[1]Hn(x)の多項式による表現 Hn(x) = [n/2]∑ r=0 (−1)r n! r!(n− 2r)!(2x) n−2r を導け. [2]Hn(x)は n の偶奇にしたがって偶関数または奇関数であること, つまり, Hn(−x) = (−1)nH n(x)を示せ. [3]ロドリグの公式 Hn(x) = (−1)nex 2 dn dxne −x2 を示せ. [4]漸化式 Hn+1(x) = 2xHn(x)− 2nHn−1(x) ( d dx − 2x ) Hn(x) =−Hn+1(x) d dxHn(x) = 2nHn−1(x) を示せ. さらに, これを用いて Hn(x)はエルミートの微分方程式 Hn00(x)− 2xHn0(x) + 2nHn(x) = 0 を満たすことを示せ. [5]直交性 ∫ ∞ −∞ Hm(x)Hn(x)e−x 2 dx =√π 2nn! δmnを示せ.
[1]Pn(x)の多項式による表現 Pn(x) = [n/2]∑ r=0 (−1)r(2n− 2r)! 2nr!(n− r)!(n − 2r)!x n−2r を導け. [2]Pn(x)は n の偶奇にしたがって偶関数または奇関数であること, つまり, Pn(−x) = (−1)nP n(x)を示せ. また, Pn(1) = 1を示せ. [3]ロドリグの公式 Pn(x) = 1 2nn! dn dxn(x 2− 1)n を示せ. [4]漸化式 (2n + 1)xPn(x) = (n + 1)Pn+1(x) + nPn−1(x) [ (1− x2) d dx − (n + 1)x ] Pn(x) = −(n + 1)Pn+1(x) [ (1− x2) d dx+ nx ] Pn(x) = nPn−1(x) を示せ. さらに, これを用いて Pn(x)はルジャンドルの微分方程式 (1− x2)Pn00(x)− 2xPn0(x) + n(n + 1)Pn(x) = 0 を満たすことを示せ. [5]直交性 ∫ 1 −1 Pm(x)Pn(x) dx = 2 2n + 1δmnを示せ.
[1]Plm(−x) = (−1)l+mPlm(x)を示せ. また, Pl0(x) = Pl(x)を示せ. [2] Plm(x) = (1− x2)m/2 d m dxmPl(x) を示せ. ただし, m= 0 とする. [3] Pl−m(x) = (−1)m(l− m)! (l + m)!P m l (x)を示せ. [4]漸化式 [ (1− x2) d dx+ mx ] Plm(x) =√1− x2Pm+1 l (x) [ (1− x2) d dx − mx ] Plm(x) =−(l + m)(l − m + 1)√1− x2Pm−1 l (x) を示せ. さらに, これを用いて Pm l (x)はルジャンドル陪微分方程式 [ (1− x2) d 2 dx2 − 2x d dx+ l(l + 1)− m2 1− x2 ] Plm(x) = 0 を満たすことを示せ. [5]直交性 ∫ 1 −1 Plm(x)Plm0 (x) dx = 2 2l + 1 (l + m)! (l− m)!δll0を示せ.
[1]Yl−m(θ, φ) = (−1)mYlm(θ, φ)∗を示せ. また, Ylm(π− θ, φ + π) = (−1)lYlm(θ, φ) を示せ. [2]漸化式 eiφ ( ∂ ∂θ + i cot θ ∂ ∂φ ) Ylm(θ, φ) = √ (l− m)(l + m + 1)Ylm+1(θ, φ) e−iφ ( − ∂ ∂θ + i cot θ ∂ ∂φ ) Ylm(θ, φ) = √ (l + m)(l− m + 1)Ylm−1(θ, φ) を示せ. また, Ylm(θ, φ)は微分方程式 [ 1 sin θ ∂ ∂θ ( sin θ ∂ ∂θ ) + 1 sin2θ ∂2 ∂φ2 + l(l + 1) ] Ylm(θ, φ) = 0 を満たすことを示せ. [3]正規直交性 ∫ π 0 sin θ dθ ∫ 2π 0 dφ Ylm(θ, φ)∗Yl0m0(θ, φ) = δll0δmm0を示せ. [4] Ylm(θ, φ) = (−1)(m+|m|)/2 √ 2l + 1 4π (l− |m|)! (l +|m|)!P |m| l (cos θ)e imφを示せ. [5]ラプラシアン∇2の球座標 (r, θ, φ) における表式は ∇2f = 1 r2 ∂ ∂r ( r2∂f ∂r ) + 1 r2sin θ ∂ ∂θ ( sin θ∂f ∂θ ) + 1 r2sin2θ ∂2f ∂φ2 で与えられることを示せ.
[1]Ylmは m= 1 のとき Ylm= 1 √ 2[(−1) mY lm+ Yl−m] m5 −1 のとき Ylm=− 1 √ 2 i[Ylm− (−1) mY l−m] と表されることを示せ. [2]Ylmは m= 1 のとき Ylm= √ 2l + 1 2π (l− m )! (l + m )! P m l cos mφ m5 −1 のとき Ylm= √ 2l + 1 2π (l− |m|)! (l +|m|)!P |m| l sin|m|φ と表されることを示せ. [3]正規直交性 ∫ π 0 sin θ dθ ∫ 2π 0 dφYlmYl0m0 = δll0δmm0 を示せ. [4]l = 1 (p軌道) のとき Y11= √ 3 4π x r Y1−1 = √ 3 4π y r Y10 = √ 3 4π z r を示せ. また, 3 行 3 列の行列 P を具体的に求めて (Y11 Y1−1 Y10) = (Y11Y1−1 Y10)P と表すと, P はユニタリ行列であることを確かめよ. [5]l = 2 (d軌道) のとき Y22= √ 15 16π x2− y2 r2 Y2−2 = √ 15 4π xy r2 Y21= √ 15 4π zx r2 Y2−1 = √ 15 4π yz r2 Y20 = √ 5 16π 3z2− r2 r2 を示せ. また, 5 行 5 列の行列 P を具体的に求めて (Y22 Y2−2 Y21 Y2−1 Y20) = (Y22 Y2−2 Y21Y2−1Y20)P と表すと, P はユニタリ行列であることを確かめよ.
[1]Ln(x)の多項式による表現 Ln(x) = n ∑ r=0 (−1)r (n!) 2 (r!)2(n− r)!x r を導け. [2]Ln(0) = n!を示せ. [3]ロドリグの公式 Ln(x) = ex dn dxn ( xne−x) を示せ. [4]漸化式 Ln+1(x) = (2n + 1− x)Ln(x)− n2Ln−1(x) ( x d dx + n + 1− x ) Ln(x) = Ln+1(x) ( x d dx − n ) Ln(x) =−n2Ln−1(x) を示せ. さらに, これを用いて Ln(x)はラゲールの微分方程式 xL00n(x) + (1− x)L0n(x) + nLn(x) = 0 を満たすことを示せ. [5]直交性 ∫ ∞ 0 Lm(x)Ln(x)e−xdx = (n!)2δmnを示せ.
[1]Lkn(x)は母関数を用いて (−1) k (1− t)k+1 exp ( − xt 1− t ) = ∞ ∑ n=k Lkn(x)t n−k n! と与えられ ることを示せ. [2]Lk n(x)の多項式による表現 L k n(x) = n−k ∑ r=0 (−1)r+k (n!) 2 (r + k)!(n− r − k)!r!x r を導け. [3]ロドリグの公式 Lkn(x) = (−1)k n! (n− k)!x −kex dn−k dxn−k ( xne−x) を示せ. [4]漸化式 ( 1− k n + 1 ) Lkn+1(x) + (x + k− 2n − 1)Lkn(x) + n2Lkn−1(x) = 0 ( x d dx− x + n + 1 ) Lkn(x) = ( 1− k n + 1 ) Lkn+1(x) ( x d dx− n + k ) Lkn(x) = −n2Lkn−1(x) を示せ. さらに, これを用いて Lk n(x)はラゲール陪微分方程式 xLkn00(x) + (k + 1− x)Lkn0(x) + (n− k)Lkn(x) = 0 を満たすことを示せ. [5]直交性 ∫ ∞ 0 Lkm(x)Lkn(x)xke−xdx = (n!) 3 (n− k)!δmnを示せ.
[1]Re z > 0のとき, Γ(z) は漸化式 Γ(z + 1) = zΓ(z) を満たすことを示せ. [2]Γ(1) = 1を示し, さらに, Γ(n + 1) = n! を示せ. [3] ∫ ∞ 0 e−x2dx = √ π 2 を示せ. [4]Γ ( 1 2 ) =√πを示し, さらに, Γ ( n +1 2 ) = (2n− 1)!! 2n √ πを示せ. [5]Γ(z + 1) = zΓ(z)および Γ(1) = 1 から, Γ(z) の z = −m (m = 0, 1, 2, · · · ) にお ける留数が (−1) m m! であることを示せ.
[1]Re z > 0のとき, ∫ n 0 ( 1− t n )n tz−1dt = n! n z z(z + 1)· · · (z + n)を示せ. [2]ガウスの無限乗積表示からワイヤシュトラスの無限乗積表示 1 Γ(z) = ze γz ∞ ∏ m=1 [( 1 + z m ) e−mz ] を導け. [3]相反公式 Γ(z)Γ(1− z) = π sin πz を示せ. [4]ガウスの無限乗積表示から, ウォリスの公式 lim n→∞ 2n+1n!n12 (2n + 1)!! = √ πを導け. [5]倍数公式√πΓ(2z) = 22z−1Γ(z)Γ ( z +1 2 ) を示せ.
[1]f (t) = t − xLog t を t = x のまわりでテイラー展開することにより f(t) ∼ x− xLog x +(t− x) 2 2x と近似できることを示せ. さらに, これを用いてスターリン グの公式 Γ(x + 1)∼√2πxxxe−xを導け. [2]Re p > 0, Re q > 0のとき B(p, q) = 2 ∫ π 2 0 cos2p−1θ sin2q−1θdθを示せ. [3]Γ(p)Γ(q) = { 2 ∫ ∞ 0 e−u2u2p−1du } { 2 ∫ ∞ 0 e−v2v2p−1dv } を変数変換 u = r cos θ, v = r sin θを行って計算し, これが Γ(p + q)B(p, q) に等しいことを示せ. [4]漸化式 ψ(z + 1) = 1 z + ψ(z)を導け. [5]ψ(z) = −1 z − γ − ∞ ∑ m=1 ( 1 z + m − 1 m ) を導け. また, ψ(1) =−γ を示し, さらに, ψ(n + 1) = 1 n + 1 n− 1+· · · + 1 2 + 1− γ を示せ.
[1]母関数 ez2(t− 1 t) を t のベキ級数として ∞ ∑ n=−∞ Jn(z)tnと表すと, Jn(z) = ∞ ∑ s=0 (−1)s s!(s + n)! (z 2 )n+2s であることを示せ. また, この表式から J−n(z) = (−1)nJn(z)および Jn(−z) = (−1)nJn(z)を示せ. [2]J0(z) + 2 ∞ ∑ m=1 J2m(z) = 1を示せ. [3]ベッセルの積分表示 Jn(z) = 1 2π ∫ π −π eiz sin θ−inθdθ = 1 π ∫ π 0 cos(z sin θ− nθ)dθ を導け. [4]Jν(z)の定義から, 漸化式 ( d dz − ν z ) Jν(z) =−Jν+1(z) ( d dz + ν z ) Jν(z) = Jν−1(z) を示せ. [5]Jν(z)はベッセルの微分方程式 y00+ 1 zy 0+ ( 1−ν 2 z2 ) y = 0 を満たすことを示せ.
[1]Nν(z)の定義と Jν(z)の漸化式から, 漸化式 ( d dz − ν z ) Nν(z) =−Nν+1(z) ( d dz + ν z ) Nν(z) = Nν−1(z) を示せ.
[2]Jν(z) cos πν−Nν(z) sin πν = J−ν(z)および Jν(z) sin πν +Nν(z) cos πν = N−ν(z)
を示し, 特に, ν = n(整数) のとき (−1)nJ n(z) = J−n(z)および (−1)nNn(z) = N−n(z)を示せ. [3]Hν(1)(z) = −e −iπνJ ν(z) + J−ν(z) i sin πν および H (2) ν (z) = eiπνJ ν(z)− J−ν(z) i sin πν を示せ. [4]H−ν(1)(z) = eiπνHν(1)(z)および H−ν(2)(z) = e−iπνHν(2)(z)を示せ. [5] d dz { z−νJν(z) } = −z−νJν+1(z)から Jν+n(z) = (−1)nzν+n ( 1 z d dz )n{ z−νJν(z) } を示すことにより, Jn(z) = (−1)nzn ( 1 z d dz )n J0(z) Jn+1 2(z) = (−1) nzn+12 ( 1 z d dz )n{ z−12J1 2(z) } を導け.
[1]Iν(z)の定義と Jν(z)の漸化式から, 漸化式 ( d dz − ν z ) Iν(z) = Iν+1(z)および ( d dz + ν z ) Iν(z) = Iν−1(z)を示せ. さらに, これらから Iν(z)は微分方程式 y00+ 1 zy 0−(1 + ν2 z2 ) y = 0を満たすことを示せ. [2]Kν(z)の定義と Iν(z)の漸化式から, 漸化式 ( d dz − ν z ) Kν(z) =−Kν+1(z)およ び ( d dz + ν z ) Kν(z) =−Kν−1(z)を示せ. さらに, これらから Kν(z)は微分方程式 y00+ 1 zy 0− ( 1 + ν 2 z2 ) y = 0を満たすことを示せ. [3]jn(z)の定義と Jn+12(z)の漸化式から, 漸化式 ( d dz − n z ) jn(z) =−jn+1(z)およ び ( d dz + n + 1 z ) jn(z) = jn−1(z)を示せ. さらに, これらから jn(z)は微分方程式 y00+ 2 zy 0+ ( 1− n(n + 1) z2 ) y = 0 を満たすことを示せ. [4]jn(z) = (−1)nzn ( 1 z d dz )n j0(z)を導け. [5]球座標 (r, θ, φ) によって表したヘルムホルツ方程式の解として変数分離形 u(r, θ, φ) = f (r)g(θ)h(φ)を仮定して, f (r), g(θ), h(φ) を求めよ.
の質点からなる系を考える. ここで, 各質点はばね定数 k(= T /∆x) のばね (自然長 は無視できるとする) で隣合うものと結合し, また, 鉛直方向 (y 軸方向とする) に は自由に動けるとする. この質点系の両端を x 軸上の点 P = (−l, 0), Q = (l, 0) に 固定して一様な重力の下におくとき, ポテンシャルエネルギー I[y] が最小となる形 状 y0(x)を求めよ. さらに, 形状 y0(x)の下でのポテンシャルエネルギー I[y0]の具 体的表式を求めよ. ただし, ρ と T を一定に保ったまま N → ∞, ∆x → 0 の極限を とって答えること. [2]ハミルトンの原理は解析力学の基本法則であり, 「座標 x1, x2で記述される力 学系のラグランジアンを L(t, x1, ˙x1, x2, ˙x2)とするとき, 系の運動は作用 S[x1, x2] = ∫ t2 t1 L(t, x1, ˙x1, x2, ˙x2) dt が停留値をとるようなものである.」と述べられる. ここで, ラグランジアン L は, 運動エネルギー T とポテンシャルエネルギー V の差 L = T − V として定義され, また, xi(t1), xi(t2) (i = 1, 2)は与えられた値に固定して考える. ハミルトンの原理 からラグランジュの運動方程式 d dt ( ∂L ∂ ˙xi ) − ∂L ∂xi = 0 (i = 1, 2) を導け. [3][1]で考えた質点系は, 張力 T で引っぱられている長さ 2l, 線密度 ρ の弦とみなす ことができる. ここでは, 重力が無視できるとして, この弦に生じる振動を考えよ う. 位置 x, 時刻 t における弦の変位を y(x, t) とすると, この系のラグランジアンは L = ∫ l −l [ ρ 2 ( ∂y ∂t )2 − T 2 ( ∂y ∂x )2] dx で与えられる. 作用 S[y] = ∫ t2 t1 L dt に対してハミルトンの原理 δS[y] = 0 を適用 して, 波動方程式∂ 2y ∂t2 = T ρ ∂2y ∂x2 を導け. [4]長さ l = 2 sinh 1(∼= 2.35) の一様な鎖の両端を点 P = (−1, 0), Q = (1, 0) に固定 してぶら下げた. このとき, 鎖全体のポテンシャルエネルギーは I[y] = ∫ Q P y dsに 比例する. I[y] を最小にする鎖の形状 y0(x)を求めよ. [5][1]で考えた質点系に対して, その形状を表す試行関数として ya(x) = a cos πx 2l と選んでみよう. ここで, a は変分パラメタである. このとき, ポテンシャルエネル ギー I[ya]を a の関数 I(a) として表せ. さらに, I(a) を最小とする a を a∗とすると
き, a∗および I(a∗)を求めよ. また, I(a∗)が [1] で求めたポテンシャルエネルギー の最小値よりも大きいことを確かめよ.
[1]デルタ関数の表現 δ(x) = lim α→0 1 π α x2+ α2 および δ(x) = limα→0 1 √ παe −x2 α2 について そのグラフの概形を描き, さらに, ∫ ∞ −∞ δ(x)dx = 1を示せ. [2]cを正の定数とするとき, δ(cx) = 1 cδ(x)を示せ. [3] ∫ b a f (x0)δ0(x0− x)dx0 =−f0(x)を示せ. [4]δ(x)とヘヴィサイドの階段関数 H(x) は H(ξ− x) = ∫ ξ a δ(x− x0)dx0の関係にあ ることを示せ. [5]区間 [0, 1] において, x の関数としての DN(x) = 2 N ∑ n=1 sin nπx sin nπx0のグラフ を N = 1, 10, 100 についてグラフを描け (x0の値は 0 < x0 < 1の範囲で一つに固 定せよ).
[1]|fi = ∫ b a f (x)|xidx, hx|x0i = δ(x − x0)ならばhf|gi = ∫ b a f (x)∗g(x)dxを示せ. [2]ˆx2 = ∫ b a x2|xihx|dx を示し, さらに ˆxn= ∫ b a xn|xihx|dx を示せ. [3]hx|ˆxn = xnhx| を示し, さらに A(ˆx) = ∞ ∑ n=0 anxˆnに対し, hx|A(ˆx) = A(x)hx| を 示せ. [4]ˆk2 = ∫ L/2 −L/2|xi ( −i d dx )2 hx|dx を示し, さらに ˆkn= ∫ L/2 −L/2|xi ( −i d dx )n hx|dx を 示せ. [5]hx|ˆkn = ( −i d dx )n hx| を示し, さらに A(ˆk) = ∞ ∑ n=0 anˆkn に対し, hx|A(ˆk) = A ( −i d dx ) hx| を示せ.
[1]δ(k− k0) = 1 2π ∫ ∞ −∞ e−i(k−k0)xdxおよび δ(x− x0) = 1 2π ∫ ∞ −∞ eik(x−x0)dkを示せ. [2]演算子 ˆUa = exp(iˆka)は ˆUa = ∫ ∞ −∞|xihx + a| dx とも表されることを示せ. また, ˆ Uaは関数を x 軸の負の向きに a だけ平行移動する演算子であることを確かめよ. [3]δ(x) = 1 2π ∫ ∞ −∞ eikxdkより, δ(m)(x) = 1 2π ∫ ∞ −∞ (ik)meikxdkを示せ. ここで, δ(m)(x)は δ(x) の m 階の導関数を表す. [4]ˆx = ∫ ∞ −∞|ki ( i d dk ) hk| dk を示し, さらに, hk|ˆx = i d dkhk| を示せ. [5]任意の x について xnf (x) = 0が成り立つとき, f (x) = c0δ(x)+· · ·+cn−1δ(n−1)(x) を示せ. ここで, cm(m = 0,· · · , n − 1) は任意定数である.
