局所積分の概念を用いた確率有限要素法

【論　 文】 UDC ：624

．

042 ：519

．

6 ；519

．

2 日本 建築 学 会構 造 系 論 文 報 告 集 第 399 号

・

1989 年 5 月

局所積

分

の

_概念

_を用

い

た

_{確 率有}

_限

_要素法

正 会 員

　高 　 　田

毅 　 　

士＊ 　

1．

序

　

近年， 土木

，

建 築 等の分 野で不 確か な材料 定 数 よ り成 る確 率 構 造物 （

Stochastic

　system _）の _解析が構 造 物の 安全性

，

信 頼 性を論 じ る上で重要な テ

ー

マ と なっ て来た

。

一

_{方 で は}

_，

_{確 率 過 程} （

Stochastic

　_process）

，

_{確 率 場} （

Stochastic

　

field

）に_関す る 理解も進み

，

さ らに電子 計 算 機の著し い技 術革新と あいまっ て解 析 例 も最 近 数多 く報 告 されて いる

。

　空間 的に変 動する材料定 数は

，一

般 的に確 率 場あ るい は不 規 則 場とし て理想化され る。 こ の よ う な 確 率 構 造物 の_{解 析}は古くか ら研 究 対 象と な り

，

現 在では

，

有 限 要素

　　　　　　　　“

等の離散化 手 法 を 用い て

，

材料定 数に関す る離 散 化 確率 場か ら成る構 造物として_扱わ れ る。 つ まり， 変 動す る材 料 定 数は

，

分 割さ れ た要素 内で は

，

ひ とつ の確 率変数

，

いわ ゆ る

，

要 素 内

一

定と して_扱わ れる

。

そ して_， モ ンテ カル ロ法や摂 動 法に よ り

，

構 造 物の確 率 応 答が評価さ れ るのが通 例である

。

例えば

，

，

モ ンテ カル ロ法では

，

離散 化 確 率 場の サンプル発 生 方 法な ら びに そ の応用 に_関し て

，

篠 塚ら

_φ

長年の_{研 究}が挙げ ら れ1 ）

“

4 ）， モ ンテ カル ロ 法に よる有 限 要 素 解析と言え ども高 速 計 算 機 を用いれば 実 用 的な手 法 と 成り得るこ と が示さ れて い る

。一

方

，

変 動 量 が微 小である との_仮定に_{立 脚}し た摂 動 法は， そ の簡 便 性と実 用 性の _観点か ら数 多くの応 用 例が見受け ら れ るs｝

−

10）

_。

　

し か し な が ら， 上 記の両 手 法におい て も材料 定数に関 する本 来の連続確率場を有 限 要 素 内

一

定とい う離散化 確 率 場と して理 想 化し た た めに

，

有 限 要 素の要素寸 法 を十 分 小さ く する必要が あ ること

，

ある い は， 要素寸法を変 えて解の収束を確認す る必 要があることが挙 げら れる

。

し た がっ て

，

細か な要 素_{分 割}が_{要 求}さ れ る場合

，

計算 機 へ の負 荷は_多大と な る。

　

本 来

，

確 率 有 限要素法で は

，

適 切な要 素 寸 法は

，

構造 物 内に生 ずる応 力

，

歪み こう配の_観点から定まる の みな らず， 空間 的に変 動す る確 率 場を 十分 追 随で きるもので なけれ ば な ら ない 。 文 献 11 ）_{で は} ， 適切 な要素寸 法は解 く べ _き問題の種類

，

荷 重 条 件

，

構 造 物の特 性

，

お よ びい か ＊ _{清水建設   原 子 力 本 部 　 工 修} 　（1988年 9 月 29日原稿 受理

，

1989年2月17日採 用 決 定 〉 な る応 答に注 目して い る か等に よ り，

一

概に は定め るこ と が 困 難 として いる が

，

確 率 場 を特 徴づけ る相 関 影 響 長 さ （

Correlatiori

　scale _＞が

一

応の _目安に_成り得ること を 示 唆し℃いる

。

　

こ うした既往 手法の_持つ_{潜 在 的}な欠 点 を補っ た方法と し て_， 著 者は ト ラス

，

_{骨 組 構 造 物 を対 象}に_新しい_確率有 限要素法 を提 案し て来た121

。

こ の方 法は

，

確率場の離散 化を行わ ない で厳 密に連 続 確 率 場 を取り扱っ て確 率要素 剛 性行列を組み立て るもの であり， 確率場を含むい くつ かの要 素 積 分 を実行す ることに より

，

確 率 場の _問題が有 限 個の確 率変数のそ れへ _{変 換す}る こと が可 能で

，

確 率 応 答評価の_際に は

，

そ れらの確 率 変 数に対し， や は り摂動 法 あるいはモ ンテ カル ロ法が使 用さ れ る

，

この方 法は篠 塚13｝

，Bucheri4

｝

_，

_{西 橋}15 ）_の 解析的な研究が土 台と なっ て い る が

，

有 限 要 素 法で定 式 化さ れ ている た め

，

構 造 物の 静 定

，

不静定を問わず

1

’

また， 確率場の特性にもよ らず

，

効率 良 く精 度の高い解が_得られ る こと

，

確 定 解 析 と 同 様， 要素を副 要 素に分 割 する必 要はまっ た く ない こと が特 徴 で あ る。 　本 報で は

，

確 定 静 的 外 力 を受け る

，

ヤング係 数 が 空 間 的に_変動す る構 造 物の確 率 応 答に_着目し

，

新たに 「局 所 積 分」の概念を導 入 する ことによ り

，

著者の提 案し た確 率有 限要 素 法を定 式 化かつ体系_化す る。 さらに， 数 値 計 算を実 施し既 往の確 率有限要素 法か ら得 られる結 果 と比 較し

，

本 手 法の有 効 性な らびに経 済性が示され る

。

　

2．

局 所 積 分の導入 　本 節では多 次 元 均 質 連続確率場を基に

，

ある小 領 域で 規 定さ れ る 「局 所 積 分」を新たに_定義し

，

その統 計 的性 質 ならびに基 本 確 率 場と の_{関 係}につ い て言 及 する

。

　

図

一

1に示 す よ うに平 均 値零で _自己相 関 関 数

R

雇 ξ）を 持つ 正規 多 次 元 均 質 連 続 確率場

X

（x

’

）を考え

，

それ と小 領 域

V

内で定 義さ れ た確 定関数 g（x）より

，

領 域

V

に お ける関 数g（x ）の_{局 所 積 分}を次 式で定義す る

。

　　　

熈 ）

イ

・（〆

−

xl ）・（雌

・

………一 …

（・｝ こ こ に xt は領域 V 内の ある点の全体座標で測っ た位 置ベ _{ク トル を表す もの と す る} 。 プライム の付い た量は本 報 告の全 頁におい て

，

全 体 座 標 系で測 っ たもの とし

，

局

一

₄₉

一

9 n 次 元 確 率 場 X uz 　 v x

・

・

_{x 〔}x_り

）

’

O

「

’



図

一

1 高所 積 分の概念 所座標系の もの と 区別し てい る

。

今

，

x3 が固 定さ れ た 場 合， 関 数

g

（x ）の領域 γ に お け る局 所 積 分 Xgは

，

　xt の み の関 数とな り

，

ひとつ の 正 規 確 率 変 数であ る。 簡単 の ため， 1次 元の場 合を考え る と 図

一

_{2を参 照}し

，

領域

V

を幅 丁 と し

，

．

説を領域の中 心に取る と

，

上式は

，

　 　 　

’

　 　 　　 　 　 　T

　　　

廟

一

_∫

_苳

_・（蜘 ＋・・ち）

du …・

……・

・

……

（・）

．

とな る

。

こ こ に u は領域 内で新たに定 義 され る局 所座 標系で測っ た位 置ベ ク トル であ る

。

上 式に おいて

，

基 本 確率場 が 平 均 値 零でかつ g_（x）が_確定関数で ある こ と を 考 慮す れ ば

，

局 所 積 分

X

蠢

9

の アンサンブル平 均 も零 と なる

。

　 　 　 　 　

・

　　　

・

，

E

［

Xg

（」じき）］

＝

o

…・

……

“：；：

……一

；

・

t

・

…・

一、

……

（3） 次に局 所 積 分の分 散は直ち に以 下のよ う な 2重 積 分で表 現で きる

。



、



．



・



．

　 　 　 T 　 　T

　

　

　

v・r［為剛

≧

∫

諺

9（Ul）9ω 　 　　　 　　　 　　

・

E ［x （Ul十_爵）

x

（Ut十爵 ）］

du

［

du2

　 　　　 　　　 　　 　

・

・

喞

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

t・

・

・

…

　（4 ） さ ら に基 本 確 率 場

X

（x

’

）の自己相 関関数を 用いれば_，

、

　 　 　 T　 　 　T

　　

　

v

・r［x。剛

一

∫

鵠

9〔・1）9ω 　 　 　 − 　 　 − 　 　　　 　　　 　　

Rxx

（u2

−

U1_）

dUtdUt・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

（5） と書き替え ること がで き る

。

これ よ り明らかなよ うに

，

基 本 確 率 場が均

_質

で ii7る

_塑

ら， 局 所 積 分の分 散は位 置ベ ク

・

トル 爵 に無 関 係と な り

，

領域 _{琢 D}大き さ に の み依 存 すること が わ か る

。

　

多次元場に戻っ て

，

今

，

領 域

Vi

で定義さ れ るg、

〜

g冊 x _（：t） 0厂 　 　　　 　 xc

−

_i　：

。

　x2 ＋ 咢 　 　 　

L

　 　 　 　T 図

一

2　1次 元確 率 場に おける局 所 積分 卩

一 50 一

の m 個の 確 定 関 数に関する m 個の異な る局 所積分を 以 下の よ うにベ ク トル表 示する

。

これ を領 域

Vi

で定義 さ れ る局所 積 分ベ _クトル ー‘（xZ ‘）と呼ぶ。

　　

　

鵬 ）

−

f

，　g （u）x（・＋・ち・）・・

………

（・） こ こ に g（u_）は m _個の_確定関数 を各 成 分とするベ クトル で

，

以 下の もの を示す

。

　　　

9

（u）＝ ［9i_（u_） ，92（u）

，

…，9配

（u）］ t

…・

……・

・

…

　

…

（7 ） X，（商 ∂の各成分は

，

その 定 義よ り互い に相 関 を 有 する 確 率変数と な る。 こ の ベ クトルに対 し， 2つ の異な る領 域で定 義さ れ る局 所 積分ベ _{ク ト}ル の相 互 共 分 散 行 列を評 価して み

_串

う。 まず， これ

急

の ベ クトル の平 均値は零ベ ク トル と な る こと を考 慮し_て

，

図

一3

に示 す 領 域

Vt

と

V

，で定 義され る局 所 積 分ベ ク トルの m ×m の相 互 共 分 散 行列

C

、、　．」は以 下の ように記 述さ れ る

。

　　　CXck＝

E ［濫（溢‘｝

．

κ

1

（xt 丿）］

　

　　

　　

一

_∬

_{9 ω グω}

_R

_漁 ・1 ・＋

A

・j＞

d

・｛

dti

・ 　　 　　 　　　 　　　

・

・

・

…

　

『

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

7・

rr

・

_（8

．

） こ こ に

Aw

＝

xZ _厂 xtt で， 両領域の相対 距 離ベ ク トルを 表す

。

基 本 確 率 場の均質性に よ り， 上 式の右 辺は

A

‘， と 領 域の大き さの み の関

数

と な り

，

位置点 κ

8

，

エ毎の関 薮と なら ない。

　　　　　　じ

　

後述する確 率 有 限要素解析では

，

上に示 し た局 所 積 分 が基本確 率 変 数とし て取り扱 わ れる

。

した がっ て

，

式 〔8 ） の_多重積分 を何ら かあ方 法で実施 し な け れば な らない_。 ここで

，

仮に

躰 麟 糟

2 次元 均 質かつ その相 関性が あ る軸につ い て完

_全

秀

離 可 能である_， つ まり

，

_自己相関 関数が次 式で表せ る と す る

6

　

1R

．

Kx

、

−

x，

，

〃厂 y、）

一

σ 2 礁 ，

−

x、｝P。（y，

’

₋

y、） 　　 　　 　　　 　　　

・

・

・

・

・

…

　

t・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

nyt

・

・

…

　∴1

・

・

…

　（9 ） こ こに at は基本確 率 場の分 散，　k，　k は各々，　x

，

　

y

方

向

に関して分離され た相 関 係 数関数である

。

そうな れば

，

式 く8 ）の 4 重積 分は

・

2重 積 分 値の積で表すこと がで き る

。

この よ う な確 率 場 をΩuadrant 　

Symmetry

と 呼び16）

_，

相互共会散を容 易に評 価す ること がで きる

。

また

，

_基本 確 率 場の _自己相関 関 数の形によっ ては

，

式 （8 ）の積分 y 監 　 　 　 　 x

登

x 〔x 　 　 ／ n次 元 確 率 場 L △_り x_』 u2 _巧 xl_ノ

匹

厂 　 ぴ 図

一

3　異 なる2つ の小領 域で定義 さ れ る 局所 積分

一

が 陽に得ら れ る場 合 もあり

，

計算 時間 節 約の観 点か ら自 己相 関関数の選 択に は注 意を要す る

。

　

3．

確 率 要素剛性行 列の誘導

　

本 節で は

，

空 間 的に変動する材 料 定 数が多 次元 正規 確 率 場とし て理想 化さ れ た 場合に

，

そ の よ う な材料定 数を 有す る有 限 要 素の剛 性行列が変分 原 理に基づい て容易に 導か れ ることを具 体 的な例題を掲げな がら示す

。

こ こ で 重要なこ とは前 節で規 定し た局 所 積 分の_{積 分領域}を離散 化さ れ た有 限 要素と み な す ことに より， 導か れ た要素剛 性 行列がい くつ か の局 所積分で記 述さ れ ることであ る

。

　

3，

1

　

空 間 的に変 動す る材料 定 数の_{確 率 表 現}

　

材料 定 数の内， ヤング係数が空 間 的に何ら か の相関を 有し な が ら変 動 する場 合 を考える。 こ の変 動す る ヤン グ 係 数

E

を次式に示す よ うに_{多 次 元 単 変 数} ， 連続かつ 均 質な_{確率 場}と して理 想 化す る13〕

・

15） 。

　

　

　

E

勧

一

歩

［1＋X（x

’

）］

一 …………・

……・

…

（1・_） こ こ に

1

_／

E

° は 1／

E

の期 待 値

E

［

1

／

E

］を表し

，

空 間 座

ee

　_x

’

_{に依 存 し ない確 定 量 とす る}

。



X

（x

’

_）は期 待 値か ら の変 動量 を表し

，

平 均 値 零， 2点 間の 相 対 距 離 を ξと す る_自己相 関 関 数 R温 ξ）で規 定さ れ た 正規 多 次 元 均 質 連 続 確率場と す る。 こ こ でヤン グ係 数でな く

，

そ の逆 数 を 定 義し たのは後述する解 析が容易 と な る か らで ある

。

　

3

．

2

　

確率 有 限 要 素 行 列の誘導

　

式 （

10

）で規 定さ れる変 動 ヤン グ係数を有する有 限 要 素の 剛性 行列は

，

まず 補 仮 想 仕 事の_原理17〕_（Principle of　complementary 　virtual 　work _{）を 用い て柔 性 行 列 を作}

成し， その後に評 価さ れる

。

　

簡 単の た め

，

要素内に_俸中間荷 重が作 用し な い もの と する_{。 次}に_{要 素 内}の任 意 点でつ り合い条 件を満 足 するよ う な応 力分 布を仮 定 する

。

通常

，．

こ の分 布は簡 単な要 素 座標 系の _{多項 式}の形で仮 定さ れ るこ と が多い

。

_{要 素}e 内の点 x の_{応 力}ベ ク トル ae_（x _）を

，

　　　

ae_（x_）

＝B

茎（x ）re

…一 ・

…・

…・

…………・

・

…一

_（11） と表す

。

こ こ に re は要 素の応 力 状 態に関した応 力 係 数 ベ ク トル で位 置 x の 関 数 とな ら ない， つ まり

，

要 素 内 で

一

定の確 率 変 数であ る。

B

。（x ｝は仮 定し た応 力 分 布 を 決め る確 定 長 方 行 列であ る。

　

次に応 力と歪の_関係式は

，

以 下の式で記述で き る。

　　　

e・（x）

＝

」

D

； ’ （x _）a。（x ）

…・

……・

………・

・

・

……・

・

（12＞ こ こ に

D 。

（x）は式 （10 ）で規 定さ れ る空間的に変 動す る ヤ ン グ係 数を含む

，

応 カ

ー

歪 行 列で あ る

。

ε。（x ）

，

は σe（x ）に対 応 する歪ベ ク トル で あ る。 応 力 係 数ベ ク トル に対す る要 素 変形ベ ク トル ee を導入 し

，

要 素 内の仮想 応 力 碓 の成す仕 事が仮 想 応 力 係数ベ _{ク トル 曙 の成す} 仕事に等し い ことか ら

，

次の_{等 式 が 成 立す る} 。

　　

　

・：tele

一

五

・：・（x ）ε

。

（x）

dv

、

………・

・

……一 ・

（13 ） こ こに積分 記 号は要 素体積での_積分とする

。

　

式 （ll）と （12 ）を上式に代入 し

，

仮 想 応 力係数ベ ク トル の任 意 性に より要 素柔性行列 Eeが ee と r，の関 係 と して得ら れ る

。

　　 　 ee

＝

Fe　re

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…



一

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…



一

_（14 ）

　

　　

F

・

−

f

．

_．

　・_，

lx

）・・

綴

（・）

dVe ……・

………・

（

15

） 式 （

15

）の被 積 分 関数は式 （

10

）の右 辺 を係 数と して含 んで い る ことか ら， 上の 柔 性 行 列は いくつ かの確 定 関 数 の _{局 所 積 分}よ り_構成さ れ ること が推 察さ れ る。

　

次に要 素 を

_構

成す る節点に おい て節 点 力ベ _ク

』

_{トル P} ． が応 力係数ベ ク トル r， とつ り合う とい う条 件よ り

，

次 の _関係が導かれ_る

。

　　　P

・　

＝

＝

　H・　re

・

一 …・

…・

・

………・

・

…・

（16 ）

He

は平衡 行列18〕_（

Equiliblium

_matrix ）と_呼ば れ要 素の 幾 何 学 的 形 状より定ま る確定行 列であり，

一

_{般に 正} 方 行 列と は な ら ない

。

　

一

方

，

要 素 節 点 変 位ベ ク トル de と e、 は再び補 仮 想 仕事の原 理 を用い て上式より容 易に_関係づ け ら れ る。 つ ま り

，

節 点 力ベ ク トル の成 す 補 仮 想 仕 事P 彦td ． と内 力 の成 す 仕 事 r梦tee を等 置し

，

上式の_関係を用いれ ば

，

　　　

e・

＝

鋭【f。

…………・

・

一 …………・

・

……・

・

…

（17） が た だ ちに得ら れ る

。

　

最後に式 （14 ）

，

（

16

）

，

（17｝よ り， 通常の形の要 素 剛 性 行 列Ke は_，　P_． と

d

，の 関 係 とし て得ら れ る。

　　　

Ke

＝HeF

；’

H2 ・

…・

……tt− ・

……・

…・

…・

…・

・

（18） こ こ に 凡 は剛 体 変位 成 分 を含まな い か ら， その逆 行 列 が存 在 し

，

容 易に上の_計算が可 能である

。

　例 題 1　梁要 素の確率剛性 行 列

　

中 間 荷 重が_{存 在}し ない条 件の_下で

，

要素長

L

の梁要 素の任 意 断 面に_働く断 面 合 応 力ベ _{ク トル は以 下の よ うに} 表せる

。

　

　

　

　

鰓

一

［

i

∴

1

］

ii

−

一

_{・19 ）} こ こ に rl

_，

　r2

，

　r3は軸 力

t

（x）， せ ん断 力 q（x）お よ び曲 げモ

ー

メ ン トm （x）に対 応し た応力 係数ベ ク トル であ るls） 。 ま た

，

断 面 合 応 力ベ ク トル とそ の歪ベ ク トル は以 下の関係が あ る

。

　

　

　

　

騫

一

［

1　／O

EA

　 　　 　

l

／

O

GA

　 　 　　 　OO 　O　 　 　 O　 　1／

EI

］

翻

　　 　

．

　　　　　　　

’

………・

………・

…・

…・

…・

…

（20 ） こ こ に ε_x（x）_{， γ}（x）

，

φ（x ）は任 意 断 面 x に お け る_各々

，

軸 力

，

せ ん断 力

，

曲げモ

ー

メ ン トに関し た 歪 を表す。 A お よ び1 は各々

，

断面 積

，

断 面 2次モ

ー

メ ン トで共に 確 定量 と す る。 こ こ で は簡単の た め

，

要 素 内等 断 面と す る。 E お よ び

G

は 空間 的に変 動す る ヤング係 数および

せ ん 断弾 性 定 数と する

。

今

，

せ ん断 変 形を_無視で き るベ ル ヌ

ー

イオイラ

ー

の仮 定を考えると

，

つ まり

，

1／

GA

＝

0

と し

，

式

．

（

15

）を 用いて， 次の柔 性 行 列が誘 導さ れ る。

畷

［

ぞ聡

溷

ぬ 　 　　　 　　 　　　

’…・

・

…・

……

∴

・

・

』

………一…・

・

_{（21 ）} 式 （10 ）を用い て上の_行列 を確 定 項と確 率 項に分 離す る こと が可能で あ る

。

つ まり，

　　　Fe

＝

Fe −

← △Fe

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…



阜

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…



（22 ＞ こ こに

Fe

は_確定 対 角 行 列で平 均 柔 性 行 列に等しい。

嚇

［

L

i

 

_身

・

弱

、

］

・

…t

…

…・

_{・ ）}

一

_方

_，

_△

_Fe

_は

₃

_{個の異な る局 所 積 分 を含 む 確 率 行 列}で 以 下の よ うにな る

。

　

　

　

峠

「

霞 絹

列

一

伽 ・ こ こ に X。

，

X，

，

　X，は各々

，

確定関 数 を1

，

　x

，

　X2 と する 局所 積 分 を表し

，

互い に相 関を有す る 正規確率変 数で あ る

。

次に梁 要 素の平 衡 行 列は両節点で の力のっ り合いよ り， 以 下に示す3×6の確 定 長方行列と な る 19）

_。

　

　

　

・卜

隠

踊

1

刺

　 　 　 　

・

・

・

・

・

…

　

『

・

・

・

・

・

…

　

’

一

・

・

・

・

・

・

・

…

　

一

一

t・

…

　（25） 図

一

4　平 面 応 力 矩 形要素 　 　 0 　 　

』

02

〔1十ン）

Xoo

　 　O 　 　O さ ら に

，

式 （

18

）の

H 。

F

；】猛 の行 列 演 算 を 行っ _{て 要素} 剛性行列

K

。が 導か れ る

。

　

ま た， 式 （19 ）を用い て， 要 素 内の確 率 変 位 関数 も導 き出せ る が紙 面の都 合で割 愛 する。

　

例題

22

次元 平 面 応 力要 素の確率剛性 行列

　

図

一4

に示す矩形 2次 元 要 素の剛 性 行 列牽求め る

。

ま ず， 要素 内でのつ り合い条 件 式を

満

足す る応 力 分布を次 式の よ うに簡 単に空間座 標の多 項 式と な る よ う近 似 す る19） 。　　　　　　　

、

ax（x

_，

　y） σ_y（x

，

y） Tx。（x

，

　Y ）

ー

0

ヱ 0 忽

00

001 010 100

ー

　

；

rl72 『 3r4rs 　　 　　　 　　　 　　

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

．

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　く26 ） こ こ に ax，　ay

，

　Txu は

2

次元平面 応 力 状 態での 応力成分 で

，

r

、

・

一

一

　

r， は要素の応 力 状 態 を決 める係 数ベ ク トル で 確率変 数である。 平 面応 力状態に お け る歪と 応力の関 係 は式 （IO）で規 定さ れ る変動ヤング係 数を用い て以 下の よ うに表すこと がで き るet ex（x，　y） ε幽

，

y） r

＝

y（x

，y

）

ー

⊥

E

　 　 ； 　 1　 　

一

レ 　

ー

レ　 ユ 　 0　 　 0 a＝（x

，

y ＞ σ

dix

，

　y） 婦 コc

，

y）

∴

］

▼

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

_{（27 ）} v はボ アソン比 で確 定 量とす る。 式 （15 ｝の演 算 を行い 柔 性 行 列を求め る と， 式 （22）の ように確 定項と確 率 項 に分離 可能で ある

。

こ の時

，

．

平 均 柔性 行列

Fe

は

一



_lx

　

lyh

Fe ＝

　 　 　

EO

　 　 　

lx

　

lyh

AFe

＝

　 　 　 EO 1 レ 000 Xoo

一

_レXoo 　 OX

。

、

−

_vXlo

一

_vx 。oXOD 　

O

−

　vXOiXiO

一

_v

_O

_{O　 　 O}

’

1

　 　

0

　　 　0　　 0

0

　

2

（

1

十の　　0　　　

0

0

　　 0　　

1

曷／

12

　　

0

・

_{0　　　　0}

₀



_ts

_／12 　　　 　　 　　　 　　　

・

………・

・

…・

…・

・

……・

・

一

……

（28 ）

　

と な る

。

こ こ に

1

エ

，ly，

　

h

は 図

一

4に示 すよ うに矩 形 要 ： 素の 各 辺 長

，

お よ び厚さ と し， 確 定 量とする。

AFe

は

…

平 均柔性 行 列か ら の_変動量を表す確 率 行 列で以 下に示す

　

よ うに_， 6個の _異な る確定関 数の局 所 積分によ_り表_され 　る こと が分か る

。

　

XOI

一

レxOl 　 OXo2

一

レ

Xi匸

一

_vX ，ox ガ。 　 0

−

_vXIIXIe

．

：

．

．

．

．

．

．

．

．

．

，

，

，

．



．

・

一



・

・

・

・

・

・

・

・

…



tt・

一・

・



・

・

・

・

・

・

…



_（29） こ こ に

Xnm

は各々

，

そ の確 定 関 数をx” yT と する局 所 積 分で正規確 率 変 数と な る

。一

方， 文 献 ］9 ） より

，

隣接 要 素 間の 変 位の連 続 性 を考 慮し て

，

、

8×

5

の_平衡 行 列が以 下の よ う に導か れ る

。

一 52 一

一

H2

−

s

一



_lyO

− lxl

｝／60

0

− tr

−

　

lyOlk

／6 　

ly

　 O

− lx

一

_1；／6 　 0 　O　 　　ly

− 1エ

　 　

O

　

lv

　　

lx

　

O

　 　

l

；／

6

−

　1_釜／6　 0 OlxlyOI 島／6 そ し て

，

最後に通 常の形の要 素 剛 性 行 列が計算さ れ る。

　

以 上の

2

つ の_{例 題}で見るよ うに

，

ヤン グ係 数 が 式 （10 ） の よ うに空間 的に変 動す る場 合， 確率要素剛 性 行 列は要 素積分を含ん だ有 限 個の確 率 変 数 （梁要 素で は

3

個，

2

次元平面応 力の矩 形 要 素で は 6個 ）で記 述さ れ る

。

また

，

梁 要素の _{場 合}

，

_{局 所 積 分} x_{。， 平 面応 力要素}の_場合

_，X

_。。 は変動す る ヤ ング係 数の変 動 量

X

（淘 の_{要 素内平 均}であ る か ら

，Vanmatcke

’6 ） の 提 案 する 「局 所平均 （

Local

average _）」と等 価で ある

。

こ の局 所平均を各要素の_持つ 唯

一

の_{確 率 変 数}と して解 析に用いている研 究7）

−

9）_{も最 近} 見受け ら れ る が

，

厳 密な意 味で の確 率 有 限要素剛性 行列 は

，

本節の例題に示す よ うに複 数 個の_{確 率変数}で表 現さ れね ばな ら ない _。 な お

，

要 素 剛性 行 列に含ま れ る局 所 積 分の数はいか な る要 素 を採 用す る か

，

いか な る応 力 分 布 を仮 定する か に よっ て定ま る

。

　

4．

確 率 有 限 要 素 法の定 式 化 　

4．

1

　全体系に おけるつ り合い方 程 式 　前 節で誘導さ れ た確 率 有 限要素剛性行列に適 切 な確 定 座 標変換 （要素座標 系か ら全 体 座 標系へ の変_換）を_施し て

，

全 体 剛 性行列が組み立て られ

，

結 果と して

，

以 下の 式で全体系のつ り合い を表すことが で き る。 　　　 P ＝

Ku ・

………・

・

一 ……・

・

…・

・

…………

_（31 ） こ こ に

P

は確 定 外力ベ ク トル_，

K

は全未知自由度 nr をサイズ と す る 全体 系の確 率 剛 性行列， お よ び u は未 知節点変位ベ _{ク ト}ル で確 率 量 とな る

。

た だ し

，

上式で は

，

す でに既 知変位境 界の 自由 度が関 連す る行

，

列より省か れた もの と考えて い る

。

な お_{， 境界 条 件}はすべ て確 定 的 に取り扱う もの と す る。 全 体 系 をすべて 同じ要 素で分 割 し た場合

，

前 節よ り

，

各 要 素 剛 性行 列が m

ρ

個の確 率 変

　　　　　　　 ヨ

数を含んで い るこ とかち；全体 剛性 行列は全 要 素 数 を ne と し て，　ne ×m 。の互い に相 関を持つ 確 率 変 数 を 内 包し ているこ と に な る

。

　と ころで

，

本 報で は式 （31 ）に_対し

，1

次 近 似 摂 動 法 に基づいた定式 化を行 うが_， 式 （

6

）で定義さ れ る局 所 積 分ベ _{ク ト}ル を各要素の位 置に配す れば

，

新しい離 散 化 確 率場 を定義で きる

。

こ の確率場は， ベ ク トル場 あるい は_{多次元 多変数 確 率 場 と呼 ばれ る}

_。

_{ち な みに こ の確 率 場} は

，

式 （

8

）に示す よ うに均 質 場で あ り

，

ス ペ ク トル表 現が可 能で容易にそのサ ンプルを発 生でき る。 そ して

，

モ ン テ カル ロ法に よ り定式 化す ることも可 能で あ る

。

詳 細につ い て は

，

文 献 ｝ を参照 し ていた だ き たい

。

　4

．

2　1次近似 摂 動 法に よる定式 化

　

一

旦， 解くべ き問題 が無 限個の確 率変数か ら成る確 率

一

_ら 　

O

　

ldr

− li

／6 　 0 　

0

　 ら

一ly

　 O

− 1

釜／6

・

……・

…・

………・

一 ……・

_（30）

塲

で な く

，

9

限個の蘚 変齣 み か ら な る問 題。_儲 す

i

れ ば_， 1次 近似 摂動法が容易に適 用 可 能である

。

式 （

31

）

1

_に対し ， 未 知節点変位ベ ク トル を基 本 確 率 変 数の平 均値

　

周りでテ

ー

ラ

ー

展 開 し

，

1次 項まで評価する_。 つ ま り

，

　 未 知 変 位 を 　 　 　 ゆ　 　の P

　　　　

u

＝

麗゜＋_{Σ Σ 娠}

X

_况‘

・

………

’

…・

…・

…・

……

_{（32 ）} 　 　 　 1

＝

1m

＝

1 　と近 似 する。 こ こ に

Xmt

は

’

i

要素の持つ m 番 目の基 本

　

確 率 変数で ある

。

ま た_， uD は

全

確

率

変 数に そ の_平均 値 　を代 入 して得ら れ る全体剛性行列

K

°_を 用い て以 下の式 　で評 価さ れ る。

　　　　

u°

＝

（K° ）

−

ip

・

………・

……・

一 …・

一 ……・

…

_{（33 ）}

　

ま た

，

uki は全体剛性 行列の逆 行 列 を 確 率 変 数

Xmt

に関 　して偏 微 分し た時の 1次微係_数で次 式に示す

。

　

　

　

　

・盍・

畿

1

臨

………・

…・

…・

一 ……・

（・4＞

　

式 （

32

｝の右 辺第 2 項が

2

重の求 和の形に なっ てお り，

　

従来の_{摂動 法}に基づ く確率有 限 要 素 法の_{定 式 化}とは異な

　

るこ と が わか る

。

とこ ろで

，

式 （34 ）右辺の 」

K−

1 の確

　

率 変数

Xnt

に関する_偏微分は以 下の よ う に して 求め ら 　れ る。 まず

，

逆 行 例の定義よ り

，

　 　　 　

KK

−

■

＝

∬

・

・

・

・

・

・

…



一

_．

…



『

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

_（35_） 　こ こに ∬ は

，

n！×nf の単 位 行 列と す る

。

こ こ で上式の 　両 辺を

Xmi

につ い て偏 微 分すれ ば次 式 を得る。

　

　

　

　

暑

農

1

；

1

−

一一

（

r

・1

銑

1

_默

　 　 　 　

・

……・

…………・

…・

…・

……・

（36） 　次に上式の右 辺 中央の項の偏微分は_要素

i

に関 連し ない 項で は零と な る か ら

，

i要 素の み に注目 し

，

式 （18｝を 　用いれ ば

，

　

　

　

　

譱

「

＿

畷

ll9

_廴

圸

……・

一

_・… 　と な る、 右 辺 中 央 項の偏 微 分は式 （

35

）

，

（

36

）と同 様に 　して評 価さ れ る

。

　

　

　

認

1

温

＿

一

・・1

譱

1

鉱

…・

…

_・・8 ・ 次に未 知節点変位 u の平均値 は式 （32）よ り た だ ちに

，

　　　

E［u］＝ u

°

・

…・

一 一 ・

…・

…一 ・

…一 ・

…・

…・

_（

39

） と な り

，

変 位ベ _{ク ト}ル の共 分 散 行 列は 式 （8）よ り基本 確 率変数の相 互 分 散 行 列を用い て次 式で表 さ れる。

　　　

c

＿一

邑艶

翫

、（。｛，） tE ［

x

。 、x。］

＿＿＿

（

4

。） 　 　 　 ‘

＝

tM

＝

1 」

＝

11

＝

1

一 53 一

同 様に して

，

あ る要素 内の任意 点 x に お け る応 力ベ _ク トル の変 動 特 性も評 価で き る

。

今

，

aKx ＞

，

娠 を各々第

h

要 素の _{要 素 座 標 系}で測っ た x 点の応 力ベク トル_， お 　 　 　 　i　

」

よ び節 点変位ベ ク トルと す る

。

テ

ー

プL 展 開 を利 用すれ ば次式を得る

。

　 　 　

，

　　　

。，ω

一

。 ・

Kx

）＋

邑罰

。撫 ）

x

．、

……・

…・

…

（41 ） 　 　 　 t

＝

・

1M

＝

1 こ こに σ゜

Kx

）

，

σ乱in（x）は以下の と おり である

。

　 　　σOel（：じ）需

B

髭（x ）

F

_莓iH 髭

d

髭

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（42）

　　

　

・

k

，，（x ）一 β

舗

識

譱

L

堀

　

　　

　

　　

　

・ 驫蹠

磯

1

_驍

・

一 …

（43） δiCtは，

．



_Kroneckel

_{の デル タと する}

_。

_{式 （41） より}

_，

_応 力ベ ク トルの 平 均 値

，

分 散は以

_下

の よ うにな る

。

　　 　

E

［aKx _）］＝ _σo（x ）

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（44） 　 　 　 　　 　mp　 ゆ 　 　 　 mp

　　 V

αr［a景x）］＝ Σ Σ Σ Σ

diag

（a缶ih｝（σ｛丿ρE ［XmtXtJ］ 　 　 　 i

＝

圃　m

＝

1 」

；

】　1

；

1 　　 　　　 　　　 　　

・

・

・

・

…

　

一

：

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

一・

・

一・

・

・

・

・

・

…

　（45 ＞ こ こ に

diag

（α）は α _を成 分と する対 角 行 列で ある

。

　

5．

数 値計 算 例 　 本報で提案された確 率 有 限 要 素 法は_， その定 式 化に見 る と お り， ヤン グ係 数に関 す る確 率 場 を離 散 化せずに要 素剛性行列が厳密に導か れ て い る こ と か ら， 確 率 論 的 立 場か ら す れば

，

確 率 場の離 散 化に伴 う誤 差はまったく無 い と考え ら れ る

。

　以 下では_{， 不確}か な ヤン グ係 数 を有する骨組 構 造 物お よび

2

次元平面問題の数 値 計 算 例 を 本 手 法 と既 往 手 法で 解 析し

，

本 手法の 特徴を示す と と もに

_，

結果の妥 当 性 を 検討す る

。

ただし

，

ここで いう既往手法とは_{， 離}散 化 確 率場 を用いた 1次 摂 動 法に基づ く確率有限要素法 とし

，

離散化され た材

料

定 数に

関

ず る 共 分散は， ふ たつ の要素 の_要素重 心 位 置の相 対 差よ り評 価す る もの で ある 

　

5

．

1　

2次 元 骨組 構 造物

　　　　　　　，

　

図

一

5に は_， 確 定 的 静 荷重 を 受 ける門型骨組を示す。 P EA

−

必

ー

p → 班 ＿ 一

＿ ＿＿

」

　 聖

司 Ef

翠

1112L

＝

1P

＝

1 図

一

5　ヤン グ係 数が空 間 的に変 動す る門型ワ レ

ー

ム

一 54 一

各 部 材のヤン_{グ係 数}は式 （

10

）に規定す る よ う に各 要 素 の軸に沿っ て変動し

，

この 1次元 確 率 場の 自己 相 関 関 数 は

，

次式で規 定 され る もの と する13｝

。

　

　

　

R

・・・・…

1

藩

1

｛

；

・

…・

・

…・

・

一 ・

………・

_{… ）} こ こ に σ は1／

E

の変 動係数で

10

％ と し

，

ξは相対 距 離， わは相 関の度 合いを制 御す る 正値のパ ラ メ

ー

_{タ と す} る

。

っ まり

、

， 極 端な場 合と して

，b

が無 限 大にな れ ば， 上 式で規 定さ れ る確 率 場は完 全相関の_場と な り

，

逆に

b

が零に近 付く と無 相 関に近_{い確 率}場 と な る

。

　

異なる 要 素の確 率 場が統計的に独 立と す

_う

と， 図

一

7

〜

₈に示 す よ うに節点変位お よ び要素端 部力の_変動 係 数 がパ ラ メ

ー

タ

b

の 関 数と して得ら れ る

。

図中の実 線は 副 要 素の分 割 をせず

，3

要素か ら な るモ デ_ルに_対し， 本 報で提 案 した手 法を適用し た結果で あ る

。

こ こで は式 （8 ）で与え ら れ る相互共 分 散 行 列を数 値 積分によ り求 め ている

。

ま

_ζ

， 図 中の点 線

，一

点 鎖 線

，

二点鎖線は． 擁 nl

＝

3S 7 1分割モ_デル4分割 モ デルS分 剤モデル 　 　 図

一

6　 既 往 手 法に用いる離散 化 確 率場 0

．

10 　 　 　 　 　 瞞 　 　 　 　 　 0 柱 頭 水 平 変 位 の 変 動 係 数 　 　 o

，

co 　 　 　 　 D

，

3　 　 　 　L

．

0　

．

　 　 　 　2

．

0　

・

　 　 　 3

．

0 　 　 　 無 次_冗化 相 関パ ラメ

ー

タ〔b／L）

　　　　　　　　 　

　

ド

図

一

7　柱頭水 平 変 位の変 動 係数_と無 次 元 化 相 関パ ラ メ

ー

タ O

．

10 050

゜

oDO 柱 脚 の モ ー メ ン ト 反 力 の 変 動 係 数 　 　 　 　 0

，

0 　　　　　　　　LO 　　　　　　　　2

．

0 　　　　　　　　3

，

D 　 　 　 無次元化相関パ_ラメ

ー

タ（b／L） 図

一

8　柱 脚モ

ー

メ ン トの変 動 係 数 と無 次 元 化 相 関パ ラ メ

ー

タ

一

図

一

6に示す離散化 確 率 場 を用い て既 往 1 次摂動法によ る結果をプロ _{ッ トし た も の}であ

_．

る。 これ らの図よ り

，

小 さい

b

_／

L

値の範 囲で は

，

両 手 法の結果 が

一

致しない

。

これ は

，

既 往1次摂動 法におい て は

_，

_粗い副 要 素 分 割で は

_，

_{よ り無相 関}に近い確 率 場 を 表すこと が困 難である こ と に よ る。 これ らの

結

果より

，

既 往 1次 摂動 法 は ，

b

／L 値 が

0．

5 程度で は

，

少な く と も8個 以上の_{副 要 素}の _{分 割} が ない と満 足 し得る結 果を与え ない こと がわ か る。 ち な み に こ の_簡単なモ デル におい て

，

本 提 案 手 法で は

，

全 自 由 度 が

6

に対し

，

既 往 手 法で は

，

8分 割の モデルで 69 に もなっ ていることに注自して いた だきたい

。

　 5

．

2

　

2

次 元 平 面 問 題

　

図

一

9に は上端に確 定分布 荷重 を受ける_{下端単純 支 持} の 2 次元板を示 す

。

こ こ で も， ヤング係 数が

2

次 元 的に 変 動し， そ の確 率 場 が 式 （10 ）で記 述され_， 次式の 2次 元 自己相関 関 数を持つ もの と す る。

　　　

R

。冠ξ

，

η）

一

・‘e

一

摩 ｝

……・

…・

一 …………・

・

_（

47

_＞ こ こ にσ は

1

／

E

の変 動 係 数で 10％ を 与え る

。

_ξ

，

η は 各々_， x

_，

　y 軸方 向に関す る相 対 距 離で

b

は相関パ ラ メ

ー

タと す る。 上 式で与え ら れ る確 率 場は式 （

9

）で示 し た

Quadrant

　symmetry の_場である こと， ま た

，

式 （8） の局 所 積 分に関する相互共分 散 は陽な解が_得ら れ るこ と か ら， 相互共分 散の計 算は容易と な る

。

　

一

方， 離散 化 確 率 場 を用い た既 往の ユ次摂動 法 も 同 時 に解 析さ れる。 図

一

9には

，

両 有 限 要素法で用い られ る 5×5の 要 素 分割も示し， 図 中の右 上 端の節 点変位お よ び上 端 中 央の要素中 央の y 方向 応 力が比 較の対象と し て選ばれ る

。

　図

一

10に は_{， 節}点変位応 答と要 素 応 力の変 動 係 数と 相 関パ ラ メ

ー

タ

b

の 関 係がプロ ッ トさ れ て い る

。

予 想 ど おり

，

既 往 手 法は_，

b

の小 さい_{範 囲}で

，

要 素 分 割が余 り に粗 すぎ ること がわ か る。 ま た

，b

が零に近 付くと応 答の変 動 係 数 も零に_収束す る はずで ある から， 本 手 法で は

，b

の小さい値に対して も 十分な精 度が保 証されてい ること が わか る

。

ま た，

b

が大きい場 合

，

つ まり

，

基本 確 率 場が完 全 相 関の場に 近付く と

，

両 手 法 共， 応力の 変 ：

1

⊥

・曲

・

皿

… d



_だ P

＝

1 L

ヨ

10

一

　 　 　 L

＝

10 図

一

9ヤン グ係 数 が 空間 的に変 動す る 2次元板 動は零に近 付 く

。

これ は

，

応力が板 面

一

様に変動 するヤ ング係 数に依存しな く なるとい う当 然の結 果で ある

。

　

．

次に_{要 素分 割}の_解に及ぼ す影響を調べ るため に

，

要素 分 割 を

1

×

1−

9×9と変えて

，

両手 法の結 果 を比較した。 こ の時

，

相 関パ ラ メ

ー

タ b は 2に固定し てある

。

た だ し

，

どの要素分割で も応 答の平 均 値は変わ ら な かっ _た

。

_図

一

llは

，

右 上端の_{変位 応 答}の 変 動 係数を

一

辺の要 素数 を パ ラメ

ー

タとして_描い たもの で

，

両 図 よ り

，

本 手 法の_解 がほと ん ど_{要素分 割}に依 存せず， この例 題の ように比較 的 単 純 な 応 力状態で は

，

1要 素でも十 分な精 度渉確保 さ

「

れて い る ことが観察さ れ る

。

表

一1

に全 節 点 変 位， 全 要 素 応 力 応答の_{変動 係 数 を得る ま で に要した計算時 間を示} 応 答 の 変 動 係 数

　

一 提 案 手 法

　　

e

−

→ 既 往 手 法 6） 0

．

2 0

．

1 　 　

　　

　 　 　 　 O

．

0 　 0

．

01　　　　　　　0

．

1　　　　　　　　1

．

　　　　　　　 10

．

　 　 　 無次元化相 関パ _ラメ

ー

_タ〔b_／L_） 図

一

10　応 答の変動係 数と無 次 元 化 相 関パ ラメタ 0

．

2 　 　 　   応 答 の 変 動 係 数 0

．

0 ＿ 提 案 手 法

　　

in

＿一

“ 既 往 手 法 6） ！ ！ 　 ！

、

、 』

一 ＿

；

．

−

L

　

・

　 　 　

、嘲

自

、

、

／

！ ＼ 水平変 位 　 　 　 「s

、、、

　 　 　

、

卜

一一喝＿＿＿

一 一 鉛 直 変 位 　 　2　 　 　 　4　 　 　 　6　 　 　

．

8 　 　 　 要 素 分 割 数 図

一

11 要 素分割と解の収 束 性 表

一

1 提案 手法 と 既往

．

P

法 あ 計算時間 10 本 提 案 手 怯 ｛sec

　

l 既 往 手 法

昌

，

ls

巳

c一 要巽　分　　割 局 所 積 分 の相 互 共 分 敢 塩 吝の 変 動 係 敗 の計 算 全 処 理 局 所 檀 分 の相 彑 共 分 栖 応 答 の 度 助 係 骸 の 計 算 全 処 理 1　

κ

　 　1

一

9

．

6D35

．

2D

．

0022

．

‘ 5

．

02

．

4m

．

2o

．

卩

’

　 　 　3　 x　 5

　− 一

．

一一．

　 　 　5　 x　 5

−一． 一一

　　　9　 x 　 　g16

．

953

．

550

．

90

、

00

．

42

．

』 ‘9

．

4 3

．

15955

、

7 45

．

3977

．

9LO30

．

じ o

．

5 応答の変 助 係 黐の計 舁 は

，

全 範 点 度 位

，

全 要 粲 応 力 を 含 む

．

計 算は　釦 n

一

聞i

じ

ro 「er

．

3

．

Uを 用いた

佃

　　　

　　　　

　　　　

　　　　

　　　　

　　　．

．

一 55 一

す

．

。

もちろ ん，要 素 分 割 を同じ と し た場合， 本手法で は， 式 （32 ）

．

に

_臭

るよ うに確 率変数の数は

，

既 往

_手

法 の6倍 とな るが， 精 度の観 点か ら す れ ば， 1×1の

要

素分割で も十 分であり

，

大 幅に要素数を削 減する こと がで き

_，．

結 果 と して_{計算 時}間の驚く

1

まどの短 縮が図れ る。 ま た

，

図

一

_11より_， 既 往 手法で

_嫉，

9×9の要 素 分 割で も未だ そ の解 が 収 束しき れてし_）な

v

。



・ 　

6．

結 　 論 　 　 　

一

　

材料定 数の不 確か な構 造 物の解 析に対し

，

「局 所 積 分」 の_概念 を導 入 し， 新しい確 率有限要素法を定 式 化

，

体 系 化し た

。

本 手 法の特 徴は

，

既往の確 率 有 限 要 素 法と異な り， 連

fi

す

1

・

確 率 場を離 散化 せずに厳 密に取り扱っ て

，

有限 要 素 行 列 を組み立て てい る こ と であり_，結 果と して

，

確 率 場の問題が有 限個の確率 変数の 問題へ _{変 換 する}こと が可能と なっ た。 既 往 手法で は要 素 寸 法に か か わ る解の 収束性 が 常に問 題と して

銭

る

のに対し_， 本 手 法で は

，

解 が 基 本 確 率 場の相 関の度 合いおよび 有 限 要 素 寸 法にあ ま り よ らず， 常に安 定し て い る よ う で ある

。

　

最後に本報では静 的 弾 性 問

_駆

に限っ てい るが解 析 精 度 が要 素分 割に敏 感 と 考え ら れ る動的問題お よび非 線 形 問 題 等に も本手法が適 用 可 能であ ること

，

ま た， 確 率 有 限 要素法に基づ く_信頼性 解 析に も十 分 適 用し得る こと が期 待さ れ

，

これ らが 今 後の課 題と考え る。　

，

謝 　 辞

　

本 研究は， 著 者 が 米 国コ ロ ンビ ア大学， プリンス トン 大学 留学中に実 施し た もの _であ り

，

同 大の篠 塚 政 宜 教 授

　

（現在ブリン ス トン大学土木工学 科 ）に は貴 重な御助 言 を頂いた

。

、

また

，

同 期 間中の_経済 的 援 助を して頂いた清 水建 設 株 式 会 社に記して_{謝 意}を表します。 記号説明 　 　

b

：相 関パラ メ

ー

タ B

_。

（x ）；要 素 内で

_保

定した応 力 分 布を表す行列

_．

　

’

Cx

、

XJ：局所 積 分ベ クトル Xsと葛 の相 互 共 分 散 行 列 　 　de：要 素 節点変位ベク トル De（x）；要素応 カ

ー

歪 行 列 　 　ee ：要 素 変 形ベ ク トル

　　

凡 ：要 素 柔 性行列 _l 　 g（x）；位 置 座 標x の確 定 関 数 　 　H。：要 素 平 衡 行 列 　 　Ke ：要素剛性 行 列 　 　 K ：全 体 系の剛 性 行 列 　 　P ：全 体 系の 節点 力ベ ク トル： 　 　Pe：要 素 節 点 力ベ _ク トル 　 　 re ：要 素 変 形ベク トル R鯀 ξ）：正規 多次 元 均 質 確 率 場X の自己相 関関 数 　 　 u ；全 体 系の _{節点 変位}ベ クトル 　X｛xt ＞：正 規 多 次 元 均 質確 率 場 Xg〔鋭 ）；確定関 数g（x）の位 置 遜 で測っ た局 所 積 分 駈（エち‘）：小 領 域 V，に お け る局 所 積 分ベ ク トル X。

−

X

，

，

X

，

。

−

X。2：局 所 積分 （正規 確 率 変 数 ）

一 56 一

　a

。

（x）二要 素 内 応 力 分 布ベ ク トル 　ε

。

〔x）1要 素 内歪 分布ベ クトル 　E［

，

ユ：アン_サン ブル平 均 を表 す演 算 子 Var［ ］：分 散 を表 す演 算 子 参考文 献

1）Shinozuka

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diasrs-,

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moErkne[oLi(,

ce

1

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tr

Pl

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SYNOPSIS

UDC:624.042:519.6:519.2

STOCHASTIC

FINITE

ELEMENT

METHOD

WITH

CONCEPT

OF

LOCAL

ENTEGRAL

byTSUYOSHI TAKADA, NuclearPower DivisionShimizu

Corporation,MembeT ef A.I.J.

This paper, introducinglocalintegration,

formulates

a new stochastic

finite

element method

for

estimating the response variability of multi-dimensional stochastic systems,

Young's

modulus

is

assumed to

have

a spatial

varia-tionand isidealizedas a muLti-dimensional continuous Gaussian stochastic

field.

An essential

feature

of the proposed method isthatthe continuous stochastic

field

isrigorously taken care of

by

means of

local

integrations

toconstruct element stiffness matrices, as the results, the issueinvolvingthe stochastic

field

istransformed

into

a

_problem

involvingonly a few random variables, and the _perturbationtechnique isthen utilized with consider-able ease. This may leadto substantial improvement incomputational efficiency. And the accuracy of the

selu-tion

from

theproposed method appears to

be

independent of theway inwhich

discretization

is_performed, where-as the

problem

associated with the convergence of the solution from conventional methods, which are basedon a

discretized

stochastic field,always remains inany case,

In

thispaper,

it

is

shown thatstechastic stiffness rriatricescan

be

easily

derived

from

the principleof

com-plementary virtual work, when the spatially varying Young's modulus isidealizedas mentioned above. Inorder to examine the validity of the _proposed method, two kinds of stochastic structures subjected to deterministic

loads;a _portalframe and a _plane stress _plate,are analyzed. As the results, the _proposed method has a _great advantage not only inthecomputational cost butalso inthe solution accuracy. Finaliy,itshould

be

emphasized that th,e

formulation

of thismethod isso systematic that itcan

be

easily extended to various engineering

prob-lems.