる。行列式det : End(V)→RはEnd(V)の座標の多項式で表わされるので連続であり、

GL(V) ={f ∈End(V)|detf 6= 0}

だから、GL(V)はEnd(V)の開集合である。特に、GL(V)はn²次元多様体になる。群演算

GL(V)×GL(V)→GL(V); (x, y)7→xy は、End(V)の座標の二次式で表わされるのでC^∞級写像であり、

GL(V)→GL(V);x7→x⁻¹

は、End(V)の座標の分数式で表わされるのでC^∞級写像である(Cramerの公式)。

定義 1.1.4 Lie群Gの元gに対して微分同型写像L_g, R_gを L_g :G→G;x7→gx, R_g :G→G;x7→xg

(5)

によって定め、それぞれgによる左移動、右移動と呼ぶ。G上のベクトル場Xは、

Gの任意の元gに対して

(dL_g)_x(X_x) =X_gx (x∈G) を満たすとき左不変ベクトル場と呼ばれ、

(dR_g)_x(X_x) = X_xg (x∈G) を満たすとき右不変ベクトル場と呼ばれる。

注意 1.1.5 Lie群Gの単位元eを含む局所座標近傍(U;x₁, . . . , x_n)をとっておけば、各g ∈ Gに対して(Lg(U);x1 ◦L⁻_g¹, . . . , xn◦L⁻_g¹)はgを含む局所座標近傍になる。右移動を使っても同様にできる。

定義 1.1.6 実ベクトル空間gに双線形写像[ , ] : g×g → gがあり、すべての元 X, Y, Z ∈gに対して

[X, Y] =−[Y, X], [[X, Y], Z] + [[Y, Z], X] + [[Z, X], Y] = 0

を満たすとき、gをLie環と呼ぶ。Lie環gの部分ベクトル空間hが、演算[, ]に関して閉じているとき、hをgのLie部分環と呼ぶ。

例 1.1.7 多様体M 上のベクトル場の全体X(M)はLieブラケット[ , ]に関して Lie環になる。

例 1.1.8 V をベクトル空間とする。End(V)の元X, Y に対して[X, Y] = XY − Y Xと定めるとEnd(V)はLie環になる。このLie環をgl(V)で表わす。gl(Rⁿ)は gl(n,R)とも書く。

証明定め方より[ , ] : End(V)×End(V) → End(V) は双線形写像である。

End(V)の元X, Y, Zに対して

[X, Y] =XY −Y X =−[Y, X], [[X, Y], Z] + [[Y, Z], X] + [[Z, X], Y]

= [XY −Y X, Z] + [Y Z−ZY, X] + [ZX−XZ, Y]

= XY Z −Y XZ−ZXY +ZY X+Y ZX−ZY X−XY Z +XZY +ZXY −XZY −Y ZX +Y XZ

= 0.

したがってEnd(V)は[, ]に関してLie環になる。

(6)

1.1. Lie群とLie環 3 定理 1.1.9 GをLie群とし、Gの左不変ベクトル場の全体をgで表わす。すると、

gはG上のベクトル場全体の成すLie環X(G)のLie部分環になり、写像 α :g→T_e(G);X 7→X_e

は線形同型写像になる。特にdimg= dimT_e(G) = dimGが成り立つ。

証明 gがX(G)の部分ベクトル空間になることは定義からわかる。X, Y ∈gとすると任意のg ∈Gに対して

(dL_g)_x(X_x) = X_gx (dL_g)_x(Y_x) = Y_gx (x∈G) が成り立つのでLieブラケット積と微分写像の関係より

(dL_g)_x([X, Y]_x) = [X, Y]_gx (x∈G) となり、[X, Y]∈g。よってgはX(G)のLie部分環である。

αが線形写像になることは定義からわかる。X ∈g, α(X) = 0とすると、任意の g ∈Gに対し

Xg = (dLg)e(Xe) = 0

だから、X = 0。よってKerα = 0となり、αは単射。他方X ∈ T_e(G)に対して X˜g = (dLg)e(X)とおき、X˜ が左不変ベクトル場になることを示せば、αが全射になることがわかる。(U;x₁, . . . , x_n)をGの単位元eを含む局所座標近傍とする。

G×G → G; (x, y) 7→ xy は連続だから、eを含む開近傍V でV V = {xy|x, y ∈ V} ⊂U を満たすものをとることができる。

X= Xn

i=1

ξⁱ ∂

∂x_i

¯¯

e

とおく。注意1.1.5より任意のg ∈Gに対して、(Lg(V);x₁◦L⁻_g¹, . . . , x_n◦L⁻_g¹)は gを含む局所座標近傍になる。そこでy_i =x_i◦L⁻¹_g とおくとgx ∈L_g(V) (x ∈V) に対して、

X˜_gx = (dL_gx)_e(X) = d(L_g◦L_x)_e(X) = (dL_g)_x(dL_x)_e(X)

= (dL_g)_x Ã _n

X

i,j=1

ξⁱ∂(x_j ◦L_x)

∂x_i (e) ∂

∂x_j

¯¯

x

!

= Xn i,j=1

ξⁱ∂(x_j ◦L_x)

∂xi

(e)(dL_g)_x ∂

∂xj

¯¯

x

. ここで

µ

(dL_g)_x ∂

∂x_j

¯¯

x

¶

([L_g(U), y_k]) = µ ∂

∂x_j

¯¯

x

¶

([U, y_k◦L_g]) =δ_jk

(7)

だから

(dL_g)_x ∂

∂x_j

¯¯

x

= ∂

∂y_j

¯¯

gx

となり

X˜_gx= Xn i,j=1

ξⁱ∂(xj ◦Lx)

∂x_i (e) ∂

∂y_j

¯¯

gx

.

G×G→G; (x, y)7→xy=L_x(y) はC^∞級写像だから、各i, jに対して V →R;x7→ ∂(x_j ◦L_x)

∂xi

(e) はC^∞級写像になる。よって、各jについて

L_g(V)→R;gx7→

Xn i=1

ξⁱ∂(x_j ◦L_x)

∂x_i (e)

はC^∞級写像である。したがってX˜ はG上のベクトル場である。X˜は定め方より左不変。したがってαは線形同型写像である。

定義 1.1.10 Lie群Gの左不変ベクトル場の全体からなるLie環gをLie群Gの Lie環と呼ぶ。

定義 1.1.11 Lie群の間のC^∞級写像f :G→Hが群の準同型写像でもあるとき、

fをLie群の準同型写像と呼ぶ。さらにfが逆写像f⁻¹を持ち、f⁻¹もLie群の準同型写像であるとき、fをLie群の同型写像と呼びLie群GとHは同型であるという。Lie環の間の線形写像f :g→hが

[f(X), f(Y)] =f([X, Y]) (X, Y ∈g)

を満たすとき、fをLie環の準同型写像と呼ぶ。さらにfが逆写像f⁻¹を持つとき、f をLie環の同型写像と呼び、Lie環gとhは同型であるという。

1.2 _連結 Lie _群

定理 1.2.1 Gを連結Lie群とし、UをGの単位元eの近傍とする。このときG=

∪{Uⁿ|n ∈N}が成り立つ。ただし、Uⁿ ={g1. . . gn|gi ∈U}。

証明 U⁻¹ = {g⁻¹|g ∈ U}もeの近傍になるので、V = U ∩U⁻¹はeの近傍である。H = ∪{Vⁿ|n ∈ N}とおく。V ⊂ U だから、G = H を示せばよい。

g, h ∈ H に対してある自然数m, nがあってg ∈ V^m, h ∈ Vⁿとなる。よって gh∈V^m+n ⊂H。g =g1. . . gm, gi ∈V とすると、g⁻¹ =g_m⁻¹. . . g⁻₁¹でg_i⁻¹ ∈V だ

(8)

1.2. 連結Lie群 5 からg⁻¹ ∈V^m ⊂H。したがってHはGの部分群である。V はeの近傍でV ⊂H だから、任意のh ∈Hに対してL_h(V)はhの近傍になりL_h(V)⊂H。したがって HはGの開集合である。GをHの剰余類によって分解すると、

G=H∪(∪{L_g(H)|g ∈G, g /∈H})

となり各Lg(H)はGの開集合だから、HはGの閉集合である。Gは連結だから G=Hが成り立つ。

系 1.2.2 連結Lie群は可算開基を持つ。

証明 Gを連結Lie群とし単位元eのコンパクト近傍U をとる。群演算の連続性より各Uⁿはコンパクトになり、定理1.2.1よりG=∪{Uⁿ|n ∈N}。一般に多様体はコンパクト部分集合の可算族の合併になることと可算開基を持つことは同値になる。したがってGは可算開基を持つ。

命題 1.2.3 GをLie群としGの単位元を含む連結成分をG₀とすると、G0はGの正規部分群であり、さらにLie部分群である。

証明 τ :G×G→G; (g, h)7→gh⁻¹とすると、τは連続写像だからτ(G₀×G₀) は連結になる。e = τ(e, e) ∈ τ(G₀ ×G₀)よりτ(G₀ ×G₀) ⊂ G₀が成り立つ。したがって、G0 はGの部分群になる。任意のg ∈ Gに対してLg ◦R_g−1 は連続写像だからL_g ◦ R_g−1(G₀)は連結になり、e = L_g ◦ R_g−1(e) ∈ L_g ◦R_g−1(G₀)より L_g◦R_g−1(G₀)⊂G₀が成り立つ。したがって、G0はGの正規部分群になる。また単位元を含む連結成分G0はGの開集合になるので、特に部分多様体になっている。τ :G×G−→GはC^∞級写像だからG₀への制限τ_G₀ :G₀×G₀ −→G₀もC^∞ 級写像になりG₀はLie群である。よってG₀はGのLie部分群である。

補題 1.2.4 Lie群が可算開基を持つための必要十分条件は、連結成分の個数が高々可算になることである。

証明 Lie群が可算開基を持てば連結成分の個数は高々可算になる。逆にLie群 Gの連結成分の個数が高々可算だとする。Gの単位元の連結成分G₀は命題1.2.3 より連結Lie群になるので、系1.2.2より可算開基を持つ。Gの連結成分はG₀の剰余類に一致しG0の各剰余類はG0に微分同型だから可算開基を持つ。したがってGも可算開基を持つ。

注意 1.2.5 この節の結果は連結Lie群が満たす性質を述べているが、どのような Lie群が連結になるかについては述べていない。行列で表現できる具体的なLie群が連結になるかどうか、もし連結でないならば連結成分はどれだけあるかなどは Lie群の構造に関する基本事項の後で論じることにする。

(9)

1.3 _{一般線形群}

命題 1.3.1 V をn次元ベクトル空間とすると、Lie群GL(V)とGL(n,R)は同型になり、Lie環gl(V)とgl(n,R)は同型になる。

証明 v₁, . . . , v_nをV の基底とし、f ∈ End(V)に対してfのv₁, . . . , v_nに関する表現行列をR(f)で表す。つまり、

f[v₁, . . . , v_n] = [v₁, . . . , v_n]R(f) となる。このとき、

R : End(V)→End(Rⁿ)

は代数の同型写像になる。Rは線形同型写像だから特に微分同型写像である。

以上のことから、RはLie環の同型写像

R:gl(V)→gl(n,R) を与え、RのGL(V)への制限はLie群の同型写像

R|^GL(V⁾ :GL(V)→GL(n,R) を与える。

補題 1.3.2 多様体M上のベクトル場X, Y の局所座標近傍(U;x1, . . . , xn)における局所表示を

Xx = Xn

i=1

ξⁱ(x) ∂

∂x_i

¯¯

x

, Yx = Xn

i=1

ηⁱ(x) ∂

∂x_i

¯¯

x

(x∈U) としたとき、ベクトル場[X, Y]のU における局所表示は

[X, Y]_x = Xn i,j=1

½

ξⁱ(x)∂η^j

∂x_i(x)−ηⁱ(x)∂ξ^j

∂x_i(x)

¾ ∂

∂x_j

¯¯

x

(x∈U)

である。

定理 1.3.3 GL(n,R)は例1.1.3の証明よりgl(n,R)の開集合だから、接ベクトル空間T_e(GL(n,R))をgl(n,R)と同一視できる。Lie群GL(n,R)のLie環をgとし、

X ∈gl(n,R)に対してX˜ ∈gをX˜_g = (dL_g)_e(X) (g ∈ GL(n,R))によって定めると、写像

˜ :gl(n,R)→g; X 7→X˜ はLie環の同型写像である。

(10)

1.3. 一般線形群 7 証明定理1.1.9をGL(n,R)に適用すると˜ =α⁻¹となるので、˜は線形同型写像である。あとは˜がLie環の準同型写像になることを示せばよい。(i, j)-成分のみが 1 で他の成分は 0になるn次正方行列をE_ij で表すと、{E_ij|1≤i, j ≤ n} はgl(n,R)の基底になる。その双対基底を{x_ij|1 ≤ i, j ≤ n}で表すと、xij は gl(n,R)の座標になる。GL(n,R)はgl(n,R)の開集合でe ∈ GL(n,R)だから、

X ∈ gl(n,R)と十分小さいt ∈ Rに対してe+tX ∈ GL(n,R)となることに注意しておく。g ∈GL(n,R)に対して、

X˜_g = (dL_g)_e(X) = (dL_g)_e µ d

dt(e+tX)

¯¯

t=0

¶

= d

dtL_g(e+tX)

¯¯

t=0

= d

dt(g +tgX)

¯¯

t=0

= Xn i,j=1

x_ij(gX) ∂

∂x_ij

¯¯

g

= Xn i,j=1

Xn k=1

x_ik(g)x_kj(X) ∂

∂x_ij

¯¯

g

. したがって補題1.3.2を使うとX, Y ∈gl(n,R), g ∈GL(n,R)に対して、

[ ˜X,Y˜]_g

=

Xn i,j,p,q=1







 Xn

r=1

x_pr(g)x_rq(X)

∂ µ _n

P

k=1

x_ik(g)x_kj(Y)

¶

∂xpq

− Xn

r=1

x_pr(g)x_rq(Y)

∂ µ _n

P

k=1

x_ik(g)x_kj(X)

¶

∂x_pq









∂

∂x_ij

¯¯

g

= Xn i,j=1

( _n X

k,r=1

x_ir(g)x_rk(X)x_kj(Y)− Xn k,r=1

x_ir(g)x_rk(Y)x_kj(X) ) ∂

∂xij

¯¯

g

= Xn i,j=1

x_ij(gXY −gY X) ∂

∂x_ij

¯¯

g

= Xn i,j=1

x_ij(g[X, Y]) ∂

∂x_ij

¯¯

g

= [X, Y^]_g. よって、

[ ˜X,Y˜] =[X, Y^] となり、˜はLie環の準同型である。

注意 1.3.4 定理1.3.3のLie環の同型写像˜:gl(n,R)→gによってLie環gl(n,R) とLie群GL(n,R)のLie環gを同一視し、今後はgl(n,R)をGL(n,R)のLie環と

(11)

みなすことにする。命題1.3.1の同型より、有限次元ベクトル空間V に対しても gl(V)をGL(V)のLie環とみなすことにする。

1.4 _{一径数部分群}

定義 1.4.1 M を多様体とし、XをM上のベクトル場とする。Iを実数の開区間とし、M上の曲線c:I →M が

dc

dt(t) =X_c(t) (t∈I) を満たすとき、cをXの積分曲線と呼ぶ。

補題 1.4.2 M を多様体とし、XをM上のベクトル場とする。実数t₀とM の各点x∈Mに対して、Xの積分曲線c:I →Mでt₀ ∈I, c(t₀) =xを満たすものが存在する。またc₁, c₂ : I → M がc₁(t₀) = c₂(t₀) = xを満たすXの積分曲線ならばc₁ =c₂が成り立つ。

証明 xを含むM の局所座標近傍(U;x₁, . . . , x_n)をとる。XのU における局所表示を

X_x = Xn

i=1

a_i(x) ∂

∂x_i

¯¯

x

(x∈U) とする。Uにおいて問題になっている等式

dc

dt(t) =X_c(t) (t∈I) の局所表示は

Xn i=1

d(x_i◦c(t)) dt

∂

∂x_i

¯¯

c(t)

= Xn

i=1

a_i(c(t)) ∂

∂x_i

¯¯

c(t)

となる。したがってcは d(x_i◦c(t))

dt =a_i(c(t)), x_i◦c(t₀) =x_i(x) (1≤i≤n)

を満たせばよい。これはEuclid空間の開集合における常微分方程式でありa_iは C^∞級関数だからt0を含む開区間Iとc:I →Uが存在し上の常微分方程式を満たす。この曲線cが求めるものである。

次に積分曲線の一意性を示そう。Mの局所座標近傍(U;x₁, . . . , x_n)でc₁(I), c₂(I)⊂ Uを満たすものが存在する場合は、局所座標x₁, . . . , x_nを使うと

dc₁

dt (t) = X_c₁_(t), dc₂

dt (t) = X_c₂_(t) (t∈I)

(12)

1.4. 一径数部分群 9

は Euclid空間の開集合における常微分方程式になり、常微分方程式の解の一意

性からc₁ = c₂ となる。c1(I), c₂(I)がM の1つの局所座標近傍に含まれない場合を考えよう。t0 < s, s ∈ I に対して0 < εとt₀ < t₁ < . . . < t_k = sを次の条件を満たすようにとる。Ii = (t_i₋₁ −ε, t_i +ε) (1 ≤ i ≤ k) とおくと各i についてc₁(I_i), c₂(I_i)はM の1つの局所座標近傍に含まれる。先に示したことを使うとc₁(t₁) = c₂(t₁), . . . , c₁(t_k) = c₂(t_k)を帰納的に示すことができる。特に c₁(s) = c₂(s)。t0 > s, s∈Iに対しても同様にしてc₁(s) =c₂(s)となり、c1 =c₂が成り立つ。

定義 1.4.3 実数全体Rを加法に関してLie群とみなしたとき、RからLie群GへのLie群の準同型写像をGの一径数部分群と呼ぶ。

定理 1.4.4 GをLie群とし、そのLie環をgとする。Lie環gの元全体とGの一径数部分群の全体は次の対応で1対1に対応する。X ∈ gに対してXの積分曲線 c : R → Gでc(0) = eとなるものがただ1つ存在し、cはGの一径数部分群になり、X ∈gにこのcを対応させる。逆にGの一径数部分群cに対して、定理1.1.9 によって dc

dt(0)に対応するgの元Xをcに対応させる。

証明次の(1),(2)のステップにわけて定理を証明する。

(1) X ∈gに対してXの積分曲線c:R→Gでc(0) =eとなるものが存在し、c はGの一径数部分群である。

(2) 定理で定めた2つの対応はお互いの逆対応になる。

(1)補題1.4.2より、δ >0とXの積分曲線a: (−δ, δ)→Gでa(0) =eを満たすものが存在する。|s|< δ/2となるsを1つ固定して

b1(t) =a(s+t), b2(t) =a(s)a(t) (|t|< δ/2) とおく。すると、t7→b1(t)はXの積分曲線になり、

d

dtb₂(t) = (dL_a(s))_a(t) µd

dta(t)

¶

= (dL_a(s))_a(t)(X_a(t)) =X_a(s)a(t) だからt7→b₂(t)もXの積分曲線になる。さらに、

b₁(0) =a(s) =a(s)e =a(s)a(0) = b₂(0) だから補題1.4.2の一意性より、

b₁(t) = b₂(t) (|t|< δ/2).

結局

a(s+t) =a(s)a(t) =a(t)a(s) (|s|,|t|< δ/2)

(13)

が成り立つ。任意のt∈Rに対して|t/k|< δ/2となるように自然数kをとり c(t) = a

µt k

¶k

として写像c:R →Gを定める。t∈ Rに対して、|t/k|< δ/2,|t/l|< δ/2となる自然数k, lをとったとき、

a µt

k

¶k

=a µ t

kl

¶kl

=a µt

l

¶l

が成り立つので、上のcはkのとり方によらずに定まっている。c(0) = a(0) = e は明らか。以下で、cがGの一径数部分群であることを示そう。t ∈ Rに対して

|t/k| < δ/2となる自然数kをとる。tを含む開集合Iでs ∈ Iならば|s/k| < δ/2 となるものをとる。するとs∈Iに対してc(s) =a(s/k)^kとなるので、cはIにおいてC^∞級写像である。よってc: R → GはC^∞級写像になる。任意のs, t ∈ R に対して|s/k|,|t/k|< δ/4となる自然数kをとると、|s/k|,|t/k|,|(s+t)/k|< δ/2 となり、

c(s)c(t) = a³s k

´k

a µt

k

¶k

= µ

a³s k

´ a

µt k

¶¶k

= a

µs+t k

¶k

=c(s+t).

したがってc:R→GはGの一径数部分群になる。

次にcがXの積分曲線であることを示そう。s ∈Rに対して、t∈(s−δ, s+δ) とすると、c(t) =c(s)c(t−s) =L_c(s)(c(t−s))だから、

d dtc(t)

¯¯

t=s

= (dL_c(s))_e µ d

dtc(t)

¯¯

t=0

¶

= (dL_c(s))_e(X_e) =X_c(s). したがってcはXの積分曲線である。

(2) X ∈gに対応するGの一径数部分群cは^dc_dt(0) =X_e を満たすので、cに対応するgの元はXになる。逆にGの一径数部分群cに対応するgの元XはX_e = ^dc_dt(0) を満たす。(1)の最後で示したことはgの元XとGの一径数部分群cが^dc_dt(0) =X_e を満たせばcはXの積分曲線になることである。したがってXに対応するGの一径数部分群はcになる。

例 1.4.5 GL(n,R)の一径数部分群を求めてみよう。GL(n,R)の接ベクトルをgl(n,R) の元と同一視する。X ∈gl(n,R)∼=T_e(GL(n,R))に対応するGL(n,R)上の左不変ベクトル場をX˜で表すと、定理1.1.9の証明中の計算よりX˜_g =gX (g ∈GL(n,R)) となる。したがって、Xに対応するGL(n,R)の一径数部分群cは

dc(t)

dt =c(t)X (t ∈R), c(0) =e を満たす。行列の指数関数:e^A= P^∞

n=0 1

n!Aⁿを使うとc(t) =e^tX となる。

(14)

1.4. 一径数部分群 11 例 1.4.6 行列の指数関数の射影分解による計算法について述べる。n次複素正方行列Aの固有多項式をγ_A(t)で表す。γ_A(t)を因数分解しγ_A(t) = (t−λ₁)^p¹. . .(t−λ_k)^p^k とする。次に部分分数展開:

1

γ_A(t) = h₁(t)

(t−λ₁)^p¹ +. . .+ h_k(t) (t−λ_k)^p^k を行う。ここで各h_i(t)の次数はp_i−1以下である。

1 = h₁(t) γ_A(t)

(t−λ1)^p¹ +. . .+h_k(t) γ_A(t) (t−λk)^p^k となり、γA(t)は(t−λ_i)^pⁱを因子に持っているので γ_A(t)

(t−λ_i)^pⁱ はtの多項式である。

実際に部分分数展開に現われるh_i(t)を求めるには、この形にしてh_i(t)の係数が未知数の方程式とみなして解けばよい。その際に、右辺を展開して次数をそろえようとすると計算が大変になるので、hi(t)の係数を求めるためにt =λiを代入し一階微分してt =λ_iを代入するという操作をp_i −1階微分まで続けた方が計算が簡単になる。πi(t) = h_i(t) γA(t)

(t−λ_i)^pⁱ とおくとπ_i(t)もtの多項式になり 1 = π₁(t) +. . .+π_k(t), (t−λ_i)^pⁱπ_i(t) =h_i(t)γ_A(t) が成り立つ。Pi =π_i(A)とおくと

In =P1+. . .+Pk. これを射影分解と呼ぶ。Cayley-Hamiltonの定理より

(A−λ_iI_n)^pⁱP_i =h_i(A)γ_A(A) = 0.

以上の結果を使うと e^tA =

Xk i=1

e^tAP_i = Xk

i=1

e^tλⁱ^Iⁿ^+t(A⁻^λⁱ^Iⁿ⁾P_i

= Xk

i=1

e^λⁱ^tIⁿe^t(A⁻^λⁱ^Iⁿ⁾P_i = Xk

i=1

e^λⁱ^t X∞

j=0

t^j

j!(A−λ_iI_n)^jP_i

= Xk

i=1

e^λⁱ^t

pXi−1 j=0

t^j

j!(A−λ_iI_n)^jP_i. 例 1.4.7 例1.4.6の計算方法に従って、3次正方行列

A=





0 θ a

−θ 0 b 0 0 0





(15)

に関する指数関数を計算する。Aの固有多項式γ_A(t)は

γ_A(t) =

¯¯

¯

t −θ −a θ t −b

0 0 t

¯¯

¯

=

¯¯

¯

t −θ θ t

¯¯

¯t= (t²+θ²)t

= (t+√

−1θ)(t−√

−1θ)t.

θ = 0の場合は簡単に計算できるので、θ 6= 0の場合を考える。

1

γ_A(t) = h₁ t+√

−1θ + h₂ t−√

−1θ + h₃ t

とおく。h1, h2, h3を未知数とみなしてこれらを求める。分母をはらうと 1 = h₁(t−√

−1θ)t+h₂(t+√

−1θ)t+h₃(t²+θ²).

t=−√

−1θを代入すると 1 =h₁(−2√

−1θ)(−√

−1θ) = −2θ²h₁, h₁ =− 1 2θ². t=√

−1θを代入すると 1 = h22√

−1θ√

−1θ=−2θ²h2, h2 =− 1 2θ². t= 0を代入すると

1 = h₃θ², h₃ = 1 θ². よって

1 =− 1

2θ²(t−√

−1θ)t− 1

2θ²(t+√

−1θ)t+ 1

θ²(t²+θ²) を得る。

π₁(t) = − 1

2θ²(t−√

−1θ)t=− 1

2θ²(t²−√

−1θt), π₂(t) = − 1

2θ²(t+√

−1θ)t=− 1

2θ²(t²+√

−1θt), π₃(t) = 1

θ²(t²+θ²)

とおくとP_i =π_i(A)によってP_iが定まる。

A² =





0 θ a

−θ 0 b 0 0 0









0 θ a

−θ 0 b 0 0 0



=





−θ² 0 θb 0 −θ² −θa

0 0 0





(16)

1.4. 一径数部分群 13 より

P₁ = − 1 2θ²









−θ² 0 θb 0 −θ² −θa

0 0 0



−





0 √

−1θ² √

−1θa

−√

−1θ² 0 √

−1θb

0 0 0









= − 1 2θ²





−θ² −√

−1θ² θ(b−√

−1a)

√−1θ² −θ² θ(−a−√

−1b)

0 0 0





=





1/2 √

−1/2 (−b+√

−1a)/2θ

−√

−1/2 1/2 (a+√

−1b)/2θ

0 0 0



,

P₂ = − 1 2θ²









−θ² 0 θb 0 −θ² −θa

0 0 0



+





0 √

−1θ² √

−1θa

−√

−1θ² 0 √

−1θb

0 0 0









= − 1 2θ²





−θ² √

−1θ² θ(b+√

−1a)

−√

−1θ² −θ² θ(−a+√

−1b)

0 0 0





=





1/2 −√

−1/2 (−b−√

−1a)/2θ

√−1/2 1/2 (a−√

−1b)/2θ

0 0 0



,

P3 = 1 θ²









−θ² 0 θb 0 −θ² −θa

0 0 0



+





θ² 0 0 0 θ² 0 0 0 θ²







=





0 0 b/θ 0 0 −a/θ

0 0 1



.

したがって

e^tA = e⁻^√⁻^1θtP₁+e^√⁻^1θtP₂+P₃

= (cosθt−√

−1 sinθt)





1/2 √

−1/2 (−b+√

−1a)/2θ

−√

−1/2 1/2 (a+√

−1b)/2θ

0 0 0





+(cosθt+√

−1 sinθt)





1/2 −√

−1/2 (−b−√

−1a)/2θ

√−1/2 1/2 (a−√

−1b)/2θ

0 0 0





+





0 0 b/θ 0 0 −a/θ

0 0 1





(17)

=





cosθt sinθt (sinθt·a+ (1−cosθt)b)/θ

−sinθt cosθt ((1−cosθt)a+ sinθt·b)/θ

0 0 1



.

1.5 _指数写像

定義 1.5.1 GをLie群とし、そのLie環をgとする。X ∈gに対して定理1.4.4で存在を示したXの積分曲線c:R →Gでc(0) =eとなるものをとり、expX =c(1) とおくことによって写像exp : g → Gを定義する。expをLie群Gの指数写像と呼ぶ。

例 1.5.2 例1.4.5で示したようにGL(n,R)のLie環gl(n,R)の元Xに対応する一径数部分群はe^tXになるので、GL(n,R)の指数写像は行列の指数関数に一致する。

命題 1.5.3 GをLie群とし、そのLie環をgとする。X ∈gに対して定理1.4.4の対応で対応するGの一径数部分群はt 7→exptXになる。

証明 X ∈ gに対して定理1.4.4の対応で対応するGの一径数部分群をt 7→

c(t, X)と書くことにする。s∈Rに対して、

d

dtc(st, X) =sX_c(st,X₎ (t∈R)

となるので、t 7→ c(st, X)は sX ∈ gに対応する一径数部分群になる。よって c(st, X) =c(t, sX)となりt= 1とおくと

c(s, X) = c(1, sX) = expsX.

これよりX∈gに対応するGの一径数部分群はt7→exptXに一致する。

命題 1.5.4 GをLie群とし、そのLie環をgとすると、Gの指数写像exp :g→G はC^∞級写像である。

証明 X₁, . . . , X_nをgの基底としu₁, . . . , u_nをその双対基底とすると、u₁, . . . , u_n はgの座標になる。Gの局所座標近傍(U;x₁, . . . , x_n)でe ∈ U, x₁(e) = . . . = x_n(e) = 0を満たすものをとっておく。

Pn i=1

u_iX_i ∈ gに対応する一径数部分群を c(t;u₁, . . . , u_n)と書くことにする。

d

dtc(t;u₁, . . . , u_n) = Xn

i=1

u_i(X_i)_c(t;u₁_,...,u_n₎

等質空間と対称空間 改題 : 等質空間と形状空間

微分幾何学 II

————–

等質空間と対称空間 改題 : 等質空間と形状空間

田崎博之

2004

微分幾何学 II Differential Geometry II

開講授業科目概要

目 次

第 1 章 Lie 群と Lie 環

1.1 Lie 群と Lie 環

1.2 連結 Lie 群

1.3 一般線形群

1.4 一径数部分群

1.5 指数写像

等質空間と対称空間改題 : 等質空間と形状空間

等質空間と対称空間改題 : 等質空間と形状空間

目次

第 1 _章 Lie _群と Lie _環

1.1 Lie _群と Lie _環

1.2 _連結 Lie _群

1.3 _{一般線形群}

1.4 _{一径数部分群}

1.5 _指数写像