複素解析的超曲面の特異点解消
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(2) 北海道教育大学紀要（自然科学編）第71巻 第1号 Journal of Hokkaido University of Education（Natural Sciences）Vol. 71, No.1. 令 和 2 年 8 月 August, 2020. 複素解析的超曲面の特異点解消 齋藤 幸子・高清水公星 北海道教育大学教育学部旭川校数学教育専攻. Resolutions of Singularities of Complex Analytic Hypersurfaces SAITO Sachiko and TAKASHIMIZU Kosei Department of Mathematics Education, Asahikawa Campus, Hokkaido University of Education, Asahikawa 070-8621, Japan. 概 要 J. Milnor の名著“Singular points of complex hypersurfaces”, Princeton University Press (1968年)（[3]）における複素解析的超曲面に対するファイブレーション定理は，代数幾何学， 複素多様体論，微分トポロジーの交錯するところに位置し，多くの分野の数学者に研究テーマ やインスピレーションを与え続けている。特に，E. Brieskorn により，Milnor ファイブレー ションの例からエキゾチック7次元球面の存在が示されたこと（[2]，[1]）は衝撃的であっ た。その後，複素解析的超曲面に関しては，その特異点解消も大きな研究テーマとなっている。 この小論では，岡睦雄著「複素および混合超曲面特異点入門」，丸善出版（2018年） （[8]）の 定式化に基づき，通常爆発射とトーリック爆発射を用いた正則関数の良い特異点解消について， 難解な部分を補った解説を試みる。最終節では，混合解析関数により定義される超曲面の研究 への展望についても触れる。. 1.
(3) 齋藤 幸子・高清水公星. 1. 弧状連結空間Xに対して，そのm次元以下のホモトピー群πi(X)(1 ≤ i ≤ m) がすべて自明となるとき，Xはm連結である という。. 2. W=Σ(V)であることが多い。よく扱うのは，W=Σ(V)={ 0 }の場合。. 3. このとき，複素解析的集合Vの特異点集合Σ(V)は{ 0 }に一致する。. 2.
(4) 複素解析的超曲面の特異点解消. 4. 岡[8] ，pp.69–70 の定義にはないが，この条件(2.1)を付け加えるべきである。そうでなければ，p.70で主張されてい. 5. この小論では，簡単のため，正則関数の特異点解消の定義（[8]，p.69, 4.0.2）において，「Vの特異点集合Σ(V)を含むV. 6. V=π ― 1 (V \{0})である。. 7. 原点でのブローアップとも呼ばれる。. る「π(Ei)={ 0 }, i=1, . . . , r」は必ずしも成り立たない。 の真部分解析的集合W」がΣ(V)(={ 0 })に一致する場合を考える。 ～. 3.
(5) 齋藤 幸子・高清水公星. 4.
(6) 複素解析的超曲面の特異点解消. 5.
(7) 齋藤 幸子・高清水公星. 6.
(8) 複素解析的超曲面の特異点解消. 7.
(9) 齋藤 幸子・高清水公星. 8. (3.3)は大域的Milnor束，(3.4)はトーリックMilnor束と呼ばれる。fが斉次多項式のとき， 大域的Milnor束のファイバーは， n−1. の射影超曲面の補空間と関わる。[8]，第6章，6.3節参照。. 8.
(10) 複素解析的超曲面の特異点解消. 9. n=2の場合は，Newton多角形（Newton polygon）という。. 10. Newton境界は，座標系に依存する。すなわち，h(0)=0なる0(∈ Newton境界が変化し得る。. n. )の近傍上の双正則写像h(w)を合成したf(h(w))では，. 11. P(≠0)∈N+ Rに対しては，線形関数Pの最小値が定まる。. 9.
(11) 齋藤 幸子・高清水公星. 10.
(12) 複素解析的超曲面の特異点解消. 12. 0∈σ∩τなので，σ∩τ≠0である。. 13. 岡[8]とは表現を変えた。. 11.
(13) 齋藤 幸子・高清水公星. 12.
(14) 複素解析的超曲面の特異点解消. 13.
(15) 齋藤 幸子・高清水公星. 14.
(16) 複素解析的超曲面の特異点解消. 14. 岡[8]に倣い，狭義ではなく強義を用いる。. 15.
(17) 齋藤 幸子・高清水公星. 16. . （齋藤 幸子 旭川校准教授） . . （高清水公星 旭川校大学院生）.
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