素粒子標準模型での場の理論の摂動計算の自動化

素粒子標準模型での場の理論

の摂動計算の自動化

加藤潔（工学院大学）

シンポジウム「未来の素粒子・

原子核数値シミュレーション」

２００７年１２月１９日ー２０日

つくば国際会議場「エポカルつくば」

素粒子の標準模型

強い力，電磁気力，弱い力を統合

（重力は含まず）

いままでの実験データを整合的に記述

場の量子論（ＱＦＴ） 既知の素粒子 とその間の力 くりこみ可能性 ゲージ不変性 （ヒッグス機構） 対称性

ラグランジアンが

ユニークに決まる

標準模型：物質粒子

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

s

c

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

b

t

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

e

e

ν

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

d

u

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

τ

ν

_τ

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

μ

ν

_μ クォーク レプトン 電荷 （２／３）ｅ （－１／３）ｅ 電荷 ０ －ｅ スピン１／２ のフェルミ粒子 すべて反粒子が_存在する

標準模型：力の粒子とヒッグス

g

±

W

_Z

0

γ

強い力

電磁気力

弱い力

重力

グルオン フォトン（光子） ウィークボソン グラビトン（重力子） 力 ＞ ゲージ場 ＞ ゲージ粒子 スピン１の（ベクトル）ボソン ヒッグス粒子 スピン０の スカラー粒子 「質量の起源」 未発見

H

標準模型のラグランジアン

)

(

)

(

QCD

L

EW

L

L

=

+

∑

−

+

+

−

=

q a a

f

g

L

q

m

D

i

q

G

G

QCD

L

(

)

(

.

.)

4

1

)

(

_μν μν

γ

μ _μ

.)

.

(

~

)

(

)

(

)

(

4

1

)

(

f

g

L

R

L

f

R

L

f

V

D

D

R

D

i

R

L

D

i

L

F

F

EW

L

down d d d up u u u a a

+

−

−

−

+

+

+

−

=

∑

∑

∑

∑

∗

_φ

_φ

_φ

_φ

φ

γ

γ

μ μ μ μ μ μ μν μν 強い力 電気力と弱い力 ｇ．ｆ．＝ゲージ固定項 場の量子論（ＱＦＴ）

エネルギーフロンティアでの加速器実験

•

ＬＨＣ （２００８～）

２７ｋｍ円形

ｐ（７ＴｅＶ）＋ｐ（７ＴｅＶ）

•

ＩＬＣ （ ２０＊＊～）

～４０ｋｍ直線

W=500GeV～１TeV～？

•

物質の究極構造の探求，

_TOEへ

−

+

e

e

理論と実験

理論（ＱＦＴの

Ｌ

） 測定器 実験 実験データ 理論的予測 「同じもの」 に関する

数値

記号処理 数値計算

解析

計算

これなしに は「理論」 の正否を決 められない

どうやって「計算」するか

•

強結合

(g大) ：非摂動的な扱い，

Ｌａｔｔｉｃｅ ＱＣＤ など

•

弱結合

_{(g小)：摂動計算（逐次近似）}

ＬＨＣ，ＩＬＣでは最低次の項（ｔｒｅｅ）では精

度が不十分，高次項（ｌｏｏｐ）が必要となる。

• ループや各種の模型への適用を考え，本講演ではファインマンダイアグラム に拠る計算法のみを紹介する。直接振幅を計算する手法や，超弦理論やツ イスター空間の技法を用いてヘリシティ振幅を構成する方法がある。

"

+

+

+

+

=

6 ₃ 2 4 1 2 0

g

F

g

F

g

F

F

F

User input Theory model file Diagram generator amplitude generator Library CHANEL, loop Kinematics library kinematics

code generated code

diagram description convergence information Make file etc. symbolic code

REDUCE, Form etc.

PS file

Drawer

BASES(MC integral)

SPRING (EG manager)

parameter file Diagrams (figure) Events Cross sections distributions TREE LOOP FORTRAN code .fin .mdl .rin

ファインマンダイアグラム

) ( ) ( ) , ( ) ( ) , ( ) ( ) ( 4 3 4 3 2 1 2 1 p F p F p p V p D p p V p F p F ×

∫

F(p₁)VD(p₁ − k)D(k)VF(p₁)d4k 各部分を表す関数の積 1

p

p

3 2 1

p

p

p

=

+

4

p

2

p

tree

k

p

₁

−

k

1

p

loop 各部分を表す関数の積 不定の運動量についての積分 振幅Tの表式 振幅Tの表式 無限大が現れる：くりこみ 未知の粒子を間接的に発見

断面積（実験データ）の計算

∏

∑

∑

− = × × = final j j final j E p d P p s p s p T factors d 3 3 0 4 2 2 2 2 ) ( ) ( ) ( .) . ( .) . ( ) ( π δ π σ LHC,ILC→物理目的→多体の終状態も重要 被積分関数＝各種の物理的原因による特異性を持つ （赤外発散，共鳴状態，前方散乱・・・） 適合型モンテカルロ積分を活用 グリッドの自動調整 VEGAS， BASES 「変数」の選択（「プロ」の技？）

モンテカルロ積分

VEGAS, BASES

importance and

stratified sampling

→

個々の特異性が各変数に 割り当てられた場合のみ有効

一般的な特異被積分

関数を数値積分でき

るか？

DICE, MILX,

FOAM, ParInt

,...

「計算」量の増加

摂動の次数・・・実験精度

＊ダイアグラム数の増加，１つのダイアグラムコードの長大化 ＊ループ積分の複雑さ，くりこみや赤外発散

多体の終状態・・・物理的必要性

＊ダイアグラム数の増加，１つのダイアグラムコードの長大化 ＊積分次元の増加，特異性の処理

自動計算が必要となる

（例）

_{トップクォーク、反トップクォークとヒッグス粒子}陽電子と電子が衝突し、 が生成される反応を考える。 • Tree 近似の式は21個 • 重心系のエネルギーが約750GeV で 約2.3fb Æ 年間 460個の反応が起きる。 • 5年で 約2,300個の反応が観測 統計精度は2％ Tree近似で十分か？

implicit real*8 (a-h, o-y) implicit complex*16 (z) include 'incl1.h' parameter (nloop =0) complex*16 wz, zr, zi complex*16 ztd zr=48*czel(1)**2*cztq(1)**2*chzz**2*e4e2*(amel2+e2e1-e3e1-e4e1) . +48*czel(1)**2*cztq(1)*cztq(2)*amtq2*chzz**2*e2e1+48*czel(1)** . 2*cztq(2)**2*chzz**2*e4e1*(amel2+e2e1-e3e2-e4e2)+24*czel(1)* . czel(2)*cztq(1)**2*amel2*chzz**2*(2*amel2+amh2-2*amtq2+2*e2e1-. 2*e3e1-2*e3e2)+192*czel(1)*czel(2)*cztq(1)*cztq(2)*amel2*amtq2 . *chzz**2+24*czel(1)*czel(2)*cztq(2)**2*amel2*chzz**2*(2*amel2+ . amh2-2*amtq2+2*e2e1-2*e3e1-2*e3e2)+48*czel(2)**2*cztq(1)**2* . chzz**2*e4e1*(amel2+e2e1-e3e2-e4e2)+48*czel(2)**2*cztq(1)*cztq . (2)*amtq2*chzz**2*e2e1+48*czel(2)**2*cztq(2)**2*chzz**2*e4e2*( . amel2+e2e1-e3e1-e4e1) zv = zr ztd = 1.0d0

call snprpdn(pphase,ztd,vn7, amz**2,amz*agz) call snprpdn(pphase,ztd,vn15, amz**2,amz*agz) call snprpdc(pphase,ztd,vn7, amz**2,amz*agz) call snprpdc(pphase,ztd,vn15, amz**2,amz*agz) ztd = 1.0d0/ztd wz = zv*ztd agctxt(2,2) = wz return end Tree 近似式 の例

H

t

t

e

e

+ −

→

1-loop量子色力学補正に必要な式は71個（1998年に独、米で計算） 1-loop電弱相互作用補正に必要な式は2327個（２００３年に日本で計算）

Graph # 1607 : 1,9822行!! zans15=18*cael(1)*catq(1)*chtq(1)*cytq(1)*czel(2)**2*cztq(1)* . xnle*czhy*zans16 zans20=4*e2e1*e3e2*e4e2+4*e2e1*e4e1**2+4*e2e1*e4e1*e4e2-8*e3e1* . e3e2*e4e1-4*e3e1*e3e2*e4e2-4*e3e1*e4e1*e4e2-4*e3e2**2*e4e1-4* . e3e2*e4e1**2-8*e3e2*e4e1*e4e2 zans19=4*amel2**3+2*amel2**2*amh2+8*amel2**2*amtq2+8*amel2**2* . e2e1-4*amel2**2*e3e1-8*amel2**2*e3e2-8*amel2**2*e4e1-4*amel2** . 2*e4e2+4*amel2*amh2*e2e1-2*amel2*amh2*e3e2-2*amel2*amh2*e4e1-4 . *amel2*amh2*e4e2+14*amel2*amtq2*e2e1-12*amel2*amtq2*e3e1-4* . amel2*amtq2*e3e2-12*amel2*amtq2*e4e1-4*amel2*amtq2*e4e2+4* . amel2*e2e1**2-4*amel2*e2e1*e3e1-12*amel2*e2e1*e3e2-12*amel2* . e2e1*e4e1-4*amel2*e2e1*e4e2+4*amel2*e3e1*e3e2+8*amel2*e3e1* . e4e1+4*amel2*e3e1*e4e2+4*amel2*e3e2**2+12*amel2*e3e2*e4e1+8* . amel2*e3e2*e4e2+4*amel2*e4e1**2+4*amel2*e4e1*e4e2+amh2**2*e2e1 . -5*amh2*amtq2*e2e1+2*amh2*e2e1**2-2*amh2*e2e1*e3e1-4*amh2*e2e1 . *e3e2-2*amh2*e2e1*e4e2+2*amh2*e3e1*e4e2+2*amh2*e3e2*e4e1+4* . amh2*e4e1*e4e2+4*amtq2**2*e2e1+6*amtq2*e2e1**2-6*amtq2*e2e1* . e3e1+2*amtq2*e2e1*e3e2-14*amtq2*e2e1*e4e1-6*amtq2*e2e1*e4e2+8* . amtq2*e3e1*e3e2+6*amtq2*e3e1*e4e2+6*amtq2*e3e2*e4e1+8*amtq2* . e4e1*e4e2-4*e2e1**2*e3e2-4*e2e1**2*e4e1+4*e2e1*e3e1*e3e2+4* . e2e1*e3e1*e4e1+4*e2e1*e3e2**2+8*e2e1*e3e2*e4e1+zans20 zans18=18*cael(1)*catq(1)*chtq(1)*cytq(1)*czel(2)**2*cztq(1)* . czhy*zans19

• Graph #1607のような5角形のグラが164個。 • 桁落ちが激しいので複素4倍精度計算を行う。 • 数値積分して一点を求めるのに、Power3、480時間/CPU。

ILC実験では、こうした計算が山のように必要。

• e+_e- _{→ e}+_e-_{H, bbH, ZHH, WWH, …} • 超対称性理論は同じ反応でも式の数が10倍になる。

Full 1-loop RC available

H

t

t

e

e

+ −

→

ZHH

e

e

+ −

→

H

e

e

+ −

→

ν

ν

GRACE, PLB559(2003)252_{Denner et al., NPB660(2003)289}

GRACE, PLB571(2003)163 You et al., PLB571(2003)85 Denner et al., PLB575(2003)290 GRACE, PLB576(2003)152 Zhang et al., PLB578(2004)349

H

e

e

e

e

+ −

→

+ −

γ

ν

ν

→

− +

e

e

ν =ν_μ,ν_e

ヒッグスの１ｌｏｏｐ：すべて自動計算

GRACE, PLB600(2004)65

GRACE, NIM A534(2004)334

HH

e

計算の検証

•

自動計算・・・「結果」が数値で出てくる

→正しいのか？

•

紫外発散，赤外発散の相殺

•

ゲージ不変性を活用（

_{EW:非線形ゲージ）}

→ 多倍長計算が必須

計算精度が必要な例

• f = 333.75*(b**6)

+ (a**2)*{11*(a**2)*(b**2) - (b**6)- 121*(b**4) - 2} + 5.5*(b**8) + a/(2*b),

where a=77617.0、b=33096.0.

by C. Hu, S. Xu and X. Yang

• f = 1.1726039400531786318588349045201801

w/ Quadruple precision

• Analytical result = - 54767/66192

= - 0.82739605994682136814116509547981370

• Using the new Octuple precision library in HMLib:

f = - 0.827396059946821368141165095479816

高速多倍長ライブラリの開発

HMLIb

: New FORTRAN

Li

brary for

H

igh-speed

M

ultiprecision operations

• Library in FORTRAN Å available for any architectures

• Based on Integer operationsÆ fast & “lost bits” information for subtraction.

• For the octuple floating point operations: based on IEEE754,

1 bit for sign,15bits for exponent, 240 bits for mantissa.

• For example

call Q4ADDSUB(A,B,C,I,IBIT) : for add/sub in Quad.

• MULT/DIV,SQRT,LOG,ATAN2 … are also available

何桁落ちたかが判る！

赤外発散する１ループ積分

多倍長で計算（４倍、８倍、・・） 2 2 2 1 0 1 0 _{( ) (1 )} 1 ) (

λ

y x m y x xys dy dx s I e x − − + + + − =

∫

∫

−

ε

i

s

s

→

+

GeV m_e = 0.511×10−3 GeV s = 500 λ m_e m_e s GeV , , , , 80 , 30 10− − = λ

赤外発散する１ループ積分

数値結果（実数部）

n

数値積分 多倍 度 解析的近似式

-30

-0.1508992869807D-01 +/-0.771D-26

8

-0.150899286980D-01

-80

-0.405390396284D-01 +/-0.580D-15

16

-0.405390396283D-01

-150

-0.761677949309D-01 +/-0.931D-15

32

-0.76167794930D-01

-160

-0.81257617D-01 +/- 0.549D-10

32

-0.81257618D-01

λ=10

n 実際の物理計算では-30乗あたり ４倍長でも計算結果が桁落ちのため解析式と合わない。 ８倍長、１６倍長、３２倍長計算が必要

標準模型を超える

•

例：超対称性模型（

SUSY)

粒子の数が倍になる

それだけ頂点の種類も増える

⇒

計算量の増大

• 理論（L）を与えたときに，計算のためのデー

タベースを自動的に生成

例：

_LANHEP

超対称性理論による

ヒッグス粒子生成過程の計算

processes

標準模型： CPU（時間） 超対称性理論 CPU(時間)

２００

４、０００

５００

１０，０００

９１０

１８、２００

９００

９、０００

１０、０００

１００、０００

H e e+ − →νν H t t e e+ − → ZHH e e+ − → H e e e e+ − → + − HH e e+ − →νν つまり、ざっと２０倍。しかもインプットパラメタセットが少なくとも４つ Power3 375MHz

超対称性理論を確定する過程

processes

#of tree (all) # of 1-loop (all)

CPU(

年

）

104

58,000

₁₀₀

382

1,046,822

₃₁₀

1,932

3,192,587

_2,500

0 1 0 1 0 0

χ

χ

Z

Z

e

e

+ −

→

0 1 0 1

χ

χ

τ

τ

+ − − +

_→

e

e

0 1 1

~

−

_χ

− +

_{→ e}

e

e

e

Power3 375MHz 2500年＠Power3 375MHz = 9日＠京速計算機 0.1Tera 10Peta （10万倍加速） このような反応が少なくとも100はある。

１ループから２ループへ

• 2-loop以上のFeynman図の積分を組織的に数値化する 方法は見つかっていない。 • 積分の解析的な答えを得るのは“不可能” • ループ積分：積分領域内で、分母がゼロになり得る。 • De Doncker教授の発見： ⇒_{εを微小量とみなさずパラメタとみなし、ε算法を用いてε} →０の極限をとる。 • 実際には桁落ち等、数値計算法上の問題有り。 2 1 0 1 0 1 0 _{( ( , , ) )} ) , , ( )] , , ( [(

ε

i w y x D w y x P dw dy dx w y x P J x x y − =

∫

∫

−

∫

− −

研究課題

•

二重指数関数型法

•

Gauss-Legendre法

•

Gauss-Kronrod法

•

QUADPACKルーティ

ン

•

自動積分法

•

Hasel-Glove法

•

Good Lattice Point法

•

DCUHREルーティン

•

多倍長ライブラリ

+

e

t

−

e

e

e

0

Z

0

Z

0

Z

e

t

t

3 2 6 , 1

(

/

)

1

ε

i

C

D

C

x

d

_i i

+

∫Π

₌ •積分領域は6次元シンプレックス •D,Cは6変数の３次多項式 •積分領域内にD=0がある。 •まだ、だれも数値化できていない

電子の異常磁気能率

• 高精度の理論と高精度の実験データ

の比較

の典型的事例

• 青山龍見，早川雅司，木下東一郎，仁尾真

紀子

の仕事の紹介

•

電子の磁気能率

Dirac理論では ｇ＝２

これからの量子効果によるずれ

2

/

)

2

(

4

−

=

=

g

a

m

eh

g

π

μ

)

(

)

(

)

(

QED

a

hadron

a

weak

a

a

=

+

+

12

10

)

76

.

0

(

85

.

180

652

159

1

(exp)

=

×

−

a

B.Odom etal., PRL 97 (2006) 030801 99.9999998% " + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 5 ) 10 ( 4 ) 8 ( 3 ) 6 ( 2 ) 4 ( ) 2 (

π

α

π

α

π

α

π

α

π

α

A A A A A a 137 1 4 ₀ 2 ≈ = = c e

πε

α

_{←実はこっちが決まる} 微細構造定数

) (n

A

（３ｎ－２）次元の数値積分最適化するモンテカルロ積分 紫外発散，赤外発散の処理 引き算法（数値的に） 数値は高精度を必要とする

１０次の計算

ファインマン図の個数＝

１２６７２

１０次のダイアグラムの一例

１０次の計算

被積分関数／ダイアグラム

約１００ｋ行（ＦＯＲＴＲＡＮ）

約２０ＭＢの実行オブジェクト

１００Ｍ点のサンプリングで約６－８時間：ＲＳＣＣ の６４ＣＰＵクラスター

まとめ

•

理論と実験を比較するには「計算」が必要

⇒標準模型を超える理論の探求 ⇒標準模型の「計算」結果を実験と比較

•

自動計算システムはＬＨＣ，ＩＬＣなどの高エネ

ルギー実験に不可欠のツール

⇒データに見合う結果を実験屋の必要とする期限内に出す ⇒計算機は理論屋の重要な実験設備

•

超巨大計算：ハードの高速化と並列化処理，

高速な計算手法，記号処理，多倍長計算，計

算の信頼性確保，・・・の重要性