ラチスアーチの幾何学的非線形性を考慮した構面内弾性座屈について

【論　 文】 UDC ；624

．

074

．

3 ：624

．

042 ：513

．

8 日本 建 築 学 会 構 造 系 論 文 報告 集 第 397 号

・

1989 年 3 月

ラ

チ

ス

_ア

ー

_チ

の

_{幾 何学 的非線}

_形

_性

_を

_考

_慮

_し

た

　　　　　　　構

面

内弾性

座 屈

に

つ

い

て

正 会 員 正 会 員 正 会 員 日

村

山

置

上

根

興

一

郎

＊ 益

　 　美

＊ ＊

＿

　 　 　　＝ ＊ ＊＊ 　

1．

序 　本 論 文で は

，

ラ チスア

ー

チ を対象と し て， ラ チス ア

ー

チ を巨視的に_{曲線 材}と見な し た有効 剛 性と

，

個 材の曲 げ 座 屈で定ま る有 効 強 度を用いた連 続 体的取り扱い に よ る 構 面 内 弾 性 座 屈 荷 重の算 定 法を提案し

，

有限変位を考慮 した離 散 的 取り扱い法の数 値 解と提 案 方 法に よ る値を 比 較し， 提案手 法の適 用 性を検 討し， ラチス ア

ー

_チの_{構 面} 内弾 性 座 屈につ い て考 察する

。

　ア

ー

チの構 面 内 座屈に関して

，

文 献 1）

，

2）

，

21）

，

23 ） は既往の_文献の整 理 を行い_， 理論的 研 究な らびに実 験 的 研究の_代表的な文 献 を掲 載してい る

。

それ に よるとア

ー

チの構 面 内 弾 性座屈に影 響 を 及 ぼ す 因 子と し て

，

ア

ー

チ の _{細 長}比

，

有限変位と二 次 応 力に よる幾 何 学 的 非 線 形 性3L4）

_，

_{荷 重の種 類と分布 形}3）

−

7）

，

ア

ー

チの端 部 支 持 条 件3｝

−

fi）_{と初 期 不整}8 等が挙げ ら れてい る

。

これに よ る と， 有 限 変 位と二 次応 力による幾 何 学 的 非 線 形 性に よっ て， 座 屈 荷 重 値が低 減す る場 合の あ ること が示さ れ てい る

。

また作 用 荷 重の分 布 形が非 対 称な場 合は

，

対 称な場 合に 比べ _て ， 座 屈 荷 重 値がか なり低 下 するこ と は

，

実 験 的 研 究SL9 ）， 理 論 的 研 究 3 ）

・

4 ）

・

T｝_{な らび に過 去の 豪 雪 被 害 報} 告ω

・

川 _か ら明らか に され て い る

。

ただ_， これ ら の文 献で 指摘さ れ てい るの は， 小 松， 新 家 12）_{を除い て}

_，

_{ほと ん ど} が定 性 的な報 告である

。

　平 面ラ チス_構造物の_構面内弾 性座屈に関し て_{， 平}行 弦 ラ チス_柱の構面内の全体座屈 と， 個 材の曲 げ座 屈で定 ま る弾性座屈につ い ては

，

ラ チス柱 を 巨 視 的に棒 材 と見 な し た有 効剛性と個材の_{曲げ座 屈}で定まる_有効強 度を用い た連 続 体的取り扱いに よ る算 定法が提 案さ れ， 離 散 的 取 り扱い に よ る数値解と連続体 的算定 法に よ る解とを比 較 した結 果

，

連 続 体 的 算 定 法が 工学 的に有意で あ るこ と が 既に示さ れて いる13）

．

L4）

・

22） 。 　具体 的に本論文で は

，V

形 ウェ ブを 有する 二 層 剛 節 ラチス円弧ア

ー

チに半 径 方 向荷 重が作 用する場 合の構 面 内 弾 性 座 屈 荷 重につ い て_， 有 効 剛 性と有 効 強 度に基づ く 連 続 体 的 取り扱い に よる算 定 法の提 案 を行い_， 有 限 変 位 と二次 応力によ る幾何学 的非線形性な ら び に荷 重の分布 形が ラ チス ア

ー

チ の構面 内弾性座屈荷 重に及ぼす 影 響に つ い て

，

定量的に論じ る と ともに

，

提 案 手 法の妥 当 性を 検 証す るために行っ た離 散 的 取り扱い による数 値 解を示 して

，

提 案 手 法か ら得ら れ た結 果と比 較 検 討 する

。

　

2．

解 析 対象 　2

．

1　ラチス ア

ー

チの形 状と諸 量 　ラ チ ス ア

ー

チの全 体の形 状 を 図

一

1に示す

。

図

一

1　ラチス ア

ー

チの形 状 と 支 持 条 件 本 論 文の

一

部は

，

建 築 学 会の昭和63年 度 近 畿 支 部研 究 発 表 会な らびに 昭 和 63年 度 大 会に お い て 発表 ずみ で あ る

。

　 宰 _{大 阪 市 立 大 学 　 教 授}

・

_工博 　 牌 _{大 阪 市 立 大} 学 　助 手 　1＃ （株 ）竹中工務店 　 　 （昭 和 63年10月10日 原 稿 受 理 ） _図

一

_{2　ラ チ}ス ア

ー

チ の

一

構 造 単 位

一

₉₁

一

　 ア

ー

チの _{全 体 座 屈}に関する性 状 を表すパ _{ラ メ}

ー

_{タ と し} て の ラチス ア

ー

チの細 長 比 λを式 （1）に定義す る

。

　　 　λ24　DR2 αEIK

…

　t

・

・

・

・

・

・

・

…



t・

t−・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

_（1 ） こ こ で

，

D は ラチス ア

ー

チの_有効伸び剛性

，

　

K

は有効 曲げ剛 性

，

R は基 準 半 径， α は半 開 角 を表す

。

　ラ チ ス ア

ー

チ の

一

構 造 単 位を 図

一

2に示 す

。

上 弦材の 長さを

1

，， 腹 材 と 上 弦 材の な す角を ψ と す る。 ラ チス ア

ー

チの上 弦 材 と 下 弦節点との距離

d

，

，

下弦 材と

一

ヒ弦 節 点と の距離

d

、を 式 〔2）に示 す

。

　

　

　

・・一

含

・an ψ

，

・・一

綫

鶻

β）

_……・

_一

… こ こ で

，

_βは

一

構 造 単 位 当た りの_半開角で あ り

，

ラ チス ア

ー

チの構 造 単 位 数 をn とす る と

，

β

＝

α／n である

。

　ラチス ア

ー

チの下 弦節点 を通る外 接 円 半 径 R‘， 上 弦 節 点 を通 る外 接円半径

R

。 を式 （3）に示す

。

　　　R

‘

＝d

，（cot ψcot β

一

1）

，

　

Ro≡dieot

ψ／sin β

　　 　　 　　　 　　　

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　tS

−一

・

…



tt・

・

_{（3 ｝} 　ラ チス ア

ー

チの_{端 部 支持 条 件 を}

，

_{両 端}ピン_支持とし， 端部 支持位置を表す基 準 半 径

R

を

，

式 （4 ）で与え る

。

　　 　

R

＝ Ro

− d2

_／2

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…



一・

tt・

・

tt・

tt・

・

・

・

・

・

…

_{（4 ）} 　ラ チス ア

ー

チの_{個 材}の 両 端は剛 節 とし， 個材の断面諸 量 は

，

弦 材

，

腹 材それ ぞれ共 通である

。

　2

．

2　 作 用 荷 重 　荷 重は_， 均 等な半 径 方向集中荷重が ラ チス ア

ー

チの上 弦 節 点に作 用す るもの と し

，

それ を分布荷 重に換 算し た もの をq と す る。図

一3

に示 す よ うに

，

荷 重の分 布q（θ） は，

一一

_様な対 称成分 qsy「n （≧0）と

一

様な逆 対 称 成 分 q”Mt （≧0 ）の_{合 成}とし

，

式 （5 ｝で表さ れ る

。

こ こ で

，

θ は ア

ー

チ中 央 頂 点か ら時 計 回りを正 とす る角 座 標で あ る。

　

　

　

囲

1

：

：

：

：

9

二

_{驚 黎}

_。

1

−

・

…・

_… 荷 重 値q は両 成 分の和で表す

。

　　 　 q

＝

qsym十_qant 

・

・

一・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

_（6） 式 （7 ）で定義す る荷重値 q に対す る各成分の比

，

γa を逆 対 称 荷 重 比

，

7eを対称荷重比 と呼ぶ。 　　 　 7a＝ qanti_／q

，

_γ s＝ qsy 「n ／q

・

・

…一 ……一 ・

…

（7＞ 以 下， 7a

＝0

（γ。

＝1

）の場 合の荷重分 布を対 称 荷 重

，

　ra

＝

_{1 （r} ．

＝O

）の 場合を 逆対 称 荷重

，

ra≠0（為 ≠1）か つ

一

一

₉₂

一

蘇

寿

． 　 　　　 11　　 　 ［　tqanti

　　　　　　　　　

i

　　　　　　　　　

旨

／

、 　 　図

一

3　 荷 重の分 布形

ra

≠1（

7s

≠0）の場 合 を非 対 称 荷 重 と呼ぶ

。

　 3

．

連 続 体 的 取り扱いに よる弾 性 座 屈 荷 重と座屈後挙 　 　 動の算 定 方 法 　3

．

1 方 　 針 　ラチス構 造 物の座屈 問題， な ら びに強 度限 界 問題 を

，

連 続 体 的 取り扱い に よっ て解決する ための有効な概 念と して_， 有 効 剛 性と有 効 強 度が提案さ れ てい るen） 。 二層 剛 節ラ チスア

ー

チの構 面 内 弾 性 座 屈 には

，

連続 体ア

ー

チの 弾性安 定限界と見な すこ と ができ る全 体 座 屈と

，

連 続 体 ア

ー

チの_{強度限 界}と見な すこ と がで き る個 材の曲 げ座 屈 が あ る

。

こ こで は

，

二_{層 剛 節}ラチス ア

ー

チ の弾 性 座屈荷 重と 座屈 後 挙 動につ い て

，

有 効 剛 性と有 効 強 度 を用いた 連続体 的取り扱い による算 定 法 を示 す

。

　以 下， 本 章で は， 厚さ方向の応 力に相当す る腹材の軸 力 を考 慮す る ラ チスア

ー

チの_有効剛性，有 効強度を示し

，

変 位 仮 定に基づ き， ア

ー

_{チの座屈荷 重に} 及ぼ す幾何学的 非 線 形 性の影 響 を考慮し た連続体 的取り扱い に よ る座 屈 荷 重 と座屈後径路の_算定法を示す。 　 3

．

2 二層 円弧ラ チスア

ー

チの有効剛 性 　ラ チス_{構造 物}の_{有 効 剛 性}と は

，

「巨 視 的に見た ラチス 構 造物の断面力と変位の関係を

，

連 続 体の剛 性の形で表 し た物理 量」をい う

。

ラチス構 造 物の有 効 剛 性の算 定 法 は

，

エ _ネルギ

ー

論の立 場から変 形 仮 定 法， 応 力 仮 定 法 と 混 合 法に分 けられ る

。

有 効 剛 性に関して_， 変 形 仮 定 法は 剛 性の上界を

，

応 力 仮 定 法は剛 性の下界を与え る

。

　こ こで は， 作 用 外 力に対 応し た応 力 を 仮 定す る方 法を 用い て_，

一

様な軸 力に対 応す る ラ チス ア

ー

チの_{有 効伸}び 剛性と，

…

様 な曲げモ

ー

メ ン トに対 応 す る ラ チス ア

ー

チ の有 効 曲 げ 剛 性の_算定結果を示す

。

　

3．

2．

1

　半径 方向分布 荷重が作用す る場合の ラ チ ス 　 　 　 　 ア

ー

チの_有効伸び 剛性 　

一

様な半 径 方向 分 布 荷重 q が作 用す る連 続 体 リング に生じ る

・

様 な_軸力N と半径 方 向 変 位 W を用い て

，

図

一

_{4に示すラチス リングの有 効 伸び剛 性 D を} ， 式 （8） で_定義する。 　 　 　0

＝

qR ヲω

＝

IVR／w

……・

・

…・

…………・

…・

・

（8） こ こで，

R

は連 続 体リングの半 径で あ り

，

本 論では

，

ラ チス ア

ー

チの基準半 径と す る。 　ラ チス リン グの_節点に作 用す る節点集 中 半 径 方 向 荷重 P，

，

P，と個材の軸力

T

‘（

i＝

ユ

，

2

，

3

，

4）の関 係は

，

式（

9

） とな る

。

こ こで

，

下添字

U

は上 弦節点

，

下 添字

L

は下

↓

P・

↓

UP PL 図

一

4　ラ チス リン グ

弦節 点を示す。 下添字

i

は

，

本節と次節に おいて

，1

の

i

と き上弦材，

2

の と き下弦材

，3，4

の と き腹 材を示す。 σ LPP

一

「

21 ’nβ

．

_、

1

_、。 β

一

：

寵

＋ψ）

贈

＋ψ〉

］

ロ

　

　

ヨ 　 　 ヨ 　

　

る

TTTm1

　 　 　 　

・

・

・

・

…

　

9…

　

一・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

一・

一・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

9・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

一・

一・

・

・

…

　

一

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（9） 個 材の_軸変形 At‘と ラ チ ス リング節 点の半 径 方 向 変 位Wu

，

　Ws

．

の関 係は， 式 （10）と な る

。

li

に

端

辮

：

一

一

一

一

一

一

一”一

（

10

） 個 材の軸 力 と軸 変 形の関 係は

，

式 （

11

）とする。 　　　

T

，

＝EA

，

Al

，〃1

，

（

i＝

1

，2，3，

4）

一 …・

……一 ・

……一 一 ……・

……・

……・

……・

…・

………・

……・

…・

一 ・

（11｝ こ こ で_， E_ん は個 材の伸び剛 性， 1、は個 材の 長さ を表 し

，

　

EA

，＝

E

ん

，1、

＝

1．

である

。

　ラ チス リン グの節 点 半 径 方 向 変 位と節 点 集 中半 径 方 向荷重の _{関 係}は

，

式 （

12

）と な る

。

；

二

「

韓

瓢

譜

轄

灘

凱

］

；

：

一

一

一

一 こ こ で_，

　

　

　

・

一

・… _β

［

E

今

i

髪

ん S・・_β・

E

£

3

｛

聖

・・…

W

… ＋

甼

S… ψ

｝

］

…一 ・

……・

・

…・

・

・

………・

… ・

・

…・

・

・

… 3・ 　連続体リングの半 径 方向変 位w とラチス リングの節 点 半 径 方 向 変 位 Wu

_，

ωL の関 係 を式 （14） とする

。

　 　 　w

＝klWu

十（1

− kL

）ω L

・

・

・

・

・

・

・

…

　

一

・

・

7・

7r・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　〔14） ただし

，

0≦k，≦1 で ある

。

　βが微 小と すると

，

連 続 体 リングの軸 力 とラ チス リン グの節 点 集 中 半 径 方 向荷 重の関 係は

，

式 （15） と なる。 　　　 2岬

＝−

2qR β

＝一

（P．十P，）

……・

…………

（15） 　 半 径 方 向 分 布 荷 重が作用 す る場 合の ラ チス リングの有 効 伸び剛 性

1

） は_， 式 （14）

，

（15 ）を 式 （8 ）に_代入 し て得ら れ る

。

本論 文で は

，

得ら れ た ラ チス リングの有効 伸び 剛性

D

をラ チ スア

ー

チ の有 効伸び剛性

D

と す る。 本 論の よ う に

，

上 弦節点に荷重が作用し

，

す な わ ち

P

， ＝

0

_{で あ れ ば}

，

_{ラ チ}ス ア

ー

チの _有効伸び 剛性 D は

，

式 （

16

）で表さ れ る。 　 　 　 2CR

　

　

　

D ＝

・

［

k

，

（

E

£

2s ・n・

fi

・

E

£

’ S・

）

’ ン ト

M

と 個 材 軸 力

T

‘の 関 係 を 導 く と

，

式 （17＞と なる

。

　

　

　

T

，

一一豊

濃

i

曽

吉

亙

1

_・

乃

諜

盞

｝

詈

名

・

　　　

T

，＝

M

／

d2，

　

T4

＝ コ「3

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（17） 　ラ チス ア

ー

チの

一

一

_構造単位 中に蓄え られ る補足エ _ネル ギ

ー U

．は式 （ユ

8

＞で，

一

構造単位の 曲 げコ ンプライア ン ス

A

・・は式 （19 ）で表さ

種

・

　

　

　

砺

一

毒自

纛

Tl

…一

：

− ttt

・

一 … ……

（18 ） 　 　 ∂2UD As3

＝

　 　 ∂

M2

　 　 　 　2

［

1 ＋

’

_i

’

EA

，COS （ψ十β）sin ψ 　 　 　 ホ　　　　　　

− ．

．

．

tmL

“．

“

t．

　

　

　

　

　

・（1

−

h

，） E

£

’ s・・

Q

・・_ψ）… _ψ

］

　　　　　　

・

……・

…………・

……・

……・

・

（

16

） 　3

．

2

．

2

一

様な曲げモ

ー

メ ン トに_対応す るラチス ア

ー

　 　 　 　 チの_有効 曲 げ 剛性 　図

一2

に示す ラ チスア

ー

チの

一

_構造単位で考え る

。

ラ チス ア

ー

チを下 弦 材の中 央で切 断し

，一

様な曲 げモ

ー

メ

d

監

EAI

　tan ψ　　　

EA

，sint （

di

十β）

・ 。、

潔

慧

、．_β、

］

・

…・

・

………・

_（19・ 　

一

精 造単 位中に蓄え られ る連 続 体ア

ー

チ の補 足エ _ネル ギ

ー Uc

は

，

連続体ア

ー

チの 単 位 長さ当た りの曲 げコ ン プラ イアンス を

S3u

とす ると

，

式 （20）と な る。

　

　

　

u

・

一

；

R

　

．

（

2 ” 　

s

・・

M

・

d

θ

・

ReS

，，M2

・

…………

（

20

） 　ラチス ア

ー

チの

一

_構造 単 位 中に蓄え られ る補 足エ ネル ギ

ー

が

，

連 続 体ア

ー

チの

一

構 造 単 位に対 応する長さに蓄 え ら れ る補足エ _ネル ギ

ー

に等 しいと すると

，

連 続 体ア

ー

チの単 位 長さ当た りの曲 げコ ンプライア ン ス

S

，，と プ チ

一

₉₃

一

スア

ー

チ の

一

構造単 位の曲げコ ンプライアン ス

Asa

と の 関 係が決ま り

，一

様な曲げモ

ー

メ ン トに対応 す る有効曲 げ剛 性

K

は

_，

_{式 （}21_）で表さ れ る。 　 　 　

K

＝ ＝

1

／

Sss

＝

＝

2Rfi

／

A

，，

・

………・

……・

…・

（

2

ユ） さ らに

，

本 論では

，

個 材の _{両 端}が剛 節なので有 効 曲げ剛 性

K

と して

，

個 材の _曲げ剛 性

El

，による補 正 項を加え た式 （

22

）を用い る

。

な お

，EI

，

＝EI

，であ る

。

ユ

　

　

を

　

　

ヨ 　

　

る

TTT

τ ・一

響

・

＋ ・

（

EI，　 E毳 Els

l1

＋

1

， ＋₂ ♂。

）

R

β・

・

………

（22） 3L　3_{個 材}の曲 げ座 屈で定 まる有 効 強 度 ラ チスア

ー

チ が

一

様 状 態か ら分 岐座 屈するとき， 個 材 1 の 曲げ座 屈で定まる有 効 強 度の算 定 法は_， 文 献 13 ）に

鰐

2S … β・

聖

3S … ψ

）

学

… β

乞

・

互

_鷲

垂

…

ue

・・・… ψ … β

書

・

E

_今

i

髪

A2　S・・

ts

・_・・・… _β

告

E

今

i

詈

ん S・・

ts

＋_{ψ〉… β} 示 されて い る

。

有 効 強 度の算 定に用いた個材軸力

T

，と 断 面 力の閧 係は

，

ラ チス ア

ー

チを下 弦 材 中 央で切断す る と式 （23 ）と な る

。

0 sin （ψ＋β

1

0 COS β Sln ψ COS β d2sin ψ 1／d2 sin _β

d

，sin ψ sin β sin _ψd，sin ψ NQ

………・

………・

…一

_{（23 ）} M こ こで

，

Q

は ア

ー

チの せ ん断 力 を 表し

，

　

C

は式 （13 ） に 不 され て いる

。

　

3．

4

有効 強 度と有効 剛 性 を用いた ラ チスア

ー

チの弾 　 　 　 性 座 屈 荷 重 算 定 法 　

3．

4

．

1．

解析 仮 定 　

1

＞　 外力は保 存系で あ る。 　2 ）せ ん断変形を無視す るe 　3） 軸ひず み はア

ー

チの 材 軸 上で

一

定 と 近 似 す る

。

　4＞ 半 径 方 向 垂 直 応 力は

，

接線方 向垂直応力に 比べ _て 　　無 視しうる ほ ど小さい と す る。 　5） 曲 率 変 化に及ぼ す半 径 方 向 変 位の 効果を考慮 す 　 　る

。

　6） 曲 げた わ み による材 端 距 離の変 化を考 慮す る

。

　7 ）接 線 方 向 変 位の外 力ポテ ン シ ャ ルエ _ネルギ

ー

へ の 　　寄与は微 小 とす る

。

　3

．

4

．

2

．

全 ポ テン シャ ルエ _ネル ギ

ー

　円弧ラ チスア

ー

チの_弾性則を式 （24 ），運 動 学 的 条 件 16） を式 （

25

）に示す

。

　　 　

1V

＝

1

_）ε

，

　

M

＝　

Kx ・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（24 ）

　

　　

→

（u・

一

ω）・ 、

美

誘 ・

一一

孟

（婦 ・） 図

一

5　ア

ー

チの変 位と断面 力 ：　　　　　　　

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

9・

・

tt・

…

　

tt−・

t・

・

イ25 ）

…

ここ で

，

、 岫 率 変 化 （曲 率 減 少

em

）

，

　U は鰓 方 向 1 _{変 位}

_，

_{下 添 字 θ は}

_，

_{角 座 標 θ に よる微 分 を表す}

_。

　 半 径 方 向 変 位 ω は

，一

般 化 半 径 方 向変 位 関 数 働 ω

蕭

ユ

，

2

，

3

，…

） を用い て

，

式 （26）で表され る

。

　 　 　w

＝

Σ］aiWl

’

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

tt・

・

・

…

　

t−・

・

…

　

t−・

・

…

　（

26

） 　 　 　 　 ‘

＝

1 こ こ で， at は

一

_{般 化 座} 標で あ る

。一

般 化半径方 向変 位 関 数 ω1（

i＝1，2，3，…

）と し て は

，

ア

ー

チ の両端での 半 径 方 向変位w の_{境 界 条件}を 満 足 す る 式 （

27

）を用い る

。

　 　 　Wl

；Rsin

_（iπ／2

−

c_‘e）_，　Ct

＝i

π／2　a

…・

…

く27 ）

　ひずみエ ネル ギ

ー

と外力 ポテンシャ ルエ _ネル ギ

ー

との 和と して表さ れ た 全 ポ テン シャ ルエ _ネルギ

ー

を

，

DRa で無 次 元 化 する と

，

無 次 元 化 全ポ テンシャ ルエ _ネルギ

ー

U

は

．

式 （28）と な る

。

　

　

　

・

一

（

去

昌

・

1

・

結

累

．

a・／・・

）

2 ＋

轟

粤

弼 　 　 　　

一

（

1−

7a）

A

　Σ 　Xttαi

−

7d，

1

　Σユ　Xtiαi 　 　 　 ‘

己

1

、

S

・

−

　　　　　　　 i

；

2

、

i

…

　

　

　

　

一

_（

_去

_E

−

， cia…

一

去

、

黒

．

α・／c・

）

： ＋

弄

Σ

・

1

・

1

　 　 　　

一

γ。！

1

Σ μ、α、

一

（

1一

γ。｝五 Σ 角α、

…

（28 ） 　 　 　 t

；

1

、

3

「

「

・

　　　　　　　i

＝

2

，

4

…

こ こ で_， rt_，　A_，μ‘は式 （29）に示され る

。

　 　 　r、

＝

1

−

c｝，

A ＝

qR／

D

，

　　

μ・a

＝

2／・t（

i＝

　1

・

　3

，

　

・

”

） ・

　 　

・

一

_（29_）

　　

”・・

−

91

　

ll

−

← ・ ‘／21 （i

−

・…

…

） 　 3

．

4

．

3　つ _{り あ}い径 路と座 屈の条 件1η

・

18｝ 　「系がつ り あい状 態に あ る た めの必要 十 分 条 件は

，

全 ボテンシャル エ _ネル ギ

ー

が

一

般 化 座 標に関して停 留する ことで ある

。

」こ と か ら_， つ り あ い方 程 式 （30 ）を得る

。

　 　 　丑，［aJ

，

　A ］

＝

0 （

i，

　

j

＝

1

，

2

，

3

，…

1

………・

・

…

（30）

一

₉₄

一

こ こで， ∬ の下 添字 iは

一

般化座標α1 に関する偏微分 を表す。 系のつ り あい 径路は

，

断面力

，

変位と外力の空 間 内でつ りあい方 程式 を満足 す る断 面力

，

変 位と外力の 軌 跡であ る。 　座 屈 荷 重が弾 性 不 安 定と して定ま る場 合に は

，

「系の つ りあい状態 が安定で あ る た めの必要十分 条 件は

，

系の 全ポ テンシャ ルエ _ネル ギ

ー

が

一

般 化 座 標に関して絶対極 小である

。

」とい うこ と か ら

，

座 屈の条 件は安 定 性行 列 式 △ が零とな る ことで あり_， 座 屈 条 件 式 （31）で表 さ れる

。

　　　

△≡

detl11

_‘ ，

1

； 0

・

…・

…

　

……・

……・

……・

……

（31＞ 　断 面 力 空間 での_有効 強 度 面と断 面 力のつ り あい径 路の 交点と し て座屈が 定 まる場合， 有効 強 度面を式 （

32

）と す る と

，

座屈の条件は断 面 力が式 （32） を満た す場 合で ある_。

　　　F

（

N

，

　

Q

，

M

）

＝

0

・

・

・

・

・

・

・

・

…



阜

・

・

・

・

…



tt・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…



_（

₃₂

_） ただし

，

Q

＝ ・　

KXe

_である

。

座 屈 荷 重は

，

荷 重が増 大し て 行く と きに_， ど

1

か の_断面の応 力が式 （3Z）を初め て満 足す る場合の値であ る

。

　 3

．

4

．

4　弾性座 屈荷重の具 体 的 算 定 法 　 3

，

4

，

4

．

1　

一

般 化 座 標の_項数 　計 算を簡 単に す る た め に， 本節で は， COS 半 波の

一

_般 化 座 標 al

_，

　sin　

一

_波の

一

_{般化座標al} の み を用い

，

式の 展 開 を 行 う。

一

般 化 座 標 a、

，

az

，

無次元化 荷重

A

， 逆 対 称 荷 重 比 γa と対 称 荷重比 r．に関す る全ポテ ンシャルエ ネルギ

ー

の偏 導 関 数を以 下に示す。

　　　

从一

去

価

一

；

）

儲

・

1

・

弓

・・

）

・

｛

・

1

・・

　　　　　

一

_（

_1一

_γ

_al

 ・，

n

−

t

（

2　 　

− 一

4Ciai 　　　 　 π

）

　　　

　　

（

撚

・

1

・

1

一

告

・・

）

・

巽

・

1

α1

−

7s・・

A

　 　 　　 　 　 　　 　 　

・

……一 ………t・

・

…・

……・

（33 ）

　

　

　

n

・

→

蝋

者

自

・…・…

一

壽

・・

）

畷

・

1

・

一

・・…A 　 　 　 ！

　　　

　

一

_吉

_・

₁

_・ ・

（

M

−

i ・

1

・

1

−

；

　al

）

・

知

耋砺

　　　　　

一

（1

一

γ』）μ2／1

・

…・

…・

・

……・

・

…

　

………・

・

9

（

34

）

　

　

　

・

1

・・

−

i

・

1

・

1

−

2

・

i

α i＋

鳶

嘔 ・

｝

・

嶽

　 　 　　 　 　 　　 　 　

・

・

・

・

・

・

・

…

　

r・

・

・

…

　

一

一

…

　

一一

一

・

・

・

・

・

・

…

　（35 ）

　　　

U

、2−

li

・；ar

（

c塞、α匸

＿

_耳！

）

……・

……一 …・

一

_（36）

　

　

　

nn ＝

＝

_・

₁

_・

₁

一

髣

・

1

・・＋

i

・弖・

1

・

｛

・

1

…一 ・

（・・〉

　

　

　

紅

肱

竺

_謙

_卜

……・

……一

_・・8・ 　 　 　 Of ＝ Pt1A

，

　刀撃

＝一

μ2A

，

　」

rr7

＝−

Pt，

A ，

　

u

；

＝

μzA 　 　 　　 　 　 　　 　 　

・

・

…

　

−t・

・

・

・

…

　

t−・

・

・

・

・

・

・

…

　

曾

・

・

・

・

・

・

…

　（

39

）

　　　

al

、・

−

g

・｛・一

皇

・

1

，

　

Ui

・・

−

i

・

1

・

1

・・ 　 　 　

・

・

…

　（40）

　　　

・

ln

！

一

去

・

1

・

1

・・

÷

…

，

・

1

…

＝

g

・：ai

　

　

　

昇

：

こ

込

_。

_貫

_鵬

_∬

野

＝一

_咽

……・

・

……

_{・41 ・}

　　　

a

，…

−

9

・：，　

nil

・

＝

；

C；・

1

，　

Dnn 一

量

・

1

　 　 　　 　 　　 　 　

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

−t・

・

（42_） こ こ で_， 上 添 字

’

は A に関する偏 微 分， 上 添 字 a は

7a

に関す る偏 微 分， 上 添字 S は _7sに関 する偏 微 分 を表 す

。

　3

．

4

．

4

．

2　 反 復 法 　高次代数 方程式であるつ り あい_条件式 （30 ）を満足 す る αt（

i＝

1

，

2）と荷 重 を数 値 計 算で求め る

。

　まず

，U ，

＝

0

を _α

，

の 二次 方程式と み_て解 く と

，

_αt は 作 用荷 重の_分布か ら 正で あ り

，

式 （43 ）で_表さ れ る。

酬

織曜

磐

塾

　

　

　

　

　

　

　

・

撫鬻

｝

1 ／’ 　 　 　 π 　 　 　 　

・

t・

…

　

−tt・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

t・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（43） 次に

_，

式 （43 ）をつ り あい条件式

U

、＝

0

に代入 す る と

，

al と

A

の関係は式 （

44

）で_表さ れ る。al を制御パ ラ メ

ー

タ と す れば

，A 一

α1

一

α、空 間に表さ れ たつ りあい径路 が得ら れ る。 　 　 　ノanti （α1

，

　A

．

_{が ∫}Sym _（α、

，

　

A ，

扮

　　　　÷

…

（

・

i

・・

−

i

）

s （・・・… ） ・

…一 ……・

…

（44） こ こで

，

　

　

f

・

・

ti 　（a

，

_，

　

A ，

　_7al一

薨

｛

（

一

瀬 ・rl・

1

）・i

−

1

　・；

1

　 　　 　十（1

−

7a）c；μ1△

………・

……・

…………・

…

　（45 ）

　　

f

… （嗚 扮

一一

才

酬

｝

・

la

：

　

　

　

　

一

傷

α

誇

）

・・＋（1

−

7・d）・t… 　 　　 　 　 　　 　 　

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

一

一・

・

・

…

　

幽

噛

…

　（46 ） 　逆 対 称 荷 重 比 7a

一

  の場 合に

，

　

fanti

（al

，

　A

，

7a）

；

0 は 対 称分岐 後の分岐つ りあい径 路 を

，

fSym

（α、

，

　A

，

7a）

＝

0 は基本っ りあい径 路 を表す

。

　ラ チス ア

ー

チの構 面 内 弾 性 座 屈 荷 重は

，

座 屈 条 件 式 （31〕あ るい は有 効 強 度 面と断 面 力のつ りあい径 路が交 差す る場 合の座 屈の条 件 式 （

32

）を満 足す る制 御パ _ラメ

ー

タ al の最 小 値に対 応する値 となる。 　3

．

4

．

4

．

3　摂 動 法を用い た近 似 算 定法に よ る弾 性 座屈 荷 重とっ りあい径 路

一

一

　

3．4．

4，

3．1

摂動法の適 用 性の検 討 と準 備 計 算 　a_{）摂 動}法の適用 性の検 討 　 摂動法を安 定 問 題の_{解 法}に適 用 する場 合の利 点15） を 以 下 に示す

。

　

1） エ _ネルギ

ー

関 数の摂 動パ ラ メ

ー

タに_関す る展 開式 によっ て

，

幾 何 学 的 非 線 形 性 を非 線 形の

一

次か ら順に各 次 数ご との検 討が可 能である

。

　 2） 初 期 不 整の影 響 を容 易に_考慮 し う る。 　 3） 分 岐 点， 極 限 点などの臨界点な ら び に分岐径路を 含 むつ りあい径 路 を容 易に_算出し う る

。

　し た が っ て_， 本論 文では_， ラ チス ア

ー

チの _{弾 性 座 屈 荷} 重な らびにつ り あい径 路の近似算定法と して摂 動 法を用 い る

。

　

b

） 準備 計算 　 摂動 法を用いた近 似 算定法で必 要な断 面 力の状 態 量 を 表す関数

F ，

その_{第ノ次導関 数 （ノ}

＝

1

，

2_）と偏 導 関 数 を以 下に示 す

。

　断 面 力の状 態 量 を表 す 関 数

F「

を 式 （

47

）で定義し， 有 効 強 度 面 を 式 （48）で近 似する

。

　　

　

・

煮 慌

＋

……一 ・

…・

・

…・

・

一 ・

…・

_（・・） 　 　 　

F ＝

0

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（48） こ こで，

N

は式 （

49

）

，

　

M

は式 （

50

）で与え ら れ る。 下 添字e は

，

他の断面力が存 在し ない場 合に個 材の曲 げ座 屈で_定ま る有効 強 度を意 味 する。

　　

　

N

−

D

（

糟

・含・卜

号

・1

）

一 ・

…・

… ………

（・・）

　　

　

M

−

一

餐

_（rla 、・ ・S ・、θ＋r，a2 ・… 、θ）

一

（・・） 　関 数

F

を摂 動パ ラ メ

ー

タ at （

i＝

1，2）で摂 動すると

，

　 　　 F

＝

Flo〕十Fmai 十Fc2レα：／2十

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（51） 　こ こ で

，

関 数 F の下 添 字の括 弧 内の 数 字

jU

＝O，1，

2

，…

）は

，

摂 動パ ラメ

ー

タat に関す るノ次 導 関 数 を 表 す

。

関 数 F の 二 次 まで の 導 関 数は_， 摂 動パ ラメ

ー

タ α1， a2に関し て そ れ ぞ れ， 式 （

52

）， 式 （

53

）と な る。

　 　 　Fce｝

＝

・

F ，　

F

，，）

＝FI

＋

F2a2，

i

　　　1 〕

＝FIL

＋2F12α，

，

、

＋

F

，2α，

．

12＋

F

、α、

、

H

　 　 　

Fco

｝

＝F

，　

Fa

）

＝Fl

　ai

．

：十

F

，

　　　

Fcn＝Fllal，

12十

Flal，

22十

2Fnai ，

t十F，2

こ こ で， る偏微分 を 示す

。

な お

，

は式 （

54

）と な る

。

　 　 　

K

　 　 　

D

　l 　 　 　

F

，

＝−

　 　 　 rlCOS 　C_夏θ十 　 　 　 　

RMs

　 　 　 　

Ns

　

　

　

F

・…

一

。

転

袖 ・・θ＋

煮

・

1

・・

　

　

　

F，・一 ・

，

F，・

一

顎

，

砺

一

舞

・

…

_（52）

・

・

…

_{（53 ）} ai と 関 数

F

の下 添字の数字1

，

2はα‘に関す 　 　 　 　at に関す る関 数

F

の偏 導 関数

一

₉₆

一

（

12 　 2

2

　Cial

− ’

1

，

）

一・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・



・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

_（54） 　 3

．

4

．

4

．

3

．

2 両 端 ピン支持さ れた ラ チ ス ア

ー

チの弾 性 　　 　　　 　 座 屈荷重算定の_{方 針} 　ラチス ア

ー

チの_{構 面内弾性座 屈}は

，

座 屈 荷 重の大き さ と座 屈の形 式が

，

荷 重 分 布に よっ て異な る

。

荷 重分布が 対 称であれ ば， ア

ー

チの座 屈 荷 重は

，

全 体 座 屈 あるい は 個 材の 曲 げ 座屈で決ま る。 荷重分 布が対 称か らずれ る と ともに_， 言いか え る と荷重の逆 対 称 成 分が増 加す る と と もに_， ア

ー

チの _曲げモ

ー

メ ン トが 増 加す るの で， 個材の 曲 げ座屈 の効 果が強く なり

，

ア

ー

チの座 屈 荷 重は

，

荷重 分 布 が対称な場合に比ぺて低 下する

。

さ らに逆対 称 性が ある_{程 度}よ り大き く なる と， ア

ー

チの座 屈荷重は

，

連 続 体ア

ー

チの曲げ応 力で の破 壊に対 応す る個 材の曲げ座 屈 で決ま る

。

本論で は

，

対 称 （あるい は逆対称）荷重 が作 用 する ラチスア

ー

チ を完 全 系， 非対称荷 重が作 用 する ラ チスア

ー

チを不 完 全 系 と見な す

。

荷重 分布形の完 全 系か ら の ずれ を

，

荷 重の非 対称 性 を 表 す指 標である逆 対 称（あ るい は対 称）荷重 比で_表す。 座 屈 荷 重の算 定の方 針 を荷 重の 分布 形で整理 し以下に示す

。

　対 称 （あ るい は 逆対 称 〉荷 重が作 用する完 全 系の座 屈 荷重の算 定で は

，

原 点からの摂 動 を行 う

。

対 称 荷 重 が作 用 す る場合の_{座 屈 荷重}は

，

荷 重の増 大し て行く時に_， 断 面力 が その強 度 限 界である個 材の曲 げ座 屈で定ま る有効 強度 面に達し た時の荷 重 値 と， 有 効 剛 性か ら定ま る全体 座屈 荷 重 値の小さ い方と なる

。

逆 対 称 荷 重が作用 す る 場 合の座屈 荷 重は_， 荷 重の_増大して_行く時に_{， 断 面 力}が そ の強 度 限 界で ある有 効 強 度 面に達 し た時の荷重値と な る

。

　非対称 荷重が_{作 用}す る場合に

_，

_{荷重分 布}の完 全 系から のずれを初期不整と見な し

，

座 屈 荷重の算 定では完 全 系 の臨 界点か ら摂 動 を行う

。

具 体 的に は_， 不 完 全 系の臨 界 線の漸近式で座 屈 荷重を表 す。 こ こ で

，

臨 界 線 とは各 不 完全系の臨界点の集合で_表さ れ た線で ある

。

逆 対 称 荷 重 比 が 小 さ く

，

対 称 荷 重 時が完 全 系と見な さ れ る_{場 合，} 逆 対 称 荷 重 比を初 期 不 整と して_， 不 完 全 系の臨界線の漸 近 式を

，

安定 性 行 列 式が零であ る条 件と有 効 強 度 面とつ り あい径 路が交 差する条 件か ら求める

。

_両者の_{座 屈時}の

一

般 化 座 標 を比 較 して_， 対 称 荷 重 時 が 完 全系と見な さ れ る 場 合の不 完 全 系の座 屈 荷 重 を 定め る

。

逆対称 荷重 比が大 き く_， 逆 対 称 荷 重 時が完 全系と見な さ れ る場 合

，

対 称荷 重 比 を初 期 不 整 とし て不 完 全 系の臨 界線の漸近式を

，

有 効 強 度 面とつ りあい径 路が交 差す る条件か ら求め る。 臨 界 線の漸 近 式が定ま れ ば_， 逆対称 荷重 時が完 全 系と見な さ れ る場 合の不 完 全 系の座 屈 荷 重と座 屈時の

一

_{般化 座標} が得ら れ る

。

　3

．

4

．

4

．

3

．

3　ラ チ ス ア

ー

チ の弾 性 座屈荷重の_{近似 算 定} 　 　 　 法 　a） 対 称 荷 重が作用 す る 場合 　対 称 荷 重が作 用する場 合の基 本つ り あい径 路上では

，

つ りあい条 件 式

U

，　

＝

Oか らα 2

＝

O と な る

。

摂 動パ ラ メ

ー

タ を α、とし， 基 本つ りあい径 路を式 （55）， っ りあい条 件 式 を式 （56）で表す

。

　 　 　A　＝ノt（α 1）

・

…・

……・

………・

・

……

　

……

　

…・

・

…・

（55） 　 　　

ll1

［

A

（al）

，

　al_］

＝

0

・

…・

…・

…・

…一

…



……・

・

……

_（56） 原点でつ りあい_条件式 を 摂 動す ると，

一

_次 ， 二 次， 三 次 摂 動 方程式か ら

，

摂 動パ ラメ

ー

タα

、

に関す る基本つ り あい_{径 路}の

一

_次， 二 _次， 三_{次偏 導関 数}は_{， 式 （}57 ）とな る。 　 　 　

nll

　 　 　

nlll

　 　 　 　

ll111t

　　　

Al＝− Ul

’

All

＝

一

了

・

A

…

＝−

u

； 　 　　 　　　 　　　 　

・

…

　

一一・

tt・

t・

・

・

・

・

・

・

…

　

t−・

・

t・

・

・

…

　

t−

（57 ） こ こ で

，

A の下 添 字の _{数 字} 1

，

2は αtに関 する偏 微 分を 表 す

。

四次 以 上の摂 動を省 略 する と基 本つ りあい径 路は

，

原 点に おけるエ _ネルギ

ー

の偏 導 関 数 を用い て式 （58 ＞と な る

。

　

　

　

A

一

去

｛

（

．・

｛

・

⇒

α1

−

｝

酬

吉

… 瑩

｝

　 　 　

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（58） 式 （58 ＞は_， 式 （46 ）におい て_， 右 辺

一

〇 かつ

7a−

0_と おい た場 合に

一

致して い る

。

　a_）

−

1　全 体 座屈荷 重と座屈後 挙 動 　文献

17

）に よ ると， 極 限点に お け る全体座屈荷重

AL

な らびに cos _半波の

一

般化座標a｛

’

は

，

式 （

59

）で

，

対 称 分岐点 にお け る 全体座屈荷 重　

AB

な ら びに cos 半 波の

一

_{般 化 座 標 α尹は}

_，

_{式 （}

₆₀

_{）で表さ れ る} 。

　

　　

准 角

窪

，

源

パ

　

　

　

　

　

　

・

（

82

♂ パ

）

（

1

審

・

り

L／

1

ただし

，

（

L

＿

　4 αL

− 一

＝i 　 　πC1 　 1　 π2α2

［

1−

_（

， 3πt　 3λ2 　 1　 π2α2 3　12λt 12λ2 ri

）

〉・ ri

）

’／1

｝

・

・

・

・

・



・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…



一

・

・

・

・

・

・

・

・

…

_（

₅₉

_）

AS

一 角

劣

睾

i

誰

・

（

一

艦

耋

）

　

　

（

　 　 　・

一

鑑

2　2 ・ ・

1

）

v1 　 　

_＿

4B a1

−

　 　z 　 　 πCi 　 　 　 　2　 2

（

1

−

_（

卜 π 2 α216 λir ；

）

1／’

1

……・

…・

（

60

） ・ だ・

・

（

1

−

idi

’

X

_・ r塁

）

・ ・ 　ラ チス ア

ー

チの全 体 座 屈 荷 重 AS は

，

式 （61＞で表さ れ る

。

　 　 　Ae

＝

Mi皿 （AB

，

　AL_）

・

…・

・

…・

…・

…………・

……

_（61_＞ 対 称 分 岐 後の 分 岐つ りあい径 路は

，

式 （62）

，

式 （63） とな る

。

　

　

　

A ・

・

_AB

・ 、

筆

l

　

cl

ギ

（

ri

−

1

…

）

　　 　　　 　　　 　　 　　　 　　　 　

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（62 ）

　

　

　

　

　

（

　 　 　1

一

_諾

2　： ・・

1

）

一

 

　

　

　

・1− _・

f

_・

詞

_・

一

詳

・

1

）

L

’_／’ a； 　　 　　　 　　　 　　

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

一・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（

63

） 式 （62）は_， 式 （45 ）に お いて_{， 右}辺iO かつ _γ。＝ 0_と おいた場 合 と

一

致し ている

。

　a）

−

2　有 効 強 度 面 と断 面 力のつ りあい径 路の_交点と し て定ま る_{弾性 座 屈荷}重の_算定法 　有 効 強 度 面 と 断 面 力のつ り あい_径路の_交点と して座 屈 荷 重 が 定 まる場 合に

，

つ り あい径 路 上の交点の位置と し て_{， 基 本}つ り あい _径路

．

ヒあ るい は分 岐つ _{り あ}い径 路 上が 考え ら れ る。 し た がっ て

，

二種の場 合の座 屈 荷 重の算 定 法を以 下に_示す。 　イ〉有 効 強 度 面と断 面 力のつ _りあい径 路が基 本径 路 上 で交差す る場合 　関 数

F

を摂 動パ ラ メ

ー

タα1 で原 点ま わ り に摂 動し， 二次 摂 動まで考え る と

，

有 効 強 度 面と断 面 力のつ り あい 径 路が交 差す ると きの COS _半波の

一

_{般 化 座標}af は

，

式 （64）とな る

。

　

　

　

・・

一童

雫

職 ア〃

・

…・

・

…・

一

_{（・4 ・} こ こ で

，

関数

F

の 導 関 数の 値は_， 原点にお ける

一

般 化 座 標の値を式 （

52

）に代入 し て得ら れ る。 有効強度 面 と 断 面 力のつ りあい_径路が基本径路上で_交差す る場合の座 屈 荷 重は_， 式 （64）を式 （58）に代入 す る と

，

式 （

65

） となる

。

　

　

　

場

1

（

_筈

パ

）

・

r

　 　 　

・

・

一・

・

・

・

・

・

・

…

　

一…

　（65）

　

　　

　

　

一

_；

_cTai！ ・

i

・

副

　ロ） 有 効 強 度 面と断 面 力のつ りあい径 路が分 岐つ りあ い径 路 上で交 差 する場 合 　 有 効 強 度 面 とつ りあい径 路の交 点が分 岐っ りあい径 路 上で あ ること か ら α2が零でな く， かつ 対 称 荷 重 （ra

＝

0） な の で， つ り あい条 件式 島

＝0

か ら， a1と α1の関係は 式 （66 ）と な る

。

　　

　

・

1

（

吉

自

・

1

・

1

÷

1

）

・

｛

・

1

−

・

・

一 …一

（・6 ） し たがって

，

分 岐つ りあい径 路にお ける軸 力は式 （67） とな る

。

　

　

　

N

−

D

（

一

i

　

2

_，

　c：a：

一

舞

　a，

）

一一

器

・・

・

・

・

・

…

（・・） 有 効 強 度 面の近 似 式 （48）に_， 軸 力 と式 （50）で表さ れ る曲げモ

ー

メン トを代入 す る と

，

有 効 強 度 面と断 面 力の つ りあい径路 が交差 す る と きの af と 砿 の関 係が得ら

一 97 一

れ る。

n

，　・＝0と近 似 式 （48）か ら得ら れた af を以

’

下に 示す。 　θ

＝

0の場合

，

af は式 （68 ）と なる

。

　

　

　

・・

一一

髪

笋

（

1＋

驫

・・

）

…一・

一

一

（・8・ 　θ≠

0，

θ≠ ±α の 場 合

，

α

1

とα

f

の関 係は

，

式 （69 ＞ と な る。 式 （69 ）を式 （66 ）に代入 す る と

，

式 （

66

）は

，

af の 二 _次方程式と な り， これ を解く と， α

f

は式 （

70

｝ と な る

。

　 　 　 F

　　　

・ぢ

｛

、

離

Clθ 　 　 　

・

（69）

　

　

　

　

・ 。。

黌

。，

（

1 ＋

煮

1

・

1

）

｝

　 　 　F

＿

−

b

−

（b2

−

4ac ） 1 ／2 　 　 　　 　 　　 　 　 　　 　 　

…

　

9・

・

・

…

　

9・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（70）

　　　

α 1

−

　　　　

2α こ こ で

，

　　　

・

一

・

1

・

（

　　c2γ聰 r2sin 　c置θ

）

2 ・

一

÷

_K

。，

1

、

蓋

騰

。 ，，θ

（

・＋

煮

，・・

）

　 　 　 　 4ai 　 　　 　 　 　　rl 　 　 　 C

＝

　 　 　 　 ciλz

　

　

　

　

…

転

黜

，；

b

（

・＋

認

、 ・・

）

｝

2 　 　　 　 　 　　 　 　

・

一・

・

9・

噛

・

…

　

曁

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

7・

…

　（

71

） 座 屈 荷重∬ は

，

式 （

68

）と式 （

70

＞か ら定ま る af の 最 小 値を式 （67）に代入 す る と

，

式 （72 ）で表 さ れ る

。

　

　

　

AF

一

藁

［

_（

：　1　z 「一 耳「i

）

・

f

・

毒

・・

｝

一 …

（・2 ・ 　な お

，

θ

；

土α の場合

，

座屈 は， ア

ー

_{チの形 状 寸 法} ， 有 効 剛 性と他の_{断 面 力}が存在し ない場 合の_軸力の_有効 強 度が式 （73 ）を満た す 場合に生じ る

。

　

　

　

一

讌

一1−

・

…………・

…一 …・

……・

…

73

） 　

b

）逆対称 荷重が作用す る場 合 　逆対 称 荷重 が作用 す る 場 合に_， 座屈荷 重は

，

断 面 力の 強 度 限 界で あ る有効強度面と断面力のつ り あい径路の交 差 する点と し て定ま り

，

その_交点は

，

弾性安定 限 界にな る前の基 本つ りあい径路 上 に あ る

．

　摂 動パ ラ メ

ー

タ を α 2 と し

，

つ _{り あ}い_径路 を式 （74 ）， つ りあい条 件 式を式 （75 ）で表す

。

　 　　 A

＝

A （a2｝

，

　al

＝

al（as）

・

…・

・

…・

…・

…

　

…・

……

（74） 　 　　

Ot

［

A

（at｝

，

　at（at〕

，

　a2］

＝

O 　（

i；

1

，

2｝

・

・

一・

・

・

・

…

　（75 ） 原 点でつ _{り あ}い_条件式を摂 動す る と

，

一

次

，

二 次， 三次 摂 動 方 程 式か ら

，

つ り あい_径路の

一

次

，

二 次

，

三次 偏 導 関 数は

，

そ れ ぞ れ

，

式 （76 ）， 式 （77 ）， 式 （78｝と な る

。

　 　　α1

，

2

＝0，

　ノ

12＝− lln

／∬ ；

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（76） 　 　　αL2：＝

− ll

，22／

nn 冒

　A2t

＝

0

・

・

・

・

…

　

一・

一・

・

・

・

・

・

・

…

　（77）

　 　　α 1

，

2！2

＝

0，Ani

＝一

（U1t2：十3亅1122al

，

a2）

m

；

・

噛

9・

（78）

一 98 一

つ りあい_{径 路}は

，

式 （79）と な る。 　 　 　α1

＝

αL

，

22α

i

／

2，

　ノ

1＝

ノ

lta2

十ノ

1222a

毒／6

・

・

・

・

・

・

・

…

　（79 ） 　関 数F を摂動パ ラ メ

ー

タα2で原点ま わ り に摂動し

，

二 次 摂 動まで考え る と

，

有 効 強 度 面と断 面 力のつ _りあい 径 路が交 差 する と きの 砿 は

，

式 （80）と な る。

　　　

aぢ

＝

1

−

F“厂 （Fl，厂 2F ［。）Fcm） 1／21 ／Fm

’

…・

……

（80｝ つ _りあい条 件 式 が三次 摂 動

，

関 数

F

が二 次 摂 動に対 応 する座 屈 荷 重 A1 は

，

α

S

の最 小 値 を式 （79）に代 入 する と

，

式 （81）と な る

。

　 　 　五F＝ _／12_α『十An2a _；3_／6

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

_（81_） 　c）　 非 対 称 荷 重 が 作 用す る場 合 　c_）

−

1　逆 対 称 荷 重 比を初 期 不 整と 見 な し た 場合 　 対称荷重が作 用す る ア

ー

チ を完全系と し た場 合に， 荷 重分布の_{非対称 性}を表す変数で あ る逆対荷重比 ra を あ る種の初 期 不整 と見な し

，

非 対 称 荷重 比の _{関 数}と して表 す

。

　 イ ） 安 全 性 行 列 式 が 零で座 屈 荷 重が定 まる場 合 摂 動 パ ラメ

ー

タ を α、と し， 荷 重 変 位 空間において完 全 系の 臨 界 点を 通 る臨界線を式 （

82

｝，つ り あい条件式を式（

83

）， 座屈条件式 を式 （

84

）で_表す

。

　 　 　al

＝

αi（a2），　A

＝

A（a！｝，

7a＝7a

（α：〉

・

・

・

・

……

（82 ） 　 　 　 n、［al（α、）

，

　

A

（α，）

，

　ra（α、｝

，

α，］

＝0

（‘；

1，2

） 　 　 　 　　 　 　 　　

・

……・

…………・

………・

・

…・

（

83

） 　 　 　△_［α₁（α2｝

，

　7a（α2）

，

　α2］＝

0 ・

・

・

・

…

　

P・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（

84

） 　イ）

−

1　完 全 系の臨 界 点が極 限 点の場 合 　 完 全 系の臨 界 点が極限点の場 合は

，

後で示した例 題の 範 囲 内で は現れなか っ た の で_， こ こ で は_， 省略する

。

　イ）

−2

　完 全 系の 臨 界 点 が 対 称 分 岐 点であれば

，

非 対 称 荷 重が作用 す る と きの座屈荷 重は_， 初 期不整と して の 逆対称 荷重比 r_。の _{関 数}と して式 （85 ）で_表され_， 逆 対 荷重 比に関し て 2／

3

乗則が成 立し てい る1η

_。

　

　

　

・ 』 画 蹟

書

畷

嬲》

）

！／1

・

・

・

…

_（・・） こ こで，

　

　

　

A

・・

一

砦

i

（

n22223 　On2 丑122 丑11

）

・

…・

・

…一 …一

_（

₈₆

_） 　ロ） 有効強 度面と断 面力の つ り あい 径路の交 点と し て_座屈荷重が定ま る場合 　 摂 動パ ラ メ

ー

タ を α2と し

，

有 効 強 度 面と断 面 力のつ りあい_径路の _交点を通る荷重変 位空 間の _臨界線を式 （

87

）

，

つ り あい_{条 件 式}を式 （

88

）

，

有 効 強 度 面の _{近 似 式} を式 （

89

）で表す。 　 　 　α監； α1（α2）

，

　11＝ 11〔at）

，

　ra； γ』（a2）

・

・

一

・

・

・

・

…

　（

87

） 　 　 　

11

、［α1（α、｝

，A

（α、）

，

7a（α，）

，

α，ユ＝

0

（

i

＝

L2

） 　 　 　　 　 　 　　 　

・

………・

………・

………

（

88

） 　 　 　

F

［α且（a2）

，

7a（α2）

，

α2］＝＝

O・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（

89

） 有 効 強 度 面と断 面 力の つ り あい 径 路の_交点で_{摂 動}する と

，一

一

次

，

二 次 摂 動 方 程 式か ら

，

摂 動パ _ラメ

ー

タに関す