与えられた周期を持つ単位分数

与えられた周期を持つ単位分数

横山雄大 平成 年 月 日

目 次

目的 方針 方法 結果

参考 考察 感想

目的

目的

進数で表わされる 以下の周期を持つ単位分数 を全て求める。

ただし、 とする。

単位分数 の周期とは？

を 進展開したときの循環節の長さを周期と言い、以下 とする。

単位分数 の周期 のとき を満たす。

すなわち を満たす のある最小の が周期である。

したがって、 の因数を求めることで、分母 が求まる。

補題 ベルヌーイの定理

と を互いに素な整数、 は と互いに素とするとき

この定理は合成数を求める場合に用いる。

まず奇数の場合を求め、偶数の場合は

より求める。

方針

以下の 通りに場合分けして求める。

が素数 の場合 が素数 の累乗の場合

が異なる素因数を持つ合成数の場合 が異なる素因数を持つ合成数の場合

まず奇数の場合を求め、偶数の場合はベルヌーイの定理を利用して

より求める。

方法

の周期が であるとき、 は の約数である。

→よって の因数分解を行う。

素数の場合

まずは で素因数分解のプログラムを作成。

→あまりに計算が複雑なため、時間がかかることが判明した。

→これは の利用することで解決。

出た値を と置き、 を小数展開する。

小数展開したときの循環節の周期を とおく。この 以下の場合までを調べ、表にして観察 してみる。

合成数の場合

を利用し、因数を列挙。

合成数を全てリストアップ。

その値を と置き、 を計算。

その結果を表にする。

利用した のプログラム

結果

表 進数

表 参考 周期 までの拡張

表 進数

表 参考 までの拡張

）

表 進数

素数では存在しない

表 参考 までの拡張

表 進数で合成数の場合

表 進数で合成数の場合

表 進数で合成数の場合

表 進数で合成数の場合

表 進数で合成数の場合

表 進数で合成数の場合

表 進数の合成数の場合

表

表

表

表 進数の合成数の場合

存在しない で素数 で素数

で素数

で素数

で素数

で素数

で素数

表 のときの周期 をもつ の個数

の数 の数

表 のときの周期 をもつ の個数

の数 の数

表 のときの周期 をもつ の個数

の数 の数

参考

が並ぶ数で素数であるもの

これらについては、研究の過程で発見した。

考察

周期 が奇数であると、その周期を持つ数 は少なく、

偶数であると多くなると観察できる。

これは 進数に限らず、 進数や 進数でも見受けられた。

表 参考： 進数、奇数合成数の場合

の数 の数

感想

のプログラミングから始まって、循環する単位分数の研究に至るまで、そのつながりが 見えず、先行きが見えないものを勉強することはとても大変でした。後半になってやっと の効力を感じるようになり、卒業研究を進めれば進めるほどお世話になるようになりました。

年間飯高先生の元で授業を進めたことで、卒業研究以外のことでもたくさんのことを学びました。

興味が広くて浅い私には、研究以外の話もとても面白く、楽しく学ぶことができました。お世話に なりました。どうもありがとうございました。