合成床スラブの弾性たわみと応力に関する解析的研究: University of the Ryukyus Repository

(1)

Title

合成床スラブの弾性たわみと応力に関する解析的研究

Author(s)

山川, 哲雄; 郝, 洪濤; 田中, 躍一

Citation

琉球大学工学部紀要(46): 105-114

Issue Date

1993-09

URL

http://hdl.handle.net/20.500.12000/5469

Rights

(2)

琉球大学工学部紀要第46号，1993年 105

合成床スラブの弾性たわみと応力に関する解析的研究

山川哲雄醤都供鱒*＊田中躍一…

AnAnalyticaIStudyonDefIectionandStressResultants

ofCompositeFIoorSIabs

ＴｅｔｓｕｏＹＡＭＡＫＡｗＡ、HongtaoHAo*＊ａｎｄＹｏｕｉｃｈｉＴＡＮＡＫＡ**＊

Abst｢act

Thecompositenoorslab，whichiscomposedofcast-m-placecon‐

creteandcastingfloorformworks，isassumedtobeadoublelayered

floorslab・ThisfloorslabisproposedasARC（Automation-oriented

ReinfOrcedConcreteConstructions)noorsystems・

UsingtheequivalentflexuralrigidityfOrthedoublelayerednoor

slabsconsistingoftwodifferentelasticmodulLanalyticalsolutionsex-pressedinFourierseriesbythinplatetheoryandbyelementarybeam

theorycanbeeasilyappliedtothecompositenoorslabs・Asaresult

ofthisanalyticalinvestigation，elasticdeflectionandstressresultants

ofthecompositefloorslabsarediscussedinthispaper・Ａｎｄｔｈｅｃａｌ‐

culationchartsondenectionandstressresultantsofthefloorslabare

preparedforthepurposeofStructuraldesignonthecompositenoor

slabs．

KeywordsIBeamtheory，Fourierseries，Equivalentflexuralrigidi‐

ty,ARCfloorsystems,CompositefloorslabPlatetheory

1．序最近，スラブ配筋を行った上面に場所打ちコンクリートを打

設するものである')-5〕、打設された若令コンクリート

上面を施工ロボットが自由に走行するこれらの床スラブは，力学的に二層複合断面から構成されている．これらの境界面に働くせん断応力や，合成床スラブのたわみ等を検討し，これらの算定図表などを整理することは構造設計上きわめて有用であると思われる．最近，デッキプレートやプレキャストコンクリート埋設型枠を用いた合成床スラブが多用きれるように

なってきた．苔らに，メンテナンスフリー，省人化，

地球環境保全等の観点から，無支保工用打込み床型枠を用いたARC床構法も提案きれている．ARC床椴法は

無支保工用打込み床型枠を梁にかけわたし，所要の床

受理：1993年５月10日、工学部建設工学科Dept,ofArchitecturalEng.，Fac・ofEng．

＊．工学部建設工学科・研究生ResearchStudent，ArchjtecturalEng．

…㈱青木建設AokiCorporation

(3)

山川・都・田中：合成床スラブの弾性たわみと応力に関する解析的研究 1０６に差異が生じるものと思われる．したがって，本論では入が１以下の小さい場合に限定する．既存の埋設型枠やARC床構法における打込み床型枠は製造，運送，施工などの観点からその単位大ききが限定苔れる゜したがって，打込み床型枠を床スラブの形状にしたがって，２枚以上敷設することになる．すなわち，打込み床型枠部分は一方向で連続体でありながら，それと直交する方向では不連続体になる．一方，打込み床型枠の上に打設きれた場所打ち鉄筋コンクリートは二方向とも連続体になっているので，打込み床型枠と鉄筋コンクリートで構成された合成床スラブの実際の応力・変形状態は，一方向と二方向床スラブの間にあると考えられる．ただし，二方向床スラブといえどもその辺長比入（＝８y/'x)が大きくなると，短辺方向の挙動が次第に卓越してくるのでこ方向床スラブの解を，一方向床スラブの解で近似的に置き換えることが可能となる。そこで本研究では，二層複合断面からなる合成床スラブに関して,等価曲げ剛性を適用することによって，

既存の初等梁理論解6)や平板のフーリエ級数解7)-m)な

どを用い，両極端に相当する一方向床スラブの解析と二方向床スラブの解析を行う．本研究は，この結果求まる合成床スラブの弾性たわみと応力を検討し，かつ設計に供するためこれらの算定図表を整理したものである．２．１断面解析とフーリエ解析打込み床型枠と打設コンクリートの境界面にすべりが生じず，断面の平面保持仮定が常に成立すると仮定すれば，図－２に示す梁幅ｂの二層複合断面の圧縮縁から中立軸位置までの距離x､が，(1)式で与えられる． (1)式で求めた一方向合成床スラブ断面の中立軸比 x､/hを図－３に示す．(1)式より，曲げモーメントＭと曲率1/ｐの関係が(2)式で与えられる．

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ただし，ｐは二層複合断面の曲げ剛性増大率を表し， (3)式で与えられる． (2)，(3)式から，一方向合成床スラブの等価曲げ剛性EIが(4)式で与えられる．

｡-(！÷…;+'１ﾄ脇)奈十…)；

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生梺。…(4)

ひずみ８応力｡２．－方向合成床スラブのフーリエ解析弾性解析の対象となる合成床スラブは打込み床型枠と若令コンクリートからなるので，弾性定数や厚苔の異なった二層複合床スラブとみなすことができるこの二層複合床スラブを一方向合成床スラブと見なすことができれば，初等梁理論を工学上近似的に適用することができるただし，梁理論では一方向床スラブを正確に解析したことにはならない．すなわち，図－１に示すように二辺固定，二辺自由支持の一方向床スラブ(a)と(b)の解は，梁理論解としては同一の解となり区別できない．しかし，板理論解としては図－１の (a)と(b)では，異なった解が求まる．特に，辺長比入＝b/８xが大きくなった場合，梁と板では解析結果

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￣￣二－－￣￣トb-1 図－２幅ｂの一方向合成床スラブのひずみと応力分布仮定８７６５４，●●■■ ０００００

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０００．２０．４０．６０．８１．０

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(4)

琉球大学工学部紀要第46号，1993年 107 (4)式で求めた等価曲げ剛性EIを図－４に示す‐図－４より，等価曲げ剛性比EI/E11oは実用的に１から３程度までを取り扱えばよいことがわかる．なお， E1Ioは打設コンクリートのみで構成きれた￣方向合成

床スラブの曲げ剛性である．そのためには，ヤング係

数E2が打設コンクリートのElより大きい打込み床型枠を利用し，さらに，打設コンクリートと打込み床型枠が接した境界面が付着し，その間のずれが生じないことが保障されなければならない．ｗ(x)が(6)式で与えられる．(6)式から，全長にわたって等分布荷重を受ける場合と，任意点に作用する一点集中荷重を受ける両端固定の一方向合成床スラブのたわみｗ(x)力、(7)式で与えられる．両端単純支持の一方向合成床スラブのたわみｗ(x)は，(7)式から(8)式で与えられる．さらに，(7)式及び(8)式の導関数から一方向合成床スラブの応力を，(9)式と(10)式のように求めることができる．ただし，(8)，(9)式と(10)式の唖は，(7)式に与えられているものと同じである．両端固定支持の場合：

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両端固定支持の場合：

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図－４－方向合成床スラブの等価曲げ剛性ＥＩ－方向合成床スラブの境界面，すなわち打込み床型枠と打設コンクリートの境界面に生じるせん断応力Ｔは，断面の解析から(5)式で与えられる．図－５より，､の値にかかわらず境界面の段大せん断応力では平均せん断応力その1.5倍の関係にあることがわかる．図－６に示す任意荷重を受ける一方向合成床スラブの初等梁理論によるフーリエ弾性解析を行う．任意荷重を受ける両端固定の一方向合成床スラブのたわみ

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一方向合成床スラブの境界面に働くせん断応力で注）ＸＯは等分布荷重の中心，または-点集中荷重の作用点までの水平距離図－６任意荷重を受ける一方向合成床スラブの座標系 ■ ■ ＵＤｕｕ■ＵＰＵ ■ ロロDDBマロ E11o＝、＝

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(5)

山川・都・田中：合成床スラブの弾性たわみと応力に閲する解析的研究 108 (11)式で与えられる．

…４+β2,,臺梺[(ﾙｫ)wi(#)１…(ｊ〃

(4)式と(11)式の等価曲げ剛性比が，任意荷重を受けた任意点における一方向合成床スラブのたわみに関する比を表すことになる．この関係を図－７に示す．図－７によれば境界面が付着するか，しないかによって最大約４倍の影響がたわみに生じることになる．打設きれた若令コンクリート上面を施工ロボットが走行すると，ロボットの位置によっては合成床スラブのたわみと応力が異なるまた，設計上必要とするたわみと応力の最大値は，たわみと応力に関する影響線によって求めることができる．ここでは，打込み床型枠と打設コンクリートが完全に付着し，その間にずれが生じない場合のたわみと応力に関する影響線を示す．図－８は集中荷重Ｐが一方向合成床スラブの左端からスパン中央に向かって移動する時(xo/CxL任意点 (x/(x)のたわみを示す．図－８から，集中荷重Ｐが

（×103）

打込み床型枠と打設コンクリートの境界面，すなわち二層複合梁を柵成しているそれぞれの梁が境界面で付着している場合は，(4)式で与えた等価曲げ剛性を用いて解析を行う．一方，付着がない場合は中立軸がそれぞれの梁に独立に生じるので，等価曲げ剛性は

０．００２０．４０．６０．８１．０

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図－７任意荷重を受けた任意点における一方向合成床スラブのたわみに関する比較

(×108）

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（×'0-3）（a)両端固定支持

０．００．１０．２０．３０．４０．５

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（×,0-3）（a)両端固定支持

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－＞ｘ似パフーリエ項数ｍ＝6）（b)両端単純支持図－８－方向合成床スラブに集中荷重Ｐが作用した場合の任意点のたわみ

０．００．１０２０．３０．４０．５

－→ｘＯ似（フーリエ項数ｍ＝6）（b)両端単純支持図－９－方向合成床スラブの中央部のたわみに関する影響線

４

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(6)

琉球大学工学部紀要第46号，1993年 1０９

一方向合成床スラブの中央部に達する時，その点のた

わみが最大になることが分かる＿さらに，集中荷重Ｐ

が一方向合成床スラブの端部から中央部まで移動する

時，等価曲げ剛性ごとに中央部のたわみに関する影響

線を図－９に示す．図－９より，等価曲げ剛性の増大

にしたがって，中央部のたわみは小さくなることが分

かるまた，一方向合成床スラブの端部及び中央部の

曲げモーメントに閲する影響線を図-10に示す．

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図－１２－方向合成床スラブの曲げモーメント算定図

0２

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3．二方向合成床スラブのフーリエ解析３．１断面解析とフーリエ解析ひずみｅⅡ応力ｏＸ

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０．００．１０．２０．３０．４０．５

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図－１０－方向合成床スラブの端部及び中央部の曲げ

モーメントに関する影響線』＿ノｘ、：圧縮縁から中立軸までの距離図－１３二方向合成床スラブのひずみと応力分布仮定二方向合成床スラブの等価曲げ剛度は板の応力と曲率の関係から求める．ｘ方向でもｙ方向でも同じ結果が得られるので，本論ではx方向について求める．板の応力とIMI率の関係が(12)式で与えられる．

｡x=奇(",午Ｍ‘…('2）

ただし。:鍼ｱｿﾝ比←嘉一豪

２．２－方向合成床スラブのたわみと応力に関する算

定図表

(4)式で与えられた一方向合成床スラブの等価Illlげ

剛性を用いて，等分布荷重時及びスラブ中央に作用し

ている集中荷重時の一方向合成床スラブ中央点のたわみを図-11に示す．また，一方向合成床スラブの曲げモーメントを図-12に示す．ｘ方向の曲げモーメントＭｘは(13)式で与えられる．

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（12)式と(13)式から，板の等価曲げ剛度､が(１４)式で与えられる（図-13参照)．

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…(ﾉｲ）ただし， E血Ｕ，：打殻コンクリートのヤング係数とポアソン比 E２，Ｕ２：打込み床型枠のヤング係数とポアソン比（14)式は打設コンクリートと打込み床型枠が付着している場合である．（14)式にＵ２＝ひ,＝Ｏと置き，単

1.0１５２．０２．５3.0

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図－１１－方向合成床スラブ中央部のたわみ算定図 ■ _{■Ｕ￣、。０} 句のＵＵ■Ⅱ ■ ＧＢﾛロ8口Ｕ (フーリエ項数ｍ＝、＝40）～

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(7)

■－－■--山川・都・田中：合成床スラブの；Iil性たわみと応力に関する解析的研究

110 （18）式で与えられる．

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位幅をｂで表すと，(4)式と同じ結果が得られる.また，Ｕ２＝Ｕ,と置き，計算した(14)式の結果，Ｄ/D，（ただ

し，、,＝E1h3/l2q-Uz,)）は図－４と同じである．

一方，打設コンクリートと打込み床型枠が完全に付藩していない場合，すなわち単なる重ね床の場合の等価曲げ剛度Ｄは，各々の床スラブの曲げ剛度を単純に加算すればよい．それは，（15)式で与えられる．ノ _{si"oLxsinl〕ｙ} …ロ8）

､"瀞OU2m2＋"2)２

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.．．ｲﾉｺﾞﾉ（15)式でＵ,＝Ｕ２と置いたり(付着あり)／、(付着なし)の比は，図－７と同じである（14)式で与えた等価曲げ剛度、を用いて，合成床スラブのフーリエ弾性解析を行う．板のたわみの解

Ｗ(x,y)として(16)式で与えられる東の解7)を用いる．

(16)式の第１項は図-14に示す部分荷重に対する四辺単純支持板の二重フーリエ級数解である．すなわち，第１項が特解に相当し，残りの項すべてが余解に相当する．これらの余解を特解に加えることにより，四辺完全固定板支持の一般解が(16)式で与えられると考えてもよい．

wに霞’１毫擶・

瀞，肱…"β…苧'i阿与`伽…p)'

－，ノブ．ｎ２ｌＺｙｘ０.ｙｏ：荷重中心までの距離図－１４座標系，部分荷重と形状寸法

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…ロ6）

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ＭＡｎ，〃｡"，/ME碗，Ｍｂｍ：未知積分定数で，かつ周辺の曲げモーメントを表す。（16)式の第１項は任意点（x０，Ｗ）の一点集中荷重Ｐ(X０，Ｗ)に対して，（17)式で与えられる．

w`-1-‘";入JTTsmoLxDs"lpyO-:－－:-,-０．００．１０．２０．３０．４０．５

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図－１５合成床スラブ中央点(x二Ａ/2,yﾆﾋﾞｯ/2)のたわみｗの影響線

iji二譽亨

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冠(入2,2＋"2)２

…（ﾉｱﾉ (16)式の第１項は等分布荷重PC(x,y)に対して，ＵＯｐＵ▽０▽Ｉ▽0

註

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四辺固定支持〈細線） ’３四辺単純支持、ユ

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(8)

琉球大学工学部紀要第46号，1993年 1１１四辺完全固定板はこれらの特解に対して，（16)式の第２項以降で構成された余解を共通に用いることができる．以上の関係式を用いて，合成床スラブのフーリエ解析を試みる．図-15には，一点集中荷重Ｐがyo＝ｌｙ/2の点を短辺方向に移動した(x=O→０反/2)とき，注目している合

成床スラブ中央点(x＝《x/２，ｙ=0y/2)のたわみｗの影

響線を示す．一点集中荷重Ｐが中央部に近付くほど中

央点(x=0x/２，ｙ＝ﾋﾞｻﾞ/2)のたわみｗが大きくなる．、’

は打込み床型枠を用いない通常のRC床スラブの1111げ剛度である．Ｄ]に対して，打込み床型枠を用いた合

成床スラブの曲げ剛度が大きくなるにつれて，その中

央点のたわみｗが小さくなっていくことが図一】5より

理解できる．

床スラブの応力は辺長比入（＝０，／fx)のみに依存し

て，弾性定数に依存しない．図－１６，１７に集中荷重Ｐによる曲げモーメントの影響線を示す．図-16には床スラブの中央短辺方向の1/2の部分について示す．図 -16は一点集中荷正Ｐがyo＝！y/2の点を短辺方向に沿って中央部に移動した（x=O→Ux/2)とき，注目し

ている点のＭｘ，（x方向の固定端部の曲げモーメント）

の値を示すグラフである．図-16より，四辺完全固定

床スラブではＰが固定辺近傍に移動したとき，Ｍｘ,の

最大値が得られる．図-17には一点集中荷重Ｐがｙｏ

＝ビｙ／2の点を短辺方向に沿って中央部に移動した (x=0→公/2)とき，注目している点のＭ漣2(x方向の中央部の曲げモーメント）の影響線図を示す．Ｐが中央部に移動したとき，Mx2の値が急激に増大することがわかる．また，四辺単純支持の中央部の曲げモーメントMx2は四辺完全固定支持の約２倍になることがわかる．図－１８，１９はＰがyo＝’y/2の点を短辺方向に沿って中央部に移動したとき，四辺完全固定支持と四辺単純支持の中央端部のせん断力の影響線図を示すグラフである．０２４６８００－一一－１､､００－１￣０２０３０４Ｃ

一一一一xo/＆

図－１６短辺方向の固定端部曲げモーメントＭｘ,の影響線

､００．１０．２０．３０．４０．５

－－ｘＭｆｘ

四辺完全固定床スラブ短辺方向の中央端部せん断力Qxlの影響線図－１８ (フーリエ項数ｍ＝、＝6）（四辺固定支持） (フーリエ項数ｍ＝、＝12）（四辺単純支持）

1:１

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０１２３４５６０

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四辺単純支持床スラブ短辺方向の中央端部せん断力Qxlの影響線

０．００．１０．２０．３０．４０．５

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図－１７短辺方向の中央部曲げモーメントＭｘ２の影騨線図－１９ＵＯＢ■、▽Ｕ ■□ロﾛﾛﾛ ■■ロロロ■。■■

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(9)

山川・都・田中：合成床スラブの弾性たわみと応力に関する解析的研究 1１２３．２二方向合成床スラブのたわみと応力に関する算定図表ここに示す各算定図は二方向合成床スラブのフーリエ弾性解析によって，四辺固定及び四辺単純支持合成床スラブが，等分布荷重と中央集中荷重を受けた場合のたわみ，曲げモーメント及びせん断力の値を，設計者の便に供するため図表化したものである．なお，計算にあたってはポアソン比ツー1/6をすべての合成床スラブに採用した．フーリエ項数は基本的に、=､=6を採用した．実際に採用した各フーリエ項数は各図に示した値を参照されたい．

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図－２０中央集中荷重を受ける四辺固定支持合成床スラブの最大たわみｗ（床スラブ中央）算定図

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図－２３等分布荷重を受ける四辺単純支持合成床スラブの最大たわみｗ（床スラブ中央）算定図

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図－２１中央集中荷重を受ける四辺単純支持合成床スラブの最大たわみｗ（床スラブ中央）算定図

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図－２４中央集中荷重を受ける二方向合成床スラブ短辺方向の曲げモーメントＭｘＬＭｘ２の算定図。■・日。■。■ロ■。■■ ■■句■●●。■■■ 』■。■。■。■■日■■口■。口①■ ●■■■■■■ロ ■■■■ 。■■■⑪。■可■■つロロ■■。

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図－２８中央集中荷重を受ける二方向合成床スラブ長短辺中央端部のせん断力ＱｘｍＱｙ１の算定図

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図－２５等分布荷重を受ける二方向合成床スラブ短辺方向の曲げモーメントＭｘ,，Mxzの算定図 (フーリエ項数ｍ＝、＝12）

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図－２９等分布荷重を受ける二方向合成床スラブ長短辺中央端部のせん断力ＱｘＬＱｙｌの算定図

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図－２６中央集中荷重を受ける二方向合成床スラブ長辺方向の曲げモーメントＭｙ１，My2の算定図 (フーリエ項数ｍ＝、＝，

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４．結論本論で新たに定義した等価曲げ剛性の導入により，異なった弾性定数を有する二層複合断面からなる合成床スラブに,既存の梁理論解や板のフーリエ級数解を適用することが可能になった．その結果，これらの等価曲げ剛度とフーリエ級数解を用いて，一方向及び二方向合成床スラブのたわみと，応力に関する力学的性状を明らかにすることができた．さらに，これらの解析手法を用いて合成床スラブのたわみと応力に関する算定図や影響線図を,設計の便に供するため整理した．４３２１０００００００００００

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謝辞本研究は建設省総合技術開発プロジェクト「建設事業における施工新技術の開発」において，自動化適合型鉄筋コンクリート構法（Automation-orientedRein．

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(11)

山川・iIill・ＩＨ中：合成床スラブの弾`性たわみと応力に関する解析的研究１１４（その１床型枠工法の基本形態およびARC床構法の設計基本方針),'，日本建築学会大会学術講演梗概集（北陸)，ｐp815-816,1992年８月．５）中込昭，馬場明生，他３名：“自動化適合型鉄筋コンクリート構法の開発(18)床構法の開発（その２ARC床構法のフイージビリテイスタデイ)"，日本建築学会大会学術講演梗概集（北陸L pp817-818,1992年８月一６）山川哲雄：“梁理論に対する直交異方性弾性板（Scheibe）理論とAiryの応力関数を用いた基礎的検討,,，日本建築学会構造系論文報告集第438 号,ｐｐ､117-120,1992年８月．７）東洋一，小森清司：“建築構造学大系１１平板構造"，彰国社，1974年３月．８）小森清司，林誠：“部分荷重をうける周辺固定床板の荷重の偏在による影響について，,，日本建築学会中国・九州支部研究報告第７号，ｐｐｌ２９ -132,1987年３月．９）坪井善勝：“平面構造論,，，丸善，1955年９月．１０）坪井善勝：“建築学大系9-1建築弾塑性学，'，彰国社，1969年７月． 11）StephenＰ､Timoshenko，Ｓ､WoinowskyKrieger： “ThoryolPlatesandShells''１Mcgraw-HillKoga‐ kusha,１９５９ forcedConcreteConstructions，略してARC構法）分科会に設けられた型枠鉄筋材料評価ＷＧ（委員長・山本康弘・東京都立大学教授）から与えられた研究課題の一つである．本研究のきっかけと，その環境を用意していただいた建設省建築研究所・施工管理研究官・馬場明生博士に感謝の意を表します．参考文献 1）馬場明生，他５名：“自動化適合型鉄筋コンクリート構法の開発（１）研究計画と開発目標"，日本建築学会大会学術講演梗概集（東北ハ pp115-116,1991年９月． 2）渡部嗣道，馬場明生，松島泰幸：“自動化適合型鉄筋コンクリート構法の開発（３）型枠・鉄筋構工法の開発（その１コンクリート系板補強複合材料の面外曲げ性状に関する一考察)'，，日本建築学会大会学術講演梗概集（東北Lpp､119-120, 1991年９月． 3）馬場明生，他５名：“自動化適合型鉄筋コンクリート構法の開発（10）構法システムの提案（その１構法システムの概要),,，日本建築学会大会学術講演梗概集（北陸)，ｐp801-802,1992年８月． 4）長谷川直司，馬場明生，他３名：“自動化適合型鉄筋コンクリート構法の開発（17）床構怯の開発