ミクロ経済学とLotus1-2-3 完全競争市場の理論-香川大学学術情報リポジトリ

(1)

香川￨大学経済論叢第66巻第 3号 1993年 12月 229-250

研究ノート

ミクロ経済学と

L

o

t

u

s1

-

2 -

3 完全競争市場の理論*

塩村

尊

1 はじめに塩村 [26，27Jにおいては完全競争下における家計の理論と企業の理論が考察された。本稿ではこれらの議論を基にして，完全競争市場の分析がなされる。議論の単純化のため，ここでは主として純粋交換モデルを取り扱うことにする。ところで，経済学における市場の分析方法には部分均衡分析と一般均衡分析の2つのアプローチが存在する。前者は，当面の問題にとって重要ではないと思われる諸要因を無視し，考察範囲を限定することにより.理論的に説明付けようとする経済現象を簡潔に既述，分析することを目的としている。一方，後者は説明付けようとする経済現象に関係すると思われる，若しくは考察の必要があると思われる全ての要因を同時平行的に考察することにより，これらの複雑な因果関係がもたらす結果を既述，分析することを目的としている。以下では，先ず部分均衡アプローチに基づいて完全競争市場の分析がなされる。続いて，部分均衡アプローチの限界が論じられ，一般均衡アプローチの必要性が論じられる。しかる後に部分均衡論的観点から考察した命題が一般均衡論的観点から再検討される。最後に，比較静学に関係した幾つかの有名な命 *本稿作成にあたり，富永和也氏による H-COPYを利用させていただいた。この場を借りて御礼を申し上げる。

(2)

-230- 香川大学経済論議会 ₇₂₂ 題が確認される。命題の確認にあたり，種々の数値計算法が用いられるが，これらを詳細に論ずることがここでの目的ではない。むしろ，これらの数値計算法を Lotus1~2~3 上で活用することにより，ミクロ経済学の主要命題が比較的簡単に確認できるという事実を紹介することを目的としている。ここで述べられた数値計算法の詳細については参考文献リストに挙げておいた専門書を参考にしていただきたい。 2 部分均衡分析 2 1 市場均衡の計算 1 家計の効用最大化行動より各財に関する個別需要関数が導出される。一方，企業の利潤最大化行動より各財に関する個別供給関数が導出される。これらの関数は市場において集計され，需要と供給が一致するように価格が調整されると通常，考えられている。そこで，部分均衡アプローチに基づき特定の財に着目し，その財の需給を一致させるような正の価格を近似的に計算することを考える。このことは需要関数，供給関係を各々，

D

(

ρ)， S(ρ)で表した時，方程式

E

(

ρ)三

D

(

ρ

)

-

S

(

ρ)

=

0を満たすような価格

p>O

を求めることと同値である。ここで，

E

(

ρ)は超過需要関数である。この問題は E(P)が線形である場合は自明のものとなるので，以下では，これが非線形の場合を考える。単一の非線形方程式の近似解を求める方法としては2分法やNewton法が有名であるが，ここでは計算回数が少なくて済む後者を用いることにする。方程式f(x)

=

0 が与えられた時， Newton法は反復計算ル Xk

一

光

合

(k

=

0 ，

1 ，・・)

によって解を近似していくことになる。逆需要関数を仰 ) 三すが

+6

，逆供給関数を

ρ

，(x)

=

-x+10とした時，これを笑 (1) 特に，川上 [15J，三井田他 [17J を勧める。 (2 ) 家計の所得は初期賦存最を市場価格で評価したものであると定義する。従って，個別需要関数は初期賦存量，及び価格に依存し，価格に関するゼロ次同次関数になる。

(3)

723 ミクロ経済学と

L

o

t

u

s1

-

2 -

3

完全競争市場の理論 -231-行したものが図1である。初期値をXo

=

0とした時， 5回目の反復計算で近似解が得られていることが分かる。尚，

Newton

法は大域的収束性を必ず、しも持たないために，初期値は慎重に選ぶ必要がある。この点に関する改良方法については，例えば小島

[

1

6 J

pp..76-77を参照されたい。

2

社会的余剰による市場均衡の評価古典的な厚生経済学では市場均衡を社会的余剰の観点から評価し，自由放任こそが社会的に望ましいと主張してきた。これは f{Pd(X)

州工

+

JX{P* -P

，

(x)}dx

=

l

x{山 ) 一的 )

}

枕

が競争均衡において最大化されることを確認することと同値である。ここで，関数

ρ

d(X)，

ぁ

(X)は各々逆需要関数と逆供給関数であり，変数xは取引量を表している。又，が，

p

*

は各々競争均衡における取引量と価格である。左辺の第1項は消費者余剰と呼ばれるものであり，第2項は生産者余剰と呼ばれるものである。数値積分を求める方法としては台形公式，

Simpson

の公式等が存在するが，ここで A 1 :'図 1 ニュートン法魁闘 (x)=pd-ps=一日目5*x^2-x+4 ， (x)=-x-1 反復回数 x f (x) f'(x) 日目 4 -1 4 8 5 2 2.4 1.28 3.4 3 2.0235294 0，，07日865日3，，0235294 7 10 SURPLUS.WJ2 ++.園田語司間協宮臨諸国圏盟置

圃圃

E

翻輔自錨 (3 ) この例では導関数を代数的に求めているが，微分を数値的に求める方法については井上他

[

1

2 J

を参照されたい。

(4)

724 香川大学経済論叢 -232ーは少ない分点数で高い精度の積分{直を得ることができるGauss-Legendre法を用いる。下の方法は分点数が3の場合である。小区間

[

a

，

b

]

における積分は次のようにして求められる。，

f

C

x

)

枕

=

与

皇

室

lwJ(xz) 5

Wl=g

川

b

-

;

a/

f

;

8

W2=g

α

+b

X2

=

2 5 W3

=

9

3=21+

企ニザ

グラフ1は，上iで用いた逆需要関数と逆供給関数に対して社会的余剰を計算したものこの小区間における積分値の累積和を求めることによって積分値を計算したものである。グラフから競争均 (4) 衡計

=2

において社会的余剰が最大になっていることが確認できる。

5

]を

1

0

個の小区間に分割し，区間 [

0 ，

である。これは，グラフ1 社会的余剰

，

-

・

-

一

←

ー

-

:

.

aムr J 白 a〆 ' ・〆〆 . ....~ 6 4 2 日 -2 -4 -8 一10 -6 社会的余剰一12 5 4，，5 4 3，，5 3 2

，，

5 2 1，，5 0

，，

5 8 -14 取引量方、、ウヱーJ~:'>'、のト、、 J~):去一解析鰐具体的なワークシートの設計方法については井上他 [12]を参照されたい。 (4 )

(5)

725 ミクロ経済学とLotus1-2-3完全競争市場の理論

-233-2

3

市場の安定性超過需要の大きさに反応して価格が調整される，いわゆる模索過程は微分方程式

ρ

=

E

(

ρ)によって記述することができる。ここで，ドットは時間に関する微分を表すも (5) のとする。議論の単純化のため，需要関数，供給関数は共に線形であると仮定するが，以下の方法は非線形関数に対しでも適用可能なものである。需要関数，供給関数を各々 D(ρ)三ゆ+b，S(ρ)=φ +dとする。微分方程式の数 {直解を求める方法としてはEuler法やRunge-Kutta法が有名であるが，これらの方法の説明は後で行う。グラフ2はα，b， c， dを各々 -2，20， 1， 5に設定した場合において， 4次のRunge-Kutta法により 100回の反復計算を行ったものである。尚，この時の均衡価格は

p

*

=

5である。読者は線形微分方程式のパラメータに種々の値を代入することによって，需要関数の傾きが供給関数の傾きよりも小さい時に，換言するならば，超過需要関数が価格に関して減少関数である時に市場価格が均衡価格へグラフ2 市場の安定性〈部分均衡尚析) 10 9 8 7 6

ド

(

5 4 3 2

理

日 8 10 調 3O 4日 5O 60 7日 80 9目 100 反複回数一価格 (J~方、ーう，，9法〉 …均衡価格 (5 ) この他にもMarshalIの数量調整過程や，クモの巣調整過程等が考えられる。興味のある読者は各自試みられたい。尚，後者のワークシート設計方法については浅利 [2]pp.67 -74が参考になるであろう。

(6)

-234- 香川大学経済論議 ₇₂₆ と収束することを確認することができるであろう。 3 部分均衡分析の限界部分均衡分析は，さしあたり重要ではないと思われる要因を考察から外すことにょっと議論を単純化することを目的としている。しかしながら，考察しようとする問題にとって，どの要因が重要ではないかを事前に判断ずる明確な基準は存在しない。このため，部分均衡アプローチによって得られた結論を過信すると，誤りを犯してしまう危険性がある。この点を強調する例として，ここではHotelling[10Jによる Edg-eworthの課税パラドックスの分析を取り上げ，部分均衡分析の限界を論じることにする。第1財，第2財の価格を各々， ρ1， P2とし，これに対応する需要関数を

D

1言ー10ρ1 +7ρ2+4，

D

2

=

7ρ1-5P2+3とする。第1財と第2財の生産者に対して各々 tl， t2だけの重量税が課せられるものとし，課税後の第1財と第2財の供給関数を各々，51三 (ρ1 -t1)一(ρ2-t2)

+

7， 52

=

-

ρ1-t( 1)+2(ρ2-t2) -27とする。この時，課税前の一般均衡価格ベクトルは(此必)

=

(警，警)である。ここで，t1のみが

o

5

に引き上げられた場合，及びらのみが

o

5に引き上げられた場合の均衡価格の変化を考えることにする。部分均衡アプローチに基づき，第2財価格を必=必として，第1財の均衡価格を求めた場合が，図2の上段の表である。この表から，第1財に対する課税によって，第 l財価格が上昇したことが観察される。ところが一般均衡分析によれば，この常識的結論が必ずしも正しくないことが確認できる。事実，図2の下段の表から分かるように，第2財に対する課税は両財の価格を上昇させるが，第1財に対する課税は両財の価格を下落させる。ここにおいて，一般均衡アプローチが必要になってくるのである。 (6 ) この例における均衡価格の計算はLotus1-2-3の再計算機能 (Gauss-Sidel法)を用いた。この方法のLotus1-2-3上の操作については井上他[l1J，又は大薮他 [21J第8翠を参照されたい。

(7)

727 ミクロ経済学と Lotus1-2-3 完全競争市場の理論 A 2 : '図2 エッジワースの課税パラドックス jレ法) D1=4-10p1+7p2 D2=3+7p1-5p2 S1=7+(p1-tllー(p2-t2) S2=-27-(p1-t1)+2(p2-t2) p1= (8p2+t1-t2-3) /11 p2= (3日+8p1-t1+2t2)/7 ￨ t 1 臼￨図.5 比一一一一￨16.846153116.8916日8 日 t2= 0.5 p1= 17“192307 p2= 24..076923 -235-間掴

i

?

G

E

品問醗富岡置園眉晶画圃

E

翻岡国歯 4 一般均衡分析 4 1 市場均衡の計算 2 今，経済には

n

個の財が存在するものとする。この時，一般均衡解は連立方程式 Ei(

ρ

1

，

ρ

2

，・・・，

ム)

=

0 (z

=

1

，

2

，・・・，n) を満たす非負の価格ベクトJレ(九九・・・，Pn)であると定義される。ここで，Eiは第 z財に関する超過需要関数であり，連続であると仮定する。先に述べた Newton法，或いはその改良法によっても連立方程式の解の近似計算は可能ではあるが，この節では，市場均衡を探査する一般的方法として有名な Scarfの不動点アルゴリズムを解説する。議論の単純化のため， 2人2財純粋交換モデノレを考える。この場合，超過需要関数は価格に関してゼロ次同次関数になり，上の方程式を満たす一意解を求めることができない。そこで，ぁ

+ρ2

三 1 Pl， P2;;:: 0とし，価格ベクトノレを 1次元基準単体に限定 (7) 以下の説明は，奥口他[20Jpp. 278-280に拠る。より詳細な説明については， Scarf[25J を参照されたい。又， Scarf以降の不動点アルゴリズムについては Comwall[4 Jや小島 [16J が参考になるであろう。

(8)

-236ー香川大学経済論議. 728 して考察することにする。図的には，この単体は直線

ρ2=

ーム+1の第 1象限内の領域である(図3参照)。この領域を更に細かく等分割し，この分点において各財の超過需要関数の値を求める。 2財の内，どちらか超過需要の大きい方の番号を分点によって表される価格ベクトルの‘ラベル'と定義する。もし，隣接する2個の価格ベクトJレが異なるラベルを持つならば，これに対応する小区聞は‘完全にラベル付けされている'と言う。ここでWalrasの法則を思い出すならば，分点がラベノレZE {1， 2}を持つ時，Ei注 Oであることに注意すると，完全にラベル付けされた小区間のどこかに，競争均衡価格ベクトルが存在することが分かる(中間値の定理ノ)。 P2 O 図 3 (1) (1) P1+P2=1 (1) (1) (2) (2) (2) ラベル (2) (2) Pl

図 4 は第 1 財，第 2 財の超過需要関数を各々， E! 三 5{と坐~)，

E

2言 5仰によ } と

' ¥ ρ

)

'

~4\1-ρ! j (9) した時，以上の手続きを Lotus1-2-3上で実行したものである。この図から小区間[0 49， 0 5Jが完全にラベル付けされていることが分かる。従って，市場均衡価格ベクト ( 8) 実際には，Scarfは単体分割の代わりに，これと同ーの構造を持ったprimitivesetにラべJレを対応付け，不動点を探査していく。これこそがScarfの不動点、アルゴリズムの特徴である。しかしながら，議論の単純化のため，ここではprimitivesetの概念については触れない。これに関する簡潔な解説が福岡[6 ]第7翠にあるので，興味のある読者は参照されたい。 (9 ) セル C16，Dl6， E16には各々，

@IF (A16>0， ($G$6j($G$6+$G$7))*($C$9+(1-A16)*$C$10)-$α 9， H∞")

@IF (B16>0， ($G$7j($G$6+$G$7)l*(A16ゆC$9j(1-A16)-$C$10)-$C$10，"∞") @IF (A16>0， @IF(B16>0， @IF(C16>Dl6， "1"

ぺ

1"2"

(9)

729 ミクロ経済学と Lotus1-2-3完全競争市場の理論 -237-A 1 :'図4 スカーフのアルゴリズム闘掴 T B 企︽〆﹄ A 7 Q nζ+ Q υ 、_Jnv n V 4 E a ・ ' A / +Q 1 1

、，

fLP n p 也市市ぼ

2=8888

x 1 2 1 1 + + ( 2 2 α α ト

ω

(

・ 1 / / α α S J刈目軍 8 2 自 M4hb 数己管

ω ω

僧位関川州保い針い針開 h

明

ω

凶沼運

ω ω

古 V A -t ι 4 苗草

の

x

の

h h ﹄田富一 h b 骨開 h b

人

，

入

1 1総 Q Q 総 D D 園川一回

ω ω

材材

，

41

、

F

，

4 1 E K F Z E 戸白1=A2 2 α 1 = α 2 = α 8 61=62=6 均衡価格 p1事 = p2*= 0.5 0..5 日目5 0..5 E1 E2 ラベル 0.49 0.51 0..2040816-日“1960781 0.5 0“5 0 02 8“51 0..49 -0“196078“日20408162

ご

AR幽臨調臨喜闘園園圃醐

E

翻臓器輔 1レはこの小区聞に存在することになる。 4 2 Pareto基準による市場均衡の評価古典的な厚生経済学においては，効用の可測性を前提とし，余剰概念を用いて規範的な命題を導出してきた。これに対し，新厚生経済学においては，効用の可測性を前提としない厚生基準を用い，規範的な命題を導出してきた。この節では新厚生経済学の立場に立ち，一般均衡解を Pareto基準から評価し，厚生経済学の基本命題を確認する。ここでも 2人2財純粋交換モデルを考える。均二'"0を第1個人の第 j財に対する消費量を表すものとし，経済に存在する第l財総量と第2財総量は各々， 16， 4とする。又，第1個人，第2個人の効用関数を各々，U(Xll， X12)

==♂万

12，仏(.X21，X22) =

=

X21X22 とする。この時，第1個人に対して補償する効用水準を162_{とすると，}_P_a_r_e_t_o_最適の条件は，次の最大化問題を解くことによって得られる。 (10) これらの超過需要関数は第 l個人，第 2個人の効用関数を共にJX1X2とし，第z個人の第jj坊に関する初期保有益を ωuで表した時， (ω11，ω12)= (8， 2)， (WI2，叫2)= (2， 8)とした時のものである。尚，この場合の一般均衡価格ベクトルは(pt，pt)= (05， 05)になる。

(10)

730 香川大学経済論叢 238ーー

max

U

Z(X21， X叫 subject to U

，

(X川 X12)と二162 Xll十X21三二 16 X21十X22三二4 ここで，効用関数の単調性を考慮すると，上の問題は

max

Ul16-

Xll， 4

一手}

¥ ん11ノと簡略化することができる。制約条件付きの最適化問題の解法については塩村

ι

[

2

6 J

で述べたので省略する。この問題の解は(xfl，.x~， .x主，X

孟

)

= (8， 8， 2， 2)になるか，この点を通る両個人の無差別曲線を表示したものがグラ

73

である。尚，グラフ上では， Edgeworthのボックスダイヤグラムのイメージに近づけるために，第2個人の原点を (1J) 右上隅に設定し，無差別曲線を反転して表示している。グラフから直ちに，両個人の無差別曲線の傾きが等しくなることがPareto最適の条件であることが分かる。ここで，家計の効用最大化条件を思い出すならば，価格比を媒介として， Pareto最適の条件が実現されることが分かる。以上から I市場均衡は d ・・・ J ."・酢句時刷“・、."・・'・川、川 " 叫引刷刷阿 ....む."む σむ.. σ " 佃~ ... 、ぺ占叩σ σ . . .. . . 佃佃佃 . . . 目白 . .. . 白叩 “ 佃・ . . 白

.

・ . 町 . . . " 〆 U 叩 . " 山町P町仰心目白山 " ・・引引 J グラフ3 パレート最適 4 3 第

2

財 2 16 12

s

第

1

財山第

2

個人無差別曲線 4 8 日目U契約曲線 (11)グラフ上に表示された契約曲線はぬ=め/4である。一第1個人無差別曲線

(11)

731 ミクロ経済学とLotus1-2-3完全競争市場の理論 239ー Pareto最適で、ある」という厚生経済学の第1命題が確認できた。逆に，グラフ上における両個人の無差別曲線の共通接線を予算制約式とすることによって，このPareto 最適な資源配分が市場均衡として実現できることが想像される。従って i任意のPar -eto最適な資源配分は，適切な所得再分配を伴うならば市場均衡として実現できる」という厚生経済学の第2命題が確認できた。 4.3 市場の安定性ミクロ経済学における一般均衡解の安定性分析には，基準化したシステムを考察する方法と基準化していないシステムを考察する2つの方法がある。ここでは前者の方法により，一般均衡解の安定性を検討する。経済には3つの財が存在するものとし，第3財をニュメレールとして選択する。この時，模索過程は次の連立微分方程式によって既述ずることができる。

ム

=

Ei(Pl， pz) (i

=

1， 2) ここで，

p

， (i= 1， 2)は第1財のニュメレールに対する相対価格である。一般に 2元 1階連立微分方程式

ま

=f(x， y， z)

宏

=

g(x， y， z) が与えられた時， Yh+l

=

Yk+hf(Xk， Yk， Zk) Zk+l

=

Zk

+

hg(Xk， Yk， Zk) Xk+l= xk+h (k = 0， 1，・・・) として数値解を求める方法を Euler法と呼ぶ。ここで，hは刻み幅であり，寸分に小さい正の数である。一方， Yk+l

=

Y仇附h

け

+

寸

す

(

何

b

仇桁山

1

汁

+

刊

2

仇

針

山

+

刊

2伽b z ゐh刊+1 Z

けす

(ι1+2Cz+2c3

同 )

b1 =

f

(Xk， Yk， Zk) Cl

=

g(Xk， Yk， Zk)

(12)

-240- 香川大学経済論叢 bZ= f(Xk+h/2，ル十b1h/2，Zk十c1h/2) CZ= g(Xk十h/2，Yk+blh/2， Zk+ιlh/2) b3= f(Xk+h/2， Yk+bzh/2， zk+Czh/2) C3= g(Xk

+

h/2，九十bzh/2，Zk十Czh/2) b.ニ /(Xk+ h， Yk+ b3h， Zk+ c3h) C.= g(Xk， h， Yk+b3h， Zk+C3h) 732 として数値解を求める方法を4次のRunge-Kutta法と呼ぶ。前者は直感的に理解し易い方法ではあるが，後者に比べて精度が劣ることが分かつている。本稿では微分方程式を解く場合には4次のRunge-Kutta法を用いることにす

2

。議論の単純化のため，模索過程を線形微分方程式 Pl=α11ρ1+αlZρ2十εl PZ

=

aZ1Pl+αZZPZ+ε2 によって既述する。グラブ4は刻み幅 hを 0，5，第 l財，第 2財の初期値を 2，，95，1 2，，06 2.04 2，，02 1..98 1刷96 1..94 1..92 1..90 1..88 2，，94 2“96 グラフ4 オイラー法と 4次のJ~)1"-ヲーッ9);去 2併98 3 3日2 第

1

財相対価格ーオイラー法 4次のル〉ゲ、一'>，9法 (12) これらの数値論算法の具体的なワークシート設計方法については井上他[13，14Jを参考にされたい。尚，浅利 [2J pp，84-106ではEuler法が用いられている。

(13)

733 ミクロ経済学とLotus1-2-3完全競争市場の理論

241-95に設定し，パラメータ α11， alZ， a2h aZZ，ε"ε2を各々，-0005，-0.1，0.8，-0 2， 0 215， -2とした時に，前述の2つの方法によって 200回の反復計算を行ったものである。尚，この時の均衡価格は(ρ

t

，

pt

)

=

(3， 2)である。読者は安定条件 all， a22く 0，(alla22-a，2a2，)

>

0 が満たされる時，任意の初期値からスタートして，市場価格が均衡価格へ近づ、いて行くことを観察できるであろう。模索過程の安定性は絶対的に保証されているものではない。これを確認するために，有名なScarf

[

2

4 J

の不安定例をとりあげることにする。そこで，基準化された価格調整過程として， P - - h 1 1一一一一一+一一一一

_P

，十ρ2' 1+ρ1

ム=一二

L

ム

_P_'_

1+ρρ1十ρ2 を考える。この時の均衡価格は(ρ

t

，

p

t

)

=

(1， 1)である。刻み幅hを

o

05，第1財，第2財の初期値を共に

o

99に設定し， Runge-Kutta法によって 800回の計算を行った結果がグラフ5である。グラフから，確かに一般均衡解が不安定であることが確認できる。 5 一般均衡と比較静学 5..1 Hicksの需要則と LeChatelier-Samuelson原理 Hicks [8Jは，その著書において次の3つの需要則を述べている。即ち，粗代替体系において，ニュメレーノレとして選ばれた財から，第

t

財へ需要のシフトが起こった時， l 第Z財の価格が上昇する (13) この例に対しでもEuler法を用いた計算を試みたが，Euler法によって得られた解軌道はRunge-Kutta法によって得られた解軌道とは，あたかも異なる性質を有しているような印象を受けた。このような経験からも， Euler法の使用は勧められない。 (14) Hicksは所得効果を無視している。又， Hicksは，これらの法則に加えて，もう一つの法則を述べている (Hicks[8，]pp.76-77参照)。

(14)

-242ー 1“02 第

i

1BB 日..98 0..98 香川大学経済論叢グラフ5 スカF フの不安定例

に

j

;

:

;

/

第

1

財相対価格ふその他の全ての財の価格が上昇する。

3

第 1財の価格上昇率はその他の財の価格の財の上昇率よりも大きいということを主張する。 734 1副02 経済には3つの財が存在するものとし，第3財をニュメレールとして選ぶものとする。この時，各財の超過需要関数を E

，

= allP

，

+

a'2P2+ε1

E

2

=

α2'ρ

，

+α22P2+ε2 とし，au

>

0 (zキj)かつ， εi

>

0 (i

=

1， 2)に対して正の均衡価格ベクトルの一意的存在を仮定する。読者は，パラメータ α11， alZ， aZh aZ2を-4，2， 1，-5とし， ε"ε2を8，7とした時と，ムを

1

0

に変更した時の新旧均衡価格ベクトルを

L

o

t

u

s1

-

2 -

3

の行列演算機能を利用して比較してもらいたい。確かに上の需要則が確認できるはずである。 (15) 基準化されていない第 i財の超過需要関数と第1財価格を各々，Fi，P;で表す。九をニュメレールの価格とした時，九oF

i

!

oP;= aijが成立する (Arrow-Hurwicz[ 1]p..548 参照)。

(15)

735 ミクロ経済学とLotus1-2-3完全競争市場の理論 243-又，第2財の均衡価格を旧均衡水準に固定し，第 l財の新旧均衡価格を比較してもらいたい。この時，第2財の価格変動を固定した場合の上昇率が，そうではない場合よりも小さくなることが確認できるであろう。この性質はMorishima[18Jによって Le Chatelier-Samuelson原理と呼ばれたものである。以上の議論はグラフによって明快に解釈することができる(グラフ6参品。新旧均衡価格ベクトルを各々， (ρ" 必)， ρ" ( pz)で表す。又，第2財価格をρ2で固定した時の需要シフト後の第 l財価格をがで表す。この時，グラフから (1)

P

，くん， (2)ρz <

九

(3)

め

か

1>ρ

;

/

P

z

， (4)ρ" >

P

'

{

が確認できるであろう。これらの不等式は各々， Hicksの需要則とLeChatelier-Samuelson原理に対応している。興味のある読者は次の4財モデJレ(但し，第4財はニュメレールとする)に対しても同じ命題が成立することを確認すると良いであろう。、、 ‘ ‘ ‘ E‘ 官官 E E E E a E ，，，，，， f ' つムつん Q u q t u A 叫 d η 合 υ n x U A A 時 A ' t ム / I l l l -1 ¥ 一一 ¥ I I l l i -/ 3 3 3 1 2 3 G G G 2 2 2 1 2 3 G G G 1 2 3 G G G / I l l i -1 ¥ 3酌8 2，，8 2，，6 2，，4 2.2 2，，0 1..8 1.6 1..4 1..2 1.0 グラフ6 bフクヱの法則・ルジャトリエサ三ユ工仰〉の原理町 “ 。。 " " 。 “ 何回目。伽 O U U 目仰叫 m 山 U “ " 劃 . " " h 句 -" h 句 h 白 U 巾 . 叩 " m 町 . m . . U " “ U “ b " " d 目伽目 p " 刷 u - 白目・・・・ -a . ， . F ， . . . . . . . . . ‘ •• a -r r " U 巳 h p “ b H C 町 U ・・ " u u i ' m ふ u 曲目目 ι ' " ・ q b u " ノ ' " 日目 U 目白 " J / “ σ d p 目 " 町 U ︿目目別 m q “ u U E d u n " " 町 U m U / n ⋮ u b " 町目白目 f f ' 目 b 個別刷。 " d r q H u u " 1 目 ⋮ •• -V ・・山田・人・十，

r

-a

一・ --v' ・ケ・・い・・・ノ / 町川句 " ⋮ h / " h " u ，f u 日目日 H J 目白 U 一ノ / 一一一 ⋮ ⋮ JJJ ⋮ ⋮ u i J 〆 U レ ji 一〆一一 " ーノ〆 n o d -H U ノ ' “ H u u 〆"一 -H u j h m -u 〆 F U E " ! " 〆。 i u " J / 少。血目 U / . . . " ・・・ J ・・・・目 " ・・ -一 h ・・・ " ' ・・川・・・・ -u ・・・ u u t u p 一， U 目句 " 酢 m u " “ 日 " -J r u 目 U 佃 U q " 町 " " u " " -川 d U U •••.• ' ， ••.•• 目 . . . . . ' m ' -目 . . ' . 白 ‘ . . . . q u ω U " 目白 " " U “ U 目白山 p " n q 肝心 " b H n p “ p q u b " 。 m 刷。刷 “ " " 。目白叫目。 " d v u u u " q u u u ' ・ q " U H U “ ・ p " m 佃 m 引 . . " " 白刷 ‘ " d 島 " “ J 4 噌 . 2 3 4 第1財相対価捻一目第

1

市場均衡線 "第

2

市場均衡線一新第

1

市場均衡線 (16) 以下のグラフによる説明はMorishima [18Jpp 12-14に拠る。

(16)

244ー香川大学経済論叢 736

(

:

}

(

'

;

)

.

(

日

)

又， Morishima [18Jpp..14-21を参考にして， Leontiefの投入産出モデルに対しでも上と同様の議論を試みると良いであろう。

5

2

線形計画法 A， bを各々， mXη行列，m次ベクトノレとする。又， C， Xをn次ベクトlレとする。この時 xを変数とする線形計画問題立lax c x x subject to

Ax

::o二b χ注

O

を考える。この原問題に対する双対問題は min b'y subject to A'y二2:C y二2:0 になる。ここで，yはm 次ぺクトルで、ある。今，

引

じ

三

(

:

)

.

b

三

(

:

)

とし，これに対応する原問題をLotus1-2-3上で解くことを考える。以下のシンプレックス法の説明は岡本他 [19J第5章に拠る。用語の説明は省略するので，必要ならば適宜参照されたい。原問題の制約条件にスラック変数X3，X4， X5を導入し，制約条件を等式制約にする。これらの変数に対応する目的関数の係数は全てゼロと定義する。ここで，第1段階の

ω

シンプレックス表を次のようにして作成する(図5参照)。 (17) シンプレックス法について更に詳しく知りたい者には Gass[7 ]が勧められる。又，解くことが可能な問題のタイプが限定されているが， Lotus 1-2-3によるシンプレックス表の作成方法については平田他 [9]pp 98-145においても述べられている。 (18) 図5，6では画面を見易くするためにワークシート全体の列幅を6に設定しである。

(17)

737 ミクロ経済学と Lotus1-2-3 完全競争市場の理論 A 11・'図5 原問題シンプレックス表 2 日 B 日 B 日日日 7 8 18 14 2 4..4 -245 困薗

画圃

E

翻鴎思議議

ステップ 1:初期テーブルの作成・セル範囲E14..Il4に変数を入力する。・セル範囲E13113に各変数に対応する目的関数の係数を入力する。・セル範囲E15..Il7に等式制約の下での制約条件の係数を入力する。・セノレ範囲Dl5..Dl7にb(第1段階の基底可能解)を入力する。・セノレ範囲C15

Cl

7にスラック変数(第1段階の基底変数)を入力する。・セル範囲B15..

.

B

17に基底変数に対応する目的関数の係数を入力する。・目的関数の計算ーセルDl8に+B15*Dl5+B16*Dl6+ B17*Dl7を入力する。・単体期準の計算ーセノレE18に+$Bl5*E15+$B16*E16+$B17 *E17 -E$13を入

力し， E18をF18..Il8に複写する。この時，もし全ての単体基準が非負であるならば，ここで計算を終了する。ステップ

2

:ピボット要素の発見・単体基準が負かつ，最小の列を見出す(この例ではX2に対応する

F

列)。・基底可能解の各要素を，この列の要素で割る。例えば，セノレJl5に十Dl5/F15を入力しJl5をJl6J17に複写する。この時，分母の係数がゼ、ロになっている場合

(18)

-246 香川大学経済論叢 ₇₃₈ はeエラー'と表示されるが，これは無視しても良い。・もし，上で計算した値が全て非正であるならば，この問題に解は存在しない。もし正値が存在するならば，最小値を持つ行を見出す(この例では15行)。かくして，ピボット要素はセノレF15になる。ステップ3..シンプレックス表の改訂 -セ/レF19に+F19/$F$19を入力し. D19.119に複写する。・セノレF20に +F16 -$F$19*F19を入力し.D20..J20に複写する0 ・セルF21に +F17 -$F$19*F19を入力し.D21.121に複写する。・ピボット要素はF15であるの‘で.15行に対応する変数ぬとF列に対応する変数 :¥:2を入れ替える。これに対応して，目的関数の係数も入れ替える。・セノレD18.J18をD22..I22に複写する。新しい基底変数の下で，全ての単体基準が非負であるならば，ここで計算を終了する。ここでステップ2に戻り，以後の操作を繰り返せば良い。この例では第3段階で単体基準が全て非負になる。従って，最大値が22であり，最適解が(Xl，:¥:2， X3)

=

(2， 6， 0)であることが分かる。尚.X5

=

6であることから，第3 番目の制約式が有効ではないことが分かる。次に，双対問題を考える。この問題の最適解は max -b'y y subject to A'y二:::c y ミO を解くことによっても得られる。但し，最小値は目的関数の負値によって与えられる。図 6はこの問題に対するシンプレックス表であり，ほぽ上と同じ操作を行えば良いが，人為変数が導入されたことによって，若干の表の変更が行われている。セルF30

山

.

L

30には目的関数の係数が代入されているが，スラック変数，及び人為変数の係数をゼロと定義する。セノレF3L.L31には，ペナルティとしての係数が代入されており，人為変数を除く，全て変数の係数をゼロと定義する。人為変数に課せられるペナノレティは任意の負値で良い。又，基底変数に対応する目的関数の係数を代入する (19) 複写元の範囲と複写先の範囲が重なることになるが，この場合は意図的に重ねる方がシンプレックス表の操作が分かり易くなる。

(19)

739 ミクロ経済学と Lotus1-2-3 完全競争市場の理論 -247-A 28 : '図B 双対問題シンプレックス表闘闇 C 14

-

a

-lRl 日 B 日 8 門 8 B 日: _B _日 C 阻 υ2 ¥sJ u4 u5 u6 lJl 8 ν6 2 ₂₁ _i_3i_i B 日 B 7 3 日 g 8 14 8 1aJ 日 8 @ 日 -!) -::l -? -4 : 日日 18 -日1νu73 日116363638063363 6 B 1iiB-B.3.3333 日日-8.3.333 3 8 日 1.666 0. -12 8 2 日i 6 日 -6 8 三2.33=LB6 -Ø~6ß 日i竺白昼33 1 333 目 '-114S 88luV31 0.2 _.₄ 日目.凶

o

42 B1ij-白B-U24-88..2 6-目日."24 -臼

a

.

6 2 -23.2 目ー1.2 0: 4.4 4.8 =4.A ~4_.ß 日

m

日日i 日日 -8 _υ_V₁₂ B 血 -25.: -2 司14 -~ 日旦 .6J 2 6 SIMPLEX.WJ2 仲

E

置園阻藷書匡麗盟臨書置置園田園鵬醐醐翻盟通歯欄に加え、て，ペナノレティ係数を代入する欄が付加されている。セルE35"L35には各々，目的関数の係数を用いた目的関数値，及び，単体基準が計算されており，セノレE36 L36 にはペデ1レティ係数を用いて，これと同じ操作が行われている。基底変数の中に人為変数が存在する限り，後者を用いて先に述べた操作を行えば良い。もし，基底変数から人為変数が完全に消えた(図6では第3段階)ならば，これで基底可能解が見出されたことになり，以後は単体基準を用いて表の改訂を行えば良い。この最小化問題の最適解は (Yl，Y2， Y3)

=

(1， 1， 0)であり，最小値は22である。ここで注意してもらいたい点は，原問題と双対問題の最適値が一致していること，及び原問題において有効ではなかった制約式(第 3式)に対応する双対問題の変数民の値がゼロになっているという事実である。前者は線形計画法の‘双対定理'と呼ばれているものであり，後者は‘相補スラック性の定理'と呼ばれているものである。今，行列Aを投入係数行列と解釈し，

c

，

x

， bを各々，生産物価格，産出量，及び資源制約を表すベクトJレと解釈する。この時，原問題は資源制約のもとで産出額を最大化している問題であると解釈することができる。一方，各資源制約問題に対応する yを資源の価格(シャドウプライス)と解釈するならば，これは，異常利潤が発生しな

(20)

← 248- 香川大学経済論叢 740 いという条件の下で，費用，即ち生産要素に帰属する所得の最小化問題であると解釈することができる。上で確認した原問題と双対問題の関係から，次の3つの古典的命題が確認できる。第lは，最大生産額は生産要素所有者に余す所なく分配されるという命題である。第 2に，遊休の生じた資源の価格は，ゼロになるという自由財の法則である。そして第 3に，原問題と双対問題の立場を入れ替えることによって想像されるように，負の利潤が生じる財の生産は決して行われないという命題である。第1の命題は古典的な限界生産力説が主張してきた命題である。もちろん，分権的意志決定が行われる市場経済においては，経済全体として，意識的に生産額の最大化や費用の最小化が行われているわけではない。しかしながら，これはSamuelson [23Jが述べた，背後に最適化問題が存在するかの如く考えることによって理論的な説明付けが可能となる問題の一例である。ベクトノレ

b

，

c

の変化を

o

b

，

o

c

で表し，これらのパラメータの変更に伴う原問題，及び双対問題の最適解の変化を各々，

d

x

， !Jyで表す。この時，

o

c

'

d

x

注 0

，

o

b

!JyζO が成立する。これは(弱い意味での)Le Chatelier-Samuelson原理と呼ばれるものである。最初の不等式は生産物価格と生産物供給量の変動に制約を課すものであり 2 番目の不等式は生産要素価格と生産要素需要の変動に課すものである。読者は上の問

ω

題のパラメータを若干変更して，この点を確認してもらいたい。 6 完全競争市場の理論を終えるにあたり本稿ではこれまでの議論と異なり，結果的に様々の数値計算法を紹介することになった。もとより，これらの数値計算法を詳細に論ずることは意図していないが，より高度なシミュレーションを行うためには，これらのテクニックを知っておくことは決して無意味ではない。実際にシミコレーションを行ってきた経験から， Lotus 1-2-3上での数値計算の実行は，計算アルゴリズムそれ自身を理解する上でも有用であるように思われる。この (20) Samuelson[22]， Beckman [ 3 ]参照。尚，この関係は更に一般化が可能である。例えば， Eichhom-Oeteli[5]参照。

(21)

741 ミクロ経済学とLotus1-2-3 完全競争市場の理論 -249-ことは，経済データの統計的解析や数値的シミュレーションの実行に加えて，種々の数値計算法を理解させる手段としてもLotus1-2-3が利用可能で、あることを示唆している。多くの数値計算法に関するテキストでは，読者が何等かのプログラム言語に関する知識を有していることを前提としているが，本稿で示したように，初歩的なアノレゴリズムに限定するならば，プログラム言語に関する知識は必ずしも必要ではない。紙面の制約から多くの問題を読者に残すことになったが，経済理論を理解する上でも，又，数値計算法のアノレゴリズムそれ自身を理解する上でも，自らの手でワークシートの作成を試みられたい。参考文献

[ 1] Arrow， K J and Hurwicz， L，“On the Stability of the Competitive Equilibrium， 1"， Eωnometnca， 1958， V 01 26， 522-552

[ 2 ] 浅利一郎，経済学のための「ロータス 1-2-3j，青木害届， 1991

[ 3] Beckman， M. J，“Comparative Statics in Linear Programming and the Gi丘en ParadoxヘReview

0 /

EじonomicStudies， 1955-56， Vol.23， pp.. 232-235

[4] Cornwall， R R， lntroduction to the Use o} General Equilibrium Analysls， North -Holland， 1984

[ 5] Eichhorn， W. and Oettli， w.，“A General Formulation of the Le Chatelier-Samuel -son Principle

ぺ

Eじonomefrica，1972， Vol.40， pp 711-717

[ 6 ] 福岡正夫，一般均衡理論，創文社， 1979

[7] Gass， S 1， Linear Programming， McGraw-Hill， 1975

[ 8] Hicks， J R， Value and Capital， Oxford University Press， 1946

[9 ] 平田純一，新海哲哉，笠原法彦，ロータス 1-2-3による経済・経営の情報処理，朝倉書庖， 1993

[10] Hotelling， H，“Edgeworth's Txation Paradox and the Nature of Demand and Supply Functions

ぺ

Journal

0 /

PoliticalEco抑制~Y ， 1932， Vol.40， pp.577叩616 [ll] 井上祥史，伊藤敏，臼田昭司，“表計算ソフト Lotus1-2-3を使ったシミュレーション入門第6回行列あれこれトラ技コンビュータ， CQ出版社， 1992， 9月号， pp 128-133 [12] 井上祥史，伊藤敏，臼田昭司，“表計算ソフト lotus1-2-3を使ったシミュレーション入門第7回微積分"，トラ技コンビュータ， CQ出版社， 1992， 10月号， pp. 127-132 [13] 井上祥史，伊藤敏，臼田昭司，“表計算ソフト lotus1-2-3を使ったシミュレーション入門第8回微分方程式(1)ヘトラ技コンピュータ， CQ出版社， 1992， II月号， pp.

(22)

250ー香川大学経済論叢 742 129-134 [14J 井上祥史，伊藤敏，臼田昭司，“表計算ソフト Lotus1-2-3を使ったシミュレーション入門第9回微分方程式(2)"，トラ技コンピュータ， CQ出版社， 1992， 12月号， pp l36-140

口

5J 川上一郎，数値計算，岩波書j古， 1989

口

6J 小島政和，相補性と不動点，産業図書， 1981 [17J 三井田惇郎，新井秀一，数値計算法，森北出版株式会社， 1991

[18J Morishima， M， Equzlibrium Stability， and Growth， Oxford University Press， 1964 [19J 岡本哲治，蔵回久作，小山昭雄，経済数学，有斐閣， 1978

[20J 奥口孝二，酒井泰弘，市岡修，永谷裕昭，ミクロ経済学，有斐閣， 1989 [21J 大薮和維，安井修二，藤井宏史，大野拓行，経済学1-2-3，日本評論社， 1992

[

ロ

22幻J Samu児巴elsωo凡n1，

P

A.，

“

Compa釘r抗ativeStatics and the Logicぱ0fEc

∞

onomic Max刈imi包zing"

Rezωzeω

0 /

Ecω0ηomzμじSt似udieωs，1946-1947， Vo.J14， pp.41-43

[23J Samuelson， P A.，“Maximun Principle in Analytical Economics"， Ame問。nEco -nomic Revieω， 1972， VoJ.62， pp 249-262

[24J Scarf， H..，“Some Examples of Global Instability of the Competitive Equilibrium"， Intemational Economic Review， 1960， Vol 1， pp.157-172

[25J Scarf， H.， The Com)りutatzon

0 /

&onomic Equilibァia，Yale University Press， 1973 [26J 塩村尊，“ミクロ経済学とLotus1-2-3:家計の理論"，香川大学経済論叢， 1993，第

66巻，第2号， pp 259-276

[27J 坦村尊，“ミクロ経済学とLotus1-2-3: 企業の理論香川l大学経済論叢， 1993，第 66巻，第3号(今号)

ミクロ経済学とLotus1-2-3 完全競争市場の理論-香川大学学術情報リポジトリ

研究ノート