Willmore 曲面と平坦エンドをもつ極小曲面，

Willmore 曲面と平坦エンドをもつ極小曲面，

およびその可視化

永井 博之

（首都大学東京 数理情報科学専攻）

2014/1/29

概 要

n次元ユークリッド空間Eⁿ内の曲面に対し，その平均曲率ベクトル場のノルムの2乗の積 分を対応させたものをWillmore汎関数 といい，その汎関数の停留曲面をWillmore曲面 とい う．Willmore曲面はある

::::::::::::::::::::

Euler-Lagrange方程式¹ を満たし，特に極小曲面はその方程式を満 たす．Willmore汎関数には

::::::::共形変換²を施しても値が等しくなるという共形不変性があるので，

極小曲面Mのある反転σによる像のコンパクト化はWillmore曲面となる．実際，Kusnerは E³内のある種の連結かつ完備な極小曲面M のある反転σによる像のコンパクト化を考える ことにより，Willmore射影平面を発見した([4] [5])．ただし，一般には反転の中心において特 異点ができてしまい，滑らかな曲面になるとは限らない．

そこで本稿では，コンパクトなWillmore曲面が得られる条件[6]である「σ(M)のコンパ クト化が滑らかな曲面である」とき，すなわち， 「Mは全曲率が有限であり，任意のエンドが うめこまれていて，かつ各エンドが平坦である」場合について述べていき，実際に各エンドが 平坦である 平坦型極小曲面，ならびにそれを反転して得られるWillmore曲面をMathematica を用いて可視化した．

1汎関数の停留値を与える関数を求める微分方程式．

2リーマン多様体のある1点で交わった2曲線の接戦のなす角度が保存される変換あり，等角写像ともいわれる．

  Eⁿの共形変換は等長変換，相似変換，および反転の有限積によって表される．

目 次

1 Willmore予想とWillmore曲面 2

1.1 Willmore

^予想

. . . . 2

1.2 Willmore

汎関数

. . . . 2

1.3 Willmore

曲面と

Euler-Lagrange

方程式

. . . . 19

2 Willmore曲面と平坦エンドをもつ極小曲面，およびその可視化 25

2.1

E^{3内の極小曲面と}

Willmore

曲面

. . . . 25

2.2

平坦型極小曲面のエンドの数

. . . . 27

2.3

平坦型極小曲面，および

Willmore

曲面の可視化

. . . . 34

2.4

随伴極小曲面と平坦型極小曲面

. . . . 44

参考文献 48

   

謝辞

 本稿を執筆するにあたって，

Willmore

曲面に関する集中講義を行ってくださった熊本大学の安 藤直也先生，極小曲面の可視化にアドバイスをしてくださった岡山大学の藤森祥一先生に謝意を 表すとともに，約

4

年間，不勉強な私を懇切丁寧に指導していただいた指導教員の酒井高司先生 に深く感謝したい．

 

      

2014

年

1

月

1 Willmore 予想と Willmore 曲面

 本章は安藤 直也先生（熊本大学大学院自然科学研究科）が

2013/7/1

〜

7/5

の

5

日間に渡り，首 都大学東京で行った集中講義と，そこで扱った講義録

[10]

を大きく参考にしている．

1.1 Willmore 予想

 E^{nの曲面に対し，その}平均曲率の::::::::::::::

2

乗³ の積分を対応させたものを

Willmore

汎関数 という．

Willmore

予想 とは，

(i) 3

次元

Euclid

空間E³にはめこまれたトーラスに対する

Willmore

汎関数の値は

2π

² 以上．

(ii) (i)

において等号が成り立つことと，

はめこまれたトーラスが

3

^次元球面

S

^{3 内の}::::::::::::::::

Clifford

^{トーラス4の立体射影による像と}E^3の 共形変換によって移り合うことは同値．

というもので，今まで様々なアプローチで研究されてきたが，

2012

^年に

F. C. Marques

^と

A. Neves

によって，この予想に対する新たなアプローチが示されたことで，この予想は解決された．

1.2 Willmore 汎関数

 本節では

Willmore

汎関数の定義を与え，具体例の計算や

Willmore

汎関数の性質を述べていく．

定義

1.1

（

Willmore

汎関数）

M

：コンパクト，かつ向き付け可能な

2

次元可微分多様体

ι

：

M −→

E^{3のはめこみ}

H

：

ι

に関する

M

の平均曲率

このとき，

W (ι)

によって

ι

に関する

M

の全平均曲率を表す

: W (ι) =

∫

M

H

²

dA (1.1)

ただし，

dA

は

ι

によって導かれた計量に関する

M

の面積要素である．

W

^は

M

のE³ への各はめこみに実数を一つ対応させる汎関数であり，この汎関数

W

^を

Willmore

汎関数 とよぶ．

3平均曲率をH，ガウス曲率をKと表すとき，H²−KをWillmore汎関数の被積分関数とする場合もある．

  これは主曲率をκ1，κ2と表すときに，H²−K=¹₄(κ1−κ2)²となることが理由である．

4{(x1, x2, x3, x4)∈E⁴|x12

+x22

= ¹₂, x32

+x42

= ¹₂}^{で与えられた}S³にうめこまれたトーラス．

例

1.2

 

M

^{として種数が}

1

のものを考え，はめこみ

ι :

R²

−→

E^{3を以下で定める．}

ι(u, v) := ((a + b cos u) cos v

，

(a + b cos u) cos v

，

b sin u)) (a > b > 0)

ここで，

(2π, 0)

，

(0, 2π)

によって生成されるR^{2の格子を}

Γ

とし，

M :=

R²

/Γ

とおくと，

ι

を

M

からE³へのうめこみとみなすことができる．ここで，

T

_a,b

:= ι(M)

とおく．さて，

ι

に関する

T

_a,b の全平均曲率を計算してみよう．そのために，

T

a,bの第一基本量

E

^，

F

^，

G

，および単位法ベクトル

n

と第二基本量

l

，

m

，

n

を求める．

ι

u

= (−b sin u cos v

^，

− b sin u sin v

^，

b cos u) ι

v

= ( − (a + b cos u) sin v

，

(a + b cos u) cos v

，

0)

ι

_u

× ι

_v

= − b(a + b cos u)



 



cos u cos v cos u sin v

sin u



 



^，

| ι

_u

× ι

_v

| = b(a + b cos u)

よって，単位法ベクトル

n

は，以下のようになる．

n = ι

_u

× ι

_v

| ι

_u

× ι

_v

| = −



 



cos u cos v cos u sin v

sin u



 



ι

uu

= − b(cos u cos v

，

cos u sin v

，

sin u) ι

_uv

= b sin u(sin v

，

− cos v

，

0)

ι

vv

= −(a + b cos u)(cos v

^，

sin v

^，

0)

以上より，

E =

 

ι

_u

· ι

_u

= b

²

F =

 

ι

_u

· ι

_v

= 0

G =



ι

v

· ι

v

= (a + b cos u)

²

l =

 

ι

uu

· n = b

m =

 

ι

_uv

· n = 0

n =

 

ι

_vv

· n = (a + b cos u) cos u

よって，

T

a,bの平均曲率

H

^は，

H = En − 2F m + Gl

2(EG − F

²

) = a + 2b cos u 2b(a + b cos u)

= 1 2

( cos u a + b cos u

::::::::::

+ 1 b

:

)

※破線部はそれぞれ主曲率．

と表されるので，

dA = √

EG − F

²

dudv = b(a + b cos u) dudv

であることに注意して，

∫

Ta,b

H

²

dA = 1 4

∫

_2π

0

∫

_2π

0

( b cos

²

u

a + b cos u + 2 cos u + a + b cos u b

) dudv

= π 2

∫

_2π

0

b cos

²

u

a + b cos u du + 0 + 2πa b

最右辺の第一項に注目すると，

b cos

²

u

a + b cos u = cos u(a + b cos u) − a cos u a + b cos u

= cos u − a

b (a + b cos u) − a

²

b a + b cos u

= cos u − a b + a

²

b · 1

a + b cos u

よって，以下のようになり，

∫

Ta,b

H

²

dA = πa

²

2b

∫

_2π

0

du a + b cos u

= πa

²

b

∫

_π

0

du a + b cos u

T

_a,bの全平均曲率が上の式の最右辺の定積分に等しいことがわかる．ここで，

tan u

2 = t

とおくと，

∫

Ta,b

H

²

dA = πa

²

b

∫

_∞

0

1 a + b · 1 − t

²

1 + t

²

· 2 1 + t

²

dt

= 2πa

²

b

∫

_∞

0

dt

(a − b)t

²

+ a + b

= 2πa

²

b √

a

²

− b

²

[ tan

⁻¹

t ]

_∞

0

= π

²

a

²

b √

a

²

− b

²

= I (a, b) > 0

さらに，

I(a, b)

の最小値を求めてみよう．

( I π

²

)

₂

= a

⁴

b

²

(a

²

− b

²

)

= 1

− ( b

a )

4

+ ( b

a )

2

= 1

− {( b

a )

2

− 1 2

}

2

+ 1 4

従って，

( b

a )

2

= 1

2

^のとき，

I(a, b)

は最小になるので，

a > b > 0

より，

W (ι) =

∫

Ta,b

H

²

dA ≥ I (a, b)

= I ( √ 2b, b)

= 2π

²

b

²

b √

2b

²

− b

²

= 2π

²

 この例

1.2

をより一般的にしたものが次の定理である．

定理

1.3

（塩濱−高木の定理）

[9]

C

はE^{3内の閉曲線とし，}

T

_Cは

C

の:::::::::::開管状近傍 の境界であり，はめこまれた曲面を形成する と仮定する．このとき，

T

_Cの全平均曲率は

2π

²以上である

:

∫

TC

H

²

dA ≥ 2π

²

(1.2)

さらに，この式において等号が成り立つことと，

T

Cがある正数

b

に対し

T

^√_2b,bと合同である ことは同値である．

Nϵ(p)はR^{n内の多様体}M^m(m < n)の点pにおける接平面に垂直な大きさϵ(>0)以下のベクトルの集合．

  各点pでNϵ(p)をとり，それらの和集合を管状近傍という．特にR³内のなめらかな曲線に関してはチュー   ブ状になる．(※Nϵ(p)はR^{n−mに同相．})

 定理

1.3

^{の証明の前に以下の}

2

^{つの補題を用意する．}

補題

1.4

^（

Frenet-Serret

^の公式）

R^{3内の曲線}

p(s) (s:

弧長パラメータ

)

について，単位接ベクトルを

t

，単位主法線ベクトル を

n

，単位従法線ベクトルを

b

とすると，以下が成り立つ．

 

 

 



t

^′

= κn n

^′

= τ b − κt b

^′

= − τ n (κ

，

τ

はそれぞれ曲線

p(s)

の曲率，捩率

)

(

^証明

)

 空間曲線

p(s) (s :

弧長パラメータ

)

について，単位接ベクトル

t

は，

t = dp ds = p

^′ また，

t = p

^′の両辺を

s

で微分すると，曲率ベクトル

k

は，

k = t

^′

= p

^′′

次に，単位法ベクトル

n

は，

n = k

| k | = k κ = t

^′

κ (κ :

^曲線

p(s)

^の曲率

)

よって，

t

^′

= κn (1)

また，従法線ベクトル

b

について，

b = t × n

の両辺を

s

で微分し，

(1)

を代入すると，

b

^′

= t

^′

× n + t × n

^′

= κn × n + t × n

^′

= t × n

^′ ゆえに，

t · b

^′

= t · (t × n

^′

)

= n

^′

· (t × t)

= 0

すなわち，

t ⊥ b

^′

(2)

また，

| b | = 1

より，

b · b

^′

= 0

なので，

b ⊥ b

^′

(3) (1)

^，

(2)

^，

(3)

^より，

n // b

^{′なので，}

b

^′

= αn (α ∈

R

) (4)

ここで，捩率の定義：

τ = − b

^′

· n

より，

α = αn · n

= b

^′

· n

= − τ (5)

よって，

(4)

，

(5)

より，

b

^′

= − τ n (6)

さらに，

n = b × t

^{なので，両辺を}

s

^{で微分して}

(1)

^，

(6)

^{を用いると，}

n

^′

= b

^′

× t + b × t

^′

= − τ n × t + b × κn

= τ b − κt (7)

従って，

(1)

^，

(6)

^，

(7)

^より，

Frenet-Serret

^{の公式を得る．}

(

^終

)

補題

1.5

^（

Fenchel

^の定理）

[12]

R^{3内の閉曲線}

p(s) (a ≤ s ≤ b

，

p(a) = p(b))

の曲率を

κ(s)

とすると，

∫

_b

a

κ(s)ds ≥ 2π ( ∗ )

等号は

p(s)

が平面に含まれた_:::::::卵形線のときのみに成り立つ．

単純閉曲線上の任意の2点を結んだ線分が単純閉曲線の外部を含まないとき，その単純閉曲線を卵形線また   は凸閉曲線という．

(

^証明

) (Step1)

平面曲線における

Fenchel

の定理を証明する．

 つまり，平面閉曲線

p(s)

について，

∫

_b

a

| κ(s) | ds ≥ 2π

  

( ∗∗ )

であることと，

( ∗∗ )

において等号が成り立つのは

p(s)

が卵形線のときのみであることを示す．平 面曲線

p(s) = (x(s)

，

y(s)) (s

：弧長パラメータ

)

について，単位接ベクトル

t(s)

，単位接ベクトル から正方向に

π

回転させた単位法ベクトル

n(s)

^，曲率

κ(s)

^，_:::::::^全曲率5

µ

を以下のように定められる．

t(s) = p

^′

(s) = (x

^′

(s)

，

y

^′

(s)) n(s) = ( − y

^′

(s)

，

x

^′

(s)) p

^′′

(s) = κ(s)n(s) µ =

∫

_b

a

| κ(s) | ds

まず，単位接ベクトル

t(s) (a ≤ s ≤ b)

のガウス円周上での動く範囲が

π

以上であることを示す．

t(s)

のガウス円周上で動く範囲が

π

^{より真に小さい}

(A)

^{と仮定すると，曲線}

p(s)

^{を回転して，}

t(s)

はガウス円周の上半円周に含まれるとしてよい．すなわち，

∀ s

について，

y

^′

(s) > 0

としてよ いので，

y(b) − y(a) =

∫

_b

a

y

^′

(s) ds > 0

しかし，

p(s)

は閉曲線であり，

y(a) = y(b)

より，矛盾するので，

(A)

の仮定は正しくない．よって，

t(s) (a ≤ s ≤ b)

のガウス円周上での動く範囲は

π

以上．ここで，閉曲線は始点をどこからとって もよいので，

t(s) (a ≤ s ≤ s

1

)

がちょうどガウス半円周を覆い，

t(a) = − t(s

1

)

となっているとし てよい．また，

t(s) ⊥ n(s)

なので，

n(a) = − n(s

1

)

つまり，

a ≤ s ≤ s

1のときも，

s

1

≤ s ≤ b

の ときも，

n(s)

^{はガウス円周上を}

π

^{以上の範囲で動き，}

κ

^は

n(s)

^の

S

^{1上の測度で，}

κ(s)

^の絶対値 を積分すると，法ベクトルの移動総距離を表すので，

∫

_s1

a

| κ(s) | ds ≥ π

，

∫

_b

s1

| κ(s) | ds ≥ π

よって，以上の

2

^式より，

(∗∗)

^{が得られる．}

5平面曲線の曲率の正負は曲線の曲がる向きに依存するので，全曲率はκ(s)の絶対値の積分で定義する．曲率を絶   対値で扱うことにより，法ベクトルが行きつ戻りつした動き全てを含めた移動総距離を考える．絶対値をつけない   場合は，始点と終点のみに着目した距離となり，負の方向に動いたときは負の距離として扱う．

 ここで，

(∗∗)

の等号が成り立つとき，すなわち，

µ = 2π

とすると，単位法ベクトル

n(s)

^は無 駄なく動くので，

κ(s)

について，以下の

4

通り場合が考えられる．

 

 

 



 

 

 

(i) a ≤ s ≤ b

において，

κ(s) ≥ 0 (ii) a ≤ s ≤ b

において，

κ(s) ≤ 0

(iii) a ≤ s ≤ s

1において，

κ(s) ≥ 0

^，

s

1

≤ s ≤ b

^{において，}

κ(s) ≤ 0 (iv) a ≤ s ≤ s

₁において，

κ(s) ≤ 0

，

s

₁

≤ s ≤ b

において，

κ(s) ≥ 0

しかし，

p(s)

は平面閉曲線なので，

(iii)

，

(iv)

の場合は不適．また，

(ii)

の場合は曲線の向きを逆 にすれば，

κ(s) ≥ 0

となるので，以下，

µ = 2π

，

κ(s) ≥ 0

と仮定し，

( ∗∗ )

の等号が成り立つとき，

まずは，

p(s)

が単純閉曲線であることを背理法で示す．

∃ s

0

(a < s

0

< b)

 

s.t.

 

p(a) = p(b)

 

(B)

と仮定すると，

∫

_s0

a

|κ(s)| ds +

∫

_b

s0

|κ(s)| ds = 2π

∫

_s0

a

| κ(s) | ds ≤ π

 または， 

∫

_b

s0

| κ(s) | ds ≤ π

ここで，仮に，

∫

_s0

a

| κ(s) | ds ≤ π

とすると，

t(s) (a ≤ s ≤ s

0

)

^{の動く範囲が}

π

以下となる．つまり，回転することで，

t(s)

^が上半円 周に含まれるようにできる．このとき，

p(s)

は

− y

方向に進まず，

p(a) = p(s

₀

)

になり得ないの で，

(B)

の仮定は正しくない．よって，

( ∗∗ )

の等号が成り立つとき，

p(s)

は単純閉曲線である．

 さらに，等号が成り立つとき，単純閉曲線

p(s)

は卵形線であることを背理法で示す．曲線

p(s)

を回転し，ある点

p(s

0

)

での単位接ベクトル

t(s

0

)

を水平にしても一般性は失われない．ここで，

単純閉曲線

p(s)

が卵形線ではない 

(C)

，すなわち，曲線

p(s)

が

p(s

₀

)

での接戦

l

と交点をもつ と仮定すると，

t(s

₀

)

：水平より，

y(s

₀

)

は極大

(

小

)

または，変曲点であるが，最大または最小では ないので，

∃

s

₁，

s

₂ 

s.t.

 

(y(s)

の最大値

) = y (s

₁

)

，

(y(s)

の最小値

) = y(s

₂

)

つまり，

t(s

0

)

^，

t(s

1

)

^，

t(s

2

)

^{：水平であり，}

n(s

0

)

^，

n(s

1

)

^，

n(s

2

)

^{：垂直なので，}

n(s)

^{が無駄なく}

1

回転すること，すなわち，単純閉曲線であることに矛盾する．よって，

(C)

の仮定は正しくなく，

( ∗∗ )

の等号が成立するとき，単純閉曲線

p(s)

は卵形線である．

(Step2)

^{ここからの}

Step

は，本題となる「空間閉曲線に対する

Fenchel

の定理」の証明となる．

弧長パラメータ

s

を用いて定義された空間曲線

p(s)

の全曲率

µ

を任意のパラメータ

t

で表す．

 曲線

q(t) (a ≤ t ≤ b

のとき，

α ≤ s ≤ β)

について，単位速度ベクトル

e = q ˙

| q ˙ |

^を

t

で微分す ると，

˙

e = ( ˙ q · q) ˙

¹²

q ¨ −

_dt^d

{ ( ˙ q · q) ˙

¹²

} q ˙ q ˙ · q ˙

= ( ˙ q · q) ¨ ˙ q − ( ˙ q · q) ˙ ¨ q ( ˙ q · q) ˙

³² よって，

˙

e · e ˙ = ( ˙ q · q)( ¨ ˙ q · q)) ¨ − ( ˙ q · q)) ¨

²

( ˙ q · q)) ˙

²

(1)

一方，弧長パラメータ

s

^{を用いれば，}

q

^の曲率

κ

qは，

κ

q

=

√ de ds · de

ds

^なので，

(1)

^{を用いて，}

µ =

∫

_β

α

√ de ds · de

ds ds

=

∫

_β

α

√ de dt · de

dt dt ds ds

=

∫

_b

a

( ˙ e · e) ˙

¹²

dt

=

∫

_b

a

{ ( ˙ q · q)( ¨ ˙ q · q) ¨ − ( ˙ q · q) ¨

²

}

¹

2

( ˙ q · q) ˙ dt

  

(2)

と表せ，この

(2)

は空間曲線，平面曲線どちらの場合にも用いることができる．

(Step3)

R³の原点から出る単位ベクトル

n

を

1

つとり，

n

に原点で垂直な平面を

Π

とし，空間曲線

p(s)

を平面

Π

上に射影してできる平面曲線を

q(s)

としたときに，全曲率

µ

を

(2)

を用いて，弧長 パラメータ

s

と単位ベクトル

n

で表す．

q(s) = p(s) − (p(s) · n)n

と表せる．

p

^′

(s)

^{は単位ベクトルだが，}

dq(s)

ds

が単位ベクトルとは限らないことに注意して，

::::::::

ここでは⁶，

dq

ds = q

_s，

dq

s

ds = q

_ssとかくことにする．

6q^′とかくと，dq

dsが単位ベクトルであると誤解しやすいため．

q

s

= p

^′

− (p

^′

· n)n

^，

q

ss

= p

^′′

− (p

^′′

· n)n

^，

p

^′

· p

^′

= 1

^，

p

^′

· p

^′′

= 0

^より，

 

 

 



q

_s

· q

_s

= 1 − (p

^′

· n)

²

q

s

· q

ss

= − (p

^′

· n)(p

^′′

· n) q

ss

· q

ss

= (p

^′′

· p

^′′

) − (p

^′′

· n)

²

ここで，

(2)

は空間曲線，平面曲線どちらの場合にも用いることができるので，

Frenet-Serret

の公 式より，

p

^′

= t

，

p

^′′

= t

^′

= κk

_nとして代入すると，

µ(n) =

∫

_b

a

{ (p

^′′

· p

^′′

) − (p

^′′

· n)

²

− (p

^′

· n)

²

(p

^′′

· p

^′′

) }

¹

2

1 − (p

^′

· n)

²

ds

=

∫

_b

a

κ {

1 − (t · n)

²

− (k

n

· n)

²

}

¹

2

1 − (t · n)

²

ds



(3)

と表せる．また，

κ = 0

のとき，

(3)

の被積分関数が

0

になるだけなので，

(3)

は用いることができ る．一方，

q

_s

(s) ̸ =

0は常に成り立たないが，

p

^′

(s

₀

)

：単位ベクトルより，

q

_s

(s

₀

) =

0

⇐⇒ p

^′

// n

であり，

q

_s

(s

₀

) =

0

⇐⇒ p

^′

(s

₀

) = ± n

しかし，

(2)

はコンパクト集合上で定義されているので，空 間曲線

p(s)

から

S

_:::::²

/ ∼

⁷への写像は全射でないので，

n

はほとんどいたるところで定義でき，測 度零集合で

(3)

^{は積分可能．}

(Step4)

µ(n)

を単位球面上の関数と考え，平均をとると空間曲線

p(s)

の全曲率になることを示す．

 すなわち，

(3)

を用いて，以下の式を示したい．

1 4π

∫

S²

µ(n) dn =

∫

_b

a

κ(s) ds

  

(#)

ここで，

1 4π

∫

S²

µ(n) dn = 1 4π

∫

S²

∫

_b

a

κ {

1 − (t · n)

²

− (k

n

· n)

²

}

¹

2

1 − (t · n)

²

ds dn

= 1 4π

∫

_b

a

κ



 ∫

S²

{ 1 − (t · n)

²

− (k

n

· n)

²

}

¹

2

1 − (t · n)

²

dn



 ds

なので，

∫

S²

{ 1 − (t · n)

²

− (k

_n

· n)

²

}

¹

2

1 − (t · n)

²

dn = 4π

  

(4)

を示せばいい．

(4)

^の左辺は

s

^を

1

つ固定した積分で，曲線

p(s)

に無関係な積分なので，

t

^，

k

n，

b

をそれぞれ

(1, 0, 0)

，

(0, 1, 0)

，

(0, 0, 1)

としてよい．

7∼^はy=λx (0̸=λ∈R^，x，y∈S²)という同値関係．

また，

n = (u, v, w)

^{とすると，}

u

²

+ v

²

+ w

²

= 1

^なので，

{ 1 − (t · n)

²

− (k

_n

· n)

²

}

¹

2

1 − (t · n)

²

= (1 − u

²

− v

²

)

¹²

1 − u

²

= | w | v

²

+ w

²

S

²を

u ≥ 0

と

u < 0

の半球に分けると，

u ≥ 0

について，

u = √

1 − v

²

− w

² であり，

u = f (v, w)

とおくと，領域

D

^{で定義された}

u = f(v, w)

^{の曲面の面積}

A

^は，

A =

∫∫

D

√ 1 + f

_v²

+ f

_w²

dvdw

=

∫∫

D

√ dvdw

1 − v

²

− w

²

(D = (v, w) | v

²

+ w

²

≤ 1)

よって，

S

²の面積要素

dn = dvdw

√ 1 − v

²

− w

^{2なので，}

(4)

より，

2

∫∫

D

| w | dvdw (v

²

+ w

²

) √

1 − v

²

− w

²

= 4π



(4)

^′

D

^を

w ≥ 0

^{と ｗ}

< 0

に分け，極座標変換をすると，

( (4)

^′の左辺

)

= 4

∫

_π

0

∫

₁

0

r sin θ r

²

√

1 − r

²

r dr dθ

= 4

∫

_π

0

sin θ dθ

∫

₁

0

√ dr 1 − r

²

= 4 [ − cos θ]

^π₀

[

sin

⁻¹

θ ]

1 0

= 4π

よって，

(#)

^{は示された．}

(Step5)

(#)

を用いて

( ∗ )

を示し，

( ∗ )

の等号が成り立つのは

p(s)

が平面曲線のときに限ることを示す．

 

( ∗∗ )

より，

µ(n) ≥ 2π

であり，

µ(n)

の平均である

(#)

の左辺も少なくとも

2π

となる．これに より，

( ∗ )

の不等号は示された．

 次に，

p(s)

^{の全曲率を}

2π

^{と仮定すると，}

µ(n) ≥ 2π

であり，かつ，その平均が

2π

^{であること} は，

µ(n) = 2π

を意味する．

Step1

で平面上の閉曲線は全曲率が

2π

になるとき，卵形線になるこ とを証明した．従って，空間閉曲線

p(s)

をベクトル

n

にそって平面

Π

上に射影してできた平面閉 曲線

q(s)

は，

p(s)

の全曲率が

2π

のとき，卵形線になっている．

(

これは::::::::::::::::::::::::::

n

の方向によらない．⁸

)

 さて，

( ∗ )

の等号が成り立つとき，

p(s)

は平面曲線であることを背理法で示す．つまり，

( ∗ )

の等 号が成り立つとき，

p(s)

は平面曲線でないと仮定する．平面曲線でない区間

s

0

≤ s ≤ s

1を考え，

この区間内に

s

^′

(s

₀

< s

^′

< s

₁

)

を適当に選べば，

p(s

₀

)

，

p(s

^′

)

，

p(s

₁

)

は一直線上にないから，こ の

3

点を通る平面

Π

₀がただ

1

つ定まる．次に，原点を通り

Π

₀に直交する平面

Π

をとり，

Π

₀と

Π

₀の交線を

l

として，

p(s)

を

Π

に正射影すると，

Π

上に卵形線

q(s)

ができるが，

q(s

₀

)

，

q(s

^′

)

，

q(s

1

)

は

l

上にある．

q(s)

が卵形線であることから，

q(s)

の

s

0

≤ s ≤ s

1部分は

l

上になけねばな らない．これは，すなわち

p(

^∀

s) (s

0

≤ s ≤ s

1

)

^が

Π

0上にあることになり，仮定に矛盾．よって，

( ∗ )

の等号が成り立つとき，

p(s)

は平面曲線である．

 従って，以上の

Step1

〜

5

によって，補題

1.5

は示された．

(

終

)

 さて，本題に戻り，補題

1.4

，補題

1.5

を用いて，定理

1.3

の証明に入るが，証明の前にもう一 度，定理

1.3

^{を確認しておく．}

定理

1.3

^{（塩濱−高木の定理）}

C

はE^{3内の閉曲線とし，}

T

_C は

C

の開管状近傍の境界であり，はめこまれた曲面を形成する と仮定する．このとき，

T

Cの全平均曲率は

2π

²以上である

:

∫

TC

H

²

dA ≥ 2π

²

(1.2)

さらに，この式において等号が成り立つことと，

T

Cがある正数

b

^に対し

T

^√_2b,b^{と合同である} ことは同値である．

(

証明

)

 滑らかな写像

γ

：R

−→

E^3は

| γ

^′

| ≡ 1

，

γ (

R

) = C

を満たし，

γ

は周期的であり，最小の周期を

L > 0

^{とすると，}

∀

s ∈

R^{に対して，}

γ(s + L) = γ(s)

，各

a ∈ (0, L)

に対して，^∃

s ∈

R

s.t. γ(s + a) ̸ = γ(s)

ここで，

C

の曲率

κ(s) ̸ = 0

と仮定し，単位接ベクトルを

t (t = γ

^′

)

とおき，単位主法線ベクトル と単位従法線ベクトルをそれぞれ

n

，

b

とおく．  

(t

，

n

，

b

は

Frenet-Serret

の公式を満たす．

)

8nが集合{±p(s)|a≤s≤b}に属するときは，それに属さない単位ベクトルの列niでnに近付けていき，niに   直交するΠi上にp(s)を射影してできた平面曲線をqi(s)とすると，qi(s)はq(s)に近付いていく．そうするこ    とで，卵形線qi(s)の極限であるq(s)も卵形線となる．

そして，十分小さい

r > 0

^{に対して，滑らかな}

ι

^：R²

−→

E^3を

ι(s, t) := γ(s) + r(cos t)n + r(sin t)b

と定義し，

T

_C

= ι(

R²

)

とおき，

Frenet-Serret

の公式を用いると，

ι

_s

= γ

^′

(s) + r(cos t)(τ b − κt) + r(sin t) · ( − τ n)

= (1 − rκ cos t)t − rτ(sin t)n + rτ (cos t)b ι

t

= − r(sin t)n + r(cos t)b

ι

_s

× ι

_t

= − r(1 − rκ cos t)(sin t)b − r(1 − rκ cos t)(cos t)n

= − r(1 − rκ cos t)(cos t)n + (sin t)b

|ι

s

× ι

t

| = r(1 − rκ cos t)

= √

EG − F

²

よって，

T

_Cの単位法ベクトル場

ν

は

− (cos t)n − (sin t)b

で与えられ，

ν

_s

= (κ cos t)t + (τ sin t)n − (τ cos t)b ν

t

= (sin t)n − (cos t)b

以上より，

E = ι

_s

· ι

_s

= (1 − rκ cos t)

²

+ r

²

τ

²

F = ι

_s

· ι

_t

= r

²

τ

G = ι

t

· ι

t

= r

²

l = − ι

_s

· ν

_s

= − κ(1 − rκ cos t) cos t + r τ

²

m = − ι

_s

· ν

_t

= r τ

n = −ι

t

· ν

t

= r

よって，

T

Cの平均曲率

H

は，

H = En − 2F m + Gl

2(EG − F

²

) = 1 − 2rκ cos t 2r(1 − rκ cos t)

ゆえに，

∫

TC

H

²

dA =

∫

_2π

0

∫

_L

0

(1 − 2rκ cos t)

²

4r

²

(1 − rκ cos t)

²

· r(1 − rκ cos t) ds dt

  

= 1 2r

∫

_L

0

∫

_π

0

1 − 4rκ cos t + 4r

²

κ

²

cos

²

t 1 − rκ cos t dt ds

  

= 1

2r

∫

_L

0

∫

_π

0



 1

1 − rκ cos t − 4rκ cos t



 dt ds

  

= 1 2r

∫

L 0

∫

_∞

0

1 1 − rκ · 1 − u

²

1 + u

²

· 2

1 + u

²

du ds

  

= 1 r

∫

_L

0

∫

_∞

0

du ds

(1 + rκ)u

²

+ 1 − rκ

  

= π

2r

∫

_L

0

√ ds

1 − r

²

κ

²   

= π

2

∫

_L

0

κ rκ √

1 − r

²

κ

²

ds

  

≥ π

∫

_L

0

κ ds

  ∵

− (rκ)

⁴

+ (rκ)

²

= −

 

 (rκ)

²

− 1 2

 



2

+ 1 4

最後の不等式において等号が成り立つことと，

rκ ≡ 1

√ 2

であることは同値である．また，

Fenchel

の定理より，

(1.2)

を得ることができ，

(1.2)

の等号が成り立つのは

κ ≡ 1

√ 2r

^{，かつ閉曲線}

C

が卵形 線のとき，すなわち，

C

^{がある平面上の半径}

√

2r

^{の円である．従って，}

T

Cが

b > 0

^に対し

T

^√_2b,b と合同であることと，

(1.2)

の等号成立は同値である．

κ = 0

である場合も

κ ̸ = 0

である集合上で の議論を行うことで同様の結果が得られる．

(

終

)

定義

1.6

（E^{nにおける}

Willmore

汎関数）

M :

コンパクト，かつ向き付け可能な

2

^{次元可微分多様体}

ι

：

M −→

Eⁿ

(n ≥ 3)

のはめこみ

H : ι

に関する

M

の平均曲率ベクトル場

このとき，

W (ι)

によって

ι

に関する

M

の全平均曲率を表す

: W (ι) =

∫

M

| H |

²

dA

ただし，

dA

は

ι

によって導かれた計量に関する

M

の面積要素である．

定義

1.7

（E^{nにおける共形変換）}

E^{nの共形変換を}Eⁿにおける等長変換，相似変換，反転の有限積と定義する．

 このとき，次の定理が成り立つ．

定理

1.8

^（

Willmore

^{汎関数の共形不変性）}

[2]

X

はE^{nの共形変換で，}

X ◦ ι(M)

がコンパクトなとき，

W (X ◦ ι) = W (ι) (1.3)

(

証明

)

 

H

_Xを

X ◦ ι

に関する

M

の平均曲率ベクトル，

dA

_X を

X ◦ ι

によって導かれた計量に関する

M

の面積要素とする．共形変換は等長変換と相似変換と反転の有限積なので，それぞれの場合につ いて示せばよい．

 

X

：等長変換のとき，

H

X

= H

，

dA

X

= dA

なので，

(1.3)

は満たされる．

 

X

^{：相似変換のとき，}

p ∈ ι(M ) ⊂

E^{nについて，}

X(p) = λ(p)



(R ∋ λ > 0)

^{とすると，}

H

X

= 1

λ H

 ， 

dA

X

= λ

²

dA

なので，

(1.3)

は満たされる．

 次に反転のとき，特に原点を中心とした半径

R

の球面に関する反転

σ

とする．

σ ◦ ι = R

²

| ι |

²

ι

 

( | ι |

²

= ι(p) · ι(p)

 

p ∈ M ) d(σ ◦ ι) = R

²

| ι |

²

dι + R

²

ι ·



 − 2ι · dι

| ι |

²





= R

²

| ι |

²

dι − 2R

²

| ι |

⁴

(ι · dι)ι

ゆえに，

ι(M)

，

σ ◦ ι(M )

に関する第一基本形式をそれぞれ

I

，

I

_σと表すと，

I

_σ

= dA

_σ

= d(σ ◦ ι) · d(σ ◦ ι)

= R

⁴

| ι |

⁴

(dι · dι) + 4R

⁴

| ι |

⁸

(ι · dι)

²

(ι · ι)

²

− 4R

⁴

| ι |

⁶

(ι · dι)

⁶

= R

⁴

| ι |

⁴

(dι · dι)