非線形弾性地盤に関する基礎的研究 : その1 有限変形線形弾性地盤における非線形波動

【論　 文

1

UDC ：624

．

042

．

7 ：516

．

3 　 　

日本建築学会構 造系 論 文報 告集 第414号

・

1990年8月

Journal　of　Str−ct

．

　Constr

．

　Engng

，

　AIJ

，

　No

．

414

．

　Aag

．

，

1990

非線

形

弾

性

地

盤

に

_関

_す

る

_{基 礎 的研 究}

　　　　　

その

1

_有

_{限変形線形弾性}

_地盤

_{に お け る}

_非

_{線 形波 動}

NONLINEAR

　

WAVE

　

PROPAGATION

　

IN

　

ELASTIC

　

CONTINUA

Part

　

l

　

Nonlinear

　wave 　

propagation

　

in

　

finite

　

linear

　elastic 　continuum

　　

和 泉

正

哲

＊

，

薛

松

濤

＊ ＊

Masanori

　

IZUMI

　and 　

Song

−

　tao　

XUE

　

The

　aim　of　this　paper　is　to　study 　the　wave 　behavior　of　nonlinear 　_ground

，

　

After

　

finishing

　

developing

　nonlinear 　constitutive 　

laws

　

for

　soil　ground 　and 　

deriving

　the　wave

front

　propagating　equation 　in　such 　ground　by　

Singular

　

Surface

　theory　in　references 　l ）

_，2

_＞

_，7

_）

_，

　we

provide　a　continued 　study　on 　wave 　p匸opagation 　

in

　

fillite

　

linear

　ground　in　this　_paper

．

　The　result can 　be　noted 　as ：the　

final

　wave 　equation 　for　plane　wave 　

identifies

　with 　_the　modified 　

K −dV

　equa

−

tion

in



Soliton

Theory

。

　Thus　a 　way 　to　study 　nonlinear 　soil 　

ground

　

by

　the　

famous

　nonlinear 　_tlleory

theSoliton　

Theory

　

has

　

been

　predicated

．

　

The

　theo【etical 　solution 　in　a　spec重al　case 　and 　some 　cal

．

culating 　examples 　

have

　also　

been

　_presented

．

　

Key

ωerds ：

1

％η」伽 召r   叨

，

　

Soliton

，

莇 癬 8 伽 皹

，

　Elastic

1．

序 　 論

　

地 盤におけ る地 震 波 動 伝 播を

薛

析的に扱っ た研 究に お い ては

，

媒 体とし て の地 盤を， 線形の構 成 則に従い微 小 変形の範 囲にと どまる いわゆる微小 変形線形 弾 性 体と仮 定し た もの が多い

。

し か し な が ら， 特に変 形の大き くな る大地震 時を対 象とし た場 合に は_， この よ う な線 形 波 動 で は観測 現象を十 分に説 明で き ない こと が あ る

。

し た がっ て

，

地震 波 動 伝 播 理 論に非 線形 理論を導入し

，

さら に精密 な解 析法 を確 立す る こ と が必要と考え ら れ る。

　

波 動が伝 播 する媒 体において

，

応 力度と変形 勾 配の関 係が線 形である場 合に は線形波動

，

そ うでない場 合に は 非 線 形 波 動とな る

。

_{非線形 波動}と な るの は

，

媒 体 が 弾 性 でない場 合

，

弾 性で あっ て も非線形構成則を持つ _{場 合な} どが考えられる

。

本 研 究で は

，

媒体 が弾 性 体で

，

さ ら に 応 力 度とひずみ度の 関 係 を表す構 成則が線形で あっ て も， 有限変形 状 態を考 慮 することに よ り応 力度と変形勾 配が非 線 形関係を持つ _{場 合}

，

い わゆる有限変形線 形 弾性 体 （

Finite

　

linear

　Elastic

Continua

_）を

対象と し

，

こ の よ う な媒体 中を伝 播す る非 線 形 波 動につ い て検 討を行 う。 非 線 形 構 成 則を持つ 弾性 体の場 合の検 討は有限変形 を前提と する ので

，

本研 究の 後に続く もの とな る

。

な お_， 本 研 究 を 含む

一

連 の研 究におい て

，

非 線 形 弾 性 地 盤 とは 地 盤を有限変形 弾 性 体 （線 形ま たは非線形）と して考慮 するもの であ る。

　

有限変形 線 形 弾 性 理 論は以 下に示す筆者らの文献 1）

，

2

＞の ほ か に

，3

）

，

4）

，

5）

，

6）でも特 別な例と して紹 介 さ れて い る。 この理論を用い る ことの利点は

，

通 常の線

形 弾 性 体の Lame の定 数 （また は

Young

係 数とP。

is−

son 比）を そのま ま引 用で きる ことで ある文 亅｝

・

2｝

_。

　筆者ら は先に

，

よ り普 遍 的な有 限 変 形 非 線 形 粘 弾 性 体

（

Finite

　

Nonlinear

　

Viscoelastic

　

Continua

）の構 成 方 程

式を

，

熱 力学の第

一，

第二 法 則を用い て理 論 的に導 き文1）

・

Z ）

_，

_{これ が} すべ て の材 料に対し て適 用 可 能な

一

般 式 であ り

，

既 往の多くの粘 弾 性 体の構 成 方 程 式に関 する理 論をそ の特 殊な場 合と し て包 含するもの である こと を示 し た。 そ して

，

文 献7）で は

，

文 献1）

，

2＞で導き出し た構成則を用い て

，Singular

　

Surface

_理論に基づ く非 線 形波動の波頭 伝 播方程 式につ い て研究し

，Bernoulli

型 の_{微分方程 式}に し た がう加速度 波の_{波 頭 伝 播 式}と

，

さ ら に複 雑な形を と る ショ ッ ク波の波 頭 伝 播 式と を導い た。 また

，

文 献 1）

，

2）で導 出され た構 成 則の特 別な 場合

，

つ _まり有 限 変 形 線 形 弾 性 体に おける非線形 な縦波の伝播 方 程 式 を文 献

8

）で示し， そ の方 程 式がソ リ トン理 論 中 の 変 形 され た

K −dV

方程式文9）

−

12 ｝_と

一

致する ことを 明ら 奪 _{東 北 大 学} 　教 授

・

工博 ＃ _{東 北 大 学 　 大 学 院生}

Professor　of　Tohoku　Univ

．

，

Dr

．

　Eng

．

Graduate　Student　of　Tokoku　Univ

．

かに し

，

その 解 析 解の い くつか を例 示 した

。

　

本論文ではそれ らに引き続い て

，

有 限 変 形 線形弾性体 中を伝播す る非 線 形な平 面 波 を対 象と してい る。 最初に 連 続 体 力 学における平 面 波の概 念を導人 し

，

有限 変 形 線 形弾性体を前 提とし た場 合につ い て論 じ る

。

そ し て， 横 波の伝 播につ いての解 析 解 を求め

，

その_{導 出}し た変形勾 配につ い ての波 動 方 程 式 がソリ トン理 論 中の_変形さ れ た K

−dV

方 程 式と

一

致する こ と を示す

。

こ の結 果により

，

現 在 既に展 開さ れ てい る ソ リ トン理 論 を 地 盤の非 線 形 波 動の研究へ 応_{用す る}ことが 理論的に可 能 と なる

。

さ らに

，

波 動 方 程 式の厳 密な理 論 解を5 節で_{導 出}し たうえ で_， 簡 単な波を 入力し た場 合の_{解析 例}を6節で行っ て い る。

2

．

平 面 波 　本 論 文では

，

図

一1

に示す物体

B

の変 形 と運 動 を 考 察 す る た め に

，

通常の_{記 号}習慣に したがっ て

，

図

一

1の よ うな二 つ の 直角 座 標を設定す る

。

す な わ ち， 大 文 字 X、（

i

；

₁

_，

₂

_，3

_{）が物質座 標 （}

Material

　

Coordinate

） を表し

，

小 文 字 xt （

i＝

1

，

2

，

3＞が空間座標 （

Spatial

　

Coordinate

）

を表す。 物 体の変 形と運 動と は各点を物質座標か ら空 間 座 標に動かすこと と考えて いる

。

図

一1

で は物 質 点

P

を 空 間 点Pに動かすこと を示して い る

。

　連 続 体 力 学で定 義され る_{平 面 波}とは_{， 波 面}が_{平 面}であ る波

，

す な わ ち，

一

_{定 方 向に垂 直平 面 上で振 動の位 相が} 同

一

な波で ある

。一

般 性 を 考 慮しつ つ

，

平 面 波 が

Xi

軸 方向に伝播す る と考え る

。

まず， 物質座標と空間座標に おいて の運動方程式が式 （2

．

1 ＞で表され る

。

　　　

Xl（

x ，

　

t

_）＝

Xi

＋磊_，（Xi

，

　t）

　　　

二じ2（

X ，

彦）＝ ＝

X2

十Ut（丿ζ監，置〉

　

　

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

（2

。

1 ） 　 　 　Xs（X

，

の

＝X3

十冠3〔

X

置，の こ こ で

，

ul （

i

　

・

i

_，

₂

_，

_3）は変 位ベ ク トル

，

_、

tは時間で ある。

　

平 面 波は図

一

2で示 さ れる よ うに

，

横 波の

SV

波， SH _波と縦 波であ る

P

波の 三つ に分か れて伝播す る

。

な お

，

いわ ゆ る

Riemann

問 題 とは式 （

2．1

）の_特殊な場 合 　（輪

＝

0 ）であ る

。

　

平 面 波 運 動 方 程 式 （2

．

1 ）に よっ て

，Green

の 変 形 テ ン ソ ル

C

と

Lagrangian

の ひ ずみ度テン ソ ル

E

は式 （2

．

2）と式 （2

．

3）の よ うに書くこと が で きる。 図

一

1 座 標 系

．

−

₄₈

一

ただ し X3 図

一

2 平面波

c

−

［

11

＋

 

嘱

剽

一

_…

イ

柳

野

1

］

………・

・

…・

…



……

_（2

_．

_3） 　 　　 Pt＝∂ Ut／∂Xi 　（i； 1 ，2，3 ＞

・

・

t・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（2

．

4） 式 （

2．

3

）に基づい て_，

Lagrangian

ひずみ度テンソ ルの 第

一

s 第二 と第三の 三つ の不変量は次式のよ う に導か れ る。

1

．

＝En

＋

E22

＋

E33

　＝ 1_／2

・

［_（1＋_ρ1）2

＋ _pl十_pl

−

1_］

llE＝E22E33

十

E33E11

十

EiiEn− Ei3

　 　

− El

，

− Ei

， 　；

−

1／4

・

［P…十 ρ葦］ 皿E

＝det

（

E

）

＝

0

…

_〔295） 　これら （2

．

1）

〜

（

2．

5

）式が平 面波の性 質と特徴を示す もの である

．

3．

ひずみ度のポテンシャ ル と構成方 程 式 　通常

，

線 形 弾 性 理 論で は ひずみ度の ポテ ン シ ャ ル は

Lagrangian

ひずみ度 要 素の 自 乗の _{近 似}で行わ れ

，

次の 式 を用い て表 され る。 　 　 　Σ

＝

Σo十 Σ ntLEκt 十1／2ΣκL”NE κLEHN

・

・

−t・

一・

・

（3

．

1） こ こ に Σ。

，

ΣXL

，

ΣXLMN は定数で あ る

。

　こ の うち

，

連続 体 力学理論よ り

，Lagrangian

ひずみ 度テ ン ソ ル

ErL

とGreen 変形 テン ソ ル

C

肌 と空間座 標 との_{関 係}は次 式で示さ れ る

。

　　　2EXLニC

肌

一

δKL

＝

Xi9”x− L

一

δκL

………・

…・

（3

．

2

）

　

（

3．

1）式はテン ソ ル記 号 を用い て示し た異 方 性を有す る_弾性体のポテ ン シ ャ ル に関す る式であるが

_，

本 論文で は_等方 弾 性 体の み を考 慮 するの で

，

式 （2

．

5）と不変量 理論に基づくと

，

等 方 体にお け るひずみポテンシャ ル は 次の よ うに導 出 され る

。

　 　 　Σ＝ Σ 〇十aEI ε十1／2（λE十2μ，）聡

一

2　Pt　，

ll

，

…

（3

．

3） 　ひずみ度の ポテン シャ ル と変 量 Pt （

i＝

1

，

2

，

3）との 関係が式 （2

．

5）を式 （3

．

3

）に代入 して

，

次の式の よ う

に_得ら れ る。 　　 　Σ

＝

Σ。十1／2

・

aE［（1十PL） t 十pi十 ρ

1

−

1］

　　　　　

十1／

8

_（λ，十

2

με）［（1

一

ト

p

，｝ 2 十

p

壅十

p

_蓋

一1

_］2

　　　　　

十

1

／

2・

μE［pl十pl］

・

……・

…………・

・

…

（3

．

4 ）

　

連 続 体 力 学 理 論文1）

−

6） で は弾 性 体に おける

一

_{般 的}な構 成 方 程 式をつ ぎ の式の よ うに_{表 現 す}る。

　

　　

TKI一

_畿

・

………・

………・

……一

_（・

．

5

_）

こ こ に_， Txiは

Piola−

Kirchhoff_{応 力 度 を表す}

。

　

こ こ で は_，平面 波のみ を考 慮 する の で，式 （

2．

1＞より

，

式 （3

．

5）の非 零 項はつ ぎの ように 三項し か 残 ら ない こ とに な る_。 　 　 　 ∂Σ

　　　

T

・＝

瀛

　

簡 単な記 号で方 程 式を表 現 する た めに_{， 前式}をつ ぎの 式の よ うに書き換え る。

　

　　

T

・

一

諾

（h

・

… ，3）

………・

・

…一

（・

．

・） 　この結果

，

次の構 成 方程 式が導 出さ れ る

。

図

一

3に は こ の _{構 成式}に ある応 力 度 Te （‘

＝

1

，

2

_，3

_＞の _{方 向}と作 用 面が示さ れて いる。 す な わ ち， 　　　

Tl＝Tu ＝

aE（1十

’

_Pi）十1／2（λ．十2μE）（1十Pi）

　　　　　

｛（1＋ ρi）2＋pl＋pl

−

1］　

・

・

一 ・

・

………・

_（3

．

7） こ こ に

，T

，は

Xi

面に作 用す る

Xi

方向に向く応 力 度_， 　　　

Tt＝

＝Tlt＝

aEP2 十1／2（λ，十

2

με）

　　　　　

・

P，［（1＋P、） 2 ＋ ρ；＋_pl

− 1

_］＋μ。

P

、

……

（3

．

8 ） こ こ に

，

T，は

X

，面に作用す る

X

，方向に向く応 力 度， 　　　

T3［

＝T13＝

aEPs 十1／2（λ£十2μE）

　　　　　・

P3 ［（1十_Pl）1十_P；十 ρ葦

一

1］十μEP3

……

（3

．

9） こ こ に

，

T，は

Xi

面に作 用す る

X3

方 向に向く応 力 度で あ る。 　も し初 期 状 態で は ひずみ度と応 力 度が共にない と仮 定 す れ ば （換 言 すれ ば最 初は自由 物 体と考え ること に な る）

，

法 線 方 向の構 成 方 程 式 （3

．

8

＞， （

3，

9

）より

，

定 数 aE は0と なる こと がわ か る

。

　　　aE

＝0 ・

…



一

一

・

・

一・

・

・

・

・

・

・

・

・

…



一・

・

…



一

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

_（

3．

10

_）

　

物 体の構 成 方 程 式を明確にする ために

，

各 応力度につ い て考 察 し て み る

。

応 力 度

T

，と

T

，が同じ形で表現さ

1

甜黯EAR れて いるの で

，

こ こ で は

，

T2

を対 象と す る

。

　も し式 （3

．

8 ）， （3

．

9）に次式の条件を仮 定 す れ ば 　　　 p2

＝

ρ3　

＝O …・

・

…・

…・

・

…………・

…一 ・

…・

・

（3

．

11 ＞ 　式 （3

．

7）は次の よ うにな る。

　　　

T】

＝

T，，

＝

1／2 （λ．十

2

με）（1十Pi＞［（1十 ρ1）2

−

1］ 　　　 　

＝

（鳧十2_μE）ρ且十

1

／

2

（λε十

2

μ．）（

3p

｛十p｛） 　　　 　　　 　　　 　

………

（3

，

12 ） 　も し式 （3

．

7＞， （3

．

9）に次式の 条 件を仮 定 すれ ば 　 　 　Pt

＝

Ps

＝

0

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

＋

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（3

．

13） 式 （3

．

8）は次のよ うに_書き換え ら れ る。 　　　 T2

＝

＝

Tlt＝＝ μEP2 十1／2（λ，十

2

μE）pl

…・

……・

（

3，14

）

　

構 成 式 （3

．

12 ）と （

3．14

）か ら明ら かに_， 構 成 式は二 っ の項で成り立つ

。

右 辺第

一

項は線 形項で_{， 第}二 _項は_非 線 形項で ある_。本論文で着 目 するの は右 辺 第二項で あ る

。

　

図

一

4 は応 力度

T

‘（

i＝1，2

）と変 形 勾 配 ρs （

i

＝

1，2

） との関 係 を表してい る

。

以 上 か ら応 力度とひずみ_度との 関 係を線 形と仮 定して も

，

応 力 度と変 形 勾 配が非 線 形関 係 を持っ て いることが明ら か と なっ た

。

これ は

，

有限変 形 理 論と微 小 変形 理論との_相違点で ある

。

4

．

波 動 方 程 式の導出

　

古 典理論で は

，

Piola

−

Kirchhof応 力 度の_形で表現さ れ る_{平衡方程 式}は

，

通 常 物 質 座 標 系の_変数で表さ れ るこ と が多い文1｝

−

6｝_{。 本論 文}で も前 節で既に

Piola−Kirchhof

応 力度の _{構 成 方 程 式 （}3

．

7） ， （3

．

8）， （

3，

9

）を物 質 座 標 系を用い て導 出し た。 こ の た め， 以 降も便 宜 上物質座 標 系の_変数を用いることにする

。

　

波動 伝 播 を計 算するとき に は_， 線形の_{場 合}で も

，

例え ば， 有限要素法の ように

，

近 似 的な手 法 を用い る。 し か し

，

これ ら の計算の基礎と して の平 衡 方 程 式は微小要素 の平 衡 を考慮 して導 出さ れて い る の で， 誤 差を生じ る。 た だ し， 線形の 場 合に は

，

変 形 を微 小と仮定す るの で

，

こ の よ う な誤 差が非 常に小 さ く無 視でき る が

，

本論文で は変 形 を有限と して取 扱 うため， こ の よ う な誤 差を無 視 することは で き ない。 平 衡 方 程 式 を有 限 要 素にお け る平 衡 を考 慮して導き

，

これ を基に波 動 方 程 式 を得るのが

，

本 節の 目的であ る

。

こ こで は二種 類の方 法 を用い る

。

　なお

，

既 知の古 典理論に お け る平 衡 方 程 式は次式で あ

焦

Xl 図

一

3　 応 力 テン ソ ル 5　004 　00 　 3　00 室 2001 　0DD 　oo 　 O　O Oi「ORMA710N 　GRADI 匡門丁 D 50004DOo m ：oeo

攀

v，

₂₀₀ 　D 田e

．

oOO

ll

階 羅じAR 図

一

4　 応 力と変 形 勾 配の関係 05　　　　　　　　10

DtFORMATIOH　GRAO「ENT

1

．

5

る

。

こ こ で

，

A は密度

，

　

f

は物体力

，

　v は速 度である

。

　　 　 TκkX 十ρo（丿宝

一b

産〉

＝

0

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

P7・

（4

．

1） 4

．

1

．

　波 動 方 程 式の_{導 出 （}第

一

の方 法 ） 　まず

，

連続体を 図

一5

の ように_， 有 限 辺 長 を もつ立 方 体とし て考え る

。

この よ う な要 素に

Newton

の運 動の第 二 法 則 を適 用し

，

波 動方程式 を 導く

。

こ こ で は_， 波 動の み を考 慮 するの で

，

_{物 体}力は考慮し てい ない

。

　

以 下， 簡 単の た めに

，

一

_{次 元の}

_S

_{波だ けを 考 慮す るこ} と に す る

。

こ の ため 立方体が図

一

5の よ う な配 列で並ぶ ものと する

。

任 意の立 方 体

1

の平 衡を考え

，

次の_{平 衡}方 程 式を得る

。

　 　 　 ∂2蝋 1） 　　 　　 　　　 　　　

＝S

［T，

− T

，（1）］

…・

…・

・

…・

・

（4

．

2

） 　 　 　ASdX ， 　 　 　 ∂

t2

こ こに 　　

S

：_図

一

5で示され る断 面の面 積

　T

，（

1

）：

1

番目の立 方 体の左 断 面 上に作 用 する応 力度 　　

T2

：

1

_番目の立 方 体の右 断 面 上に作 用 する応 力 度 　 蝋

D

：

1

番 目の立 方体の_変位 同じ く， 立 方 体 2での平 衡 を とれば 　 　 　 ∂2Ut   　　 　　 　　　 　　　＝

S

［

T2

_（2_）

一

_：「z］

・

・

−t・

−t…

　

tS−t

（4

．

3） 　　 　 thSdX ， 　 　 　 ∂

t

！ こ こ に 　　

T

，：2番目の立 方 体の左断 面上に作 用す る 応力 度 　

T2

｛

2

）：2番 目の立 方 体の右 断 面上に作 用す る応 力 度 　 u

，

（

2

）：2番 目の立 方 体の変 位 　 応 力度 T，（1）， T，，　T，（2）の 間の関 係が Taylor展 開を用 いて次の よ うに表せ る。 T，（・）

− T

，・

d

駈

畿

・

望

器

　

　

　

・

望

雛

・

望

器

・

……

T

，（

1

）

一

距

d

瓦

毅

・

望

鴛

　

　

　

一

_望

_器

_・

_望

_設

一……

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…



一…



一・

・

一・

_（4

_噛

_4） 1

」

1 1

1

1 1 1 ヒ 1

」

L

　 ヨ

」

1

　　．

　　｝

｝

．

　　．

ド

　 ノ

　．

’

1

’

．

岬

1

　　　．

一 レ

广

…

　r

〆

’

　 　 …

．

「 2

’

　’

_げ

_屮

_「

【

　 　 1

＿．

＿＿

亠

．

＿

．

−

　　r

　 r

_1’

_〆

_’

ド

　

一 凵

u2 （1） d

レ

d籃

丶

　 　 　 v，（2》 T

、

C1》

_↓

　

　

　



_’

　

　

　

_／

／

L

dX

、

　 τ

↑

環1

_．

ー

i … ー Ψ

↑

・ω s

一

₅₀

一

dX， 図

一

5　 材 料の分 散 　応 力 度は有 限と考え ているの で， 式 （4

．

4）の 右 辺の 第六項まで考 慮すれ ば_， 精 度は十 分で あ ろ う

。

そ し て， 方程 式 （4

．

2）

，

（4

．

3）と （4

．

4 ）か ら 　 　 　 　∂2［u：（2）

−

Ul（

1

＞］ 　　 　　　 　　　 　　 　　

＝

［

Tz

（

2

）十

T2

（

1

）

− 2

　

T2

） 　　 　thdX， 　 　 　 ∂t：

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

− dX

_器

・

響

器

　　 　　　 　　　 　　

・

・

鹽

鹽

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

一…

　

一・

・

・

…

　（4

．

5

） を得る。 　こ こ で

，

線 形理論と の 比較につ い て説 明す る

。

線 形 理 論で は微小ひずみ 理論が用い ら れ てい るので

，

d

鮒 を 零に近 似す るこ と ができ る

。

その結 果

，

式 （4

．

5）が式 （4

．

1） と同じ形にな る （式 （

4．1

）で物 体 力

f

＝

0と仮 定 ）。 　そ し て

，

式 （2

．

4）を用いれば式 （4

．

5） を次 式の よ う に表すこと がで き る。 　　 　　　 　　　 　　 　dXl ∂4T 、 　　 　　∂tp2 　 　 　 ∂2T2 　　 　　　 　　　 　　 　　　 　　

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（4

．

6

）

　　　

向

可

＝一

諷 ＋ 12 ∂Xl 　こ こで

，dX

，は有限立 方体 （要 素 ）の 1辺の長さ で

，

簡 単の た めに

，dX

，

＝1

と す る （次 節の数 値 計 算は

，

こ の仮 定に し たがっ て行う）。 　通 常の習 慣に し た がっ て， 材料が初 期 状態で応 力 度 0 と仮 定 する と定 数 αE は

0

で あ り， そし て

，

式 （

3．

14

） が次の ように書き換え られ る

。

　　　

T2

＝

μEP2 十1／2（λE 十

2

μE）p茎

…・

…・

……・

・

…

（4

．

7） 式 （4

．

7）を式 （

4，

6

）に代入 す ることに よ り， つ ぎの式 が導 出される

。

　

　

　

・

籌

一

・・

（

…

窒

瑞

齢

）

　

　

　

　

　

　

　

・

去

（・・E・ ・趣）

離

…・

……・

・

…・

（… ）

　

これ が

，

求めて いた波

_動

方 程 式で ある。

　

波 動 方 程 式 （4

．

8 ）は

，

変 形 勾 配p，につ い て の非線形 変 微 分 方 程 式であ る、 その左辺， 右 辺と も

，

差 分 を 微 分 で近 似し た も ので あ る

。

差 分 式が微 分 式と な る と

，

解析 解の取り扱い が 簡 単になる とい う利点が あ る

。

これをソ リ トン理 論では連続体 近 似とい う文9 ）

・

’e）

_。

4

．

2．

　 波動方程式の導 出 （第二方 法 ）

　

本 項で は

，

物質座 標を 用い て記 述された_古典力学の_平 衡 則 （4

．

1）式 を 用い て_， 波 動 方 程式 を 導 出 する

。

な お

，

物 体力

f

は零 と する。 平 面波を考慮す るの で， （4

．

1＞ 式は次の よ うに な る。 　 　 　 　∂2Uk 　　 　　　 　　　 　

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

−t・

tt・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（4

．

9

＞

　　　

丁_凋

＝

th ∂

t

・

　

　

　

鍛

一

_聯

一 ・

……・

…・

一 ……・

・

……

_{… 1}・） 両 辺の X［に対す る微分 をと る と

　

　

　

誓

舞

一

_聯

………・

…一 一 ・

…・

_（・

・

11）

』

｝

　 「 り

　

前項で は

，

有 限な大き さの_要素が連 結して い る物 体 を 考え た が

，

本項で は図

一

6に示し た よ うに各要 素 を点と み な し

，

その_{距 離}を有 限と_仮定して_考察 する

。

こ の よ う な_要素の_{平 衡}を考 慮 すると，き れいな平 衡 則が得 られる

。

これ は原子 力 学の基 礎 的な考え かた である

。

図

一6

で示 さ れ る よ う な要 素が ご く小さいと仮 定し

，

た と えば分 子 と考える。そ して

，

Xi

（n）位置の要素の平 衡 を とり

，

（4

，

ユ） 式 を次の よ う な式に書き換え るこ と がで き る

。

　 　∂！ Pit

　

A ∂

t2

＝

　　

1

 

篁

・（・｝＋ △XI（・））＋T・（

Xi

（・）

一

_△

_Xi

_（n））

−

₂・T ・（

x

，（n｝） 　 bXl

→

o_（

AX

，（n）） 2 　 　　　 　　　 　　　

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

’

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（4

．

12） こ こ に

，

AX ，（n）は格子の間の距 離で ある

。

こ こ で は ， 前 項と対 比 し な がら

，AX

、（n）

＝

1

，

つ まり格子の間の距 離が単 位 距 離と す る

。

そ う す る と_， 〔4

．

　

12

）式_{が次の よ} うにな る

。

　∂2_ρk 禽

_酒

7

＝

TMXI （n＋

1

_））＋ TKXI（n

−

1））

− 2

・

T

_・（

XI

_（n）） 　 　　　 　　　 　　　

”・

・

・

・

…

　

−t・

・

…

　

曾

・

・

・

…

　

一・

・

・

・

・

…

　（4

．

13 ） 　こ こ では

，

簡 単の ために_，

S

_波だ け を考 慮す ること に す る。 このために

，

次式の条件を設定す る。 　 　　u1

＝

Us

＝

0

，

u2≠

0・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

t

・

・

・

・

・

…

_（

4．

14 ）

　

本項で は以 後， X躙方向の第 η 番の格 子につ いて の横 波の _伝播を検 討 する の で， 記号を簡略 化 するた めに

，

T

，（

Xi

（n＋

1

＞）を

T

（

X

＋1）と 書き換え る

。

そ し て

，

（4

．

7） 式 を （4

．

13）式 に代入 すれ ば_{， 次}の_式が得 られる

。

　

　

　

命

鬱

一

・・E［P，｛

X

＋

1

＞＋P2（

X −

・）

− 2P

，（X）］ 　 　　　 　　　十1／2（λE十2μE）（p塁（

X

十

1

）

　　　　　　　

十p盞（X

−

1）

−

2p茎（

X

）｝

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

（4

．

15 ）

　

第 η番目の_{格 子}の 変 形 勾 配と第 （n±1） 番 目の_格子 の_変形勾配と の関 係が

Taylor

_展開を用い て_， 次の よ う な式に _表さ れる。 　 　 　

ノ

　　　　　　 rt　　　　　　

　

　　　　　　　ltli

　　　

P・（

x

±

1

）

−

P・±

？

L

＋

告

±

告

＋

怨

一

＋

・

一 ・

　　

　

P ；（

x

±

1

｝・＝P_；±

響

_＋（

弖

i

厂＋

一

一

・

…

　 　 　

’

’

’

’

’

”・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　く4

．

16） そ して_， 最 後に_， 波動 方 程 式が次の よ うに得ら れる

。

　

　

　

考

舞

一

俺

（

∂2 ρ・ ＋⊥ ∂ 4 ρ・ ∂

X2

　12　∂X‘

）

　　

　

　　

　

　

＋

者

（A．＋2絢）

籌

・

…・

……・

…

（4

．

17） 　こ れ が

，

求めていた波 動 方 程式であ る。 期 待され た と お り に_， こ の式は_{， 前 項}で求め た波 動 方 程 式 （4

．

8

）と

一

_{致 する}

_。

5

．

波 動方程 式の理論解

　

導 出され た波 動 方 程 式 （

4．

8

）あ るい は （4

．

17 ）の_係 数を簡 単にする ために新た な 係 数

C

：と

k

，

　

　

　

C

：

一

鴒

・一

弖

气

1

権

……・

・

……・

一

_（・

．

1＞ を用いて書き換え る と

，

波 動 方 程 式は次の よ うになる。

　　　　　　

l

　

　

　

黌

一

_・・

_［

_｛

_霊

・

聯

・

蝪 疇

）

］

　 　 　

・

・

・

…

　

一…

　

tt・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（5

．

2） こ こ に

，

C

。は線 形 弾 性 体に お け る波 動伝 播 速 度で あ る ことは式 （5

．

1 ）か ら明ら かであ る。

　

波 勤 伝 播の非 線形 性 を 考察する た め に_， 次の よ う な移 動座標を導入 する

。

_{線形伝播 速 度}

C

_{。で伝 播す る横座 標} ξを用い て X を， 時 間 τ を用い て tを置き換え る

。

座 標変換 方 程 式は次の よ うにな る 　　 　ξ

＝X − C

。

t，

　　τ

一C

。t

・

・

・

・

・

・

・

…

　

一・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（

5．

3

）

　

速 度

C

。で伝播す る座標上で は

，

波 動の非 線 形性は小 さ いと考え

。

式 （5

．

2）を次の よ うに_変換す るこ _{と が で} きる

。

　

　

　

霧

・

書

孃

・

耀

一

・

…一 ・

……

1

・…

　

式 （5

．

4 ）は_{非 線 形 変 微 分 方 程 式で} ， ちょ う どソ リ ト ン理 論の変 形さ れ た

K −dV

方 程 式 と

一

致す る

。

これ よ り

，

非 線形 地 盤にお け る波 動 伝 播は既に_{展 開}さ れて い る 非 線 形の ソ リ トン理論に結びつ _{け ら れ る}

。

_{式 （}5

．

4_）は 線 形 速 度で移 動す る移 動 座 標 上の 波 動 方程式で ある か ら

，

波 動の非 線 形 性の_{考 察}に は_{， 非常}に_{便 利}であると考 えら れ る

。

　さ らに

，

次の よ う な仮定を用い れば

　　　

P

＝

▽研

・ τ

＝

’

24

　

T ・

ξ

＝

y

… t’

… ”

（5

・

5） （5

．

4 ）式は次の ように なる

　

　　

勢

・6・v

’

・，＋v，yr

−

・

…一 ・

…・

………・

…

（・

．

・）

　

これは標 準 型の変 形_され た

K −dV

方 程 式と呼ば れて い る。 　波 動 伝 播 だ け を考 慮す るの で_， もし C を非線形 波 動 の伝播速度と してお け ば

，

波 動 方程 式の理 論 解が次の よ うに仮 定で き る

。

　　 　v

＝

丿e（z）

，

　z

＝

＝

Y − CTt −・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

（5

．

7）

一 51 一

　

との仮 定に基づい て

，

式 （

5．6

）が次の よ うに変 形で きる

。

　　　− Cf

’

十6f：

f

’

十_∫

”＝

0

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…



（5

．

8） こ こ に_，

’

は z に関す る微分を表す

。

　

式 （5

．

8 ）をz に関す る微 分で_括る と

　　妾

（

一

・

f

・・

f

・ ・

f

”

）一 ・

……・

一 …・

…・

（… ） と な り_， （5

．

9）式の両辺 を 積 分 す る と

　　　

f

”

＝Cf −

_2f3 十

1

）

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…



（5

．

10 ） 　こ こ に_，

D

は積 分 定 数 と なる_。 こ の式の両 側に

f

’

を掛け る と， 次の よ うに変 換で き る

。

　　　

離 姻

一

謝号

_∫一

壱

プ・Df

］

…

（・

・

11） し た がっ て

　　　

去

（

f

’

）…

号

f

・

一

告

”・

Df

・ ・

…………・

（・

・

12） ここに，

E

は積 分 定 数 　式 （5

．

12＞の性 質 を 調ぺ る た め に

，

式 を書き換え る

。

　　　

1／2 （

f

’

）2十 U（

f

）

；

E

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

（5

．

13）

、

こ こで， 【

1

（

f

）につ い て整 理 する と 　 　　σ（丿「 ｝

＝

1／

2f4 − 1

／2　

C

_ノ：

− D

_∫

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

（5

．

14） 　これ より

，

次の こと が分か る

。

方程式 （5

．

13 ＞の左 辺 の 第

一

項 を運 動エ _ネルギ

ー

（z を 時 間，

f

を 変 位，　

f

〆 を速 度と し て考え る）

，

第二項 を位 置エ ネル ギ

ー

とみな すことができ

，

その_{運 動}エ _ネル ギ

ー

と位置エ _ネルギ

ー

の 和 が

一

定の 定 数

，

つ ま り総エ ネル ギ

ーE

とな ることで ある

。

位 置エ _ネルギ

ー

は 図

一

7の よ うに示され る

。

　

最後に_， 変 形 さ れ た

K −dV

方 程式の

一

般 解 は_， 式 （

5，

13） を積 分 して_決め ら れ る

。

　

　

　

∫

、

flfh

（

f

−

fd

_・

…・

一 ・

……凾

（・

・

15・ こ こ で

，

_定数

D

，E な ど は初 期 条 件と境 界 条 件に よ り与 え ら れ る。 こ こでは， 特 殊な場 合と して条件

D ＝E ＝0

の場 合を 扱 う

。

この時

，

式 （5

．

15 ｝は次の よ う な式にな る

　

　

　

ftt

・

r

−

f



・・

…・

…・

・

………一

・… 6 ・ L窺

．

oeeonO

　

　

　

　 　 匪 6

　

　

　

　 　 3

日

蝦

一

卜

塞

日

ト

■

nO

．

00

一

3

．

oo POS［T【ON　POTiHT1AL o　o　　　　 o　5 　　　　 1　0 　　　　 L5 　　　　2　0　　　　2　5 　 　 　 0「SPL轟CじM扈阿1 　 　図

一

7　位 置エ ネルギ

ー

一 52 一

こ こ で

　　

V6

＝

lffi

「_＝ ηL

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　tt

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

（5

．

17） とお く と 　式 （5

．

16

）の_{左 辺}

一

f

， 、

舞

、 一 、

お

・

綴

・

…・

_{… 18・} 式 （・

．

16）の右 側

一

fd

・− x＋・

一・

……・

…・

・

（… 9） こ こ に

，

δ は積分定 数

。

　m につ い て の解は次の よ うに計 算さ れ る。

　　　

m

＝

V

（

r

　

tanh

_［而 （z＋δ｝］

一 ・

…・

・

・

……・

（

5．

20

） 　最 後に こ の特殊な 場合の理 論 解は以 下の式で求め られ る。

　　　

η

＝煽

　　　 ；

va

　sech _［Vτ

一

（z十δ）］ 　 　　

＝

ve

’

　sech ［》で

『

（

Y −

CT 十 δ）］

・

………

（5

．

21） 　こ の特 殊な場 合の_変位式は簡 単に求め られ る

。

すな わ ち，

　　

　イ

匚

・岡 sech

［

¢

（

X

・

一

・・

t

　　

　　

一

_塾

_{＋ ・}

）

］

・＆

…・

…・

…・

・

…一 …

（・・2｝ 　こ の特 殊な解に より

，

次の よ う な二 つの_結論が与え ら れ る。

1

） この _特殊な理 論 解が求め ら れ る条件は

，

総エ ネル ギ

ー E

が

O

である。 これより

，

もし初 期 波が （

5．

21

＞ の よ う な 波 形で あれ ば

，

波 形がそのま ま伝わっ て行くと 予 想さ れる

。

こ れ は

，

ソリ トン理論で

，

ソ リ トンと呼ば れ ている波であるR9）

・

ie ） 。

2

） 非 線 形 波 動の伝播速 度は

一

定の定 数で はな く振 幅に 依存し_， す なわ ち 振 幅 が大き けれ ば

，

伝 播 速 度は大きい

。

これ は， 線 形 波 動と の相違 点である

。

6．

波動方程 式の数 値 解 析 　波 動 方 程 式の性 質 を考 察す る た め に， 係 数

D

、と D， を 導 入 して

，

（5

．

4）式を次式の よ うに書き換え る

。

　

　

　

警

・

DIP

・

霎

・D・

i

掌

一

・

一 ・・

……・

…

… 1・ こ の式の_第二_項は非 線 形 項

，

第三項は分 散 項とソリ トン 理論で は呼ば れて い る

。

特 殊な場 合 P，

＝

D

、

＝

Oが 通常 の線 形力学に お ける波 動 方 程 式であ る。 　図

一

8

，

9

，

10

，

11は簡単な波 を入力した場 合の解 析 結 果である

。

横軸は移動 座標ξで， 縦 軸は変 形 勾 配p で ある。 各 図の最 下の波は初 期 波で

，

上の 四本の波 が 時点

T

、＜

T2

＜

T

，＜

T4

の各 時 点の波 形であ る

。

　図

一

8の

A − DIS

　

Sine

波 を初 期 波と し て入 力 した場 合の 各 時 点の 波 形 を表 して い る

。

図

一

8

−

A は 長 周期の Sine_波を 入力し た場 合

，

図

一

8

−

B は 短 周 期の

Sine

波を 入力し た場 合

，

で あ る

。

ソ リ トン理 論で 小 さ れてい るの

変

形

勾

配

変

形

勾

配

変

形

勾

配

A

C

B

■

図

一8

　Sine初 期 波

A

D

_{移 動 座 標}

図

一

9　Exponential初 期 波

A

B

_{移 動 座}

_標

B

_{移 動}

_座

_標

図

一

10　ソ リトン初期波 と同様に

，

時 間が経 過す る に従っ て

，Sine

波がい くつ か の ソ リ トン に な る の が わ か る

。

D ，

＝ O

，

つ _ま り線 形 分 散の場合の 各 時 点の波 形が図

一

8

−C

であ る。

Di＝

・

Dz＝

0

，

つ _{ま り通 常}の線 形 波動の 場合が図

一

8

−D

で表さ れ

，

伝 播して も波 形は変わ ら ない （移動 座 標で考 察す る た め）

。

　図

一9

で は

一

般 的な EXPQnential 波を初期波と し た場 合の _各時点の波形を示 す。

Exponential

波は （

5．

21

）式 で表さ れる ソ リ トンと 形状が 類似 して い る の で

，Sine

一

₅₃

一

変

形

勾

配

A

B

_移動

_座

_標

図

一11

異 なる 二つ の振 幅を持つ ソ リ トン初 期 波 波よ りも早い時点で ソ リ トンになっ て伝 播 する （図

一9−

B）。

　

図

一10

で は特別な

Exponential

波を初 期 波と し た場 合で あ る

。

初 期 波の波 形は （5

，

21 ）式の よ う な形を取る

，

つ ま りソ リ トン で ある

。

図

一

10

−

A は

一

つ の ソリ トン

，

図

一10−B

は 二っ の_等振 幅の ソ リ トンを初 期 波とした場 合の各時点の 波 形 を 表し てい る

。

図

一

10

−

A

，

B とも

，

初 期 波の波 形が その ま ま伝わ っ てい く （線 形 波と同じ性 質を持つ ）。 　図

一

11は振幅の違う二 つ の ソリ トン を初 期 波と して 入 力 し た場 合で ある。 （5

．

21

）式か ら わ か る よ うに ソ リ トンの伝 播 速 度は その振 幅の大き さ に 比例す るの で， 図

一

₁₁

_{−A ，B}

_{で は振 幅が大き な ソ リ トン が 破 壊し ない ま} ま振 幅 が 小 さなソ リ トンを追い_越して_行く。 この よ う な 性 質か ら

，

こうし た波 形はソリ トン （

Solitary

　

Wave

の 粒子 （

−

on _））と名 付け られて い る文9LI°）

_。

7．

結 論 と今 後の研 究 　本 論 文で は有 限 変 形 線 形 弾 性 体を伝播す る波の挙動 を 把 握す る た めに_， 変 形 勾 配につ い ての_{非 線 形 波 動方程 式} を二つ の方 法で導 出し た。 興 味深 いこ と に は， その導 出 され た波 動 方 程 式が 互い に

一

_致す る だ けで は な く

，

原子 力 学に お ける変 形さ れ た K

−dV

方 程 式と も

一

．

一

致する こ と が わ かっ た。 換 言す れば

，

非線形の原子力 学 理 論 を地 震工学へ 応_用す る

一

例が示さ れ

，

ま た波

動

方 程 式の理 論 解 を導 出 した うえに

，

い くつ かの_解析解も示し た。 　本 論 文では， 簡 単な初 期 波を 入力する場 合につ い て の 解析を行っ た が

，

複 雑な地 震 波につ い て も

，

そ のま ま応 用で き るもの で ある。 す な わ ち

，

現在 線 形 理 論を基 礎と して いる地 震 波 動 理論をこ の非 線 形 波 動理 論に置き_換え る こと がで き る

。

故に_， 今 後の研 究と して は

，1

）本 論 文で展 開し た 理論を実 際の地 震 波につ い て応用 する こ と，2）非 線 形 構 成 則を持つ有限変 形 非 線 形 弾 性体の 場 合

，

さ らによ り

一

般 的な有 限 変 形 非 線 形 粘 弾性 体の場合につ い て波 動 方 程 式を考 察す ること， などが挙 げら れ る。 謝

1

辞

　

本 研 究を行うにあ た り

，

種々 ご助 言 を頂い た_{杉 村義広} 東 北 大 学 教 授に_感謝す る。 参考 文 献

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