ｽﾗｲﾄﾞ ﾀｲﾄﾙなし

熱・物質伝達

熱・物質伝達

相互交換作用 (

Phase coupling)

相互交換作用

(

Phase coupling)

m

&

D

F

Q&

物質・運動量・エネルギーの相間

の交換

Exchange of mass, momentum and energy between phases 連続相 圧力(Pressure) 温度(Temperature) 速度(Velocity) 成分濃度 (Species concentration) 分散相 温度(Temperature) 速度(Velocity) 混合比(Loading) 粒径(Particle size) 質量(Mass) エネルギ (Energy) 運動量(Momentum)

ワンウエイ (One way coupling) : ツーウエイ (Two way coupling) :

流体 粒子

熱に関する用語の復習

熱に関する用語の復習

熱量 quantity of heat 仕事 work 単位

J

1Nの力が1mの変位に際し てなす仕事 純粋な水 1kg を 1℃ だけ上昇させるに必要な熱量 熱の仕事当量 thermal equivalent of work ：

1

kcal

=

4185.5

J

kcal

単位 仕事率、動力 power 単位時間当たりの仕事

J

s

or

N

( )

m

s

単位（ワッ ト）

W

熱伝導 heat conduction 温度を均一化する方向に熱エネルギーが移動する現象 熱伝導に関するフーリエの法則

q

&

=

−

k

grad

T

dx

dT

k

q

&

=

−

１次元： 熱流束 heat flux 2

m

W

単 位: 単

W

(

m

⋅

K

)

位: 熱伝導率（度） thermal conductivity 比熱 ： 1kg の物質の温度を1Kだけ上昇させるに要する熱量 _⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⋅ K kg J 単位 エネルギー、energy ：仕事をすることができる能力

熱に関する用語の復習

熱に関する用語の復習

熱伝導 heat conduction _{温度を均一化する方向に熱エネルギーが移動する現象}

熱伝達

_{heat transfer}

固体表面とそれに接触する流体の間の熱移動 （放射による熱移動も含める場合もあり） c

T

d

T

q

&

単位面積、単位時間当りの熱移動量

_q

&

[

_W

_m

2

]

(

T

_c

T

_d

)

h

q

&

=

×

−

熱伝達係数 (heat transfer coefficient) 熱流束(heat flux)

(

m

K

)

W

2

⋅

単 位: transfer : 越えて伝える

(

_{c d}

)

c

T

T

L

k

q

&

= Nu

×

×

−

単位時間当りの熱移動量 2

D

π

×

D

：粒子の直径

D

（粒子の表面積）

(

_{c d}

)

c

T

T

D

k

D

q

D

2

=

Nu

×

π

2

×

×

−

π

_&

(

_{c d}

)

c d d

k

D

T

T

dt

dT

mc

=

Nu

×

π

×

−

dt

dT

c

m

_d d 粒子の運動方程式における抵抗係数と類似

(

T

_c

T

_d

)

h

q

&

=

×

−

対流熱伝達

T

k

q

&

=

−

_c

grad

熱伝導 (continuous phase)

(

m K

)

W 2 ⋅ 熱伝達係数

:

h

熱伝導率

(

m

K

)

W

⋅

:

c

k

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

m

1

c

k

h

L

k

h

= Nu

×

c ヌッセルト数 Nusselt number 代表長さ

[ ]

m

熱応答時間 (Thermal response time)

熱応答時間 (

Thermal response time

)

(

_{c d}

)

c d d

k

D

T

T

dt

dT

c

m

=

Nu

π

−

粒子温度の方程式:

(

_{c d}

)

c d d d T T k D c dt dT _{= −} 12 1 2 Nu 2 ρ

1

2

Nu

:

0

Re

→

→

熱応答時間の定義 : c d d T

k

D

c

12

2

ρ

τ

=

(

)

⎟

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎜

⎝

⎛

−

−

=

−

T t d c d d

e

T

T

T

T

τ

1

1

0 0 0 : 0 T_d T_d t = = const = c T

(

)

T d c d

T

T

dt

dT

τ

−

=

ヌッセルト数 Nussert number 連続相の熱伝導率

(Thermal conductivity of continuous phase) 粒子の比熱

(specific heat of particle)

) 200 (Re , Pr 0.6Re 2 Nu 3 1 2 1 < + = Ranz-Marshall correlation (1952) : Kemp et al.(1994) : ) 1500 Re (200 , Pr 0.02Re Pr 0.5Re 2 Nu 3 1 0.8 3 1 2 1 < < + + =

c d d T k D c 12 2

ρ

τ

= Ex 標準大気中の水滴: μm 100 = D ms 145 = T

τ

d c c c d c c d d d T V

c

c

c

k

c

k

k

D

c

D

μ

μ

ρ

μ

ρ

τ

τ

3

2

3

2

12

18

2 2

=

=

=

)

1

(

Pr

=

O

)

10

(

Pr

=

O

2 For gas : For liquid :

)

1

(

O

T V

=

τ

τ

)

10

(

−2

= O

T V

τ

τ

気体中：速度平衡と温度平衡はほぼ同じ速さで到達 液体中：速度平衡は温度平衡よりきわめて早く到達 c c

k

c

μ

=

Pr

連続相 の比熱 （定圧） Pr : Prandtl number

Pr

1

3

2

d c

c

c

=

プラントル数 Pr の復習

プラントル数 Pr の復習

フーリエの式

_q

&

=

−

_k

_grad

_T

dx

dT

k

q

&

=

−

1 次元： 熱伝導方程式

k

T

t

T

c

_p

=

∇

2

∂

∂

ρ

流体運動方程式

u

t

u

r

₌

_∇

₂

r

∂

∂

_ν

a

ν

=

Pr

T

c

k

t

T

p 2

∇

=

∂

∂

ρ

T

a

t

T

₌

_∇

₂

∂

∂

k

c

k

c

c

k

p p p

μ

ρν

ρ

ν

₌

₌

=

k

c

_p

μ

=

Pr

熱拡散率 温度拡散率 thermal diffusivity ⎥_⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ s m2 運動量の拡散率 ( 動粘度 ) ⎥⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ s m2 密度 比熱 熱伝導率

n

D

s A s

∂

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

−

=

ρ

ρ

ρ

_ν

A

ω

拡散係数 diffusion coefficient 成分Aの質量割合

mass fraction of species A in the mixture

n

D

w

A s

∂

∂

−

=

ρ

ρ

_ν

=

M&

( )

[

2

]

sm

kg

物質伝達

Mass Transfer

物質伝達

Mass Transfer

M&

(

A A s

)

c D

h

M

&

=

×

ρ

ω

_,∞

−

ω

_, 物質伝達係数

Mass transfer coefficient

:

,∞

A

ω

自由流における成分Ａの質量割合

Mass fraction of the species A in the free stream

:

,s

A

ω

表面における成分Ａの質量割合

Mass fraction of the species A at the droplet surface

S

w

dt

dm

s

ρ

−

=

蒸気の密度 vapor density 表面積 surface area

単位時間、単位面積当たりの物質伝達

Mass transfer per unit area per unit time :

n

r

w

u

r

v

r

D

(

T

_c

T

_d

)

h

q

&

=

×

−

対流熱伝達

T

k

q

&

=

−

_c

grad

熱伝導 (continuous phase)

(

m K

)

W 2 ⋅ 熱伝達係数

:

h

熱伝導率

(

m

K

)

W

⋅

:

c

k

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

m

1

c

k

h

L

k

h

= Nu

×

c ヌッセルト数 Nusselt number 代表長さ

[ ]

m

(

A A s

)

c D

h

M

&

=

×

ρ

ω

_,∞

−

ω

_,

n

D

M

_s A

∂

∂

−

=

ρ

_ν

ω

&

物質伝達係数

Mass transfer coefficient

:

D

h

m

s

拡散係数 diffusion coefficient

:

ν

D

_m

2

_s

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

m

1

ν

D

h

_D

L

D

h

_D

= Sh

×

ν 代表長さ

[ ]

m

シャーウッド数 Sherwood number

物質伝達

Mass Transfer

物質伝達

Mass Transfer

物質伝達 Mass transfer per unit area per unit time:

M&

[

kg

( )

sm

2

]

(

A A s

)

c D

h

M

&

=

×

ρ

ω

_,∞

−

ω

_, シャーウッド数 Sherwood number

:

Sh

[ ]

-ν

D

L

h

_D

=

Sh

拡散係数 Diffusion coefficient

(

A A s

)

c

L

D

M

&

=

Sh

×

ν

×

ρ

ω

_,∞

−

ω

_,

×

π

D

2

D

単位時間当りの物質伝達

Mass transfer per unit time :

_D

c

(

A A s

)

D

D

M

D

2

Sh

π

2

ρ

ω

_,

ω

_,

π

₌

_×

_×

ν

_×

₋

∞

&

(

A A s

)

c

D

D

dt

dm

, ,

Sh

×

ρ

_ν

π

×

ω

−

ω

=

_∞

dt

dm

物質伝達係数

Mass transfer coefficient 代表長さ Length scale

:

,∞ A

ω

自由流における成分Ａの質量割合

Mass fraction of the species A in the free stream

:

,s

A

ω

表面における成分Ａの質量割合

Mass fraction of the species A at the droplet surface

代入

(

_A

_A

_s

)

v

c

D

D

dt

dm

,

,

Sh

ρ

π

ω

−

ω

=

_∞

自由流における成分の質量割合 (mass fraction of the species in the free stream)

液滴表面における成分の質量割合 (mass fraction of the species at the droplet surface)

s A A,

ω

,

ω

_∞

<

s A A,

ω

,

ω

_∞

>

: 蒸発 (evaporation) : 凝縮 (condensation)

物質伝達

Mass Transfer

物質伝達

Mass Transfer シャーウッド数 (Sherwood number)

p

p

M

M

_A M A s A,

=

⋅

ω

Sc

Re

6

.

0

2

Sh

=

+

12

⋅

r シャーウッド 数： Sherwood number

分子量 (molecular weight of the species)

混合物の分子量 (molecular weight of the mixture)

液滴温度に対応する飽和圧力

saturation pressure corresponding to the droplet temperature

シュミット数 Schmidt number Dv

ν

= Sc 動粘度 拡散係数

D

v

u

w

相対速度に基づくレイノルズ数:

ν

v

u

D

r

r

r −

=

Re

29 18 ≈ M A M M 空気中の水蒸気の場合

a

ν

=

Pr

kinematic viscosity Thermal diffusivity Prandtl number

(

A A s

)

v c

D

D

dt

dm

, ,

Sh

ρ

π

ω

−

ω

=

_∞ d _c

(

_{c d}

)

d

k

D

T

T

dt

dT

mc

=

Nu

×

π

×

−

(

_{c d}

)

_L c d d

k

D

T

T

m

h

dt

dT

mc

=

Nu

×

π

×

−

+

&

(

_{c d}

)

_c

(

_{A A s}

)

_L c d d

k

D

T

T

D

D

h

dt

dT

mc

=

Nu

×

π

×

−

+

Sh

ρ

_ν

π

ω

_,∞

−

ω

_, エネルギー方程式 (energy equation) 蒸発潜熱：液体が液相から気相へ相変化する際に単位質量当たりに 必要とされる熱量 ( latent heat of vaporization)

(

A A s

)

v c

D

D

dt

dm

, ,

Sh

ρ

π

ω

−

ω

=

_∞ 6 3 D m = ρ_d π

D２乗法則

D2_-law

D２乗法則

D2_{-law dt} dD D dt dm d 2 2 ρ π = ∴

(

−

∞

)

−

=

2

Sh

_{A,s A,} d v c

D

dt

dD

D

ω

ω

ρ

ρ

右辺を一定と仮定し（一般に余り変化しない）、積分すると

t

D

D

2

=

₀2

−

λ

=

(

, − ,∞

)

4Sh A s A d v cD ω ω ρ ρ λ From

D

₀2

− t

λ

=

0

液滴の持続時間まはた蒸発時間が得られる。

λ

τ

D

02 m

=

Coupling equations

• 物質交換

mass coupling

(蒸発

evaporation

, 凝縮

condensation

)

• 運動量交換

momentum coupling

(力

forces

)

mass

St

Z

≈

質量交換 (

Mass coupling)

質量交換

(

Mass coupling) 分散相（液滴）から単位時 間当り生成される質量:

M

&

d

nL

m

&

3

=

Ex. 液滴が蒸発する場合 質量流束 (Mass flux) :

_M

_UL

2 c c

=

ρ

&

質量交換パラメータ

(Mass coupling parameter) : c

d mass

M

M

&

&

=

Π

3 ₂

UL

m

nL

c

ρ

&

=

mU

L

m

nm

c

&

⋅

=

ρ

c d C

ρ

ρ

= m m m & =

τ

蒸発、燃焼、凝縮の特性時間

U

L

C

m mass

τ

1

=

Π

m F

C

τ

τ

=

mass

St

C

=

C ≈ Z F m mass St τ τ = 物質移動に関す るストークス数

1

<<

Π

_mass One way coupling

U

c

ρ

L

単一の液滴からの蒸発量(evaporation rate)

mU

L

m

c d

⋅

&

=

ρ

ρ

nm d =

ρ

運動量交換

(Momentum coupling)

運動量交換

(Momentum coupling) 粒子に働く流体抵抗 :

F

_D

=

nL

3

3

πμ

D

(

V

−

U

)

U

c

ρ

L

n

: 数密度 (Number density) 流体の運動量流束： 2 2

L

U

Mom

=

ρ

_c 運動量交換パラメータ :

(

)

2 2 3

3

L

U

V

U

D

nL

c mom

ρ

πμ

−

=

Π

質量 (mass) 3

6

D

m

=

ρ

_d

π

応答時間 (Response time)

μ

ρ

τ

18

2

D

d V

=

μ

ρ

π

ρ

τ

18

6

2 3

D

D

m

d d V

=

=

3

πμ

D

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ −

=

Π

U

V

U

nmL

V c mom

ρ

τ

1

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ −

⋅

=

U

V

U

L

V c d

1

τ

ρ

ρ

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ −

⋅

≈

U

V

St

C

V

1

1

U

L

F

=

τ

F V V

St

τ

τ

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ −

⋅

=

Π

U

V

St

C

V mom

1

1

U

V

St

_V

→

0

:

→

0

0

→

Π

_mom

?

(

)

V V U dt dV

τ

− = 粒子の運動方程式 : 仮定：粒子速度は流体速度に比例（速度比は一定） const = = U V

φ

F U dt dU

τ

≈

φ

φ

τ

τ

₌ 1− F V F V V St

τ

τ

=

φ

φ

− = 1 V St

(

−

φ

)

⋅

=

Π

1

1

V mom

St

C

1

1

≈

+

+

=

Π

V V mom

St

Z

St

C

(

φ

)

τ

φ

= 1− V U dt dU

エネルギー交換

(Energy coupling)

エネルギー交換

(Energy coupling)

U

c

ρ

L

n

: Number density c

T

粒子から流体への熱伝達

Heat transfer from particles to fluid

(

_{d c}

)

c

D

T

T

k

nL

Q

&

=

3

Nu

π

−

流体のエネルギ流束

Energy flux of fluid through the volume

c p c

L

Uc

T

E

&

=

ρ

2

エネルギー交換パラメータ

(Energy coupling parameter) :

(

)

c p c c d c ener

T

Uc

L

T

T

D

k

Nu

nL

E

Q

2 3

ρ

π

−

=

=

Π

&

&

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

₋

⋅

=

c c d T c d

T

T

T

U

L

τ

ρ

ρ

1

+

≈

T

St

Z

(

St

_T

→

0

)

Π

mom

≈

Π

ener

If

1

<<

Π

_mass

1

<<

Π

_mom

1

<<

Π

_ener

数値モデルは one way coupling だけを考慮すれば

よい。即ち、連続相に対する分散相の影響は無視し

てよい。

熱い粒子 冷い気体 d

T

d

U

c

T

c

U

d

T

c

T

c

U

d

U

m

c

平衡状態にある二相流体の特性

(Properties of an equilibrium mixture)

0

→

St

の極限では粒子の速度、温度が搬送流体の速度、温度に漸近する。 この場合、二相流体は特殊な特性値を持つ単相流体として扱うことができる。

C

u

u

z

c d c c d d

=

=

=

ρ

ρ

ρ

ρ

_{修正密度 :}

(

z

)

(

z

)

z

c c c c c c d m

+

=

+

=

+

=

+

=

1

1

ρ

α

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

、且つ搬送流体が気体の場合、二相流体は修正された気体定数

(modified gas constant)を持つ１つの気体と見なすことができる。.

1

≈

c

α

平衡状態の二相流体のエンタルピー (enthalpy) :

(

)

T

c

c

z

c

T

c

c

h

c d c c d d c c m

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

=

+

=

ρ

ρ

ρ

1

T

z

c

c

z

c

c d c m

+

+

=

1

1

ρ

z c c z c c c d c m ₊ + = 1 1 比熱 (Specific heat) :