平成２１年度 大阪府立大学 1.

平成２１年度　大阪府立大学

1.

　

(1)

　

外積　

a × b =

¯ ¯

¯ ¯

¯ ¯

¯

i j k 1 2 3 3 2 1

¯ ¯

¯ ¯

¯ ¯

¯

=

¯ ¯

¯ ¯

¯ 2 3 2 1

¯ ¯

¯ ¯

¯ i −

¯ ¯

¯ ¯

¯ 1 3 3 1

¯ ¯

¯ ¯

¯ j +

¯ ¯

¯ ¯

¯ 1 2 3 2

¯ ¯

¯ ¯

¯ k = − 4i + 8j − 4k

．

よって，求める平面の方程式は，

⎛

⎜ ⎝ 1

− 2 1

⎞

⎟ ⎠ ·

⎛

⎜ ⎝ x y z

⎞

⎟ ⎠ = 0

より，

x − 2y + z = 0

．

別解：

⎛

⎜ ⎝ x y z

⎞

⎟ ⎠ = k

⎛

⎜ ⎝ 1 2 3

⎞

⎟ ⎠ + l

⎛

⎜ ⎝ 3 2 1

⎞

⎟ ⎠

から

⎧ ⎪

⎨

⎪ ⎩

x = k + 3l · · · (1) y = 2k + 2l · · · (2)

z = 3k + l · · · (3)

．

k, l

を消去すると，

(2) − (1) × 2 y − 2x = − 4l · · · (4), (3) − (1) × 3 z − 3x = − 8l · · · (5) (5) − (4) × 2 z − 3x − 2(y − 2x) = 0

∴　

x − 2y + z = 0

．

(2)

　

(a, b) = | a || b | cos θ ≤ | a || b |

より，

(a, b)

が最大になるのは，等号が成り立つ場合で，す なわち直交している場合に成り立つから，

a

1

b

1

+ a

2

b

2

= 0

である．

また，

p

| a || b | ≤ | a | + | b |

2

で等号は

| a | = | b |

のとき成り立つから，

a

²₁

+ a

²₂

= b

²₁

+ b

²₂ である．

したがって，求める条件は，

( a

1

b

1

+ a

2

b

2

= 0

a

²₁

+ a

²₂

= b

²₁

+ b

²₂ である．

すなわち，半径

d

2

の円周上にあり，直交する２つのベクトルの内積が最大になり，内 積の最大値は

d

²

4

である．

(3)

　

n > 2

のとき，第２行から第１行を引いた第２行の各成分は，

2 + j − (1 + j) = 1 (j =

1, 2, · · · , n)

ですべて１で，第３行から第１行を引いた第２行の各成分は，

3+j − (1+j) =

2 (j = 1, 2, · · · , n)

ですべて２である．

行列式の２つの行の対応するすべての成分の比が同じであるから，

| A | = 0

．

2.

　

(1)

１階線形微分方程式だから，

y = e

⁻

R

dx

h Z

xe R

dx

dx + C i

= e

^−x

h Z

xe

^x

dx + C i

= e

^−x

(xe

^x

− e

^x

+ C) = x − 1 + Ce

^−x．

1

(2)

　

d

²

y dx

²

− 3 dy

dx + 2y = x

の特性方程式

t

²

− 3t + 2 = (t − 1)(t − 2) = 0

より，

t = 1, 2

． よって，与式の同次微分方程式の一般解

y

1は

y

1

= C

1

e

^x

+ C

2

e

^2x．

　与式の特殊解を

η

とおいて，山辺の方法より，

(

別解：

η = ax + b

とおいて

a, b

を求めてもよい）

η = x 2 + 3

4

（計算略）．

　∴　与式の一般解

y

は，

y = y

1

+ η = C

1

e

^x

+ C

2

e

^2x

+ x 2 + 3

4

．

3.

　

(1)

　

z

⁴

= − 4

より，z

= r(cos θ + i sin θ)

とおくと，z⁴

= r

⁴

(cos 4θ + i sin 4θ) z

⁴

= − 4 = √

2

⁴

{ cos(1 + 2k)π + i sin(1 + 2k)π }

よって，r

= √

2, θ = (1 + 2k)π

4 (k = 0, 1, 2, 3)．

したがって，z

= √ 2 ³

cos (1 + 2k)π

4 + i sin (1 + 2k)π 4

´

に

k = 0, 1, 2, 3

を代入して，

z = 1 + i, − 1 + i, − 1 − i, 1 − i

．

(2)

　

z = e

^iθ

(0 ≤ θ ≤ 2π)

で表される単位円を積分路

C

とするとき，

sin θ = e

^iθ

− e

^−iθ

2i = 1

2i

³ z − 1

z

´

，

dz = ie

^iθ

dθ = izdθ

であること用いて，

Z

2π 0

1

a + sin θ dθ = Z

C

1 a +

_2i¹

³ z −

¹z

´ dz iz =

Z

C

2

z

²

+ 2aiz − 1 dz = Z

C

2dz (z + ai)

²

+ a

²

− 1

= Z

C

2 (z + ai + √

a

²

− 1i)(z + ai − √

a

²

− 1i) dz.

a > 1

より，

| p

a

²

− 1 − a | =

¯ ¯

¯ a

²

− 1 − a

²

√ a

²

− 1 + a

¯ ¯

¯ = 1

√ a

²

− 1 + a < 1

だから，

z = ( √

a

²

− 1 − a)i

は単位円の内部にある．コーシーの積分表示を用いて，

Z

C

2 (z + (a + √

a

²

− 1)i)(z − ( √

a

²

− 1 − a)i) dz

= 2πi 2

( √

a

²

− 1 − a)i + (a + √

a

²

− 1)i = 2πi 1

√ a

²

− 1i = 2π

√ a

²

− 1

． 　∴　

Z

2π 0

1

a + sin θ dθ = 2π

√ a

²

− 1

．

2